M - CiberEsquina - Universidad Nacional Abierta

PRUEBA INTEGRAL
764- 1 / 11
LAPSO 2 013 - 1
Universidad Nacional Abierta
Probabilidad y la Estadística I (Cód. 764)
Vicerrectorado Académico
Cód. Carrera: 126
Área de Matemática
Fecha: 08-06-2013
MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos del 1 al 9.
OBJ 1 PTA 1 Después de observar el número de pasajeros que en los últimos 50
días han decidido viajar con P&P Airlines, se obtuvieron los siguientes datos:
68
72
50
70
65
83
77
78
80
93
71 77
74 57
60 70
84 59
72 85
84 74
73 78
81 79
84 91
92 102
83
67
66
75
79
82
93
90
101
80
79
69
76
94
71
97
95
83
86
69
a) Calcule las medidas de tendencia central de estos datos: media, mediana y
moda.
b) Represente la gráfica de la distribución empírica.
Nota: El objetivo se considera logrado si responde correctamente las dos partes.
Solución:
50
El cálculo de la media es: x =
∑xi
i =1
= 78,36
50
Al ordenar los datos de menor a mayor se obtiene:
50
71
78
84
101
57
71
79
84
102
59
72
79
85
60
72
79
86
65
73
80
90
66
74
80
91
67
74
81
92
68
75
82
93
69
76
83
93
69
77
83
94
70
77
83
95
70
78
84
97
Luego, la media se encuentra entre los datos 25 y 26, los cuales son 78 y 79, por
ello podemos tomar como mediana a:
Med = (78+79)/2
Esta muestra tiene tres modas, 79, 83 y 84, ya que son los datos con mayor
frecuencia.
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Validador: Richard Rico
Evaluadora: Florymar Robles
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Para datos agrupados:
Al ordenar los datos de menor a mayor se obtiene:
50
71
78
84
101
57
71
79
84
102
59
72
79
85
60
72
79
86
65
73
80
90
66
74
80
91
67
74
81
92
68
75
82
93
69
76
83
93
69
77
83
94
70
77
83
95
70
78
84
97
Luego, calculemos el ancho de las clases, para esto realicemos la diferencia
102 – 50 = 52. Dividimos este valor entre el número de clases a seleccionar, en
este caso, n = 50 ≈ 7, 071 7. Así, el ancho aproximado de cada clase es: 7,353.
Tomaremos como ancho 8, para asegurar de esta forma que no hallan datos que
no caigan en ninguna clase.
Nota: 8 es igual a la parte entera de 7,353 + 1.
Límite de
Frecuencias
Frecuencia (fi)
Relativas (hi)
clase
50 - 57
57 - 64
64 - 71
71 - 78
78 - 85
85 - 92
92 - 99
99 - 106
1
3
8
11
15
4
6
2
0,02
0,06
0,16
0,22
0,3
0,08
0,12
0,04
%hi
Distribución
Empírica
2
6
16
22
30
8
12
4
0,02
0,08
0,24
0,46
0,76
0,84
0,96
1
b) La gráfica de la distribución empírica es:
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OBJ 2 PTA 2 Los Yankees de Nueva York y los White Sox de Chicago van a jugar
tres partidos este fin de semana, suponiendo que se trata de tres partidos de
eliminatoria (sin que se acepte el empate) y que se está interesado solamente en
saber qué equipo gana cada partido, liste todos los resultados del espacio
muestral Ω. Liste también, todos los resultados de A, suceso consistente en que
los Yankees ganen más partidos que los White Sox.
Solución:
Como se trata de tres partidos, pensemos que los resultados son ternas, donde en
cada lugar solamente pueden ir uno de dos resultados posibles (¿por qué?). Por lo
tanto, el espacio muetral Ω consta de los siguientes ocho resultados:
Ω = { (YN , YN , YN); (YN , YN , WS); (YN , WS , YN); (YN , WS , WS);
(WS , YN , YN); (WS , YN , WS); (WS , WS , YN); (WS , WS , WS) },
donde YN = Yankees de Nueva Cork y WS = White Sox.
Para dar respuesta a la segunda pregunta, notemos que este suceso A es un
subconjunto de Ω, siendo:
A = { (YN , YN , YN); (YN , YN , WS); (YN , WS , YN); (WS , YN , YN) }.
Comentarios:
•
Este problema es equivalente al de lanzar una moneda buena tres veces y
contar el número de resultados posibles.
•
Otro planteamiento es resolverlo elaborando un diagrama de árbol.
OBJ 3 PTA 3 Un experimento consiste en escoger una sucesión de 6 dígitos.
