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258
SOLUCIONES
1. En cada caso queda:
a) f ( x ) ≥ x ∀x y además el área del recinto rayado vale 1, por tanto es función de densidad.
1 3
P ( x ≤ 3) = 3· =
4 4
P ( x = 2,5) = 0
b) g ( x ) ≥ x ∀x y además el área del recinto rayado vale
1 3
P ( x ≥ 1) = 3· =
4 4
1 1
P (2 ≤ x ≤ 3) = 1· =
4 4
4·0,5
= 1 , por tanto es función de
2
densidad.
1
1
P ( x ≤ 3) = 8 =
2 16
1·
P ( x = 2,5) = 0
P ( x ≥ 1) = 1
P (2 ≤ x ≤ 3) =
1
16
2. La gráfica y los cálculos quedan:
i f ( x )ha de ser ≥ 0, por tanto a > 0.
i Como área rayada = 1 ⇒
6· a
=1
2
⇒ a=
1
3
1
Por lo tanto f ( x ) es una función de densidad si a = .
3
259
3. La solución es:
a) La gráfica 1 se corresponde con la distribución N (7;1,5) .
La gráfica 2 se corresponde con la distribución N (5;1,5) .
La gráfica 3 se corresponde con la distribución N (5;3,5) .
b) Las plantas más altas corresponden a la distribución N (7;1,5) . En las otras distribuciones, la
media de las alturas coincide, y en N (5;1,5) están más agrupadas, respecto a la media, que
en N (5;3,5) .
4. Manejando la tabla de la distribución normal, hallamos cada caso:
a) P (Z ≤ 1,45) = 0,9265
b) P (Z ≥ 0,25) = 1− P (Z < 0,25) = 1− 0,5987 = 0,4013
c) P (Z ≤ − 1,45) = 1− P (Z ≤ 1, 45) = 1− 0,9265 = 0,0735
d) P (0,35 ≤ Z ≤ 1,5) = P (Z ≤ 1,5) − P ( Z ≤ 0,35) = 0,9332 − 0,6368 = 0,2964
e) P ( −1,35 ≤ Z ≤ 0,25) = P (Z ≤ 0,25) − P ( Z ≤ − 1,35) = P (Z ≤ 0,25) − [1− P (Z ≤ 1,35)] = 0,5102
f) P (Z ≥ − 0,84) = P (Z ≤ 0,84) = 0,7995
g) P ( −1,45 ≤ Z ≤ − 0,15) = P (0,15 ≤ Z ≤ 1,45) = P ( Z ≤ 1, 45) − P ( Z ≤ 0,15) = 0,3669
h) P ( −2,25 ≤ Z ≤ 2) = P (Z ≤ 2) − P (Z ≤ − 2,25) = P (Z ≤ 2) − [1− P (Z ≤ 2,25)] = 0,965
5. En las tablas vemos que:
a) P (Z ≥ K ) = 1− P (Z ≤ K ) = 1− 0,1075 = 0,8925 ⇒ K = 1,24.
b) P ( Z ≥ K ) = 0,7967 = 1− P (Z ≤ K ) ⇒ K = − 0,83.
c) P (0 ≤ Z ≤ K ) = 0,4236 ⇒ P (Z ≤ K ) − P (Z ≤ 0) K = 0,4236 ⇒ K = 1,43.
