ω - CIEP

INGENIERÍA DE CONTROL I
DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
TEMA 6. DISEÑO EN RESPUESTA EN
FRECUENCIA
CONTENIDO
y
y
CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
DISEÑO DE COMPENSADORES (LOOPSHAPING)
DRS. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ Y CIRO ALBERTO NÚÑEZ GUTIÉRREZ
1
INGENIERÍA DE CONTROL I
DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
COMPENSACIÓN
Ó DINÁMICA
Á
Suponga el siguiente sistema de control, donde a la planta G(s) se le ha
añadido un
n compensador en serie Gc(s)
( ) y se tiene retroalimentación unitaria.
nitaria
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2
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DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
dB
dB
Ki
-20
Ki/Kp
0
0
ω
-20
φ
φ
ω
0
1
T2
a
1
T1
ω
ω
0
-45
-90
1 + s K p Ki
Ki
Kp +
= Ki
s
s
φ = −90º + tan −1
K (T2 s + 1) /(T1s + 1)
φ = tan −1 ωT2 − tan −1 ωT1
ω
a = 20 log T1 / T2
Ki K p
(a) Control PI
(b) Compensación de atraso de fase
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3
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DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
1
T1
ω
1
T2
φ
ω
φ
ω
ω
K p + K d s = K p (1 + s K d K p )
φ = tan
−1
K (T1s + 1) /(T2 s + 1)
ω
φ = tan −1 ωT1 − tan −1 ωT2
K p Kd
(c) Control PD
a = 20 log T1 / T2
(d) Compensación de adelanto de fase
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4
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CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
( ) Control
(e)
C t l PID
a = 20 log
(f) Control
C t l atraso
t
- adelanto
d l t
1 T2
T
= 20 log 1
1 T1
T2
El máximo adelanto de fase y la frecuencia a la cual ocurre se puede mostrar
que es
ωm =
1 1
T1 T2
φmax = sen −1
(T1 T2 ) − 1
(T1 T2 ) + 1
Estas ecuaciones con un signo negativo para el ángulo también se aplican
ppara el atraso de fase.
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5
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DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
70
60
50
φmax
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
T1/T2
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6
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DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
En base al hecho de que el desempeño de muchos sistemas son dominados
por un par de polos complejos conjugados, es apropiado examinar un sistema
de segundo orden.
ωn2
C ( s)
= 2
R ( s ) s + 2ζωn s + ωn2
C id
Considerando
d la
l respuesta
t a la
l frecuencia
f
i del
d l sistema
it
C ( jω )
1
=
R ( jω ) ( jω / ωn ) 2 + 2ζ ( jω / ωn ) + 1
M=
C
=
R
1
(1 − ω 2 / ωn2 ) + ( 2ζω / ωn )
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2
2
7
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DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
Las mediciones claves del desempeño de respuesta en frecuencia se pueden
distinguir en la curva típica
M
Mp
1
0.707
ω p ωb
ω
1. Pico resonante (Resonant peak) Mp a la frecuencia de resonancia ωp: Una
medida
did de
d la
l estabilidad
t bilid d relativa.
l ti
2. Ancho de banda (Bandwidth) ωb: Una medida de la velocidad de
respuesta, definida como el rango de frecuencias sobre las cuales M es
igual al menos 0.707
0 707 (–
( 3 dB) de su valor en ω = 0.
0 Es el rango de
frecuencias en las que la respuesta se puede considerar satisfactoria.
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8
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DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
En respuesta transitoria,
transitoria ζ y ωn correspondientes a los polos dominantes
determinan la velocidad de respuesta y el sobretiro.
Las relaciones entre ζ y ωn y los criterios de desempeño de respuesta en
frecuencia se pueden expresar como:
ωp
= 1 − 2ζ 2
ωn
Mp =
1
2ζ 1 − ζ
2
ζ ≤ 0.707
El ancho de banda se puede expresar en función de ζ y ωn como sigue:
1/ 2
ωb ⎡
2
2
2 ⎤
= 1 − 2ζ + 2 − 4ζ (1 − ζ )
⎥⎦
ωn ⎢⎣
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9
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DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
2.5
2
Mp
1.5
1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
ζ
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10
INGENIERÍA DE CONTROL I
DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
1
0.75
ωp
ωn
0.5
0.1
0.2
0.3
0.4
ζ
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0.5
0.6
0.7
11
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DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
ESPECIFICACIONES DE DESEMPEÑO EN EL DIAGRAMA DE BODE
Mediciones de desempeño de respuesta en frecuencia en lazo abierto
El pico de resonancia y el ancho de banda son especificaciones de desempeño
para un sistema de lazo cerrado. Sin embargo, tanto las gráficas de Bode
como las polares son diagramas de la función de ganancia de lazo. La
P
Pregunta
es: ¿Qué
Q é requerimientos
i i
se deben
d b imponer
i
en estas gráficas
áfi
para satisfacer las especificaciones en lazo cerrado de ancho de banda ωb
y estabilidad relativa ζ o Mp?