Describa el espacio muestral de este experimento. ¿Cuántos resultados posibles
hay? Sea A el evento de que la sucesión empieza con dos dígitos consecutivos en
el orden natural, es decir, primero el menor y luego el mayor. ¿Cuántos resultados
pertenecen al evento A?
Solución:
Note antes de empezar a responder que en este problema si importa el orden en
el que son escogidos los dígitos y que se permiten las repeticiones, pues no se
hace mención específica a que los dígitos sean diferentes.
Recordemos que el espacio muestral Ω de un experimento es el conjunto de todos
los posibles resultados del mismo. Aquí es el conjunto de todas sucesiones (x1, x2,
x3, x4, x5, x6), con cada x i ∈ {0, 1, 2· · · , 9}.
Debido a que las repeticiones son permitidas como ya se mencionó anteriormente,
hay 10 posibilidades para x1, 10 posibilidades para x2,· · · , y 10 posibilidades para
x10. En virtud del principio de multiplicación, el número total de resultados es
10x10x10x10x10x10 = 106.
Sea B1 el conjunto de todas las sucesiones que comienzan con (0, 1), B2 el de las
que comienzan con (1, 2), ···, y finalmente sea B9 el conjunto de las sucesiones
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que comienzan con (8, 9). El número de resultados en cada B i es 104, los B i son
9
disjuntos a pares, y A =
U B i . Por lo tanto, A tiene
i =1
(1×104) + (1×104) + (1×104) + (1×104) + (1×104) + (1×104) + (1×104) + (1×104) +
(1×104) = 9 × 104 resultados.
OBJ 4 PTA 4 Se mezclan cinco monedas falsas con nueve auténticas.
Si se seleccionan 2 monedas, calcule la probabilidad de que una sea buena y una
falsa.
Solución:
La probabilidad de que una de las monedas sea buena y la otra falsa es:
⎛5⎞⎛9⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ = 5.9 = 45 .
7.13 91
⎛ 14 ⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
La explicación de la expresión anterior es muy sencilla. El denominador representa
el número total de formas en que se pueden escoger 2 monedas de un total de 14.
Mientras que el numerador representa el número total de formas en que pueden
ser escogidas una moneda buena de un total de nueve y una moneda falsa de un
total de cinco.
OBJ 5 PTA 5 Suponga que cada una de las enfermedades e1,e2,e3 pueden
producir uno o más de los siguientes síntomas observables:
S1: pérdida de apetito
S2: dolor de pecho
S3: disnea
S4: dilatación de las pupilas
Asuma que un estudio nacional de las estadísticas de los hospitales proporciona la
siguiente tabla en una población de 10000 personas que tienen exactamente una
de las enfermedades.
Enfermedad
e1
e2
e3
Número de personas con
Número de
la enfermedad ei, quienes
personas con
también tienen uno o
la enfermedad
más de los síntomas
ei
s1,s2,s3 y s4
3750
3000
2250
2050
4000
3500
Considere los eventos:
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S: “persona que tiene exactamente una enfermedad”
Ei: “persona que tiene la enfermedad ei”
A: “persona que muestra uno o más síntomas s1,s2,s3 y s4”
Calcule: P(A|E1), P(A|E2), P(A|E3), P(E1|A).
Nota: El objetivo se considerará logrado, si el estudiante calcula todas las
probabilidades condicionales.
Solución:
Se tiene que:
P(A | Ei) =
P( A ∩ Ei )
; i = 1,2,3
P(Ei )
(1)
| E1 | 3750
=
= 0,375
| S | 10000
| E 2 | 2250
=
= 0,225
P(E2)=
| S | 10000
| E 3 | 4000
=
= 0,400
P(E3)=
| S | 10000
3000
= 0,300
P(A I E1)=
10000
2050
= 0,205
P(A I E2)=
10000
3500
= 0,350
P(A I E3)=
10000
P(E1)=
Al sustituir en (1) queda:
P ( A ∩ E 1 ) 0 , 300
=
= 0 ,8
P (E 1 )
0 , 375
)
P ( A ∩ E 2 ) 0 , 205
=
=
0
,
9
1
P(A | E2) =
P (E 2 )
0 , 225
P ( A ∩ E 3 ) 0 , 350
=
= 0 ,875
P(A | E3) =
P (E 3 )
0 , 400
P(A | Ei) =
Al aplicar la fórmula de Bayes se tiene:
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P(E1 | A) =
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P( E1 ) P( A | E1 )
P( E1 ) P( A | E1 ) + P( E2 ) P( A | E2 ) + P( E3 ) P( A | E3 )
0,3
0,3
(0,375)(0,8)
)
=
=
= 0,348
0,3 + 0,21 + 0,35 0,86
(0,375)(0,8) + (0,225)(0,9 1) + (0,875).(0,4)
Es decir, P(E1 | A) = 0,348.
