( )x - Universidad de los Andes

Cálculo Diferencial
MATE1203
Tercer parcial
I. Analice y bosqueje el gráfico de f (x) 
dado que f ' (x) 
1
1

10 3  3
x
x  2


3


y
5
2 x3

4
3
5x
 1

20  x 3  1




f ' ' (x) 
2
9 x3
dominio, cortes con ejes, simetrías, asíntotas, intervalos donde crece o decrece,
puntos máximos y mínimos, intervalos donde es cóncava hacia arriba o hacia
abajo, puntos de inflexión, rango
II.
III.
Demuestre que las derivadas usadas en el punto I. son realmente las derivadas
de la función f
Evaluar
a.
lim
x 1

 ln x x 1
b.

8
x
lim  2


x 2
x 2
 x 4
c.
y'
si
y 
d.
y'
si
y  xx
si
8
 3
 x  8 5 5x 2  2 x  5
y 
x7  x4



2





tan1 e2 cos x

1
e.
IV.
y'

 

2
3
10
7




Un campo de béisbol es un cuadrado cuyo lado tiene 90 pies de longitud. Una
pelota es lanzada pór un bateador a lo largo de una linea que pasa por la 3ª
base con una velocidad constante de 100 pies por segundo. ¡Con qué rápidez
varía la distancia de la pelota a la primera base cuando la pelota se encuentra a
mitad de camino de la tercera base?
Cálculo Diferencial
MATE-1203 Sección 31
Examen 3
8 de Mayo de 2008
Ejercicio 1. Calcule los siguientes limites
n
(−2 + 2i/n)2
2X
(a) lı́m
n→∞ n
((−2 + 2i/n)3 − 2)2
i=1
n x+1 2
x+1X
x+1
) i/(−1 +
)
(b) lı́m
1 + i/(−1 +
n→∞
n i=1
n
n
√ n √
2 X 2i
i2
sec2 ( 2 )
(c) lı́m
n→∞ 2n
2n
2n
i=1
Ejercicio 2. Derive las siguientes funciones
Z
b
(a)F (x) =
a
t4
Z
+
x
dt
+ t2 + t + 1
t3
sin(x2 )
(b)F (x) =
arcsin(t)dt
2
Z
tan(x)
(t2 + 1)11 dt
(c)F (x) =
0
Ejercicio 3.
(a)f (x) = x3 − 3x2 + 6, g(x) = x3 − 4x2 + 7, x1 = −2, x2 = 2
1
1
(b)f (x) = x + 6, g(x) = − x, h(x) = x3
2
Sugerencia: En el segundo ejercicio uno de los tres puntos que delimitan
la región a integrar es P : (2, 8)
Ejercicio 4. Un alambre de 36 cm de largo se va a partir en dos trozos. Una
de las partes se ha de doblar en forma de triángulo equilátero y la otra en
forma de un rectángulo cuya longitud es el doble de su anchura. ¿Cómo
se deber partir el alambre para que la suma de las áreas del triángulo y el
rectángulo sea (a) mínima y (b) máxima?
Ejercicio 5. Sea f (x) una función integrable en [a, b]. Demostrar que exRx
Rb
iste un x de [a, b] tal que a f (t)dt = x f (t)dt. Demostrar que no siempre
es posible elegir un x de (a, b). Sugerencia: Considera la función G(x) =
Rx
Rb
f (t)dt − x f (t)dt y pruebe que esta pasa por 0.
a
Cálculo Diferencial
Parcial 3
7 de Mayo de 2008
1. a.) [0.5 puntos] Haga la gráfica de las funciones f (x) = x2 , g(x) = x1
b.) [0.5 puntos] Halle el area entre las curvas f (x) = x2 , g(x) = x1 en el
intervalo [ 21 , 3]
2. a.) [0.5 puntos] Haga la gráfica de la función f (x) = |x2 − 1|
b.) [0.5 puntos] Calcule la siguiente integral definida:
Z 2
|x2 − 1|dx
−2
3. Calcule las siguientes integrales indefinidas:
R
a.) [0.3 puntos] 2x2 dx
R
b.) [0.3 puntos] etan x sec2 xdx
R
2
c.) [0.4 puntos] esin x sin x cos xdx
4. [1.0 punto]Considere la siguiente figura, que tiene todos sus lados de la
misma longitud y cuyas diagonales miden 4m como lo muestra la figura.
Maximice el area de un rectángulo cuyos lados son paralelos a las diagonales de la figura.
1
5. [1.0 punto]Calcule la siguiente integral indefinida usando el Teorema
Fundamental del Cálculo y usando la definición de integral de Riemann
Z 1
(x + 1)2 dx
−1
2
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Mayo 8 de 2008
Cálculo Diferencial
Parcial 3
1) Encontrar los puntos sobre la elipse 4x2 + y 2 = 4 mas cercanos al punto
(1, 0).
2)
a) Encontrar f (t) tal que f 00 (t) = 2 + cos(t) y f (0) = −1, f ( π2 ) = 0.
P
1
b) Calcular lı́mn→∞ ni=1 n1 ( 1+(i/n)
2)
c) Calcular g 0 (x) si
Z
4
g(x) =
(2sen(et − 1) + ln(t))dt
ex
3) Calcular el area comprendida por las curvas y = 5x − x2 y y = x.
4) Encontrar el volumen del solido obtenido al rotar la region acotada por
y = x − x2 y y = 0
a) Alrededor de la recta y = 3 (Plantee la integral, no es necesario resolverla)
b) Alrededor de la recta x = 2 (resolver la integral)
