Estadística

Estadística
Tema 9: Distribución Binomial
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Tema 9: Distribución Binomial
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Experimento de Bernoulli
Si se conduce un experimento y ese experimento conduce a dos (2) resultados
posibles, éxito o fracaso, se define:
X
E
1
F
0
X
0
1
P(X=x)
p
1-p
1
A la variable aleatoria X se le llama dicotómica; ya que solo tiene dos resultados
posibles. Las probabilidades de cada resultado están en función del parámetro p.
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1
Experimento de Bernoulli
Se denota por p a la probabilidad del éxito y por (1 – p) la probabilidad del fracaso; a
esta última se le abrevia con la letra q.
P(E ) = p = P(X = 1)
P(F) = (1 − p ) = P(X = 0 ) = q
Calculemos la esperanza y la varianza de esta variable aleatoria:
E(X ) = (0 )(1 − p ) + (1)(p ) = p
V(X ) = (0) (1 − p ) + (1) (p ) − (p ) = p − p 2 = p(1 − p ) = p q
2
.
2
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2
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Distribución de Bernoulli
Veamos la función de densidad y probabilidad de la distribución de Bernoulli:
p x (1 − p )(1− x ) = p x q (1− x )
P ( X = x ) = f (x ) = 
 0
x = 0,1
en otro caso
Veamos un ejemplo:
Se lanza una moneda cargada de forma tal que sale cara en el 75% de las veces.
En primer lugar definimos la va X como el número de caras que aparecen. Esto
significa que X puede tomar los valores 0 y 1.
Luego definimos como éxito (p) al resultado: “salió una cara”
La probabilidad del éxito es p = 0,75
P(X = 0 ) = (0,75) (1 − 0,75)
(1− 0 )
= 0,25
P(X = 1) = (0,75) (1 − 0,75)
(1−1)
= 0,75
0
1
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2
Distribución Binomial
Supongamos que repetimos n experimentos de Bernoulli y que la probabilidad de
éxito se mantiene constante cada vez que se repite el experimento.
iid
X1 , X 2 , ... , X n
x
P(X = x ) = p q
(1− x )
iid: independiente e idénticamente distribuidas
Definimos la va X como el número de éxitos obtenidos.
E(X ) = E(X1 + X 2 + ... + X n ) = E(X1 ) + E(X 2 ) + ... + E(X n ) = n p
V(X ) = V(X1 + X 2 + ... + X n ) = V(X1 ) + V(X 2 ) + ... + V(X n ) = n p q
Bajo esas condiciones se dice que la variable aleatoria X tiene Distribución Binomial
con parámetros n y p.
Bi ( n , p )
X
.
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Distribución Binomial
Un experimento aleatorio que consiste de n ensayos repetidos tales que:
1. Los ensayos son independientes,
2. Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles, denominados “éxito” y “fracaso”, y
3. La probabilidad de éxito en cada ensayo, denotada por p, permanece constante
Recibe el nombre de experimento binomial.
La variable aleatoria X que es igual al número de ensayos donde el resultado es un
éxito, tiene una distribución binomial con parámetros p y n = 1, 2, 3, ...
Ejemplo: Un proceso de manufactura produce un determinado producto en el que
algunas unidades se encuentran defectuosas. Si la producción de unidades
defectuosas producidas por este proceso es constante durante un período razonable, y
si como procedimiento de rutina, se seleccionan aleatoriamente un determinado
número de unidades, entonces las proposiciones de probabilidad con respecto al
número de artículos defectuosos puede hacerse mediante el empleo de la distribución
binomial. Otro caso es el de las ventas, si se supone que la probabilidad de venta es
constante para todas las personas, la distribución binomial será el modelo de
probabilidad adecuado puesto que las personas tienen un criterio independiente para
comprar.
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Fdp de la Distribución Binomial
Para obtener la función de densidad y probabilidad de la distribución normal, primero
se determina la probabilidad de tener, en n ensayos, x éxitos consecutivos seguidos
de ( x – n ) fracasos consecutivos. Dado que, por hipótesis, los n ensayos son
independientes su probabilidad de ocurrencia conjunta es el producto de sus
probabilidades de ocurrencia individuales; es decir, se tiene:
p × p × ... × p × (1 − p )× (1 − p )× ... × (1 − p ) = p (1 − p )
14243 1444424444
3
x
(1− x )
( n − x ) tér min os
x tér min os
La probabilidad de obtener exactamente x éxitos y (n – x) fracasos en cualquier otro
orden es la misma puesto que los factores p y (1 – p) se reordenan de acuerdo con
el orden particular. Por lo tanto, la probabilidad de tener x éxitos y (n – x) fracasos
por el número de ordenes
en cualquier orden, es el producto de
px (1 – p)n - x
distintos. Este último es el número de combinaciones de n objetos tomando x a la
vez. De acuerdo a lo anterior se tiene la siguiente definición:
.
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Fdp de la Distribución Binomial
Sea X una variable aleatoria que representa el número de éxitos en n ensayos y p
la probabilidad de éxito con cualquiera de estos. Se dice entonces que X tiene una
distribución binomial
Bi ( n , p )
X
con función de densidad y probabilidad:
 n  x
(n − x )
 p (1 − p )
f (x ) = P(X = x ) =  x 
0