=
OBJ 6 PTA 6 Cierta aleación se forma al combinar la mezcla fundida de dos
metales. La aleación que resulta contiene cierto porcentaje de plomo X , que
puede considerarse como una variable aleatoria. Supongamos que X tiene la
siguiente función de densidad de probabilidad:
⎛ 3⎞
f ( x ) = ⎜ ⎟10 −5 x.(100 − x ), 0 ≤ x ≤ 100
⎝5⎠
Supongamos que U , la utilidad neta obtenida al vencer esta aleación (por libra),
es la siguiente función (de la variable aleatoria X ) del porcentaje del contenido
de plomo: U = c1 + c 2 X . Calcule la utilidad esperada (por libra).
Solución:
En este caso es necesario calcular el valor esperado de una función de la variable
aleatoria X . Esta función es: U = c1 + c 2 X , Por lo tanto:
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+∞
E (U ) = ∫ U . f ( x )dx
−∞
100
=
∫ (c
1
0
=
=
=
3
+ c 2 x ) 10 −5 x(100 − x )dx
5
3
5.10 5
100
3
5.10 5
100
3
5.10 5
∫ (c
1
(
)
+ c 2 x ) 100 x − x 2 dx
0
∫ (100c x − c x
1
1
2
)
+ 100c 2 x 2 − c 2 x 3 dx
0
⎡
x
x
x
2
c
x
c
c
c
−
+
−
50
100
.
⎢ 1
⎥
1
2
2
3
3
4
⎣
⎦
3
4⎤
3
x =100
x =0
⎡
⎤
10.10
1000.10
1000.10
5
c1 +
c2 −
c2 ⎥
⎢5.10 c1 −
3
3
4
⎣
⎦
3⎡
10
1000
1000 ⎤
= ⎢5.c1 − c1 +
c2 −
c2 ⎥
5⎣
3
3
4
⎦
600
= 3.c1 − 2.c1 + 200.c 2 −
c2
4
800.c 2 − 600.c 2
= c1 +
= c1 + 50.c 2
4
Así, c1 + 50.c 2 es la utilidad esperada por libra.
=
3
5.10 5
5
5
5
OBJ 7 PTA 7 Una urna contiene 3 bolas blancas y 2 bolas verdes. Se efectúa una
extracción de dos bolas, sin reposición. Sean X e Y las variables aleatorias
definidas por:
⎧0, 1ª bola verde
⎧0, 2ª bola verde
X= ⎨
;
Y= ⎨
⎩1, 1ª bola blanca
⎩1, 2ª bola blanca
a) Determine la distribución de probabilidad conjunta de (X, Y).
b) Encuentre las distribuciones marginales de X e Y.
c) Determine pY/X (y).
Nota: Para lograr el objetivo debe responder correctamente las tres partes de la
pregunta.
Solución:
a) Al tener en mente el hecho de que la extracción es sin reposición, tenemos que
la distribución de probabilidad conjunta de X e Y, es como sigue:
X
Y
0
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0
2 1 2
. =
5 4 20
3 2 6
. =
5 4 20
1
2 3 6
. =
5 4 20
3 2 6
. =
5 4 20
b) En virtud de la definición dada en la página 93 de la Guía Instruccional de la
asignatura Probabilidad y Estadística I (cód 764), tenemos que:
• La distribución marginal de X es:
1
2
6
8
2
PX(0) = ∑ P ( X = 0, Y = y ) = P(0, 0) + P(0, 1) =
+
=
=
20
20
20
5
y=0
6
6
12
3
+
=
=
20
20
20
5
PX(1) = P(1, 0) + P(1, 1) =
• La distribución marginal de Y es
1
∑ P ( X = x, Y = 0 )
x=0
= P(0, 0) + P(1, 0) =
PY(1) = P(0, 1) + P(1, 1) =
6
6
12
3
+
=
=
20
20
20
5
PY(0) =
2
6
8
2
+
=
=
20
20
20
5
c) Dada la definición de la página 94 de la Guía Instruccional de la asignatura
Probabilidad y Estadística I (cód 764), tenemos:
P(X = x,Y = y)
, para x = 0, 1.