Para relacionar los criterios de lazo abierto y cerrado, se observa que C/R
puede considerarse que se constituye por un sistema con retroalimentación
unitaria y una función de ganancia de lazo
ωn2
Gc G =
s ( s + 2ζωn )
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12
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DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
La función de respuesta en frecuencia es
Gc G ( jω ) =
ωn2
−ω 2 + 2 jζωnω
2ζωn
Gc G = − tan
−ω
−1
ωn2
Gc G =
ω 4 + ( 2ζωnω )
2
De particular importancia para el análisis y diseño es la frecuencia de cruce
(crossover frequency) ωc, donde GcG cruza el eje de 0 dB y donde está
definido el margen
g de fase.
Gc G = 1
ωc4 + ( 2ζωnωc ) − ωn4 = 0
2
cuando
T
Tomando
d la
l raíz
í positiva
ii
ωc
=
ωn
(
4ζ + 1 − 2ζ
4
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2
)
1/ 2
13
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DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
ωb
ωn
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
ωc
ωn
1
0.9
ωc
ωb
0.8
0.7
0.635
0.6
0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ζ
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14
INGENIERÍA DE CONTROL I
DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
Es interesante notar que la relación de la frecuencia de cruce a la del ancho de
banda se puede aproximar por:
ωc ≈ 0.635ωb
Esto muestra cómo la frecuencia de cruce de la función de ganancia de lazo
debe seleccionarse para conseguir la especificación del ancho de banda del
sistema en lazo cerrado
El margen de fase φm es igual a 180º más el ángulo de fase de GcG en ωc.
φm = tan −1
(
2ζ
4ζ + 1 − 2ζ
4
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2
)
1/ 2
15
INGENIERÍA DE CONTROL I
DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
80
60
φm
40
20
0
0
0.2
0.4
ζ
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0.6
0.8
1
16
INGENIERÍA DE CONTROL I
DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
La relación φm – ζ representa una importante y útil correlación entre la
respuesta en frecuencia y la medida de la estabilidad relativa de la respuesta
transitoria Una buena
transitoria.
b ena aproximación
apro imación a esta curva
c r a puede
p ede ser dada por:
φm ≈ 100ζ
Con esta relación, las gráficas mostradas en las diapositivas 10, 11 y 14, se
pueden considerar que son representaciones en función del margen de fase.
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17
INGENIERÍA DE CONTROL I
DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
ζ
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
φm
0
11 4
11.4
22 6
22.6
33 3
33.3
43 1
43.1
51.8
18
59.2
92
6 2
65.2
69 9
69.9
73.5
3
73.6
36
P.O
100
73
53
37
25
16
9.5
4.6
1.5
ωc/ωb 0.64 0.64
0.64
0.63
0.62
0.62
0.62
0.64
0.67
0.71
0.75
ωc/ωn
0.99
0.96
0.91
0.85
0.79
0.72
0.65
0.59
0.53
0.49
ωb/ωn 1.55 1.54
1.51
1.45
1.37
1.27
1.15
1.01
0.87
0.75
0.64
1
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18
INGENIERÍA DE CONTROL I
DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
CRITERIOS DE DESEMPEÑO PARA LA RESPUESTA EN
FRECUENCIA
Mediciones de desempeño
p
en el diagrama
g
de Bode de GcG
1.
2
2.
3.
4.
5.
6.
Estabilidad relativa: GcG debe tener adecuado valor de
−20
pendiente de no más de -20 dB/dec en o cerca de la frecuencia
ωc
de cruce ωc.
0
Exactitud de estado estable: Para mejorar la exactitud de
estado estable, la asíntota de baja frecuencia debe ser elevada o
cambiada su pendiente.
