INTERPRETACION FISICA DE LOS NUMEROS CUANTICOS

INTERPRETACION FISICA DE LOS NUMEROS CUANTICOS
12 de agosto de 2008
INTERPRETACION FISICA DE LOS NUMEROS CUANTICOS
EL NUMERO CUANTICO ORBITAL l
Si el electrón se mueve alrededor de un circulo con radio r , la magnitud de su cantidad de
movimiento angular con respecto al centro del circulo es igual a L = mvr.La dirección de L
es perpendicular al plano del circulo y esta definida por la regla de la mano derecha.
De acuerdo con la física clásica, la magnitud de L puede tener
cualquier valor.
Sin embargo, el modelo de Bohr del hidrogeno postula que
serán múltiplos de  ; esto es : n  .
Es necesario modificar este modelo, ya que predice(de manera
incorrecta) que el estado base del hidrogeno tiene L =1 .
Además, si en el modelo de Bohr se considera a L = 0 , nos
vemos obligados a aceptar la imagen del electrón como una
partícula que oscila en línea recta a través del núcleo, lo cual
es una situación físicamente imposible.
Estas dificultades se resuelven con el modelo cuántico
mecánico del átomo, aunque debemos olvidar la
representación mental de un electrón que gira en una
trayectoria circular bien definida pesar de la ausencia de esta
representación, el átomo posee de hecho una cantidad de
movimiento angular y la seguiremos llamando cantidad de
movimiento angular orbital.
De acuerdo con la mecánica cuántica, un átomo en un estado cuyo numero cuántico
principal n puede tomar los siguientes valores discretos de la magnitud de la cantidad de
movimiento angular orbital1
VALORES PERMITIDOS DE l
L  l l  1..
l = 0,1,2, . . . , n-1
EJEMPLO 1 : Calculo de L para un estado p
Calcule la magnitud de la cantidad de movimiento angular orbital de un electrón en un
estado p de hidrogeno.
Solución
Para l = 1 para un estado p
L  l l  1.. = 11  1. =
2.  1,49  10 34 J.s
EL NUMERO CUANTICO MAGNETICO ORBITAL ml
Debido a que la cantidad de movimiento angular es un vector, su dirección debe
especificarse.
Suponga que colocamos el átomo de hidrogeno en un campo magnético .Según la mecánica
cuántica, existen direcciones discretas permitidas para un vector del momento
magnético  con respecto al vector del campo magnético B.
1
La ecuación es un resultado directo de la solución matemática de la ecuación de Schrodinger y la aplicación de las
condiciones limite angulares.
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Debido a que el momento magnético m del átomo puede relacionarse con el vector de la
cantidad de movimiento angular L , las direcciones discretas de  nos llevan a que la
dirección de L esta cuantizada.
Esta cuantizacion significa que Lz ( la proyección de L a lo largo del eje de la z) puede
asumir solo valores discretas.
El numero cuántico orbital magnético ml define los valores permitidos del componente z de
la cantidad de movimiento angular orbital, de acuerdo a :
Lz  ml .
Modelo vectorial para l = 2
Proyecciones permitidas de la cantidad de movimiento angular orbita L .
Se puede demostrar que L no apunta en una dirección
especifica, a pesar de que su componente z esta fijo. Si se
conociera el valor exacto de de L , entonces los tres
componentes Lx , Ly , Lz ; podrían definirse, lo que es
inconsistente con el principio de incertidumbre.
¿Cómo se puede definir la magnitud y el componente z
de un vector, sin definir completamente dicho vector?
Para responder lo anterior, podemos imaginar que L debe
yacer en cualquier parte de la superficie de un cono que
forma un ángulo  con el eje de las z.
De la figura, vemos que 
también esta cuantizada y
que sus valores están definidos mediante la relación;
cos  
ml
Lz

L
l l  1
Observe que ml nunca es mayor que l , y por lo tanto ,
 nunca puede ser igual a cero.
EJEMPLO 2 : Cuantizacion espacial para el hidrogeno
Imagine el átomo de hidrogeno en el estado l = 3.Calcule la magnitud de L , los valores
permitidos de Lz , y los ángulos  correspondientes que L forma con el eje de las z.
Solución
Parte (a) L 
l l  1..
