Diapositiva 1

ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES. UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
FÍSICA I. CURSO 2013-2014
TEMA 2
Dinámica de la partícula
1.- Leyes de Newton
2.- Fuerzas de la naturaleza. Caso particular:
fuerzas de rozamiento
3.- Momento lineal, impulso y momento angular
4.- Fuerzas centrales
TEMA 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
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NOTA: las partes sombreadas en este color son de ampliación y no son parte
fundamental de este tema
TEMA 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA
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1.- Leyes de Newton
1.1.- 1ª Ley de Newton: ley de la inercia
1.2.- 2ª Ley de Newton: fuerzaaceleración
1.3.- 3ª Ley de Newton: ley de acción y
reacción
1.4.- Fuerzas de inercia (o ficticias)
TEMA 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA. Leyes de Newton
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INTRODUCCIÓN
La cinemática nos enseñó a describir el movimiento de los cuerpos; ahora nos
ocuparemos de estudiar las causas que lo producen  dinámica
Sintetizaremos una única teoría que resuelva el
problema central de la mecánica:
Conocidas las características físicas de una partícula (masa, carga, etc.) a la
que se coloca con cierta velocidad en un entorno conocido, ¿cuál será el
movimiento posterior de la partícula?
Las Leyes de Newton surgen de la experiencia, pero han tenido que pasar
muchos siglos para llegar a formularse y expresarse matemáticamente.
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En este tema va a aparecer una nueva magnitud física, la fuerza, concepto
fundamental para la descripción dinámica de la partícula: definiremos fuerza
como la interacción producida entre dos cuerpos.
Este tipo de interacción puede ser de dos tipos:
• Fuerzas de contacto, las que se dan como producto de la
interacción de los cuerpos en contacto directo; es decir,
chocando sus superficies libres
• Fuerzas a distancia, como la fuerza gravitatoria o la
fuerza entre cargas, que se producen cuando los cuerpos
están separados cierta distancia unos de los otros.
Así, para el estudio del movimiento ulterior de una partícula, colocada en un
cierto entorno, tenemos que analizar cuales son las acciones que producen los
elementos del entorno sobre la partícula  fuerzas sobre la partícula
En este orden de cosas, definiremos como partícula libre aquella que no está
sometida a ninguna interacción (como tal es una idealización).
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1.1.- 1ª Ley de Newton: ley de la inercia
Ley de la Inercia: Un objeto aislado de influencias exteriores, se
mantiene con velocidad constante, si estaba en reposo seguirá en reposo y
si se movía con velocidad constante seguirá moviéndose con esa velocidad
(Sistema de referencia inercial)
( Sin fuerzas no hay aceleraciones)
Ejemplo: consideremos una masa sobre una mesa o tablero
Si no hay fuerzas  permanece en reposo
Si ejerzo una fuerza  se mueve
F
La partícula se para debido a otra
fuerza: el rozamiento
Si la superficie fuese lisa 
movimiento indefinido
R
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Notemos que por la definición vista de partícula libre, y según la 1ª Ley de
Newton, una partícula libre se mueve siempre con velocidad constante (es
decir, sin aceleración)
Esta característica de los cuerpos de mantener su estado de movimiento es
lo que denominamos INERCIA
La inercia la asociamos a la masa: al ejercer una fuerza sobre un cuerpo
notamos que el efecto es diferente si lo hacemos sobre un cuerpo liviano o
sobre uno pesado
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NOTA: Sistemas de referencia inerciales y no inerciales
Para una partícula libre es posible encontrar sistemas de referencia respecto a
los cuales no presenta aceleración (entre ellos el de la partícula). Tales
sistemas reciben el nombre de sistemas inerciales. En el resto de sistemas la
partícula libre presentará una cierta aceleración, de modo que en tales
sistemas no se cumple la ley de la inercia (sistemas no inerciales). Estos
sistemas están acelerados respecto a los inerciales
Ejemplo:
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Al acelerar el tren, la partícula (sobre la superficie perfectamente lisa)
desliza. No se mueve respecto a O, pero sí lo hace respecto a O´.
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- Para O:
a = 0 (la partícula estaba en reposo y no se ha movido)
F = 0 (el observador O no observa ninguna fuerza actuando
sobre la partícula)
Se cumple la ley de la inercia
- Para O´:
Sistema de referencia
inercial
a´ ≠ 0 (O’ ve que la partícula se mueve)
El observador O´ “no detecta” ninguna fuerza actuando sobre
la partícula (de hecho, debe introducir una fuerza ficticia
para explicar el movimiento)
No se cumple la ley de la inercia
Sistema de referencia
no inercial
(en efecto es no inercial: está acelerado respecto de O)
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1.2.- 2ª Ley de Newton: fuerza  aceleración
¿Que se necesita para variar el movimiento de un cuerpo?
 una acción (interacción) externa (que denominaremos
fuerza)
La variación del movimiento es proporcional a la “fuerza” (≡ acción exterior) que
actúa sobre el cuerpo y se realiza en la dirección de la recta en que actúa la
fuerza (Sistema de referencia inercial)