n
n!
  =
 x  (n − x )! x!
.
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„
„
x = 0,1, 2, ..., n
en otro caso
Media: µ = E(x) = n p
Varianza: σ2 = V(x) = n p q
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Distribución Binomial
Ejemplos :
1.
Una moneda lanzada al aire 15 veces. Los dos resultados posibles son cara y cruz.
La probabilidad de cara en un lanzamiento es 1/2
2.
Se pregunta a 200 alumnos de un Instituto de Enseñanza Secundaria si estudian
ingles. Los dos resultados posibles son sí y no. Si se considera éxito la respuesta
sí, la probabilidad p de éxito indica la proporción de estudiantes del Instituto que
responden sí (estudian ingles, pues suponemos que no mienten).
3.
Tirar un dado 10 veces y considerar que el resultado de una tirada, es que salga un
número par o un número impar. Los resultados posibles en este caso son dos.
El espacio muestral, cada uno de los sucesos y la probabilidad de que ocurran, en un
proceso binomial, aparecen muy nítidamente cuando se construye un árbol de
probabilidades del proceso.
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Distribución Binomial
Vamos a construir el árbol de probabilidades de un proceso de tres experimentos:
EEE
EEF
EFE
EFF
FEE
FEF
FFE
FFF
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ppp
ppq
pqp
pqq
qpp
qpq
qqp
qqq
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Distribución Binomial
Sea X una variable aleatoria que representa el número de éxitos obtenidos y p = ½
la probabilidad de éxito con cualquiera de estos. Se dice entonces que X tiene una
distribución binomial
X
X
0
1
2
3
1

Bi  3 , 
2

con función de densidad y probabilidad:
 3  1  x  1  (3− x )
    
f (x ) = P(X = x ) =  x  2   2 

0
.
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P(X=x)
1/8
3/8
3/8
1/8
1
x = 0,1, 2, 3
en otro caso
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Gráfica de una Distribución Binomial
La gráfica de una va X con distribución binomial, como la anterior es parecida a:
Asimetría
1 − 2p
A=
n p (1 − p )
La distribución binomial
es simétrica si p = ½, si
p > ½
tiene sesgo
negativo y si
p < ½
tiene sesgo positivo.
En los dos últimos casos
el sesgo se vuelve menos
evidente conforme n es
mas grande
.
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Gráfica de una Distribución Binomial
La gráfica de una va X con distribución binomial, como la anterior es parecida a:
Curtosis
1 − 6p (1 − p )
C=3+
n p (1 − p )
La distribución binomial es
relativamente plana si
p = ½. Para cualquier
otro valor de
p, la
distribución
binomial
presenta
un
pico
relativamente grande. Sin
embargo si n es grande
la
distribución
es
mesocúrtica.
.
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Ejemplo 1: Unidades Defectuosas.
Todos los dias se seleccionan, de manera aleatoria, 15 unidades de un proceso de
manufactura con el propósito de verificar el porcentaje de unidades defectuosas en la
producción. Con base en información pasada, la probabilidad de tener una unidad
defectuosa es 0,05. La gerencia a decidido detener la producción cada vez que una
muestra de 15 unidades tenga dos o mas defectuosas. ¿cuál es la probabilidad de
que, en cualquier dia, la producción se detenga?
Sea la va
X = n° de unidades defectuosas que aparecen en la muestra.
X
Bi ( 15 , 0 , 05
)
Lo que se quiere es: P(X ≥ 2) = P(X=2) + P(X=3) + ... + P(X=14) + P(X=15)
Por facilidad en el cálculo es mas sencillo usar el evento complemento; es decir:
P(X ≥ 2 ) = 1 − P(X < 2 ) = 1 − [P(X = 0 ) + P(X =1)]
 (15)! 



(0,05)0 (0,95)15 − 0 +  (15)! (0,05)1 (0,95)15 −1 
P(X ≥ 2 ) = 1 − 

 (15 − 1)!(1)!
 (15 − 0 )!(0 )!