6. Tipificamos la variable X, convirtiéndola en N(0,1) y, posteriormente, consultamos la tabla:
x −5 6−5⎞
⎛
a) P ( X ≤ 6) = P ⎜ Z =
≤
= P (Z ≤ 0,5) = 0,6915
2
2 ⎟⎠
⎝
x − 5 4,5 − 5 ⎞
⎛
b) P ( X ≥ 4,5) = P ⎜ Z =
≥
= P (Z ≥ − 0,25) = P (Z ≤ 0,25) = 0,5987
2
2 ⎟⎠
⎝
x − 5 7,2 − 5 ⎞
⎛
c) P ( X ≤ 7,2) = P ⎜ Z =
≤
= P (Z ≤ 1,1) = 0,8643
2
2 ⎟⎠
⎝
⎛3−5 x −5 6−5⎞
d) P (3 ≤ X ≤ 6) = P ⎜
≤
≤
= P ( −1 ≤ Z ≤ 0,5) = 0,5328
2
2 ⎟⎠
⎝ 2
7. Tipificamos la variable y consultamos la tabla.
a) k = 6,76
b ) k = 5,1
c) k = 1,66
260
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261
SOLUCIONES
8. La solución queda:
1⎞
1⎞
⎛ x −9 8−9⎞
⎛
⎛
a) P ( X ≥ 8) = P ⎜
≥
= P ⎜ Z ≥ − ⎟ = P ⎜ Z ≤ ⎟ = 0,6293
⎟
3 ⎠
3⎠
3⎠
⎝ 3
⎝
⎝
4⎞
4⎞
⎛ x −9 5−9⎞
⎛
⎛
b) P ( X ≤ 5) = P ⎜
≤
= P ⎜ Z ≤ − ⎟ = P ⎜ Z ≥ ⎟ = 1− 9082 = 0,0918
⎟
3 ⎠
3⎠
3⎠
⎝ 3
⎝
⎝
4⎞
4⎞
2⎞
⎛ 11 − 9 x − 9 13 − 9 ⎞
⎛2
⎛
⎛
c) P (11≤ X ≤ 13) = P ⎜
≤
≤
⎟ = P ⎜ 3 ≤ Z ≤ 3 ⎟ = P ⎜ Z ≥ 3 ⎟ − P ⎜ Z ≤ 3 ⎟ = 0,1628
3
3
3
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
9. La solución es:
21 − 17 ⎞
⎛ 13 − 17
a) P (13 ≤ t ≤ 21) = P ⎜
≤Z≤
= P ( −1,33 ≤ Z ≤ 1,33 ) = 2P ( Z ≤ 1,33 ) − 1 = 0,8164
3
3 ⎟⎠
⎝
t − 17 ⎞
t − 17
⎛
b) P ( X ≤ t ) = 0,95 ⇒ P ⎜ Z ≤
= 0,95 ⇒
= 1,645 ⇒ t = 21,935 ≈ 22minutos.
⎟
3 ⎠
3
⎝
10. La solución es:
28 − 30 ⎞
⎛
= P ( Z < − 0,4 ) = 1− P ( Z < 0, 4 ) = 0,3346
a) P ( X < 28) = P ⎜ Z <
5 ⎟⎠
⎝
35 − 30 ⎞
⎛ 25 − 30
≤Z≤
= P ( −1 ≤ Z ≤ 1) = 2 ⎣⎡P ( Z ≤ 1) − P ( Z ≤ 0 ) ⎦⎤ = 0,6826
b) P (25 ≤ X ≤ 35) = P ⎜
5
5 ⎟⎠
⎝
Es decir,el 68,26%.
t − 30 ⎞
t − 30
⎛
= 0,80 ⇒
= 0,84 ⇒ t = 34,2minutos.
c) P ( X ≤ t ) = 0,80 ⇒ P ⎜ Z ≤
⎟
5 ⎠
5
⎝
11. La variable se ajusta a una normal N(60;3) .
62 − 60 ⎞
⎛
a) P ( X ≥ 62) = P ⎜ Z ≥
= P ( Z ≥ 0,67 ) = 1− P ( Z ≤ 0,4 ) = 0,2514 ⇒ 25,14%
3 ⎟⎠
⎝
Por lo tanto hay 201 adultos con el dedo corazón más largo de 62 mm.
b) P ( X ≤ 57) = P ( Z ≤ −1) = P ( Z ≥ 1) = 1− P ( Z ≤ 1) = 0,1587
Es el 15,87% que suponen 127 adultos.
c) P (60 ≤ X ≤ 66) = P ( 0 ≤ Z ≤ 2 ) = P ( Z ≤ 2 ) − ( Z ≤ 0 ) = 0,4772
Es el 47,72% que suponen 382 adultos.
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12. La solución queda:
a) P (salga 0 una sola vez) =
1 9 9
· · ·3 = 0,243
10 10 10
b) Es una distribución binomial B (100;0,1) y la aproximaremos con una distribución normal de
la forma N(10;3) .