∑ F ∝ a ⇒ ∑ F = ma
Esta ecuación también define la masa inercial m
(que es una propiedad intrínseca del cuerpo)
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Fuerza
Masa
• Magnitud vectorial
• Magnitud escalar
• Unidad de medida SI: newton (N)
• Unidad de medida SI : kilogramo
(kg)
1 N = 1kg.m.s-2
(1 libra fuerza= 4,45 N)
(1 libra = 0,45 kg)
• Principio de superposición
  



R = F1 + F2 + F3 + F4 = ∑ F

• Partícula en equilibrio
∑F = 0
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Realmente la 2ª ley de Newton surge al analizar dos parámetros que juegan un
papel claro en el movimiento:
• Dijimos que la inercia está relacionada
con la masa.
• También parece claro, de la evidencia,
que la inercia de un cuerpo (a cambiar
su movimiento) esté relacionada con la
velocidad que lleva.
Se pueden agrupar estas dos cantidades en una sola, muy útil en Física, que
denominaremos cantidad de movimiento o momento lineal p:
→
→
p =mv
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La 2ª ley de Newton surge de la evidencia de que en ausencia de fuerzas
(≡acciones externas) la cantidad de movimiento es cte. Se denotará como
fuerza (matemáticamente) a la variación de la cantidad de movimiento:
→
dp
F =
dt
→
2ª ley de Newton
(Así, en realidad, la fuerza es un concepto matemático)
Si m = cte.:
→
→
→
dp
d →
dv
mv =m
=
=ma
dt
dt
dt
→
→
F =ma
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1.3.- 3ª Ley de Newton: ley de acción y reacción
Cuando
dos
cuerpos
interaccionan
mutuamente se ejercen fuerzas entre si,
de igual módulo y en direcciones opuestas.
El
libro
ejerce
una
fuerza
perpendicular (normal) sobre la mesa
y ésta ejerce la misma fuerza sobre
el libro en la misma dirección y
sentido contrario: reacción
(Una fuerza es sólo un aspecto parcial de la interacción entre cuerpos)
Acción y reacción: a toda acción se opone siempre una reacción igual (FAB=-FBA)
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En realidad, la 3ª ley de Newton es una ley aproximada. No se cumple si:
• interacciones no instantáneas
• fuerzas no centrales (por ejemplo, fuerzas dependientes de v)
Acción y reacción no pueden equilibrarse al actuar sobre cuerpos diferentes
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De forma práctica, aplicar las leyes de Newton para el análisis dinámico
de una partícula (o partículas) consistirá en:
► Aplicar la 2ª ley de Newton a cada partícula:


ΣF = m a
► Analizar el primer término de la ecuación, las fuerzas, es decir,
realizar el análisis de cuáles son las acciones que producen los elementos
del entorno sobre cada partícula. Esto lo haremos mediante lo que
denominaremos diagrama de cuerpo libre (D.C.L.) de la partícula, en el
que “aislamos” la partícula y consideramos las interacciones debidas al
resto de elementos con los que está en contacto
► Hacer el análisis de los posibles movimientos de la partícula, para
saber cómo serán las posibles aceleraciones (segundo término de la
ecuación)
► Debemos hacer este análisis siempre en un S.R.I, es decir,
considerando movimientos absolutos (no sólo los relativos)
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Las fuerzas más habituales que vamos a tener que considerar (en esta parte
de mecánica) son:
- Fuerza debida a la masa de los cuerpos: peso
- Fuerzas externas aplicadas
- Fuerzas debidas al contacto directo con un muelle
(fuerza elástica), debida a un cable (tensión), etc.
- Fuerzas de contacto entre los cuerpos: reacción
normal (siempre existe) y tangencial (ligada al
rozamiento)
Reacción normal
Reacción tangencial 
relacionada con el rozamiento
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Cuestión 2.1
Una caja de masa 100 kg descansa sobre el suelo de un
montacargas. Determinar la fuerza que la caja ejerce
sobre dicho suelo si el montacargas:
a) arranca hacia arriba con una aceleración de 3 m/s2
b) arranca hacia abajo con una aceleración de 2 m/s2
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Cuestión 2.2
Tres cajas unidas mediante cables descansan sobre una
superficie horizontal sin rozamiento. Las masas de las
cajas A, B y C son, respectivamente, 100 kg, 75 kg y 150
kg. Si la fuerza F aplicada a las cajas es de 875 N,
determinar la aceleración de las cajas y las tensiones en
los cables que las unen.
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1.4.- Fuerzas de inercia (o ficticias)
Las fuerzas reales, tal y como se ha definido el concepto de fuerza, hacen referencia a
una interacción o acción exterior sobre una partícula. De esta forma, siempre que
hablemos de una fuerza real debemos identificar sus agentes: otros cuerpos.
Conocidas todas la fuerzas reales, sabemos expresar la 2ª ley de Newton:
→
→
∑F = ma
que como ya dijimos es válida en S.R. inerciales
En S.R. no inerciales, la fuerza resultante no es igual a la masa por la aceleración (debido
a que el sistema está acelerado). Sin embargo, en muchas ocasiones es conveniente o
inevitable hacer un análisis de la 2ª ley de Newton en S.R. no inerciales. Podemos seguir
escribiendo la 2ª ley de Newton en la forma habitual si consideramos junto a las fuerzas
reales otras fuerzas denominadas inerciales o ficticias.
→
→
→
→
∑ F reales = m a abs = m ( a rel + a in )
→
→
m a rel = ∑ F reales − m
→
a in
fuerzas inerciales o ficticias
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2.- Fuerzas en la Naturaleza. Caso
particular: fuerzas de rozamiento
2.1.- Interacción Fuerte. Interacción Débil.
Interacción Electromagnética. Interacción
Gravitatoria
2.2.- Caso particular: fuerzas de rozamiento
TEMA 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA. Fuerzas en la Naturaleza. Caso particular: fuerzas de rozamiento
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2.1.- Interacción Fuerte. Interacción Débil.
Interacción Electromagnética. Interacción Gravitatoria
Hoy en día se sabe que todas las fuerzas existentes en la Naturaleza se
pueden agrupar en 4:
• Interacción fuerte
• Electromagnética
• Interacción débil
• Gravitatoria
Electromagnética
Interacción débil
Con estas 4 fuerzas se pueden describir
todos las interacciones conocidas hasta la
fecha, entre las diferentes partículas que
forman la materia
F. Electrodébil
Fuerte
Gran Teoría
unificada (GUT)
Gravitatoria
TOE (Teoría
del todo)
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Tipos de interacciones, partículas a las que afecta y alcance
Fuerza
p-p
p-n
n-n
e-p
e-ν
alcance
fuerte
1
1
0
0
corto
e-m
10-2
0
10-2
0
largo
débil
10-13
10-13
10-13
10-13
corto
gravit.
10-38
10-38
10-41
0
largo
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Interacción Fuerte
• Corto alcance, despreciable para distancias > 10-15 m
• Atractiva o repulsiva según la distancia
• Mantiene estable los núcleos
• Entre protones y neutrones y otra partículas fundamentales
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Interacción Débil
• Responsable de muchos procesos radiactivos
• Desintegración beta
En la desintegración beta,
debido a la interacción débil,
un neutrón se transforma
en un protón, un electrón y
un (anti)neutrino electrónico
cuando uno de los quarks del
neutrón emite un bosón W
(Esta es una interacción que
hace cambiar la identidad de
las partículas)
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Evolución del conocimiento de las partículas más fundamentales de la materia
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http://palmera.pntic.mec.es/~fbarrada/profesores/prof1.html
(Foto CERN)
Esta imagen muestra el efecto de la colisión entre una partícula llamada pión,
perteneciente a un haz que entra por la izquierda y un protón del hidrógeno líquido que
llenaba la cámara de burbujas. Además, las numerosas trazas espirales pertenecen en su
mayoría a electrones que han sido arrancados de sus átomos. La curvatura de muchas de
las trazas visibles se debe al campo magnético en el que se coloca la cámara y que actúa
sobre las partículas cargadas con el objetivo de permitir la medida del momento lineal de
las partículas.
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Interacción Electromagnética
• Entre cargas eléctricas
• Atractiva o repulsiva
• Reposo: Fuerza de Coulomb