−40
Exactitud en el rango de operación: Para asegurar la exactitud
ωc
especificada sobre un rango normal de frecuencias,
frecuencias la gráfica 0
no debe caer por debajo de un nivel mínimo dado en este
rango. Para mejorar la exactitud, este nivel debe ser elevado.
Frecuencia de cruce y ancho de banda: La frecuencia de cruce
−20
ωc es una medida del ancho de banda ωb y por lo tanto de la
ωc
velocidad de respuesta. ωc ≈ 0.635 ωb.
0
Rechazo al ruido: Para asegurar la atenuación especificada
−40
(reducción) de las componentes de ruido en la entrada arriba
de cierta frecuencia,
frecuencia la gráfica arriba de esa frecuencia debe
Gc G
estar abajo de un cierto nivel mínimo.
20
ωc
Sensibilidad del sistema: Varios aspectos de sensibilidad
0
ωd
ωa
discutidos en el tema 3 están cercanamente relacionados a las
−20
especificaciones 3 y 5 y a la correspondiente figura inferior.
inferior
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Gc G ≈
ω
ωc
jω
φm ≈ 90º
Gc G ≈
ωc2
( jω ) 2
ω φ ≈ 0º
m
Gc G ≈
ωc
jω (1 + jω ωc )
ω φ ≈ 45º
m
ω
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19
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DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
DISEÑO DE COMPENSADORES (
(LOOPSHAPING)
)
ATRASO DE FASE
• Contribuye con ángulos de fase negativos a GcG, por
lo que tiende a reducir el margen de fase.
• Puede ser usado para elevar la magnitud de la gráfica
de GcG en bajas frecuencias (incrementando la
exactitud para entradas en ese rango) y/o bajarla para
altas frecuencias (haciendo que la sección con una
pendiente de -20 dB/dec de GcG cruce el eje de 0 dB
mejorando la estabilidad relativa).
• La ganancia K se elige para satisfacer las
especificaciones
ifi i
d exactitud
de
i d de
d estado
d estable.
bl
• La frecuencia de cruce es ω1. Incluso sin la gráfica del
ángulo de fase se observa que el margen de fase es
pequeño porque no ocurre en o cerca del rango de
pendiente
di
d -20
de
20 dB/dec.
d /d
• Para mejorar el margen de fase se debe bajar la
gráfica a dB y la frecuencia de cruce quedaría en ωc.
• La frecuencia de corte superior de Gc se selecciona un φ
f
factor
d 10 debajo
de
d b j de
d ωc para contribuir
ib i sólo
ól con un
pequeño ángulo de fase en esa frecuencia.
• La frecuencia de corte inferior de Gc se puede
seleccionar de acuerdo a:
a = 20 log
T1
T2
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ωc
ω1
φm
ω
20
INGENIERÍA DE CONTROL I
DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
DISEÑO DE COMPENSADORES (
(LOOPSHAPING)
)
PROCEDIMIENTO DE DISEÑO
1. Determine la ganancia del controlador K para satisfacer la especificación de
estado estable y dibuje la función de ganancia de lazo KG.
2. Determine la frecuencia ωc en la cual el ángulo de fase de G es (–180º + φm + 5º),
donde φm es el margen de fase especificado, con un complemento de 5º para el
á l con que contribuye
ángulo
t ib
ell compensador
d en ωc. Esta
E t es la
l frecuencia
f
i de
d cruce
deseada.
3. Seleccione la frecuencia de corte superior 1/T2 del compensador de atraso de fase
una década debajo de ωc.
4. Mida la magnitud a dB de la gráfica construida en el paso 1 en la frecuencia ωc.
Esto determina la razón de las frecuencias de corte del compensador de atraso de
fase.
fase
5. Calcule la frecuencia de corte inferior 1/T1 del compensador de atraso de fase a
partir del valor de a, definido en la diapositiva anterior. Alternativamente, se
puede encontrar por construcción: GcG es paralelo a KG debajo de 1/T2, y una
asíntota de -40 dB/dec comenzando aquí intersecta KG en 1/T1.
6. Dibuje GcG para verificar que se cumple con todas las especificaciones y exprese
eel co
compensador
pe sado co
como:
o:
T s +1
Gc = K 2
T1s + 1
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21
INGENIERÍA DE CONTROL I
DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
DISEÑO DE COMPENSADORES (
(LOOPSHAPING)
)
Ejemplo 1
Con G = 1/ [s(0.5s + 1)], diseñe un compensador de atraso de fase para satisfacer
las siguientes especificaciones:
1. El error de estado estable siguiendo a una rampa unitaria no exceda del
10%.