1
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Tercer Parcial de Cálculo Diferencial-1203(24)
14 de Abril de 20081
1. El volumen de un cubo está creciendo a razón de 10cm3 /min. Qué tan
rápido crece el área de la superficie del cubo, cuando el lado del cubo
L = 30cm?
2. Construya la gráfica de la siguiente función
y=
−x
1 + x2
indicando claramente: dominio, ası́ntotas, intervalos de crecimiento y
decrecimiento, máximos y mı́nimos, intervalos de concavidad, y puntos
de inflexión.
3. Calcule
ex − e−x − 2x
x→0 x − sen(x)
lı́m
4. Halle la altura y el radio de un cono circular recto de volumen mı́nimo,
circunscrito alrededor de una esfera de radio R
Nota: Todos los puntos tienen igual valor=1.25 cada uno
1
El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas,
o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compaẽros o de la misma
Universidad”
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Cuarto Parcial de Cálculo Diferencial-1203(24)
7 de Mayo de 20081
1. Calcule las siguientes integrales
Z
1
a) (x2 + 1/3 )2 dx
x
Z
3ln(x)
dx
b)
x(ln(x) + 2)2
Z
cos(2x)
c)
dx
4sen(2x) + 5
2. Considere la región R limitada por las siguientes curvas:
y = 5 − x2 , y = x, x = −2, y = 0
a) Calcule el área de la región R
b) Halle el volumen del sólido obtenido al girara la región R alrededor
del eje x
c) Escriba (NO CALCULE)la integral para el volumen obtenido al
girar R alrededor de y = 5
d ) Escriba (NO CALCULE)la integral para el volumen obtenido al
girar R alrededor de x = −5
Nota: El punto 1 tiene un valor de 2.4,y el 2 un valor de 2.6
Profesor: Roberto Ortiz S
1
El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas,
o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compaẽros o de la misma
Universidad”
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Parcial 3 de Calculo Diferencial. Octubre de 2008.
1. Graficar completamente la función f ( x ) = xe− x , indicando
a) Cortes con los ejes.
b) Intervalos de crecimiento.
c) Intervalos de decrecimiento.
d) Puntos de máximo y puntos de mı́nimo, valores extremos.
e) Concavidades.
f ) Ası́ntotas.
2. El ángulo entre los dos lados iguales, con longitud L, de un triángulo isósceles
es θ.
a) Muestre que el área del triángulo es A= 12 L2 senθ.
b) Si θ esta creciendo a razón de 1/2 radianes por minuto, encontrar el ritmo
de cambio del área cuando θ = π3 .
3. Dos postes, uno de 12 pies de altura y el otro de 28 pies, estan a 30 pies de
distancia uno del otro. Se sostienen dos cables, conectados a una sola estaca
desde el nivel del suelo hasta la parte superior de cada poste. ¿Dónde debe
colocarse la estaca para que se use la menor cantidad de cable?
28
12
30
1. PARCIAL 3
(1) Razones Relacionadas.
Una persona de un 1.70m se acerca a un poste de luz de 10m a una
velocidad de 1m/s. A que velocidad cambia el tamano de la sombra
de esta persona, cuando esta se encuentra a 2m del poste?.
(2) Trazado de curvas.
Elabore un bosquejo de la grafica de la siguiente funcion
2
f (x) = 2x3x2 −1 .
(3) Optimizacion.
Halle las dimenciones del rectangulo de mayor area que puede ser
inscrito en un circulo de radio 1.
1
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Parcial 3 de Calculo Diferencial. Abril de 2008.
Prof: J. López
1. Suponga una función f continua en todo R y que la
gráfica de f ′ es como se muestra en la figura:
f ′ (x)
3
2
1
-4
-2
2
6
4
8
10
12
−1
−2
a) Determine los intervalos donde la función f es concava hacia arriba y los
intervalos donde la es concava hacia abajo.
b) Si la función f cruza al eje x en 0 y en 125/8. Haga un bosquejo de la
grafica de la función f .
2. El ángulo entre los dos lados iguales, con longitud L, de un triángulo isósceles
es θ.
a) Muestre que el área del triángulo es A= 12 L2 senθ.
b) Si θ esta creciendo a razón de 1/2 radianes por minuto, encontrar el ritmo
de cambio del área cuando θ = π3 .
3. Dos postes, uno de 12 pies de altura y el otro de 28 pies, estan a 30 pies de
