σ σ σ σ σ σ

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SS I
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
1.
Medias:
21,4
x=
= 3, 57
6
10, 6
y=
= 1, 77
6
Desviaciones típicas:
σx =
88, 5
− 3, 57 2 =
6
2,01 = 1, 42
σy =
30, 38
− 1, 77 2 =
6
1, 93 = 1, 39
• Covarianza:
44, 72
σ xy =
− 3, 57 ⋅ 1, 77 = 1, 13
6
• Coeficiente de correlación:
σ xy
1,13
r =
=
= 0, 57
σ x σ y 1, 42 ⋅ 1, 39
• Hay una relación positiva, pero débil, entre las variables.
2.
a)
Medias:
36,1
x=
= 6, 02
6
27, 9
y=
= 4, 65
6
Varianza de x::
σ x2 =
Coeficiente de regresión:
m yx =
σ xy − 2 ,14
= − 0, 99
−
2,16
σ x2
230 , 39
− 6, 02 2 = 2,16
6
Covarianza:
σ xy =
155,12
− 6, 02 ⋅ 4, 65 = − 2,14
6
Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X :
y = 4,65 − 0,99 (x − 6,02) → y = −0,99x + 10,61
b) yˆ (7) = 3,68 . La estimación es bastante fiable, puesto que r = − 0,998 ( muy próxima a − 1) y
x = 7 está dentro del intervalo de valores que estamos considerando.
3.
a) Los posibles valores de xi son 1, 2, 3, 4, 5. La tabla de la distribución de probabilidad es la
siguiente:
b) µ = ∑ p i x i =
∑ p i x i2
σ =
13
= 3,25 → µ = 3,25
4
151 169
97
− µ2 =
−
=
= 1,42
12
16
48
→ σ = 1,42
4.
1
1

→ B 100, 
6
6


b) No es una binomial, pues la probabilidad de obtener as para la segunda carta es distinta
que para la primera (al ser sin reemplazamiento las extracciones).
5.
Si llamamos x = "número de pacientes con reacción alérgica", se trata de una distribución
binomial con n = 20 , p = 0, 02 → B (20; 0, 02 )
a) Es una distribuci ón binomial con n = 100, p =
a) p[x > 1] = 1 − p[x < 1] = 1 − p[x = 0] = 1 − 0, 98 20 = 0,332 → p[x > 1] = 0, 332
b) p[x > 18] = p[x = 19] + p[x = 20] =
= 20 ⋅ 0, 0219 ⋅ 0, 98 + 0,02 20 = 1, 03 ⋅ 10 −31 ≈ 0 → p[x > 18] ≈ 0
Hallamos la media y la desviación típica:
µ = np = 20 ⋅ 0, 02 = 0, 4 → µ = 0, 4
σ =
npq =
20 ⋅ 0, 02 ⋅ 0, 98 = 0, 63
→ σ = 0, 63
6.
a) Los posibles valores de xi son 0, 1, 2, 3. La tabla de la distribución de probabilidad es la
siguiente:
b) µ = Σ pi x i = 0, 6
→
µ = 0, 6
σ = Σ pi x i2 − µ 2 =
0, 84 − 0, 36 =
0, 48 = 0, 69
→ σ = 0, 69
7.
a) Es una distribuci ón binomial con n = 20, p = 0,03 → B ( 20; 0, 03 )
b) No se trata de una binomial, ya que tenemos más de dos resultados posibles: rojo, blanco,
verde.
8.
Si llamamos x = "número de personas entre esas 10, que están viendo el programa", se trata
de una distribución binomial con n = 10, p = 0,3 → B(10; 0,3).
a) p [x > 8 ] = p[x = 9 ] + p [x = 10 ] =
 10 
10 
=   ⋅ 0, 3 9 ⋅ 0, 7 +   ⋅ 0, 3 10 = 10 ⋅ 0, 3 9 ⋅ 0, 7 + 0, 3 10 = 0, 000144 → p[x > 8] = 0, 000144
9
 