2. El margen de fase debe ser al menos de 55º.
3. El error en respuesta a una entrada sinusoidal con frecuencias de hasta 0.1
rad/seg no debe exceder del 10%.
Para Gc = K la función de ganancia de lazo es:
Gc G =
K
s (0.5s + 1)
La especificación 1 requiere al menos K = 10 (ess = 1/K). La especificación 3 también
se satisface,
if
ya que se requiere
i
d una ganancia
de
i de
d all menos 10 = 20 dB hasta
h
una
frecuencia de 0.1 rad/seg (E/R = 1/(1 + GcG), por lo que │GcG │≥ 10 = 20 dB).
Por inspección el margen de fase de 10G es muy inadecuado.
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22
INGENIERÍA DE CONTROL I
DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
DISEÑO DE COMPENSADORES (
(LOOPSHAPING)
)
dB
60
40
10G
20
GcG
ω
0
-20
-40
-60
0.01
0.1
1
10
100
Los ángulos de fase de algunas frecuencias son:
φ (1) = −117
117º
φ (1.5) = −127
127º
φ (2) = −135
135º
Por lo que, si la frecuencia de cruce de GcG se selecciona en 1 rad/seg, un
complemento de (180 – 117) – 55 = 8º es factible para considerar el ángulo de
f
fase
i t d id por Gc en 1 rad/seg.
introducido
d/
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23
INGENIERÍA DE CONTROL I
DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
DISEÑO DE COMPENSADORES (
(LOOPSHAPING)
)
Entonces, se desea bajar la parte de altas frecuencias de 10G de tal manera que
cruce 0 dB en 1 rad/seg,
rad/seg manteniendo la parte de bajas frecuencias de 10G sin
cambio. Lo anterior se puede lograr con un compensador de atraso de fase. La
frecuencia de corte superior de Gc se selecciona en 0.1 rad/seg, un factor de 10
debajo de la frecuencia de cruce.
cruce Esto también satisface la especificación 3.
3
Por construcción del diagrama de Bode, una asíntota con una pendiente de –40
dB/dec, comenzando en 0.1 rad/seg intersecta la gráfica de 10G en 0.01 rad/seg,
punto donde se ubica la frecuencia de corte inferior de Gc.
Otra manera de encontrar la frecuencia de corte inferior de Gc es tomando en
cuenta la cantidad de dB qque se debe bajar
j la ggráfica 10G en la región
g
de la
frecuencia de cruce seleccionada
T
a = 20 log 1 = 20dB ⇒ T1 = 10T2
T2
Con lo que la función de transferencia del compensador de atraso de fase queda:
1 + s / 0.1
Gc = 10
1 + s / 0.01
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24
INGENIERÍA DE CONTROL I
DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
DISEÑO DE COMPENSADORES (
(LOOPSHAPING)
)
Ejemplo 2
Sea
G=
1
s ( s + 1)(0.5s + 1)
Gc = K
De tal manera que la función de ganancia de lazo es:
Gc G =
K
s ( s + 1)(0.5
1)(0 5s + 1)
Para Gc = K = 0.325 el margen de fase es φm = 63º. Suponga ahora que se
especifica que el error de estado estable 1/K no puede exceder de 40% . Entonces
se requerirá que K = 2.5. Para Gc = K = 2.5 el diagrama de Bode de la función de
ganancia de lazo muestra que la frecuencia de cruce está alrededor de la mitad
entre –20 y –60 dB/dec, por lo que el margen de fase probablemente esté cercano
a cero.
La frecuencia de corte superior del compensador se selecciona 10 veces abajo de
la frecuencia de cruce deseada, por lo que 1/T2 = 0.0325. Entonces el
compensador
d no contribuirá
t ib i á con más
á de
d –5º
5º a la
l frecuencia
f
i de
d cruce (0.325),
(0 325) por
lo tanto no se reducirá el margen de fase más de este valor.