Parte (b) Como l = 3
L  33  1..
L  2 3
ml = -3 , -2 , -1 ,0 , 1, 2 , 3
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Lz  ml .
Parte (c)
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Lz  3,2,1, 0, 1, 2, 3
ml
Lz

L
l l  1
cos  
cos  
m
Lz
 l
L 2 3
Reemplazando los valores permitidos de ml obtenemos :
  300 ; 54,80 ; 73,20 ; 900 ; 107 0 ; 1250 ; 150 0
EL NUMERO CUANTICO MAGNETICO DE ESPIN ms
Los tres números cuánticos n , l , ml se generan al aplicar las condiciones limite a las
soluciones de la ecuación de schrodinger.
Ahora consideremos el espín del electrón , el cual no proviene de la ecuación de
schrodinger.
La necesidad de este nuevo número cuántico surge debido a una propiedad observada en el
espectro de ciertos gases, como el valor del sodio. Donde se revela que la línea es, de
hecho dos líneas muy juntas llamadas dobletes.(efecto Zeeman)
El efecto Zeeman
El "efecto Zeeman" es el
desdoblamiento de las rayas
espectrales
debido
a
la
presencia de un fuerte campo
magnético, Zeeman fue un
estudiante de la universidad de
Leiden en 1890,seis años
después por proposición de
Lorentz, investigo el efecto de
un campo magnético sobre una
fuente de luz y encontró que
cada línea del espectro de la
luz emitida se partía en varias
líneas y este efecto lleva su
nombre.
Pieter Zeeman (n. Zonnemaire, Holanda, 25 de mayo de 1865
- † Ámsterdam, 9 de octubre de 1943) fue un físico neerlandés
galardonado con el Premio Nobel de Física
del año 1902.
El 1890 consiguió licenciarse y se convirtió
en asistente de Lorentz.
Einstein visito a Pieter Zeeman en
Ámsterdam, con su amigo Paul Ehrenfest
alrededor de 1920
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Gracias a su descubrimiento se le ofreció un plaza docente en la universidad de Ámsterdam
en 1897, ganando en 1900 la cátedra de física de esa misma universidad.
Pieter Zeeman murió el 9 de octubre de 1943 en Ámsterdam.
En el efecto Zeeman, un campo magnético actúa sobre la emisión de luz por parte de un
átomo, este, en ausencia de todo campo magnético, emite determinados colores o
frecuencias, irradia un espectro más complicado al colocarlo en un campo magnético. Cada
una de las líneas espectrales, o cada una de las frecuencias individuales irradiadas por ese
átomo, se divide en dos, tres o aun más. La división es, comúnmente, muy débil y su
observación exige de aparatos más sensibles; pero existe y para explicarla hace falta la
teoría cuántica.
EL EFECTO
Podemos, ahora, referirnos a la teoría cuántica y al efecto de un campo magnético sobre la
luz emitida por un átomo. Sabemos que para hacer girar un pequeño imán en un campo
magnético, se necesita realizar cierto trabajo(gastar cierta energía). Una aguja imantada
tiende a colocarse paralela al campo. Si tratamos de hacerla girar, debemos empujarla y
aumentar su energía en una cantidad que depende de cuánto la hagamos girar. Empero,
como según la teoría cuántica las orientaciones de los imanes magnéticos son limitadas (por
ejemplo, en su estado de energía mínima el átomo de hidrogeno puede tener solo dos),
cabe esperar que el campo magnético divida el estado de
energía mínima en dos, correspondientes a la energía del átomo
cuando su imantación es paralela o anti paralela al campo.
Como el campo magnético escinde los niveles energéticos, las
frecuencias irradiadas por los saltos a estos niveles y desde
ellos, se multiplicaran en cantidad; de aquí el efecto Zeeman.
Foto tomada por Zeeman,en la parte superior aparece la
línea sin ser afectada por el campo magnético y en la
inferior la división de la misma por efecto del mismo.
Para resolver este dilema Samuel Goudsmit y George
Uhlenbeck. Siguiendo una sugerencia hecha por el físico
austriaco Wolfgang Pauli, propusieron el número cuántico de
espín.
La bomba atómica alemana.