distancia uno del otro. Se sostienen dos cables, conectados a una sola estaca
desde el nivel del suelo hasta la parte superior de cada poste. ¿Dónde debe
colocarse la estaca para que se use la menor cantidad de cable?
28
12
30
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Parcial 4. Calculo Diferencial. Mayo de 2008.
Z
ln x
e2t
dt.
1−t
x
n r
1X
i
2. Calcule el limite lı́m
1+ .
x→∞ n
n
dy
si y =
1. Halle
dx
i=1
3. Hallar el área de la región limitada por las curvas x = y 2 − 3, x = −y 2 + 3.
4. Hallar el volumen del sólido obtenido por revolución de la región limitada por la parábola y = x2
la recta y = 4 y el eje y, alrededor de la recta y = 5.
5. Evalúe la integral:
Z
ln x
√
a)
dx.
x 1 + ln x
Z 0
√
b)
x 2 − 5xdx.
−1
1. PARCIAL 3
(1) Derivacion implicita.
2)
.
Halle y 0 si xy = tanh(x−y
x2
e
(2) Derivadas de orden superior.
Halle una expresión para f (1000) si f (x) = xex .
(3) Derivacion logaritmica.
Use √
derivacion Logaritmica para hallar y 0 si
y = 3 xecos(x) (x2 + x)100 .
(4) Funciones L’Hopital.
Evalues limx→e+ [ln(ln(x))]x−e .
1
Segundo Parcial de Fundamentos de Matematicas
1. Un hombre comiensa a caminar desde un punto P al norte a una velocidad
de 4 metros por segundo. Cinco minutos despues una mujer ubicada 500
metros al este del punto P comiensa a caminar al sur a una velocidad de
5 metros por segundo. A que velocidad se alejan las personas despues de
que la mujer ha caminado durante 15 minutos.
2. Dar el bosquejo de la grafica de la funciòn. f (x) = √
aparesca la informaciòn mas relevante.
3. Calcular los siguientes limites:
i) Limx→1
ln(x)
x−1
2
ii) Limx→0 xx
1
x
x2
+1
Donde
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
Mayo 8 de 2008
Cálculo Diferencial
Parcial 3
1) Encontrar el punto sobre la recta y = 4x + 7 mas cercano al origen.
2)
a) Encontrar f (t) si f 00 (t) = 2et + 3sen(t) y f (0) = 0, f (π) = 0.
R 1 dx
b) 0 1+x
2
c) Calcular g 0 (x) si
Z
4
g(x) =
2
(2tan(et − 1) + sen(t))dt
ex
3) Calcular el area comprendida por las curvas y = 5x − x2 y y = x.
4) Encontrar el volumen del solido obtenido al rotar la region acotada por
y = x − x2 y y = 0
a) Alrededor de la recta y = 3 (Plantee la integral, no es necesario resolverla)
b) Alrededor de la recta x = 2 (resolver la integral)
1
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Mate 1203-14 Cálculo diferencial
Parcial 4 — (06/05/2008)1
Z
1. Encuentre la integral indefinida
√
sen x
p
√ dx
x cos x
Z4
2. Halle el valor de la integral definida
dx
√
√
2 x(1 + x)2
1
3. Encuentre el área de la región acotada por la parábola y = x2 , su recta
tangente en (1,1), y el eje x.
Z x
Z sen t √
4. Si F (x) =
f (t)dt, donde f (t) =
1 + u4 du, encuentre F 00 (x)
0
1
1
El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas,
o en cualquier otro acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma
Universidad”
Cálculo Diferencial - Parcial 2
Sección 10
Mayo 7, 2008
Punto
Valor
1.
2.
3. a)
3. b)
3. c)
4.
Todas las respuestas deben ser debidamente justificadas.
1. [9 puntos] Encuentre el área encerrada por las curvas y = x3 − x y y = x − x2 .
Z ex
cos t
dt.
2. [7 puntos] Encuentre la derivada de la siguiente función, g(x) =
π
t
4
3. Evalue las siguientes integrales:
R √x +x2 +1
a) [8 puntos] e √
dt
x
R
2
b) [8 puntos] x5 ex −1 dx
Z π
2
c) [8 puntos]
sen3 x cos x dx
π
4
4. [10 puntos] Una empresa va a construir un empaque cilı́ndrico. Para la base
y tapa del empaque usará madera, material que cuestra $2 por centı́metro
cuadrado. Para el resto del empaque usará aluminio, material que cuesta $4
por centı́metro cuadrado. Si la empresa puede gastar a lo más $24π en cada
cilindro, maximice el volúmen del empaque.
No se permite el uso de calculadoras o apuntes.
1
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
CUARTO PARCIAL CÁLCULO DIFERENCIAL
21-07-2008
1. Calcular las siguientes integrales:
ex
a) 
dx
1  e2 x
b)  senx cos x sen x dx
2
c)