13 − 10 ⎞
⎛
P ( X > 13) = P ⎜ Z ≥
= P ( Z ≥ 1) = 1− P ( Z ≤ 1) = 0,1587
3 ⎟⎠
⎝
13. La solución queda:
De los parámetros de la distribución obtenemos: μ = 8 = n · p
⇒
p = 0,8 .
La desviación típica: σ = 10·0,8·0,2 = 1,26
P (ninguna cara ) = 1 − 0,893 = 0,107.
⎛ n ⎞ ⋅ 0,2 n = 0,107 ⇒ n = log0,107 = 1, 4
)
⎜0 ⎟ (
log0,2
⎝ ⎠
Hay que lanzarla al menos dos veces.
14. Llamamos k a la nota mínima a partir de la cual se conseguirá el sobresaliente. Debe cumplirse:
P ( X ≤ k ) = 0,9 ⇒
⎛ x − 5,5 k − 5,5 ⎞
P⎜
≤
= 0,9 ⇒
1,5 ⎟⎠
⎝ 1,5
k − 5,5
= 1,282 ⇒ k = 7,423
1,5
De igual forma, para la calificación de notable:
P ( X ≤ k ) = 0,7 ⇒
⎛ x − 5,5 k − 5,5 ⎞
P⎜
≤
= 0,7 ⇒
1,5 ⎟⎠
⎝ 1,5
(
k − 5,5
= 0,525 ⇒ k = 6,2875
1,5
)
15. Es una distribución binomial B 360, 1 y la aproximaremos con una distribución normal.
6
1
Quedaría: μ = 360· = 60
6
y
1 5
σ = 360· · = 7,07 .
6 6
La probabilidad es:
⎛ X '− 60 55,5 − 60 ⎞
P ( X ≤ 55) = P ( X ' ≤ 55,5) = P ⎜
≤
= P ( Z ≤ − 0,64 ) = 1 − P ( Z ≤ 0,64 ) = 0,2611
7,07 ⎟⎠
⎝ 7,07
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SOLUCIONES
16. Es una distribución binomial B ( 50;0,9 ) y la aproximaremos con una distribución normal.
Quedaría: μ = 50·0,9 = 45
y
σ = 50·0,9·0,1 = 1,12 .
La probabilidad pedida con la corrección de Yates es:
40,5 − 45 ⎞
⎛ 39,5 − 45
P ( X = 40) = P (39,5 ≤ X ' ≤ 40,5) = P ⎜
≤Z≤
= P ( −2,59 ≤ Z ≤ −2,12 ) =
2,12 ⎟⎠
⎝ 2,12
= 1− P ( 2,12 ≤ Z ≤ 2,59 ) = P ( Z ≤ 2,59 ) − P ( Z ≤ 2,12 ) = 0,122
17. Es una distribución binomial B (100;0,5 ) y la aproximaremos con una distribución normal.
Quedaría: μ = 100·0,5 = 50
y
σ = 100·0,5·0,5 = 5 .
La probabilidad pedida con la corrección de Yates es:
⎛ 45,5 − 50 X '− 50 55,5 − 50 ⎞
P (45 ≤ X ≤ 55) = P (44,5 ≤ X ' ≤ 55,5) = P ⎜
≤
≤
⎟ = P ( −1,1 ≤ Z ≤ 1,1) =
5
5
5
⎝
⎠
= P ( Z ≤ 1,1) − ⎡⎣1− P ( Z ≤ 1,1) ⎤⎦ = 0,7286
18. Es una distribución binomial B (100;0,25 ) y la aproximaremos con una distribución normal
N (25;4,33) .La probabilidad pedida es:
19,5 − 25 ⎞
⎛
P ( X ≥ 20) = P ( X ' ≥ 19,5) = P ⎜ Z ≥
= P ( Z ≥ − 1,27 ) = P ( Z ≤ 1,27 ) = 0,8980
4,33 ⎟⎠
⎝
19. Es una binomial B ( 3 000;0,52 ) que podemos aproximarla a una normal N(1 560;27, 4) .
La probabilidad pedida queda:
P (1 450 ≤ X ≤ 1 600) = P (1 449,5 ≤ X ' ≤ 1 600,5) = P ( −4 ≤ Z ≤ 1, 48 ) =
= P ( Z ≤ 1, 48 ) − P ( Z ≤ − 4 ) = 0,9306
20. Es una binomial B ( 80;0,5 ) que podemos aproximarla a una normal N(40; 4, 47) .
La probabilidad pedida queda: P ( X ≥ 45) = P (Z ≥ 1,12) = 1− 0,8686 = 0,1314
21. Es una distribución normal N(192;12)
La probabilidad pedida queda: P ( X ≤ 186) = P (Z ≤ − 0,5) = P ( Z ≥ 0,5) = 1− P (Z ≤ 0,5) = 0,3085
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22. Es una distribución normal N(170;3)
•
•
•
P (155 ≤ X ≤ 165) = P ( −5 ≤ Z ≤ −1,67 ) = P ( Z ≤ 5 ) − P ( Z ≤ 1,67 ) = 0,0475,es decir 48 batas.
P (165 ≤ X ≤ 175) = P ( −1,67 ≤ Z ≤ 1,67 ) = 2 P ( 0 ≤ Z ≤ 1,67 )
= 2(0,9525 − 0,5) = 0,905,es decir 105 batas.
P (175 ≤ X ≤ 185) = P (1,67 ≤ Z ≤ 5 ) = P ( Z ≤ 5 ) − P ( Z ≤ 1,67 ) = 0,0475,es decir 48 batas.
23. La solución queda:
⎛ 1⎞
a) Es una binomial B ⎜ 5; ⎟ .
⎝ 3⎠
1
Los parámetros quedan: μ = 5· = 1,67
3
y
1 2
σ = 5· · = 1,05.
3 3
La probabilidad es: P ( X ≥ 2) = 1− P ( X < 2 ) = 1− P ( X = 0 ) − P ( X = 1) = 0,539
1⎞
⎛
b) Es una binomial B ⎜ 288; ⎟ que aproximamos a una normal N(96;8)
3
⎝
⎠
La probabilidad es: P ( X > 90) = P ( X ≥ 90,5 ) = P ( Z ≥ − 0,69 ) = P (Z ≤ 0,69) = 0,7549.
24. La solución queda:
•
Es una binomial B (10;0,4 ) .
P ( X ≤ 2) = P ( X = 0) + P ( X = 1) + P ( X = 2) =
10
9
1
8
2
10
10
10
= ⎜⎛ ⎟⎞ ⋅ ( 0,60 ) + ⎜⎛ ⎟⎞ ⋅ ( 0,60 ) ⋅ ( 0,4 ) + ⎜⎛ ⎟⎞ ⋅ ( 0,60 ) ⋅ ( 0, 4 ) = 0,167
0
1
2
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
•
La aproximamos a una distribución normal N ( 400;15,49 ) .
P ( X > 450) = P ( X ≥ 450,5) = P ( Z ≥ 3, 26 ) = 1− P ( Z ≥ 3,26 ) = 0,0006.
266
25. Es una distribución normal del tipo: N ( 50;σ ) .
•
•
En el primer caso:
P ( X > 70) = 0,0228
⇒
20 ⎞
⎛
⎜ Z ≤ σ ⎟ = 0,9772
⎝
⎠
⇒
70 − 50 ⎞
⎛
= 0,0228
P ⎜Z ≥
σ ⎟⎠
⎝
20
= 2 ⇒ σ = 2.
σ
⇒
20 ⎞
20 ⎞
⎛
⎛
= 1− P ⎜ Z ≤
= 0,0228
P ⎜Z ≥
⎟
σ ⎠
σ ⎟⎠
⎝
⎝
En el segundo caso:
45 − 60 ⎞
⎛
P ( X ≤ 45) = P ⎜ Z ≤
= P ( Z ≤ − 0,5 ) = P ( Z ≥ 0,5 ) = 0,3085
10 ⎟⎠
⎝
267