Noviembre de 1944. Bajo la denominación clave de Misión
Alsos, un comando de inteligencia militar dirigido por el
científico Samuel Goudsmit entra en la universidad de
Strasburgo, con la esperanza de encontrar a los principales
técnicos que llevan a cabo las investigaciones nazis sobre
energía nuclear. Tras semanas de búsqueda en las
principales ciudades francesas y Alemanas, Goudsmit finaliza
su misión con éxito apresando a más de veinte científicos
Alemanes. En la lista figuran varios premios Nobel y
personajes de la talla de Werner Heisenberg, uno de los
padres
de
la
física
cuántica.
Goudsmit, Samuel
Abraham
Después de meticulosos interrogatorios, visitas a diversos laboratorios y un análisis
exhaustivo de varios documentos nazis, Goudsmit llega a la conclusión de que Alemania no
sólo no posee el arma atómica, sino que sus científicos siempre estuvieron muy atrasados
en ese sentido. Goudsmit seleccionó, según su opinión, a los diez científicos mas relevantes
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del grupo, que comenzaron un largo peregrinaje por media Europa como "prisioneros" de
guerra, deteniéndose brevemente en Bélgica y Francia para acabar finalmente en una
espaciosa casa de campo inglesa en Farm Hall (cerca de Cambridge). Todo ocurrió dentro
de la denominada Operación Epsilon, cuyo objeto era el que los soviéticos (principalmente) y
los
franceses,
no
tuvieran
acceso
al
grupo
de
científicos
Alemanes.
Farm Hall y la Operación Epsilon
Lo que sucedió en Farm Hall desde el momento de su llegada, hasta la fecha en que fueron
liberados (diciembre 1945) y devueltos a Alemania la totalidad de los científicos apresados,
cayó en el más tupido de los secretos. Lo cierto es que, aunque bien acomodada, la casa
estaba abarrotada de micrófonos y aparatos de escucha, aparte de poseer unas
excepcionales medidas de seguridad (existía un guarda militar para cada preso).
Uno de los detenidos en Farm Hall era Otto Hahn, quien en 1938 y junto a Strassman
inauguró la carrera por la bomba atómica al realizar la primera fisión nuclear de uranio y
torio, dándole así a Alemania el liderazgo en el campo nuclear; anecdóticamente Hahn
recibiría el premio Nobel por dichas investigaciones en el 44 mientras estaba detenido en
Farm Hall, y años después desarrollaría proyectos nucleares en la España franquista para la
J.E.N. (Junta de energia nuclear). Por su parte Heisenberg, en una conferencia realizada en
Copenhague en el 43, dejaba claro que los nazis no sólo conocían el potencial de una
desintegración nuclear en cadena del uranio-235 (base de una bomba atómica), sino que
habían desarrollado reactores nucleares propios, necesarios para la obtención del uranio
enriquecido y el plutonio que sirven de material para una bomba atómica.
Ademas, Goudsmit cometió un grave error, creyendo que toda la investigación nuclear nazi
se centraba en el equipo formado por Heisenberg, Hahn y von Weizsäcker (que diseño
reactores nucleares), dejando fuera de los detenidos a importantes investigadores como
Fritz Bopp (ayudante de Paul Harteck) que era el más dinámico personaje del proyecto
uranio, ya que bajo su dirección, se desarrollaron nuevos métodos para producir agua
pesada, se construyeron reactores nucleares y se separaron isótopos de uranio.
George Eugene Uhlenbeck (6 de diciembre de 1900, Batavia, Indias Orientales
Holandesas – 31 de octubre de 1988, Boulder_(Colorado)) fue un físico teórico neerlandésestadounidense. El introdujó el concepto del spin, que postula que los electrones giran sobre
un eje, con Samuel Abraham Goudsmit, por lo cual fueron galardonados con la Medalla Max
Planck en 1964. Uhlenbeck tambien fue premiado con la Medalla Lorentz en 1970 y el
Premio Wolf en Física en 1979.
Uhlenbeck dice:
Yo era un estudiante muy obediente, muy obediente. Siempre he
trabajado muy regular y siempre me fue muy bien en clase. Yo
desde luego no es claro hasta los últimos años en la escuela
secundaria lo que iba a hacer.