 10 
b)
p[x > 0 ] = 1 − p[x = 0 ] = 1 − 0, 710 = 0, 972 → p[x > 0 ] = 0, 972
Hallamos la media y la desviación típica:
µ = np = 10 ⋅ 0, 3 = 3
σ =
npq =
→
µ =3
10 ⋅ 0, 3 ⋅ 0, 7 =
2,1 = 1, 45
→
σ = 1, 45
9.
• El área total bajo la curva es:
1
1
⋅1
⋅1
1
2 + 1⋅ + 2 = 1 + 1 + 1 = 1u 2
2
2
2
4 2 4
a) Para x > 2, tenemos un triángulo de base 1 y altura
1
. Su área es:
2
1
1
2
Área =
= u2
2
4
1⋅
Por tanto:
1
1
4
=
p[ x > 2] =
1 4
b) Entre 1, 5 y 2 tenemos un cuadrado de lado
1
:
2
2
1
 1
Área =   = u 2
2
4
 
• Entre 2 y 2,5 tenemos un trapecio de bases
•
•
1
1
1
y
y altura :
2
4
2
 1 1 1
 + ⋅
3 2
2 4 2
Área =
=
u
2
16
Entre 1, 5 y 2,5 el área es:
1 3
7 2
+
=
u
4 16 16
Por tanto:
7 16
7
p[ 1,5 < x < 2,5] =
=
1
16
10.
• Sabemos que si x sigue una distribución N (µ, σ ), entonces :
p[x < µ ] = 0, 5; p[µ − σ < x < µ + σ ] = 0, 6826
p[µ − 2σ < x < µ + 2σ ] = 0, 9544
a) p[x < 40 ] = p[x < µ ] = 0, 5
b) p[ 38, 5 < x < 41, 5] = p[µ − σ < x < µ + σ ] = 0, 6826
c) p[ 37 < x < 43 ] = p[µ − 2σ < x < µ + 2σ ] = 0, 9544
11.
a) p[z < − 1, 73] = p[z > 1, 73 ] = 1 − p[z < 1, 73] = 1 − 0, 9582 = 0, 0418
b) p[ 0, 62 < z < 1, 34] = p[z < 1, 34] − p[z < 0, 62] = 0, 9099 − 0, 7324 = 0,1775
c) p[− 1, 2 < z < 1, 2] = 2(p[z < 1, 2] − 0, 5 ) = 2( 0, 8849 − 0, 5 ) = 0, 7698
12.
 x − 10 7 − 10 
a) p[x < 7] = p 
<
= p[z < − 1, 5] =
2 
 2
= p[z > 1, 5] = 1 − p[z ≤ 1, 5] = 1 − 0,9332 = 0, 0668
 8 − 10 x − 10 13 − 10 
b) p[8 < x < 13 ] = p 
<
<
= p[− 1 < z < 1, 5] =
2
2 
 2
= p[z < 1, 5] − p[z < −1] = p[z < 1, 5] − p[z > 1] =
= p[z < 1, 5] − ( 1 − p[z ≤ 1] ) = 0, 9332 − ( 1 − 0, 8413 ) = 0, 7745
13.
a) φ ( 2, 74 ) = 0, 9969 → k = 2, 74
b) p[− k < z < k ] = 2(p[z < k ] − 0, 5 ) = 2(φ (k ) − 0, 5 ) = 0, 985
φ (k ) − 0, 5 =
0, 985
2
→
φ (k ) = 0, 9925
→
k = 2, 43
14.
Si llamamos x = "número de unos obtenidos", entonces x es una binomial con n = 300,
1
p = , en la que tenemos que calcular p[x > 70 ].
6
La calculamos aproximando con una normal:
La media de x es np = 300 ⋅
1
= 50 y su desviación típica es
6
1

x es B  300,  → x ' es N ( 50; 6, 45 ) → z es N ( 0, 1)
6

[x > 70] = p[x ' ≥ 70, 5] = p z ≥ 70,5 − 50  = p[z ≥ 3,18] =
6, 45 

= 1 − p[z < 3,18] = 1 − 0, 9993 = 0, 0007 →
p[x > 70] = 0, 0007
npq = 6, 45.