qq 
F = K 1 22 ur
r
(K = 8,9874x109 Nm2C-2 )
• Movimiento: Fuerzas magnéticas (Fuerza de Lorentz)
  

F = q E + v ×B
(
)
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Interacción Gravitatoria
• Entre masas gravitacionales
• Ley de Gravitación Universal:
• Atractiva


mm 
F = −G 1 2 2 ur = −gm2ur
r
Esta fuerza se llama peso de m2.
(G = 6,670x10-11 Nm2kg-2 )
Varía con la distancia a m1→ no es una
propiedad intrínseca del cuerpo.
En el caso de objetos próximos a la superficie
de la Tierra:


F = mg
g=G
MT
RT 2
= 9.81 m/s 2
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2.2.- Caso particular: fuerzas de rozamiento
En realidad todas las fuerzas tienen su origen en estas cuatro fuerzas que acabamos de
mencionar, pero hay alguna fuerza que por su importancia particular se estudia por
separado: son las denominadas fuerzas de rozamiento
Fuerzas de rozamiento
Aparece entre medios materiales en contacto (incluso aunque el medio sea tenue,
como un gas)
Experimentalmente se observa que al deslizar
un cuerpo sobre otro hay una resistencia que
se opone al movimiento
Se trata de una fuerza pasiva: impide o retarda el movimiento
Rozamiento estático
Rozamiento cinético (o dinámico)
(hay movimiento relativo)
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El rozamiento es un fenómeno muy complicado: el rozamiento que estudiaremos
es el valor promedio (a nivel macroscópico) de muchas interacciones (a nivel
microscópico).
Macroscópicamente y a efectos prácticos, se ha observado que el rozamiento
depende de la fuerza de reacción normal (N) de una superficie contra un bloque
o masa, distinguiéndose entre rozamiento estático y cinético.
Sin movimiento
Fr=Mg<µeN
Fr aumenta
Movimiento inminente
Fr=(M+∆M)g
(Fr)máxima=µeN
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/rozamiento/general/rozamiento.htm
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Una vez que el cuerpo se mueve, el
rozamiento adquiere un valor constante
(rozamiento cinético):
Fr=µcN
En esta situación en movimiento, consideremos que tenemos una fuerza que
empuja a la partícula y la fuerza de rozamiento cinético (Fc):
Aplicando la segunda ley de Newton tendremos:
F-Fc=ma
Si el cuerpo se mueve con v=cte (a=0):
F-Fc=0 ⇒ F=fc=µcN
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El rozamiento estático
1-...es aproximadamente independiente del área de contacto (amplio límite)
2-...es proporcional a la fuerza de presión normal entre las superficies
Fe≤µeN
El rozamiento cinético cumple, además
3-...es independiente de la velocidad relativa de las superficies (moderada)
4-....de ordinario menor que el rozamiento estático
Fc=µcN
Estas leyes son en realidad sólo orientativas:
• El rozamiento aumenta con el tiempo (agarrotamiento)
• Depende de presiones previas y en general de la historia del sistema
• µc disminuye con las vibraciones
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Resumiendo:
 Rozamiento estático (Fe): Fe≤µeN
(µe≡coeficiente de rozamiento estático)
 Rozamiento cinético (Fc):
Fc=µcN
(µc≡coeficiente de rozamiento cinético)
Utilidades del rozamiento:
Los coeficientes de rozamiento
estático y cinético:
• son adimensionales
• <1 normalmente
• me > mc normalmente
• dependen de muchos
factores (materiales, estado
superficie, temperatura..)