Sin embargo, como con tanta gente, fue influenciado por un excelente maestro
de escuela. En su último par de años en la escuela de su profesor de física
encarecidamente a él, le dio textos sobre el diferencial y el cálculo integral y
sugirió que éste estudiante leer textos sobre matemáticas y física. Uno de los
libros que le hizo entusiastas de la física fue Lorentz 's Conferencias sobre Física,
que leyó en la Biblioteca Real de La Haya.
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En enero de 1925 Pauli propuso que el electrón se debe dar un nuevo cuarto
número cuántico que se encontraba a medio entero. Esta fue una de las pistas
que llevaron Uhlenbeck para llegar a la idea de espín de electrón. Escribió (ver
por ejemplo):
... Que se me ocurrió que, puesto que (yo había aprendido)
cuántica cada número corresponde a un grado de libertad de los
electrones, Pauli 's cuarto número cuántico debe significar que el
electrón tenía un grado adicional de la libertad -- en otras
palabras, el electrón debe Ser rotatoria.
Para describir este nuevo número cuántico es conveniente
(pero técnicamente incorrecto) pensar en el electrón como si
estuviera girando alrededor de su eje mientras orbita
alrededor del núcleo.
El Espín de un electrón puede ser (a) hacia arriba o (b)
hacia abajo en relación con el eje de las z especificados. EL
Espín jamás podrá estar alineado con el eje.
En presencia de un campo magnético, la energía del
electrón es ligeramente diferente para las dos direcciones
del espín, y esta diferencia es la que causa el doblete de
sodio.
En 1921, Otto Stern y Walter Gerlach realizaron un experimento que demostró la
cuantizacioon espacial
Otto Stern (n. Sohrau, 17 de febrero de 1888 - † Berkeley,
17 de agosto de 1969). Físico alemán, nacionalizado
estadounidense.
En sus labores de investigación, calculó el momento
magnético del átomo de plata.
También, halló para el momento magnético del protón un valor
2,5 veces mayor que el predicho por la teoría de Paul Dirac.
Otto Stern
Fue galardonado en 1943 con el premio Nobel de Física por
sus estudios sobre los haces moleculares, las propiedades
magnéticas de los átomos y el descubrimiento del momento
magnético del protón en una serie de experimentos
realizados en colaboración con Walther Gerlach conocidos
popularmente como experimento de Stern y Gerlach.
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"Las fotografías muestran que el haz de átomos de plata, en un campo magnético inhomogéneo, se
desdobla en dos haces en la dirección de la
inhomogeneidad, uno atraído hacia el polo de filo
de cuchillo y el otro repelido[...] Esto verifica
experimentalmente la cuantización espacial en
un campo magnético." Así informan del
experimento que realizaron en 1922 Otto Stern
(1888-1969) y Walter Gerlach (1900- ), usando el
dispositivo experimental que se ve en el
esquema: en el horno O se produce un gas de
plata, que se colima pasándolo por las rendijas S1
y S2; luego cruza por el campo del imán, que es
inhomogéneo, para finalmente colectarlo en la
placa fotográfica P.
Walter Gerlach
nació en Munich,
Alemania, en 1889. Un brillante científico,
Gerlach era uno de los líderes mundiales en
cifras en el
campo de la
física por el
estallido de la
Segunda Guerra Mundial.
Gerlach fue el principal coordinador de la investigación nuclear
en el Instituto Kaiser Wilhelm de Química. Sin embargo, en
colaboración con Werner Heisenberg y Carl von Weizsacker y
Karl Wirtz Gerlach y su equipo fueron incapaces de desarrollar
una bomba atómica.
En abril de 1945, las fuerzas aliadas detenido científicos
alemanes como Gerlach, Otto Hahn, Werner Heisenberg y
Carl von Weizsacker, Max von Laue y Karl Wirtz. Estos
hombres fueron tomadas ahora a Inglaterra donde fueron
interrogados para ver si había descubierto cómo hacer que las
armas atómicas.
Walter Gerlach murió en 1979.