 /4
0
1  cos 2 
d
cos 2 
2. a) Encuentre el intervalo donde la función dada es cóncava hacía arriba.
x
1
dt
2
1

t

t
0
f ( x)  
b) Por medio de la integral calcular el siguiente límite.
3i
n
1
en
lim n   
n
i 1
3. Encuentre el punto sobre la elipse 4 x 2  y 2  4 que está más lejos del punto
(1,0).
4. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de área más grande que tenga su
base sobre el eje x y sus otros dos vértices por encima del eje x en la parábola
y  8  x2 ?
5. Conteste Verdadero o Falso, según sea el caso. Justifique claramente con la
teoría.
a) Si F ( x)  
1
dt entonces F (x) es una función constante en (0, ) .
t
5x
2x
b)
x6  1
1 3  cos( x 2 ) dx  0
c)

1
5
3
1
5
(3x  x )dx   2 xdx   4 xdx
3
1
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
CUARTO PARCIAL. CALCULO DIFERENCIAL
JULIO 21 DE 2008.
1. Un rectángulo en el primer cuadrante tiene un vértice en origen, un vértice en cada
eje coordenado y el cuarto vértice se encuentra sobre la elipse de ecuación
2 x 2  y 2  4 . Encuentre las dimensiones del rectángulo de mayor área que cumple
con estas condiciones.
2. Calcule cada una de las siguientes integrales:
x2  1
a) 
dx
x2
1
2
1
tg  
x
b)   2 dx
x
1
dx
c)  x
x
0 e e
1
d)
e
x x
dx
1
3. Realice lo que se indica: Justifique claramente sus respuesta
x
a) Calcule el siguiente limite lim
sen( t 2 )
0 t dt
x 0
b) ¿ 


2 x2  1
x  1dx 
6x
2
3
2
t2
C?
Nota: El primero y segundo puntos valen 2 unidades cada uno, el tercer punto vale
una unidad.
TIEMPO: 60 MINUTOS
¡SUERTE!
Opcional:
4
“Calcule
x
0
3
x 2  9 dx ”
U NIVERSIDAD
DE
L OS A NDES
D EPARTAMENTO DE M ATEM ÁTICAS
Mate1203–Cálculo Diferencial
Parcial 3 — (09/07/2008)1
1. Halle el valor de los siguientes lı́mites.
e x − (1 + x )
a) lı́m
x3
x →0+
b) lı́m
x →1+
3
3
−
ln x x − 1
en el punto (0, 0), una partı́cula se mue2. Una cámara de video esta instalada
√
ve a lo largo de la curva y = x − 4. Si la cámara debe enfocar la particula
en todo momento encuentre la razón de cambio del ángulo de elevación,
dx
sabiendo que
= 2 en el instante en el que x = 5
dt
3. Realice la gráfica de la función f ( x ) = √
x−1
2x2 + 1
sabiendo que:
2x + 1
−2( x + 1)(4x − 1)
√
√
;
f 00 ( x ) =
(2x2 + 1) 2x2 + 1
(2x2 + 1)2 2x2 + 1
—————————————————————————————————
f 0 (x) =
4. OPCIONAL
a) Hallar f 0 (0) si

 g( x )
,
f (x) =
x
0,
x 6= 0
x=0
y g(0) = g0 (0) = 0 y g00 (0) = 17
b) Suponga que f ( x ) es continua y derivable en [0, 1], que f ( x ) está en
[0, 1] para todo x, y que f 0 ( x ) 6= 1 para todo x ∈ [0, 1]. Demostrar que
existe exactamente un número x ∈ [0, 1] tal que f ( x ) = x.
1 El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en
actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro
acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma Universidad”