Inconvenientes del rozamiento:
• Caminar
• Desgaste
• Escribir
• Consumo de energía
• Vestirse
• Ruedas, poleas
• Embragues, frenos
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Análisis microscópico del rozamiento
El rozamiento se debe entender como existencia de fuerzas de corto alcance entre los átomos de las
superficies de los cuerpos
Superficie del acero pulido AISI 30
Perfil
• Superficies: todas irregulares
• Áreas de contacto muy pequeñas por lo que las fuerzas de
contacto son enormes
• Las irregularidades están aplastadas (soldadas en frío)
• La adherencia superficial se debe a las fuerzas moleculares
Área aparente
macroscópica
1
10000
Área real
microscópica
Así, las fuerzas de rozamiento se entienden como la ruptura de las soldaduras frías. Este proceso
supone un desprendimiento de calor (lo que supone una pérdida de energía irreversible). El rozamiento
disminuye con los lubricantes (aceites, gas).
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Algunos coeficientes de rozamiento
Superficies en contacto
µe
µc
Cobre sobre acero
0.53
0.36
Acero sobre acero
0.74
0.57
Aluminio sobre acero
0.61
0.47
Caucho sobre concreto
1.0
0.8
Madera sobre madera
0.25-0.5
0.2
Madera encerada sobre nieve húmeda
0.14
0.1
Teflón sobre teflón
0.04
0.04
Articulaciones sinoviales en humanos
0.01
0.003
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Cuestión 2.3
Un bloque de 20 N descansa sobre una superficie
horizontal. Los coeficientes de rozamiento estático y
cinético entre la superficie y el bloque son
respectivamente µe=0.8 y µc=0.6. Una cuerda horizontal
está atada al bloque con una tensión constante T. ¿Cuál es
la fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque si
a) T=15 N
ó
b) T=20 N?
TEMA 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA. Fuerzas en la Naturaleza. Caso particular: fuerzas de rozamiento
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Cuestión 2.4
Los gráficos que aparecen en la figura representan las
experiencias que llevaron a cabo cuatro estudiantes
consistentes en colocar sobre una superficie rugosa
horizontal varios cuerpos de masa diferente pero del
mismo material aplicando a cada uno de ellos la fuerza
necesaria para producir la misma aceleración. ¿Cuál de los
gráficos representa correctamente la experiencia?
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Cuestión 2.5
En la figura el bloque 1 tiene una masa m1=4 kg. Los
coeficientes de rozamiento estático y cinético entre dicho
bloque y el plano inclinado son µe=0.4 y µc=0.1. a)
Determinar el intervalo de valores posibles para m2 de
modo que el sistema se encuentre en equilibrio estático; b)
¿Cuál es la fuerza de rozamiento sobre el bloque de 4 kg si
m2=1 kg?
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● Resistencia en fluidos (viscosidad)
Para un sólido inmerso en un fluido, se observa experimentalmente que existe
una fuerza que se opone al movimiento, siendo proporcional a la velocidad:
Para pequeñas velocidades:
Para grandes velocidades:
→
→
F fricción ∝ v
→
F fricción ∝ v
2
→
ev
Para el caso concreto de pequeñas velocidades, en el seno de un fluido laminar
(sin turbulencias):
→
→
F fricción = −Kη v
(Ley de Stokes)
• K ≡ coeficiente de fricción ó coeficiente aerodinámico. Depende de la