Walter Gerlach
Experimento de Stern y Gerlach
El experimento de Stern y Gerlach, nombrado así en honor de los físicos alemanes Otto
Stern y Walther Gerlach, es un famoso experimento realizado por primera vez en 1922 sobre
la deflexión de partículas, y que ayudó a sentar las bases experimentales de la mecánica
cuántica. Puede utilizarse para ilustrar que los electrones y átomos tienen propiedades
cuánticas intrínsecas, que las medidas afectan a las propiedades de las partículas medidas
y que los estados cuánticos son necesariamente descritos por medio de números complejos
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El experimento de Stern-Gerlach consistía en enviar un haz de partículas de plata a través
de un campo magnético inhomogéneo. El campo magnético crecía en intensidad en la
dirección perpendicular a la que se envía el haz. El espín de los diferentes átomos fuerza a
las partículas de espín positivo +1/2 a ser desviada hacia arriba y a las partículas de espín
opuesto -1/2 a ser desviadas en el sentido contrario siendo capaz por lo tanto de medir el
momento magnético de las partículas.
En el caso clásico no cuántico una partícula cualquiera con un momento magnético entrará
en el campo magnético con su momento magnético orientado al azar. El efecto del campo
magnético sobre tales partículas clásicas ocasionaría que fueran desviadas también en
sentidos opuestos pero dependiendo el grado de deflexión del ángulo inicial entre el
momento magnético y el campo magnético al que se somete el haz. Por lo tanto algunas
partículas serían desviadas fuertemente, otras de manera más débil y progresivamente se
irían encontrando partículas desviadas en ambas direcciones cubriendo todo el espectro de
intensidades posibles.
Sin embargo, el experimento de Stern-Gerlach pone de manifiesto que esto no es así y se
observa que todas las partículas son desviadas o bien hacia arriba o bien abajo pero ambos
grupos con la misma intensidad. Las partículas tienen o bien espín
intermedios.
o
, sin valores
El momento magnético m del átomo puede medirse mediante esta experiencia y es igual en
módulo al magnetón de Bohr mB.
El experimento de Stern-Gerlach fue realizado en Fráncfort del Meno en 1922 por Otto Stern
y Walther Gerlach. En aquella época Stern era ayudante de investigación de Max Born en el
Instituto de Física Teórica de la Universidad de Fráncfort y Gerlach era un ayudante de
investigación en el Instituto de Física Experimental de la misma universidad. Stern había
sido el primer estudiante de doctorado de Albert Einstein durante su estancia en Praga.
En 1929 , Paul Dirac demostró que este cuarto numero cuántico se origina en las
propiedades relativisticas del electrón. Demostró que el espín del electrón puede describirse
1
como un solo numero cuántico s cuyo valor puede ser s  .
2
Debido a que el electrón es una forma de momento angular, debe seguir las mismas reglas
que el momento angular orbital.
Magnitud del momento angular del espin de un electrón:
También el componente z :
S  ss  1 
3

2
1
S z  ms .   
2
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El momento angular del espín S muestra cuantizacion espacial. Esta figura representa las
dos orientaciones permitidas del vector del momento angular del espín S y el momento
1
magnético de espín espin para una partícula de espín  , como lo es el electrón.
2
El momento magnético del espín espin
 espin  
e
S
me
Debido a que :
1
S z  ms .   
2
Esta cantidad:
e
24
es el magnetón de Bohr :  B  9,27  10 J / T
2me
 espin, z  
e
2 me
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Paul Adrien Maurice Dirac, OM, FRS (8 de agosto de 1902 - 20 de octubre de 1984) fue
un físico inglés pionero en la física cuántica.
Paul Dirac
Paul Adrien Maurice Dirac
Nacimiento
Muerte
Residencia
Campo(s)
8 de agosto de 1902
Bristol, Reino Unido
20 de octubre de 1984
Tallahassee, Florida EE. UU.
EnglishSwiss (to 1919)
English (after 1919)
Física
Instituciones
Universidad de Cambridge
Universidad de Florida
Alma mater
Universidad de Oxford
Conocido por
Premios destacados
Física Cuántica
Premio Nobel de Física (1933)
Biografía
Paul Dirac nació en Bristol, Reino Unido. Su padre, Charles, fue un inmigrante del cantón
suizo de Valais que enseñaba francés para poder sobrevivir. Su madre, originaria de
Cornualles, era hija de marineros. Paul tenía una hermana pequeña y un hermano mayor.
