Procesamiento No Lineal con Wavelet para la Eliminación del

Procesamiento No Lineal con Wavelet para la Eliminación del Ruido en Imágenes
Planares de Medicina Nuclear
Perez Amalia1 , La Mura Guillermo, Piotrkowski Rosa , Serrano Eduardo
RESUMEN
En el presente trabajo se implementó un algoritmo computacional empleando la transformada wavelet con la base de Haar,
con el fin de filtrar el ruido estadístico de una imagen planar uniforme de Medicina Nuclear. La calidad del filtrado de la
imagen y su posterior reconstrucción fue evaluada a partir del espectro de potencias de una parte central de la imagen
original, filtrada y diferencia respectivamente. Los espectros se analizaron en el marco de los ruidos (1/f)β. El valor del
exponente de las imágenes original y filtrada (β>2) se relacionó con fallas de equipamiento, fundamentalmente la
desincronización de ganancia de los fototubos de la Cámara Gamma y también con las inhomogeneidades observadas en
las imágenes, en forma de “clusters”.
Palabras clave: Medicina Nuclear, procesamiento de imágenes, ruido estadístico , filtrado, wavelet.
Non Linear Wavelet Denoise Processing of Planar Images in Nuclear Medicine
ABSTRACT
In the present paper a computational algorithm was implemented with the wavelet transform and with de Haar basis. The
objective was a to filter the statistic noise of a uniform planar image of Nuclear Medicine. The quality of the filtering
operation and the ulterior reconstruction of the image was evaluated with the power spectrum of a central region of the
original, filtered and difference image respectively. The spectra were analysed in the frame of 1/f β noises. The value of the
exponent of the original and filtered image, β>2, was related with equipment failures, fundamentally the lack of
synchronization
of the phototubes gain of the Gamma Camera. It was also connected with the anomalies in the
homogeneity that were arranged in clusters.
Keywords: Nuclear Medicine, images processing, statistic noise, wavelet
1 Universidad Nacional de San Martín. Escuela de Ciencia y Tecnología. Bs.As. Argentina. E-mail:
[email protected]
Bioingenieria y Física Medica Cubana 3 (2) 2002
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1. INTRODUCCIÓN
En las imágenes planares la información acumulada en cada uno de ellos es independiente de su entorno.
Si bien la desintegración radioactiva sigue la estadística de Poisson en el tiempo, una imagen estática de este tipo de
fuentes, presenta una distribución espacial con un ruido del tipo gaussiano.
Con la intención de disminuir el ruido en las imágenes se han desarrollado diferentes tipos de filtrado, la acción mas
conocida es la aplicación de filtros “kernel” convolucionados con la imagen. Sin embargo, estos tienen la limitación de que
si bien disminuyen la presencia de este fenómeno también disminuyen la resolución de la imagen, por operar sobre todo la
gama de frecuencias de la misma.
La aplicación de filtros por el método de wavelets tiene el beneficio de que se puede filtrar en cada pixel, un nivel de
frecuencias de la imagen sin modificar los restantes. La utilidad de este método de filtrado fue probada en un trabajo
previo efectuado por este grupo. El mismo tuvo el objetivo de separar por niveles de frecuencia la presencia de los
artificios originados por la UI(%) tomográfica, la atenuación y el ruido estadístico.
El objetivo del presente trabajo fue mejorar la relación señal/ruido de una imagen planar mediante la aplicación de la
transformada discreta wavelet 2d (Haar) y evaluar la modificación del espectro de potencias de la imagen por la aplicación
de este método de filtrado.
.
2. MATERIAL Y MÉTODO
Se analizó una imagen planar de una fuente de distribución homogénea de 57 Co. La misma fue adquirida en una cámara
gamma GE. Se obtuvo una imagen de 120000 Kcuentas con una matriz de 256x256. Se analizaron eventos de una energía
de 122 Kev con una ventana del 10%.
La imagen obtenida fue manipulada para ser analizada en un programa Matlab en el que se implementó previamente la
transformada discreta wavelet 2d.
2.1 Transformada Wavelet Discreta en 2D
Dada la imagen
siguiente forma:
I ( x, y ) ∈ L2 ( R 2 )
donde se indica la posición del pixel como, se podrá descomponer la imagen de la
I (x , y) =
+
LL
∑
c jo , k , m ⋅ φ jo , k , m ( x , y ) +
k , m∈Ζ
B
B
∑
∑
∑
d j , k , m ⋅ ψ j ,k ,m ( x , y )
B ∈ β j ≥ jo k , m ∈ Ζ
la función wavelet correspondiente a la dilatación y traslación es {ψ
LH
,ψ
HL
,ψ
HH
}
para
B
j B
j
j
ψ j ,k ,m = 2 ψ ( 2 x − k ,2 y − m )
β = { LowHigh , HighLow , HighHigh }
con las sub-bandas
y la función de escala correspondiente es
Obteniendo los coeficientes de escala
y los coeficientes wavelet
LL
φ j ,k ,m
= 2
j
φ (2
j
x − k,2
j
y − m)
c jo , k , m = ∫ R 2 I ( x , y ) ⋅ φ jo , k , m dxdy
B
d j,k ,m
=
B
∫ R 2 I ( x , y ) ⋅ ψ j , k , m dxdy
Sintetizamos el algoritmo de acuerdo con el método de Mallat, para el cálculo de la transformada discreta wavelet en 2D.