P(X ≥ 2 ) = 1 − [0,4632 + 0,3657] = 0,1711
.
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Hay una probabilidad de 0,1711
de que el proceso se detenga.
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Ejemplo 2: Inscripción Club Automovilístico.
Un club nacional de automovilistas comienza una campaña telefónica con el
propósito de aumentar el número de miembros. Con base en experiencia previa, se
sabe que una de cada 20 personas que reciben la llamada se une al club. Si en un
dia 25 personas reciben la llamada telefónica ¿cuál es la probabilidad de que por lo
menos 2 de ellas se inscriban al club? ¿cuál es el número esperado de inscritos?
Sea la va
X = n° de personas que se inscriben de las personas llamadas.
X
Bi ( 25 , 0 , 05
)
Por facilidad en el cálculo es mas sencillo usar el evento complemento; es decir:
P(X ≥ 2 ) = 1 − P(X < 2 ) = 1 − [P(X = 0 ) + P(X =1)]
 (25)! 



(0,05)0 (0,95)25 − 0 +  (25)! (0,05)1 (0,95)25 −1 
P(X ≥ 2 ) = 1 − 

 (25 − 1)!(1)!
 (25 − 0 )!(0 )!

P(X ≥ 2) = 1 − [0,2773 + 0,3649] = 0,3578
El número esperado es la esperanza de X.
E(X ) = µ = n × p = (25) × (0,05) = 1,25
.
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Hay una probabilidad de 0,3578
de que se inscriban dos o mas
personas en el club.
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Ejemplo 3: Impurezas en el Aire.
La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una molécula rara particular es
de 10%. Supóngase que las muestras son independientes con respecto a la
presencia de la molécula. Sea la va X = n° de muestras de aire que contienen la
molécula. En las 18 muestras siguientes, encuéntrese: a) P(X=2), b) P(3≤X<7)
X
Bi ( 18 , 0 ,10
)
 (18)! 
(0,10)2 (0,90)18 − 2 = 0,2835
a ) P(X = 2) = 

 (18 − 2)!(2)!
Hay una probabilidad de 0,2835 de que dos muestras de aire tengan la molécula rara.
b) P(3 ≤ X < 7 ) = P(X = 3) + P(X = 4 ) + P(X = 5) + P(X = 6 )
P(3 ≤ X < 7 ) = 0,1680 + 0,0700 + 0,0217 + 0,0052 = 0,2649
Hay una probabilidad de 0,2649 de que entre 3 y 6 muestras tengan la molécula rara.
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Ejemplo 4: Latas Defectuosas.
En una fábrica de latas se sabe que el 20% de ellas salen con un defecto. Si se toma
una muestra aleatoria de 20 latas: a) ¿cuál es la probabilidad de encontrar al menos
una lata con defecto?, b) ¿cuántas latas sin defecto esperaria encontrar?
Sea la va
X = n° de latas defectuosas en la muestra de 20 latas.
Bi ( 20 , 0 , 20
X
)
 (20)! 
(0,20)0 (0,80)20 − 0 = 0,9884
a ) P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0 ) = 1 − 

 (20 − 0 )!(0 )!
Hay una probabilidad de 0,9884 de que se encuentre una o mas latas defectuosas.
El número esperado de latas sin defecto, es la esperanza matemática de una va
Y = n° de latas sin defectos en la muestra.
Y
Bi ( 20 , 0 ,80
E(Y ) = µ = n × p = (20) × (0,80) = 16
.
)
Esperariamos encontrar 16 latas
sin defectos en la muestra de 20.
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Ejemplo 5: Examen de Selección.
Un estudiante presenta una prueba de 8 preguntas de selección múltiple. Cada
pregunta tiene tres opciones para escoger. El examen se aprueba si acierta 6 o mas
preguntas. Si el estudiante escoge al azar: a) ¿cuál es la probabilidad de que
apruebe el examen?, b) ¿cuál es la probabilidad de que no conteste correctamente
ninguna pregunta?
Sea la va X = n° de preguntas con respuestas correctas.
X
1 

Bi  8 ,

3 

a ) P( X ≥ 6) = P(X = 6 ) + P(X = 7 ) + P(X = 8)
P(X ≥ 6) = 0,0170 + 0,0024 + 0,0001 = 0,0195
Hay una probabilidad de 0,0195 de aprobar el examen seleccionando al azar.
 (8)!  1   2 
b) P(X = 0 ) = P(X = 0 ) = 
   
 (8 − 0 )!(0 )! 3   3 
0
8−0
= 0,0390
Seleccionando al azar las respuestas, hay una probabilidad de 0,0390 de no
contestar ninguna pregunta correctamente.
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