Su primera etapa familiar parece ser infeliz, por la inusual severidad y autoritarismo de su
padre. Estudió en la Bishop Primary School y en el Merchant Venturers Technical College,
una institución de la universidad de Bristol, que enfatizaba las ciencias modernas (algo
inusual en la época, y a lo que Dirac estaría siempre agradecido).
Se graduó en ingeniería de electricidad en la universidad de Bristol en 1921. Tras trabajar
por poco tiempo como ingeniero, Dirac decidió que su verdadera vocación eran las
matemáticas. Completó otra carrera en matemáticas en Bristol en 1923 y fue entonces
recibido en la Universidad de Cambridge, donde desarrollaría la mayor parte de su carrera.
Empezó a interesarse por la Teoría de la relatividad y el naciente campo de la física
cuántica, y trabajó bajo la supervisión de Ralph Fowler.
En 1926 desarrolló una versión de la mecánica cuántica en la que unía el trabajo previo de
Werner Heisenberg y el de Erwin Schrödinger en un único modelo matemático que asocia
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cantidades medibles con operadores que actúan en el espacio vectorial de Hilbert y describe
el estado físico del sistema. Por este trabajo recibió un doctorado en física por Cambridge.
En 1928, trabajando en los spines no relativistas de Pauli, halló la ecuación de Dirac, una
ecuación relativista que describe al electrón. Este trabajo permitió a Dirac predecir la
existencia del positrón, la antipartícula del electrón, que interpretó para formular el mar de
Dirac. El positrón fue observado por primera vez por Carl Anderson en 1932. Dirac
contribuyó también a explicar el spin como un fenómeno relativista.
El Principio de la Mecánica Cuántica de Dirac, publicada en 1930, se convirtió en uno de los
libros de texto más comunes en la materia y aun hoy es utilizado. Introdujo la notación de
Bra-ket y la función delta de Dirac.
En 1931 Dirac mostró que la existencia de un único monopolo magnético en el Universo
sería suficiente para explicar la cuantificación de la carga eléctrica. Esta propuesta recibió
mucha atención pero hasta la fecha no hay ninguna prueba convincente de la existencia de
monopolos.
Paul Dirac compartió en 1933 el Premio Nobel de Física con Erwin Schrödinger "por el
descubrimiento de nuevas teorías atómicas productivas." Dirac obtuvo la cátedra Lucasiana
de matemáticas de la Universidad de
Cambridge donde ejerció como
profesor de 1932 a 1969.
Dirac pasó los últimos años de su vida
en la Florida State University
("Universidad Estatal de Florida") en
Tallahassee, Florida. Allí murió en
1984, y en 1995 se colocó una placa
en su honor en la Abadía de
Westminster en Londres.
Ideología
Dirac era un ateo reconocido. Tras
hablar con Dirac, Pauli dijo en sus
crónicas: "Si entiendo correctamente a
Dirac, él dice: no hay Dios, y Dirac es
su profeta".
Dirac era conocido entre sus colegas
por su naturaleza precisa y taciturna.
Enrico Fermi, Werner Heisenberg e Wolfgang Pauli
Paul Dirac & Werner Heisenberg
Cuando Niels Bohr se quejaba de que no sabía cómo
acabar una determinada frase en un artículo científico,
Dirac le replicó: "A mí me enseñaron en la escuela
que nunca se debe empezar una frase sin saber el
final de la misma". Cuando visitó la U.R.S.S., fue
invitado a una conferencia en filosofía de la física. Él
simplemente se puso de pie y escribió en la pizarra:
"Las leyes físicas deben tener la simplicidad y belleza
de las matemáticas".
Cuando en una ocasión le preguntaron sobre poesía,
contestó: "en ciencia uno intenta decir a la gente, en
una manera en que todos lo puedan entender, algo
que nunca nadie supo antes. La poesía es
exactamente lo contrario".
Dirac era también reconocido por su modestia. Llamó
a la ecuación de la evolución temporal de un operador
mecano-cuántico, "la ecuación de movimiento de
Heisenberg", cuando fue él el primero en escribirla.
Para referirse a la estadística de Fermi-Dirac el
siempre insistió en decir estadística de Fermi.
