ω - CIEP

INGENIERÍA DE CONTROL I
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
TEMA 5. ANÁLISIS DE RESPUESTA EN
FRECUENCIA
CONTENIDO
y
y
y
y
y
RESPUESTA EN FRECUENCIA DE FUNCIONES DE
TRANSFERENCIA
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST
DIAGRAMAS POLARES Y DE NYQUIST
DIAGRAMAS DE BODE
ESTABILIDAD RELATIVA. DEFINICIÓN
Ó DEL MARGEN DE
GANANCIA Y DE FASE
DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ
1
INGENIERÍA DE CONTROL I
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
RESPUESTA EN FRECUENCIA DE FUNCIONES
DE TRANSFERENCIA
r (t ) = Asen (ωt )
Asen (ωt )
C (s) =
AMsen (ωt + φ )
K1
K2
AωG ( s )
=
+
+ ....
2
2
s +ω
s + jω s − jω
AωG ( s )
AG (− jω )
=
K1 =
s − jω s =− jω
−2 j
cs (t ) =
AG ( jω )
K2 =
2j
A ⎡⎣ −G (− jω )e − jωt + G ( jω )e jωt ⎤⎦
2j
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2
INGENIERÍA DE CONTROL I
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
RESPUESTA EN FRECUENCIA DE FUNCIONES
DE TRANSFERENCIA
G ( jω ) = a (ω ) + jb(ω ) = M (ω )e jφ (ω )
M (ω ) = G ( jω ) = a 2 (ω ) + b 2 (ω )
b(ω )
φ (ω ) = tan
a (ω )
−1
G (− jω ) = M (ω )e − jφ (ω )
cs (t ) =
AM (ω ) ( e j (ωt +φ ) − e − j (ωt +φ ) )
2j
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= AM (ω ) sen [ωt + φ (ω ) ]
3
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ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
RESPUESTA EN FRECUENCIA DE FUNCIONES
DE TRANSFERENCIA
Este resultado indica que:
1. Para una entrada sinusoidal, la respuesta forzada es también sinusoidal y de la
misma frecuencia.
2. La magnitud M de la función de respuesta en frecuencia G(jω), obtenida
reemplazando s por jω en la función de transferencia G(s), es igual a la razón de
amplitud de salida a amplitud de entrada.
3. El ángulo de fase φ de G(jω) es el ángulo de fase de la salida con referencia a la de
entrada.
G(jω) se puede dibujar en un plano complejo o una gráfica polar como un vector de
longitud M(ω) y un ángulo de fase φ(ω).
Por ejemplo, para un sistema de primer orden:
G ( jω ) =
K
jωT + 1
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4
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ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
RESPUESTA EN FRECUENCIA DE FUNCIONES
DE TRANSFERENCIA
M (ω ) =
K
1 + (ωT ) 2
φ (ω ) = tan −1 ωT
φ
s + z1 )( s + z2 ) ⋅⋅⋅⋅
(
G(s) = K
( s + p1 )( s + p2 ) ⋅⋅⋅⋅
-p2
-p3
s
-z1
-p1
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5
INGENIERÍA DE CONTROL I
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST
s + z1 )( s + z2 ) ...
(
1 + Gc GH = K
( s + p1 )( s + p2 ) ...
Los polos –p1, -p2,…. de 1 + GcGH son generalmente conocidos, pero los ceros –z1,
-z2,…. no, sii lo
l fueran,
f
un análisis
áli i de
d estabilidad
t bilid d sería
í innecesario.
i
i
D
-p2
s
-zz2
-pp1
-zz1
-p3
Los ceros –z1 y –z2 no son conocidos. Para
probar estabilidad, es necesario y suficiente
mostrar que no hay ceros –zi dentro del
contorno de Nyquist D, el cual encierra toda la
parte derecha del plano s.
R→∞
En principio, el análisis de estabilidad se basa en graficar (1 + GcGH ) en un plano
complejo
p j cuando s se desplaza
p
una vez en sentido de las manecillas del relojj alrededor
del contorno cerrado D.
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6
INGENIERÍA DE CONTROL I
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST
PRINCIPIO DEL ARGUMENTO
Si (1 + GcGH) tiene Z ceros y P polos dentro del contorno de Nyquist D, una gráfica de
(1 + GcGH) cuando s se desplaza en sentido de las manecillas del reloj una vez
alrededor de D, encerrará al origen
g del p
plano complejo
p j en el cual se g
grafica N = Z – P
veces en dirección de las manecillas del reloj.
La gráfica de GcGH cuando s se desplaza una vez alrededor de D se le llama diagrama
de Nyquist.