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25
INGENIERÍA DE CONTROL I
DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
DISEÑO DE COMPENSADORES (
(LOOPSHAPING)
)
El valor de 1/T1 pe puede
encontrar
gráfica
o
analíticamente mediante
a = 20 log
T
2.5
= 20 log 1
0.325
T2
ω
1 1 0.325
=
= 0.00422
0 00422
T1 T2 2.5
El compensador deseado es
1 + s / 0.0325
Gc = 2.5
1 + s / 0.00422
Dado que │GcG │> 100 para frecuencias menores de 0.01 rad/seg, los errores
con entradas de hasta esta frecuencia no excederán del 1%. Arriba de 2 rad/seg
│GcG │
│
│< 0.1,, p
por lo qque menos del 10% del ruido en altas frecuencias aparecerá
p
en la salida.
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26
INGENIERÍA DE CONTROL I
DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
DISEÑO DE COMPENSADORES (
(LOOPSHAPING)
)
ADELANTO DE FASE
• Contribuye con ángulos de fase positivos a GcG, por
lo que tiende a incrementar el margen de fase y
mejorar
j
l estabilidad
la
bilid d relativa.
l i
• Permite incrementar la frecuencia de cruce y por lo
tanta el ancho de banda y la velocidad de respuesta.
• Con la compensación de adelanto de fase, la
estabilidad
bilid d puede
d
mejorarse
j
sin
i
di i i la
disminuir
l
frecuencia de corte y por lo tanto sin pérdida de
velocidad de respuesta.
• La ganancia K se elige para satisfacer las
especificaciones
ifi i
d exactitud
de
i d de
d estado
d estable.
bl Por
P
inspección, el margen de fase es pequeño, dado que la
frecuencia de cruce ωa no está cercana al rango de
pendiente de –20 dB/dec.
• Para
P determinar
d
i
l relación
la
l ió T1/T2 de
d las
l frecuencias
f
i de
d
corte requeridas se necesita hacer que el máximo
adelanto de fase φmax (definido en la diapositiva 5),
proporcionado por el compensador, sea igual al total
d adelanto
de
d l t de
d ángulo
á
l necesario.
i
• Lo anterior se satisface satisfactoriamente si la
frecuencia donde ocurre φmax, ωm, se hace coincidir
con la frecuencia de cruce deseada ωc. Esto es:
ωc = ω m =
1
T1T2
60
40
1/T1
20
dB
1/T2
Gc/K
a dB
0
-20
ω a ωc
GcG
-40
KG
-60
a dB
-45
-90
φ
GcG
KG
-135
φm
-180
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0.1
1
ω
10
100
1000
27
INGENIERÍA DE CONTROL I
DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
DISEÑO DE COMPENSADORES (
(LOOPSHAPING)
)
PROCEDIMIENTO DE DISEÑO
1. Determine la g
ganancia del controlador K p
para satisfacer la especificación
p
de estado
estable y dibuje la función de ganancia de lazo KG y encuentre el margen de fase.
2. Reste este margen de fase del deseado, definido por la especificación de el porcentaje
de sobretiro o la razón de amortiguamiento (ver tabla de diapositiva 18).
3 Agregue
3.
A
a la
l diferencia
dif
i un complemento
l
d 7º (20º sii en la
de
l región
ió de
d interés
i
é la
l
pendiente es de –60 dB/dec.) para tomar en cuenta el ángulo con que contribuye el
compensador en ωc.
4 Determine la relación T1/T2 de las frecuencias de corte necesarias para hacer que el
4.
máximo adelanto de fase φmax sea igual al calculado en los puntos 2 y 3.
5. Determinar la frecuencia de cruce deseada ωc donde KG es 10 log (T1/T2) abajo del eje
de 0 dB.
6. La frecuencias de corte del compensador se pueden encontrar con la relación T1/T2 y
ωc = ω m =
1
T1T2
7. Dibuje GcG para verificar que se cumple con todas las especificaciones y exprese el
compensador como:
Gc = K
T1s + 1
T2 s + 1
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28
INGENIERÍA DE CONTROL I
DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
DISEÑO DE COMPENSADORES (
(LOOPSHAPING)
)
Ejemplo 3
Sea
G=
1
s ( s + 2)
K = 30 Necesaria para la exactitud
del estado estable
Entonces
KG =
30
15
=
s ( s + 2) s (0.5s + 1)
La frecuencia de cruce es 5.4 y el margen de fase es de 180 – 159.7 =20.3º
Suponga que se especifica que se requiere una razón de amortiguamiento de 0.5
de los polos dominantes.