Dirac tenía solamente 31 años cuando compartió el premio Nobel con el físico austriaco
Erwin Schrödinger, en 1933. Hablaba con fluidez francés e inglés, pero era taciturno en
ambos idiomas. Por otra parte, su timidez llegó a ser legendaria. Por ejemplo, cuando fue
informado que acababa de ganar el premio, Dirac le dijo a Rutherford, entonces jefe de
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Cavendish, que él no lo deseaba aceptar porque le tenía aversión a la publicidad.
¡Rutherford le contestó que el rechazo del premio le traería aún más publicidad!
Dirac se retiró de Cambridge en 1969 y se cambió a la universidad del estado de la Florida
en los EE.UU.. Murió en Tallahassee, Florida, el 20 de octubre de 1984.
SOLUCIONARIO
R.SERWAY – J. JEWETT
FISICA.
Tomo II. 6º Edición.2005. México. Cap. 20.Pág.689
Sección 20,6.
23. Liste todos los conjuntos posibles de números cuánticos para electrones en (a) la
subcapa 3d y (b) la subcapa 3p
Solución (a)
3d 10
3
n
2
l
ml 2 1 0 -1 -2
ms ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓
Total : 10 estados
Solución (b)
3p6
3
n
1
l
ml 1 0 -1
ms ↑↓ ↑↓ ↑↓
Total 6 estados
24. Calcule la cantidad de movimiento angular para un electrón en (a) el estado 4d y (b) el
estado 6f
Solución (a)
L  l (l  1) . cuando n  4
L  2(2  1) .  6
l=2
Solución (b)
L  l (l  1) . cuando n  6
L  3(3  1) .  12
l=3
25. Si un electrón tiene un momento angular orbital igual a 4,714 x 10 -34J.s. ¿Cuál es el
numero cuántico orbital para el estado del electrón.
Solución
L  l (l  1) .
Re emplazando
4,714 x10 34 Js
 l (l  1)
1,055 x10 34 Js
(4,47) 2 

l (l  1)

2
 20  l (l  1)
l4
26. Un átomo de hidrogeno está en su quinto estado excitado, cuyo número cuántico
principal es 6.El átomo emite un fotón con una longitud de onda de 1 090 nm. Determine
el momento angular orbital máximo posible del electrón después de la emisión
Solución
13,6
13,6
eV = - 0,378eV
El quinto estado excitado, para n = 6, tiene energía :  2 eV = 
n
(6) 2
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(6,626  10 34 Js )(3  108 )
 1,14eV

9
19 J
(1090  10 m)(1,6  10
)
eV
Luego habría una diferencia de energía : -0,378eV – 1,14eV = -1,52 eV
13,6
 2 eV = -1,51 eV
Esta energía estaría en n = 3 ,
(3)
Si n = 3 ,
puede tener el máximo l = 2
L  2(2  1) . = L  6.
Luego : L  l (l  1) .
hc
También : E 
reemplazo : E 
27. ¿Cuántos conjuntos de números cuánticos son posibles para un electrón en el cual (a)
n=1 , (b) n = 2 , (c) n=3 , (d) n = 4, (e) n=5?. Verifique sus resultados para demostrar que
están de acuerdo con la regla general de que el numero de conjuntos de números
cuánticos para una capa es igual a 2n2?
Solución
n
l
ml
ms
1
0
0
↑↓
2
0
0
↑↓
3
1
0
↑↓
1
↑↓
-1
↑↓
0
0
↑↓
1
0
↑↓
1
↑↓
-1
↑↓
2
↑↓
1
↑↓
2
0
↑↓
-1
↑↓
-2
↑↓
3
0
↑↓
-1
↑↓
-2
↑↓
4
0
0
↑↓
1
↑↓
1
0
↑↓
-1
↑↓
2
↑↓
1
↑↓
2
0
↑↓
-1
↑↓
-2
↑↓
3
↑↓
2 1
↑↓ ↑↓
-3
↑↓
n  1; ms  2  2(1) 2  2
n  2 ; ms  8  2(2) 2  8
n  3 ; ms  18  2(3) 2  18
n  4 ; ms  32  2(4) 2  32
n  5 ; ms  50  2(5) 2  50
28. Determine todos los valores posibles de L , Lz , y  para un electrón de hidrogeno en un
estado 3d
Solución
L  l (l  1) .