P(X = x)
pY/X (y) =
Por lo tanto,
pY/0 (y) =
P(Y = y, X = 0)
P(Y = y, X = 1)
para y = 0, 1 y pY/1 (y) =
para y = 0, 1
P(X = 0)
P(X =1)
Al sustituir los valores dados para y, resulta:
pY/0 (y) =
P(X = 0,Y = 0)
2 / 20
1
=
=
2/5
2/5
4
=
P(X = 0,Y =1)
6 / 20
3
=
=
2/5
2/5
4
pY/1 (y) =
P(X = 1,Y = 0)
6 / 20
1
=
=
3/5
3/5
2
=
P(X = 1,Y =1)
6 / 20
1
=
=
3/5
3/5
2
OBJ 8 PTA 8 El siguiente resultado es importante porque nos permite calcular la
función de densidad (y por tanto la función de distribución) de una suma de
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variables aleatorias independientes, a partir del conocimiento de las funciones de
densidad individuales asociadas a cada variable.
Sean X e Y variables aleatorias independientes. Si X e Y tienen función de
densidad conjunta f, entonces Z = X + Y tiene función de densidad dada por:
∞
fZ(z) =
∫∞
∞
fx ( x ) fY ( z - x ) dx =
-
∫∞ fx ( z - y ) f ( y ) dy .
Y
-
Dadas X e Y variables aleatorias independientes con distribución uniforme [0, 2] y
[0, 4] respectivamente, Determine la función de densidad de la variable aleatoria
Z = X + Y.
Solución:
Puesto que X e Y son variables aleatorias con distribución uniforme, tenemos que:
⎧1
⎧1
⎪ , 0≤x≤2
⎪ , 0≤y≤4
fX ( x ) = ⎨ 2
fY ( y ) = ⎨ 4
,
,
⎪⎩0 , en otro caso
⎪⎩0 , en otro caso
son las respectivas funciones de densidad de dichas variables.
Recordemos que la densidad de la variable suma Z = X + Y, viene dada por la
convolución de fX ( x ) y fY ( y ) , esto es:
fZ ( z ) =
∞
∫− ∞ f ( z - y ) f ( y ) dy ,
X
Y
⎧0 ≤ z - y ≤ 2
⎧z - 2 ≤ y ≤ z
para ⎨
, de donde obtenemos que ⎨
.
⎩ 0≤y≤4
⎩ 0≤y≤4
Por lo tanto,
fZ ( z ) =
∞
∫ f ( z - y ) f ( y ) dy
X
Y
−∞
z
z
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞
= ∫ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dy =
8
0 ⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠
z
=
4
=
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞
∫ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dy
z - 2⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞
∫ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dy
z - 2⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠
,
=
1
4
=
6-z
8
0≤z≤2
,
2<z≤4
,
4<z≤6
Los límites de las integrales son determinados de las condiciones 0 ≤ z - y ≤ 2, y
0 ≤ y ≤ 4.
En resumen,
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⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
= ⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
fZ ( z )
z
8
0≤z≤2
1
4
2<z≤4
6-z
8
0
4≤z≤6
en otro caso
La gráfica de f es la siguiente:
OBJ 9 PTA 9 Sea (X, Y) una variable aleatoria bidimensional, con función de
distribución de probabilidad conjunta dada por:
1
( 0,1) , (1, 0 ) , ( 2,1) .
⎪⎧
pXY(xi , yj) = ⎨ 3
⎪⎩ 0 otro caso
Calcule la covarianza de X e Y.
Solución:
Por definición de covarianza tenemos:
Cov(X, Y) = E[(X – EX)(Y – EY)] = E[(X – μX)(Y – μY)] = E(XY) – EXEY .
Por lo tanto, debemos calcular E(XY), EX y EY.
2
EX = ∑ iP(X = i) = 0P(X = 0) + 1P(X = 1) + 2P(X = 2) = 0. 31 + 1. 31 + 2. 31 = 1
i=0
1
EY = ∑ jP(Y = j) = 0P(Y = 0) + 1P(Y = 1) = 0. 31 + 1. 32 = 32
j=0
E(XY) =
2
1
∑ ∑ i.jp
i=0 j=0
XY
(i, j) = 0.1. 31 + 1.0. 31 + 2.1. 31 = 32 .
Al sustituir los valores calculados para EX, EY y E(XY) en la definición de
covarianza, obtenemos:
Cov(X, Y) = 32 - 32 = 0
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Puesto que la covarianza de X e Y es cero, concluimos que dichas variables son
no correlacionadas.
Nota:
Recuerde que: P(X = i) y P(Y = j) con i = 0, 1, 2 y j = 0, 1, son las funciones de
probabilidad marginal para las variables aleatorias X e Y respectivamente.
FIN DEL MODELO DE RESPUESTA.
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