De la tabla presentada en la diapositiva 18 se obtiene que para esa razón de
amortiguamiento se requiere un margen de fase de 52
52º. Entonces el compensador
debe proveer un adelanto de (52 – 20.3) más un complemento de 7º , igual a
38.7º.
La razón T1/T2 de las frecuencias de corte del compensador de adelanto de fase se
selecciona que sea de 4.5.
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29
INGENIERÍA DE CONTROL I
DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
DISEÑO DE COMPENSADORES (
(LOOPSHAPING)
)
Lo anterior da un adelanto de
fase máximo de 39º.
39º Del
punto 5 del procedimiento de
diseño, la frecuencia de
cruce se selecciona en ωc =
8, donde KG es 10 log 4.5 =
6.5 dB abajo del eje de 0 dB.
Con la razón de 4.5
4 5 y la
ecuación del punto 6 del
procedimiento de diseño se
obtienen qque las frecuencias
de corte del compensador
son 3.8 y 17
60
40
1/T1
20
dB
1/T2
Gc/K
a dB
0
-20
ω a ωc
GcG
-40
-60
KG
0.1
1
ω
10
100
a dB
1000
El compensador deseado es
Gc = 30
1 + s / 3.8
1 + s /17.0
/17 0
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30
INGENIERÍA DE CONTROL I
DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
DISEÑO DE COMPENSADORES (
(LOOPSHAPING)
)
Ejemplo 4
Sea
G=
1
s2
K = 1.752 = 3.06 Necesaria para la exactitud
del estado estable
Entonces
KG =
3.06
s2
La gráfica cruza el eje 0 dB en
K = 1.75
Suponga que se especifica que se requiere una razón de amortiguamiento de 0.5
de los polos dominantes.
De la tabla presentada en la diapositiva 18 se obtiene que para esa razón de
amortiguamiento se requiere un margen de fase de 52º. Dado que la fase de G es
–180º, el compensador de adelanto debe contribuir con al menos +52º.
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31
INGENIERÍA DE CONTROL I
DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
DISEÑO DE COMPENSADORES (
(LOOPSHAPING)
)
De la figura presentada en la
diapositiva 6,
6 T1/T2 = 10
contribuirá con un adelanto
máximo de +55º en una
frecuencia
1
ωm =
dB
T1T2
Como se discutió anteriormente,
anteriormente
para hacer que ωm coincida con
ωc, ésta debe ocurrir donde KG
está 10 log (T1/T2) = 10 dB abajo
del eje de 0 dB. Se encuentra que
ωc es 3.08 rad/seg, por lo que
ωc = ωm = 3.08 =
1
1
=
T1T2 T2 10
60
40
Gc/K
0.94 = 1/T1
20
-20
20
3.08
0
-20
9.74 = 1/T2
KG
-40
GcG
-40
-60
0.1
1
ω
10
100
1000
Las frecuencias de corte y la función de
transferencia del compensador son entonces
1
= 0.974
T1
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1
= 9.74
T2
Gc = 3.06
1 + s / 0.974
1 + s / 9.74
32
INGENIERÍA DE CONTROL I
DISEÑO EN RESPUESTA EN FRECUENCIA
DISEÑO DE COMPENSADORES (
(LOOPSHAPING)
)
Si K no es seleccionada por especificación del error de estado estable, pero en su
lugar se especifica el ancho de banda ωb, entonces ωc se estima de la tabla
presentada en la diapositiva 18 como ωc = 0.62 ωb, y KG debe pasar 10 dB abajo
del eje de 0 dB en esta frecuencia. El valor de ωc = 3.08 corresponde a ωb = 5.
Una tercera alternativa es que si se especifica el tiempo de asentamiento, por
ejemplo, Ts = 2 segundos. Dado que Ts = 4/(ζωn) y ζ = 0.5, esto requiere que ωn =
4. De la figura presentada en la diapositiva 14 para ζ = 0.5, se obtiene ωc/ωn =
0.77, por lo que Ts = 2 traslada a un requerimiento estimado de ωc = 4 × 0.77 =
3.08. Obsérvese, finalmente, que subiendo o bajando la gráfica del diagrama de
B d de
Bode
d la
l diapositiva
di
iti anterior,
t i cambiando
bi d ell valor
l de
d K , se acercaráá la
l región
ió de
d
cruce a la sección que tiene una pendiente de –40 dB/dec y por lo tanto se
reducirá el margen de fase.
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33