L  2(2  1) .  6
n3
l=2
Como l = 2
ml = -2 , -1 ,0 , 1, 2
Lz  ml .
cos  
Lz  2,1, 0, 1, 2,
ml
Lz

L
l l  1
cos  
Lz ml

L
6
Reemplazando los valores permitidos de ml obtenemos :
  144,7 0 ; 114 0 ; 90 0 ; 65,9 0 ; 35,6 0
29. (a)Determine la densidad de masa de un protón, representándolo como una esfera
solida de radio 1 x 10-15 m. (b) ¿Qué pasaría si? Considere un modelo clásico de un
electrón como una esfera solida con la misma densidad que el protón. Determine su
radio.(c) Imagine que este electrón posee un momento angular de espín I=  2 en
razón de la rotación clásica alrededor del eje de la z. Determine la rapidez de un punto
en el ecuador del electrón y (d) compare esta rapidez con la rapidez de la luz.
Solución
FISICA ATOMICA Y NUCLEAR . Lic. José Moreno Vega.
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FACULTAD DE EDUCACION. Matemática, Física e Informática
INTERPRETACION FISICA DE LOS NUMEROS CUANTICOS
12 de agosto de 2008
Parte (a)
Densidad Protón:  
m
v

mp
vesfera

1,67  10 27 kg
 3,99  1017 kg / m 3
4
 (1  10 15 m)
3
Parte (b)
1/ 3
 3m 
r   e 
 4 
4
Volumen esfera: V  r 3
3
1/ 3
 3(9,11  10 31 kg) 


r

17
3 
Reemplazo datos :
= 8,17 x 10-17 m = 81,7 am
 4 (3,99  10 kg / m 
Parte (c)
2
2
I  (9,11  10 31 kg)(8,17  10 17 m) 2
Recordemos Momento de energía : I  mr 2
5
5
I  2,43  1063 kg.m2
 Iv
Pero : Lz  I  
2 r
(8,17  10 17 m)
 Iv
r
v
 1,77 x1012 m / s
v
Relacionado 
2 r
2I
2(2,43  10 63 kg.m 2 )
v = 1,77 Tm/s
Parte (c)
Transformamos en términos de la velocidad de la luz:
v 1,77  1012 m / s
v = 5,9 x 103 c

 5,9  103
8
c
3  10 m / s
30. Un electrón está en la capa N. Determine el valor máximo del componente en z que su
cantidad de movimiento angular puede tener
Solución
Como un electrón se encuentra en la capa N
n=4
l = 0,1,2,3
ml = - l + l
El valor máximo es : + 3
Lz  3
Lz  ml 
31. El mesón  tiene una carga de -e un numero cuántico de espín igual a 1, y una masa
1507 veces mayor que la del electrón. ¿Que pasaría si? Imagine que los electrones en
los átomos fueran reemplazados con mesones Haga una lista de los posibles
conjuntos de números cuánticos para mesones en la subcapa 3d.
Solución
Subcapa 3d
n=3
l=2
ml = -2,-1,0.+1,+2
s=1
ms = -1, 0, 1
n
l
ml
s
ms
3
2
-2
1
-1
3
2
-2
1
0
3
2
-2
1
1
3
2
-1
1
-1
3
2
-1
1
0
3
2
-1
1
1
3
2
0
1
-1
3
2
0
1
0
3
2
0
1
1
3
2
+1
1
-1
FISICA ATOMICA Y NUCLEAR . Lic. José Moreno Vega.
FACULTAD DE EDUCACION. Matemática, Física e Informática
3
2
+1
1
0
3
2
+1
1
1
3
2
+2
1
-1
3
2
+2
1
0
3
2
+2
1
1
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INTERPRETACION FISICA DE LOS NUMEROS CUANTICOS
12 de agosto de 2008
n = 3 ; l=2 ; ml =-2 ,-1, 0,1 ó 2 ; s =1; ms = -1 , 0 , ó 1 , para un total de 15 estados
FISICA ATOMICA Y NUCLEAR . Lic. José Moreno Vega.
FACULTAD DE EDUCACION. Matemática, Física e Informática
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