Nyquist
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST
Un sistema retroalimentado es estable si y sólo si el número de veces que se encierra en
sentido inverso de la manecillas del reloj en un diagrama de Nyquist el punto -1 es igual
al número de polos de GcGH dentro del semiplano derecho, llamados polos inestables
de lazo abierto.
Usualmente, los sistemas son estables en lazo abierto, esto es, P = 0. En este caso el
criterio viene a ser:
Un sistema estable de lazo abierto retroalimentado es estable si y sólo si el diagrama de
Nyquist no encierra el punto -1.
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7
INGENIERÍA DE CONTROL I
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST
Para sistemas estables de lazo abierto, de hecho no es necesario graficar el diagrama de
Nyquist completo; el diagrama polar, para ω incrementando de 0+ a +∞, es suficiente.
CRITERIO DE NYQUIST SIMPLIFICADO
Si GcGH no tiene polos en la parte derecha del plano s, el sistema de lazo cerrado es
estable si y sólo si el punto -1 se encuentra a la izquierda de la gráfica polar cuando se
mueve a lo largo de esta gráfica en dirección de incremento de ω,
ω esto es,
es la gráfica
polar pasa al lado derecho de -1.
-11
ω
GcGH
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8
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ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
DIAGRAMAS POLARES Y DE NYQUIST
DIAGRAMAS POLARES Y ESTABILIDAD
Pi ≡ jωTi + 1 ; Q ≡ ( jω / ωn ) + 2ζ ( jω / ωn ) + 1
2
(1)
K1 / ( P1 P2 )
(2) K 2 / ( P1 P2 P3 )
(3) K1 / Q
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9
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ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
DIAGRAMAS POLARES Y DE NYQUIST
Pi ≡ jωTi + 1 ; Q ≡ ( jω / ωn ) + 2ζ ( jω / ωn ) + 1
2
1
+∞
-1
-1
2
3
2
1
(1)
0+
(1)
2
K / ⎡( jω ) P1 ⎤
⎣
⎦
2
(2) KP1 / ⎡( jω ) P2 P3 ⎤
⎣
⎦
K / ( jω P1 )
((2)) K / ( jω P1 P2 )
(3) KP3 / ( jω P1 P2 )
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10
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ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
DIAGRAMAS POLARES Y DE NYQUIST
M=
KM 3
ω M 1M 2
φ = −90
90º +φ3 − φ1 − φ2
i
φi = tan −1 ωTi
1 − (ω / ωn ) 2
φq
φi
M i = 1 + (ωTi )
q
j 2ζω / ωn
M
M
jωTi
2
Mq =
(1 − ω 2 / ωn2 ) + ( 2ζω / ωn )
2
2
φq = tan −1 2ζ (ω / ωn ) / (1 − ω 2 / ωn2 )
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11
INGENIERÍA DE CONTROL I
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
DIAGRAMAS POLARES Y DE NYQUIST
DIAGRAMAS DE NYQUIST Y ESTABILIDAD
Pi ≡ jωTi + 1
0-
+∞
-∞
-1
0+
K / ( P1 P 2 P3 )
K / ( jω P1 P 2 )
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2
K / ⎡( jω ) P1 ⎤
⎣
⎦
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ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
DIAGRAMAS POLARES Y DE NYQUIST
Pi ≡ jωTi +
+1
1
0+
0+
00+
-1
+∞
-∞
-1
02
KP1 / ⎡( jω ) P2 P3 ⎤
⎣
⎦
-1
1 +∞
-∞
+∞
-∞
K / ⎡⎣ jω ( jωT1 − 1) ⎤⎦
0KP2 / ⎡⎣ jω ( jωT1 − 1) ⎤⎦
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13
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ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
DIAGRAMAS DE BODE
Los diagramas de Bode son una alternativa a los diagramas polares y son ampliamente
usados.
d Son
S más
á fáciles
fá il de
d hacer
h
y de
d interpretar
i t
t en términos
té i
d diferentes
de
dif
t aspectos
t del
d l
comportamiento del sistema.
Supóngase la siguiente entrada:
x(t ) = Xsenωt
L ffunción
La
ió de
d transferencia
t
f
i de
d un sistema
i t
puede
d escribirse
ibi
como:
G(s) =
S1S 2 ...Q1Q2 ...
K
s n S k +1S k + 2 ...Ql +1Ql + 2 ...