geometría del cuerpo (para una esfera vale 6πR) (unidades de longitud).
• η ≡coeficiente de viscosidad. Depende de la fricción interna del fluido.
(Disminuye si T aumenta/ disminuye en los líquidos/gases). (Se mide en
Pascal.segundo)
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b7/Viscosity.gif
TEMA 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA. Fuerzas en la Naturaleza. Caso particular: fuerzas de rozamiento
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FÍSICA I. CURSO 2013-2014
Así, para un cuerpo que se desplaza en un fluido viscoso bajo la acción de un
fuerza F, tendremos:
→
→
→
F + F fricción = m a
→
→
→
F − Kη v = m a
Notemos que si hay aceleración, aumenta la velocidad, con lo que aumentan las
fuerzas de fricción y el término de la derecha llegará a hacerse nulo. En ese
caso la aceleración es nula y la velocidad constante (la fuerza de fricción se
equilibra con la fuerza aplicada)  a esa velocidad se la llama velocidad límite
o terminal:
F
vL =
Kη
Para un cuerpo en caída libre bajo la acción de la gravedad: vL =
mg
Kη
Para ser más precisos, debemos incluir el empuje (peso del volumen
del líquido desalojado, mf=masa de fluido desalojado):
mg − E − Kηη = ma ⇒ mg − mf g − Kηη = ma ⇒ vL =
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/viscosidad/viscosidad.html
(mf − m)g
Kη
TEMA 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA. Fuerzas en la Naturaleza. Caso particular: fuerzas de rozamiento
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Ejemplo: paracaidista
Caída libre: variando la posición de
brazos y piernas se cambia el valor de
K y se ajusta la velocidad terminal en
cada momento
Viscosidades
de algunos
fluidos
(valores
aproximados)
Al abrir el paracaídas aumenta
bruscamente el valor de K,
disminuyendo considerablemente la
velocidad terminal
Vidrio fundido (500ºC)
1012 Pa.s
Jarabes
102
Miel líquida
101 Pa.s
Aceite de oliva
10-2 Pa.s
Agua
10-3 Pa.s
Aire
10-5 Pa.s
Pa.s
Velocidades límites de varios objetos
Objeto
Paracaidista con paracaídas
cerrado
Pelota de tenis
Balón de baloncesto
Granizo
Pelota de ping-pong
Gota de lluvia
Paracaidista con paracaídas
abierto
TEMA 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA. Fuerzas en la Naturaleza. Caso particular: fuerzas de rozamiento
v (m/s)
60
42
20
14
9
7
5
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3.- Momento lineal, impulso y momento
angular
3.1.- Momento lineal
3.2.- Impulso
3.3.- Momento angular
TEMA 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA. Momento lineal, impulso y momento angular
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3.1.- Momento lineal
(Ya vista al introducir la segunda ley de Newton)
Se define la cantidad de movimiento o momento lineal p como:
→
→
p =mv
m
La cantidad de movimiento tiene entonces en cuenta
el efecto conjunto de la masa y de la velocidad de
una partícula.
v
(Se trata de una cantidad vectorial, que tiene la misma dirección que v)
Unidades en el SI: kg.m.s-1
TEMA 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA. Momento lineal, impulso y momento angular
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3.2.- Impulso
Hemos visto que:
→
→
F =
dp
dt
Para dar cuenta de la “eficacia” de una fuerza se
define el impulso, que es una cantidad integral
dada por:

I = ∫ttf F dt
i
Notemos que:
I=

t
∫tif F dt
pf 
= ∫ dp
pi



=pf − pi = Δp ⇒ I = ∆p
Teorema de la cantidad de movimiento: El impulso de la fuerza resultante
que actúa sobre una partícula, es igual a la variación de la cantidad de
movimiento de la partícula
TEMA 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA. Momento lineal, impulso y momento angular
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3.3.- Momento angular
Cuando el movimiento es curvilíneo, conviene introducir nuevos conceptos.
Así, se define el momento angular o momento cinético L como el momento
de la cantidad de movimiento con respecto a un punto O:



LO = r × mv
LO = rmvsenφ
Notemos que L es un vector perpendicular al plano determinado por r y v
 Si una partícula se mueve en un plano y O está en dicho plano, la
dirección del momento angular permanece constante
http://www.mhhe.com/physsci/physical/giambattista/cam/cam.html
En esa situación (mov. en un plano) podemos usar coordenadas polares planas:
→
v =
→ →
vr + vθ
→
→
→
L0 = r
⇒
→
L0 = r x
→
m vθ
→
→
→ →
→ →
→
 →
x m v = r x  m vr + m vθ  = r x m vr + r x m vθ


•
•
⇒ L0 = mrvθ = mrr θ = mr2 θ = mr2 dθ = mr2 ω
dt
TEMA 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA. Momento lineal, impulso y momento angular
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→
→
→
Notemos que tomando derivadas en la expresión de Lo: L0 = r x m v
→
→
d L0 d r
=
dt
dt
→
xmv
+
→
dp
rx
dt
→
→
→
→
= r x F = M0
→
d L0 → → →
= r x F = M0
dt
(Momento de las fuerzas)
(Esta ecuación es correcta sólo si L y M se evalúan respecto al mismo punto O)
La suma de los momentos con respecto a O de las fuerzas que actúan
sobre la partícula es igual a la razón del cambio del momento de la
cantidad de movimiento de la partícula alrededor de O
Fijémonos que si F es siempre paralela (está dirigida) a la dirección de r:
 Mo ≡ 0  L0 ≡ cte  movimiento en un plano
TEMA 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA. Momento lineal, impulso y momento angular
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4.- Fuerzas centrales
4.1.- Definición de fuerzas centrales
4.2.- Trayectoria de una partícula bajo la
acción de una fuerza central
TEMA 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA. Fuerzas centrales
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4.1.- Definición de fuerzas centrales
Se definen las Fuerzas Centrales como aquellas
fuerzas donde F está siempre dirigida hacia un mismo
punto O (O se conoce con el nombre de Centro de
Fuerzas)
En esta situación, según hemos visto al definir el
momento angular:
M ≡ 0  L0 ≡ cte  movimiento en un plano
El momento angular de una partícula que se mueva
bajo una Fuerza Central es constante. Por tanto, el
movimiento será siempre plano
Por consiguiente
LO = rmvsenφ = cte = r0 mv0 senφ 0
TEMA 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA. Fuerzas centrales
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Cuestión 2.6
La masa m1 se mueve con velocidad v en una trayectoria
circular de radio r sobre una mesa horizontal sin
rozamiento. Está sujeta a una cuerda que pasa a través de
un orificio (sin rozamiento) situado en el centro de la
mesa. Una segunda masa m2 está sujeta en el otro extremo
de la cuerda. Deducir una expresión para r en función de
m1 y m2.
TEMA 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA. Fuerzas centrales
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Cuestión 2.7
En la cuestión anterior se elimina la masa m2 y se comienza
a tirar de la cuerda lentamente hacia abajo de modo que la
partícula m1 se mueve en una circunferencia de menor
radio rf. Determinar la velocidad final de la partícula en
función de la inicial v, el radio inicial r y el radio final rf.
TEMA 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA. Fuerzas centrales
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4.2.-Trayectoria de una partícula bajo la acción de una
fuerza central
La situación de fuerzas centrales es una situación bastante común en la
Naturaleza (fuerza gravitatoria, fuerza electromagnética, etc.). Por ello,
vamos a estudiar con detalle el movimiento resultante en esta situación. Para
ello vamos a valernos de:
• Las leyes de Newton
• El principio de conservación del momento angular para fuerzas
centrales
Así, consideremos una partícula bajo la acción de una fuerza central:
F dirigida siempre hacia O
Dado que el movimiento tiene lugar en un plano, usemos coordenadas
polares planas.
TEMA 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA. Fuerzas centrales
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Aplicamos la 2ª ley de Newton:
→
→
∑F = ma
(
)
2
 ∑ Fr = mar
∑ Fr = m r − rθ
⇒