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Representando sólo un nivel en la figura1
Observamos que G(z) y H(z) representan los filtros pasa altos y pasa bajos respectivamente, donde los coeficientes de los
mismos fueron calculados según la base de Haar. El símbolo ↓2 representa el submuestreo de orden 2,
d j3
G(z )
G( z )
↓2
HH
↓2
d j2
H(z)
cj+1
↓2
HL
d j1
G(z)
H(z)
↓2
LH
↓2
cj
H(z)
↓2
LL
filas
columnas
Fig. 1
Primeramente con las filas y luego con las columnas. Procesando 3 niveles de resolución, la imagen resultante tiene la
característica de la figura 2.
c0
d0 2
d1 2
d0 1
d0 3
d1 1
d1 3
d2 2
HL
D2 1
LH
D2 3
HH
Fig. 2
Donde el subíndice representa el nivel de resolución y el superíndice la sub-banda correspondiente.
2.2. - Eliminación del Ruido y Reconstrucción
Computados los coeficientes wavelet, se implementó la técnica de umbral de reducción (shrinkage), para seleccionar los
valores significativos (fig.3):
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d jB
I(x,y)
d'jB
B
B
d'j =Th(dj )
WDT
I'(x,y)
IWDT
Fig. 3
Los nuevos coeficientes se calculan con la función:
Th =
2 log( N ) ⋅ σ
Donde Th es el umbral de reducción, el cual es elegido para cada nivel y coeficiente wavelet.
La reconstrucción de la imagen con estos nuevos coeficientes, se calcula con el método inverso de Mallat.
2.3 Análisis de las imágenes
Con la idea de evaluar la modificación que introduce el filtrado en la imagen se analizó el espectro de potencias de la
imagen original, la filtrada y la diferencia entre ambas.
En cada caso, se calculó la distribución del promedio de cuentas/píxel para cada columna de una porción central (200,200).
Se obtuvieron de esta forma tres señales lineales que representan en cada caso el promedio de la distribución de cuentas por
píxel de cada columna. Se analizó el espectro de potencia de las mismas, calculando la Tranformada de Fourier de sus
correspondientes funciones de autocorrelación.
3. - RESULTADOS
La figura 4 muestra la imagen original, filtrada y la imagen diferencia.
La figura 5 muestra los perfiles de distribución del promedio de cuentas/píxel para cada columna de una porción central
(200, 200). Se trata de tres señales lineales que representan en cada caso el promedio de la distribución de cuentas por píxel
de cada columna.
La figura 6 muestra el espectro de potencias de las señales de la figura 5, o sea la transformada de Fourier de sus
respectivas funciones de autocorrelación en un gráfico log-log. Muestra asimismo la pendiente β de la región lineal de
dichos gráficos. El valor de β se calculó en el intervalo frecuencial [ 0.1: 1 ] expresado en 1/píxel. Los resultados
encontrados fueron: 2.89, 2.70 y 0.94 para la imagen original, la filtrada y la diferencia respectivamente
Fig. 4
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Perfil del promedio de cuentas/pixel
180
a
160
b
140
120
100
80
60
40
20
c
0
-20
0
20
40
60
80
100
pixel
120
140
160
180
200
Fig. 5. (a) Imagen Original (arbitrariamente desplazada)
(b) Imagen Filtrada, c: Imagen Diferencia
4. - DISCUSIÓN
Se observó, de la figura 4, que la imagen original y la filtrada presentan una cierta estructura, en tanto que la imagen
diferencia es homogénea. Esto permite suponer que el filtrado operó independientemente de las características espaciales
de la imagen original.
La apariencia visual de los espectros de potencia (fig.6), permitió suponer que son de la forma 1/fβ. Esto es, que en un
gráfico loglog tienen un decaimiento lineal.
El hecho de que el valor de β para las imágenes original y filtrada sea >2 es concordante con los datos de la bibliografía
que registran ese rango de valores en caso de fallas de equipamiento. En este caso ambas imágenes describen la
inhomogeneidad de respuesta del sistema debido fundamentalmente a la desincronización de ganancia de los fototubos de
la Cámara Gamma. Es de destacar que las inhomogeneidades debidas a la falta de uniformidad tienen forma de “clusters”
característica de fenómenos descriptos por espectros de potencias con este rango de valores de β. El algoritmo presentado
en este trabajo sólo filtra el ruido estadístico y no opera sobre estructuras de otro origen.
10
10
10
6
4
5
2
10
0
0
10
-5
10
10
10
10
5
-3
10
-2
10
frecuencia(1/pixel)
-1
10
0
-2
-1.8
Beta = -2.89
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
log. de la frecuencia(1/pixel)
-0.6
-0.4
-0.6
-0.4
-0.6
-0.4
6
4
2
10
0
0
10
-5
10
10
5
10
0
-3
10
-2
10
frecuencia(1/pixel)
-1
10
0
-2
-1.8
Beta = -2.70
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
log. de la frecuencia(1/pixel)
4
3
2
1
10
-5
10
-3
10
-2
10
frecuencia(1/pixel)
-1
10
0
0
-1.8
Beta = -0.94
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
log. de la frecuencia(1/pixel)
Fig. 6. Espectros de Potencia de las imágenes original, filtrada y diferencia (1er.columna). Porción sobre la que se calculó la
pendiente y valor correspondiente (2da.columna)
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5. - CONCLUSIONES
El algoritmo implementado demostró ser adecuado para filtrar el ruido de tipo estadístico de imágenes planares en
Medicina Nuclear. A diferencia de los filtros “kernel”, de suavizado, este filtrado no promedia pixels aledaños sino que
actúa a distintos niveles de frecuencia espacial mediante un procesamiento de umbral no lineal que elimina la componente
aleatoria en cada banda.
BIBLIOGRAFÍA
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and Image Processing VII, Proceedings of SPIE 3813, 1999.
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