Donde
2
Si ≡ jωTi + 1
⎛ jω ⎞
jω
Qi ≡ ⎜
+1
⎟ + 2ζ i
ωni
⎝ ωni ⎠
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14
INGENIERÍA DE CONTROL I
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
DIAGRAMAS DE BODE
Al llegar el sistema al estado estacionario y sustituyendo s = jω
G ( jω ) = Me jφ = M∠φ
Ejemplo:
K
Ts + 1
sustituyendo s por jω
K
G ( jω ) =
jTω + 1
G(s) =
G ( jω ) =
K
1+ T ω
2
2
φ = ∠G ( jω ) = − tan −1 Tω
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Magnitud
Fase
15
INGENIERÍA DE CONTROL I
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
DIAGRAMAS DE BODE
Un diagrama de Bode está formado por dos gráficas: una
es la
l gráfica
áfi
d l logaritmo
del
l
it
d la
de
l magnitud
it d de
d la
l función
f
ió de
d
transferencia y la otra es la gráfica del ángulo de fase; ambas
se dibujan contra la frecuencia en escala logarítmica
La representación logarítmica se obtiene como:
G ( jω ) es 20 log G ( jω )
donde la base del logaritmo es 10
La unidad de representación es el decibelio
representado usualmente por dB
• Multiplicaciones de magnitudes se convierten en sumas
• Se pueden usar asíntotas para aproximar el resultado
• No se puede graficar la respuesta a frecuencia 0
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16
INGENIERÍA DE CONTROL I
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
DIAGRAMAS DE BODE
F
Factores
básicos
bá i
a considerar
id
para obtener
b
una gráfica
áfi de
d Bode
B d
1 La ganancia K
1.
2. Los factores integrales y derivativos (jω)±1
3. Los factores de primer orden
(1 + j ω T ) ± 1
4 Los factores de segundo orden
4.
[1 + 2ζ ( jω ω ) + ( jω ω ) ]
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2 ±1
n
n
17
INGENIERÍA DE CONTROL I
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
DIAGRAMAS DE BODE
1. La ganancia K
Su comportamiento se
obtiene mediante:
20 log K = −20 log
40
30
1
K
20
10
0
-10
-20
-30
-40 -2
10
-1
10
0
10
1
10
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18
INGENIERÍA DE CONTROL I
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
DIAGRAMAS DE BODE
2. Factores integrales
g
y derivativos (jω)±1
20 log
g G ( j ω ) = 20 logg
para el caso 20 log
1
= − 20 log
g ω dB
jω
1
( jω )
n
Para G(jω)-1
= − 20 n log ω dB
20 log G ( jω ) = 20 log ( jω ) = 20 log ω dB
para el caso 20 log ( jω ) n = 20n log ω dB
DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ
Para G(jω)+1
19
INGENIERÍA DE CONTROL I
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
DIAGRAMAS DE BODE
En diagramas
E
di
d Bode,
de
B d la
l razón
ó de
d cambio
bi de
d frecuencia
f
i se
expresa en términos de octava o bien de décadas.
Octava: es una razón de cambio de frecuencia de ω a 2 ω, 3 ω,
etc.
Década: es una razón de cambio de frecuencia de ω a 10 ω, 100 ω,
etc.
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20
INGENIERÍA DE CONTROL I
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
DIAGRAMAS DE BODE
La razón de cambio entonces para (1/j ω)n y (j ω)n son
-20n dB/década y 20n dB/década, respectivamente.
¿Cómo es la razón de cambio de fase?
θ = tan −1 ( jω ) = 90º
para (jω)+1
⎛ 1⎞
θ = tan ⎜ ⎟ = tan−1 ( − jω) = −90º
⎝ jω ⎠
para ( jω)−1
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−1
21
INGENIERÍA DE CONTROL I
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
DIAGRAMAS DE BODE
40
30
20
0
Pendiente de -20
dB/dec para (jω)-11
dB/dec,
-20
-40
-60
-90ºpara (jω)-1
-80
0
º
dB
d
10
Fase constante de
-100
-10
-120
-20
-140
-30
-40
10-1
-160
100
rad/seg
101
102
-180 -1
10
DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ
0
1
10
10
2
10
rad/seg
g
22
INGENIERÍA DE CONTROL I
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
DIAGRAMAS DE BODE
40
180
30
160
+90ºpara (jω)+1
120
10
100
0
º
dB
d
Fase constante de
140
20
80
-10
Pendiente de +20
dB/dec,, para
p
(jω)+1
-20
60
40
-30
-40
10-1
20
100
rad/seg
101
102
0
10-1
DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ
100
rad/seg
g
101
102
23
INGENIERÍA DE CONTROL I
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
DIAGRAMAS DE BODE
3 Factores de primer orden
3.
(1 + jωT ) ±1
(1 + jωT ) −1
Caso 1.