∑ Fθ = m rθ + 2rθ
∑ Fθ = maθ
(
(
)
)
2
∑ Fr = m r − rθ = −F
∑ Fθ = m rθ + 2rθ = 0
(
)
La segunda ecuación es equivalente a la ecuación de conservación del momento
angular:
L0 = mr2 θ = mr2 ω = cte
En efecto, si derivamos esta expresión:
(
)
2mrrθ + mr2θ = 0 ⇒ rm 2rθ + rθ = 0
TEMA 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA. Fuerzas centrales
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La primera ecuación nos da la ecuación (diferencial) del movimiento:
(
)
m r − rθ 2 = −F
Si hacemos un cambio de variable y operamos (veáse Beer-Johnston-Claussen,
pag. 731, Vol. “Dinámica”):
1
u=
r
d2u
dθ2
+u =
Fm
L2Ou2
Si resolvemos esta ecuación tendremos:
u = u(θ)  r = r(θ)
 ecuación de la trayectoria seguida por la partícula
TEMA 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA. Fuerzas centrales
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Ejemplo: Fuerza Gravitatoria
Vamos a aplicar la ecuación anterior al caso de las Fuerzas Gravitatorias
En este caso:
Siendo:
F=G
Mm
• M: la masa de la tierra
2
=
GMmu
r2
• m: la masa del satélite
Sustituyendo en la ecuación diferencial:
d2u
dθ
2
+u =
GMm2
L2O
• u = 1/r
= cte
La solución de esta ecuación diferencial es:
1 GMm2
u= =
+ C cos θ
2
r
LO
(donde C es una cte de integración
que depende de las condiciones
iniciales)
TEMA 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA. Fuerzas centrales
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Se suele escribir esta ecuación en función de un parámetro ε denominado
excentricidad:
CL2O
ε=
GMm2
1 GMm2
(1 + ε cos θ)
u= =
2
r
LO
De esta forma:
L2O
2
1
α
GMm
r= =
=
u (1 + ε cos ε ) (1 + ε cos θ)
Así, tenemos:
con α =
L2O
GMm2
r = r(θ) ≡ ecuación de la trayectoria
Esta ecuación describe
una cónica. En función de
ε (de C) se tiene:
• Elipse (circunferencia)
• Parábola
• Hipérbola
TEMA 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA. Fuerzas centrales
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Existen pues 3 trayectorias posibles que dependerán del valor de ε:
α
(1 + ε cos θ)
r → ∞ si (1 + ε cos θ) = 0
r=
1.
ε>1: hay dos valores de θ que hacen
que r → ∞ → hipérbola (trayectoria
abierta).
2.
ε=1: para θ=π → r → ∞ → parábola
(trayectoria abierta)
3.
ε<1: r siempre es finito → elipse
(trayectoria cerrada).
ε=0: r es constante y la trayectoria
es un círculo
TEMA 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA. Fuerzas centrales
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Cuestión 2.8
La altitud de un satélite en una órbita elíptica alrededor
de la Tierra es de 1600 km en el apogeo y 600 km en el
perigeo. Determinar la excentricidad de la órbita y las
celeridades orbitales en el apogeo y perigeo.
TEMA 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA. Fuerzas centrales
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