20 log
1
= −20 log 1 + ω 2T 2 dB
1 + j ωT
Para ω<< 1/T
− 20log 1+ ω T ≅ −20log(1) = 0 dB
2
2
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Para ω>> 1/T
− 20log 1+ ω2T 2 ≅ −20logωT
24
INGENIERÍA DE CONTROL I
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
DIAGRAMAS DE BODE
asíntotas
asíntotas
10
10
5
0
0
-10
-5
-20
-10
-30
-15
-20
Frecuencia
d corte
de
t
-40
-50
-25
-60
-30
-70
-35
-80
-40
-1
10
10
1/100T
1/10T
0
10
1
1/1T
10
2
Frecuencia de
corte a -45º
-90 -1
10
10/1T
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1/100T
0
1
10
10
1/10T
1/1T
2
10
10/1T
25
INGENIERÍA DE CONTROL I
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
DIAGRAMAS DE BODE
Preguntas:
a) ¿Cuál es el error máximo con respecto a la curva exacta?
b) ¿Cuánto es el error una octava antes de la frecuencia de corte?
c) ¿Cuánto es el error una octava después de la frecuencia de
corte?
d) ¿Qué ocurre en el caso de (1+jωT)+1
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26
INGENIERÍA DE CONTROL I
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
DIAGRAMAS DE BODE
4. Factores de segundo orden
[1 + 2ζ ( jω ω
n
) + ( jω ω n )
]
2 ±1
En este caso el
e error
e o es más
ás grande
g a de debido
deb do al
a factor
acto ζ, sin
s
embargo las asíntotas se calculan como sigue:
C
Caso
1.
1
20 log
1
⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞
1 + 2ζ ⎜ j
+ j
⎜ ω n ⎟⎟ ⎜⎝ ω n ⎟⎠
⎝
⎠
2
2
⎛
ω ⎞ ⎛
ω ⎞
= − 20 log ⎜ 1 − 2 ⎟ + ⎜ 2ζ
⎟
ω
ω
n ⎠
n ⎠
⎝
⎝
2
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2
27
INGENIERÍA DE CONTROL I
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
DIAGRAMAS DE BODE
2 0 lo g
2
1
⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞
1 + 2ζ ⎜ j
⎟+⎜ j
⎟
ω
ω
n ⎠
n ⎠
⎝
⎝
Para ω << ωn
− 20 log 1 = 0 dB
Las asíntotas
cortan en ω = ωn
2
= − 2 0 lo g
⎛
⎛
ω2 ⎞
ω ⎞
⎜ 1 − 2 ⎟ + ⎜ 2ζ
⎟
ωn ⎠
ωn ⎠
⎝
⎝
2
Para ω >> ωn
ω2
ω
− 20 log 2 = − 40 log
dB
ωn
ωn
ωn
− 40 log
= -40 log 1 = 0 dB
ωn
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28
INGENIERÍA DE CONTROL I
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
DIAGRAMAS DE BODE
20
ς = 0.05
0.10
0 15
0.15
0.20
0.25
0.30
10
0
0.40
0.50
0.60
0.80
1.0
-10
-20
-30
-40
01
0.1
02
0.2
05
0.5
10
1.0
20
2.0
50
5.0
10 0
10.0
5.0
10.0
ω/ωn
0
ς = 0.05
0.10
0 15
0.15
0.20
0.25
0.30
-45
0.40
0.50
0.60
0.80
1.0
-90
-135
-180
0.1
0.2
0.5
1.0
ω/ωn
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2.0
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INGENIERÍA DE CONTROL I
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
ESTABILIDAD RELATIVA
RELATIVA. DEFINICIÓN DEL
MARGEN DE GANANCIA Y DE FASE
1. Margen de ganancia = 1/0C.
1
1/0C
2. Margen de fase φm = 180° más el ángulo de fase de GcGH en la frecuencia de cruce
(crossover frequency) ωc en la cual |GcGH| = 1. Es también el corrimiento de fase
negativo (esto es, la rotación en el sentido de las manecillas del reloj) de GcGH que
hará que la curva pase a través de -1.
C
-1
0
φm
A
ωc
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30
INGENIERÍA DE CONTROL I
ANÁLISIS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
ESTABILIDAD RELATIVA
RELATIVA. DEFINICIÓN DEL
MARGEN DE GANANCIA Y DE FASE
1. El margen de fase φm es la distancia de la curva
de ángulo de fase sobre los -180° en la
frecuencia de cruce (crossover frequency) ωc,
donde la gráfica de magnitud cruza el eje 0 dB.
2. El margen de ganancia, GMdB en decibeles, es
la distancia de la gráfica de magnitud debajo del
eje de 0 dB en la frecuencia donde la curva del
ángulo de fase muestra un ángulo de -180°.
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31