Ecuaciones del campo electromagnético en medios materiales

Programa
Lección 9
El campo eléctrico y la materia
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9.1 Introducción.
9.2 Electrostática y dieléctricos
9.3 El átomo como un dipolo eléctrico. Moleculas polares.
9.4 Los dieléctricos como distribución de dipolos. La polarización P.
9.5 Campo creado por un dieléctrico polarizado.
9.6 El vector desplazamiento D. Susceptibilidad eléctrica. Permitividad
eléctrica
9.7 Algunos efectos eléctricos y mecánicos en dieléctricos. Aplicaciones
9.8 Algunas consideraciones sobre la materia y su estado de
condensación
9.9 Condiciones en la frontera de separación entre dos dieléctricos.
9.10 Medios conductores. Conductividad eléctrica.
1
Programa
Lección 9
El campo eléctrico y la materia
BIBLIOGRAFIA
Griffiths
Feyman Vol2
Bleaney-Bleaney
Reitz –Milford-Christy
Lección 4
Lecciones 10 y 11
Lecciones
Lecciones 4 y 5
2
Electrostática y dieléctricos
• Faraday utilizo la palabra dieléctrico para describir el efecto de un
aislante en un condensador
• Faraday observó que al situar un aislante entre las placas de un
condensador, la capacidad del sistema, la energía almacenada y
la carga aumentan un factor k
• k es una característica del medio
• En un dieléctrico las cargas no son libres como en un metal,
están ligadas a los átomos o moléculas
• Cuando se aplica un campo eléctrico, el átomo o molécula se
polariza (se desplaza la carga negativa respecto de la positiva y
se forma un dipolo)
3
Electrostática y dieléctricos
D =σ f =
Q
S
Qd
εS
Q κε S
C= = 0
V
d
V=
el condensador “plano”
condensadores
El campo en el dieléctrico
Tensión o carga constante
4
El átomo como un dipolo
eléctrico
nube electrónica
r
p
r
E
d
núcleo
Átomo sin polarizar
F = ZeEo =
Átomo polarizado
Zeqe
Z 2e2 d
=−
2
4πεo d
4πεo a 3
ρe =
a
d=
Ze
4πa 3 / 3
qe = ρe
4πεo a 3
Eo
Ze
4πd 3
Zed 3
=− 3
3
a
α = 4πε0 a 3
5
Polarizabilidades atómicas
α / 4πε 0
H
Li
Na
K
Rb
Cs
en unidades de 10-30 m3
0.667
He
24.3
Ne
23.6
Ar
43.4
Kr
47.3
Xe
59.6
0.205
0.396
1.64
2.48
4.04
6
Moleculas polares
•
Hay moléculas con momento dipolar permanente
•
La unidad que caracteriza el momento dipolar es el
debye: 1 D=3.34 10-30 C m.
•
Moléculas grandes, mayor momento dipolar
•
Materiales compuestos por moléculas polares: campos
internos cuya magnitud depende de T
7
Momentos dipolares moleculares
Molécula
HF
HCl
HBr
HI
H2O
NH3
m. dip. (D)
1.75
1.04
0.80
0.83
1.83
1.48
8
Los dieléctricos como distribución de dípolos
Dipolo en un campo eléctrico
r r r
M = pxE
r
−U
e kT pdΩ
r
p =
−U
e kT dΩ
∫
Momento dipolar promedio
Si tomamos el eje z como la dirección de
+1
∫
p e
pz =
−1
−

+1
∫
pEo
 θ
kT  cos
cos θ d (cos θ )
− pEo  cosθ
kT 
e 
d (cos θ )
r
r
E = E0u z

 pE  kT 
= p coth o  −

 kT  pEo 

−1
Fórmula de Langevin
9
Los dieléctricos como distribución de dípolos
A partir de la fórmula de Langevin.
Si se hace la aproximación
1 z
+
z 3
coth z ≈
1.0
pE/3kT
<pz>/p
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5
6
pE/kT
Fórmula de Langevin-Debye
α = α0 +
p2
3kT
10
Los dieléctricos como distribución de
dípolos.
La polarización P
• Para incluir el efecto de la polarizabilidad atómica es
r r
necesario introducir un nuevo campo, el campo de
P(r )
polarización
• La polarización es una función vectorial de la posición en el
r r
dieléctrico
P(r )
•
se define como la densidad media de momentos
dipolares
11
Campo creado por un dieléctrico polarizado
φ
Potencial de un dipolo
La contribución al potencial de
un conjunto de dipolos
φ ( rr ) =
1
4πε 0
∫
r r r
P ( r ′) R
R3
v′
=
1
4 πε
0
∫
s′
r
P ( r ′) d S
R
−
4 πε
0
R
3
r
d pr
P =
dv
dv ′
Potencial derun medio
polarizado
r
r
φ (r ) =
r r
p R
1
4 πε
0
∫
v′
r r
∇ P ( r ′)
dv′
R
Potencial en función de las cargas de polarización
r
φ (r ) =
1
4 πε
0
∫
s′
σ
p
R
dS
−
1
4 πε
0
∫
v′
ρ
p
R
dv′
Densidades de carga de polarización
r
σ p = P nr
r
ρ p = −∇P
12
Campo creado por un dieléctrico polarizado
Densidades de carga de polarización
rr
σp =Pn
r
ρ p = −∇P
13
Campo dentro de un dieléctrico
r r
∇xE = 0
r
y ∇E = ρ
r r
r r r r
Ev l − Ed l = 0
∫ Edl = 0
ε0
Si la cavidad se orienta en la dirección del campo E
El campo dentro de la cavidad es el mismo dentro y fuera
r
φ (r ) =
1
4 πε
0
s
∫
0
+ s1 + s
r r
r
P ( r ′) d S
1
−
R
4 πε
+ s
2
0
c
v
1
4 πε
∫
0
d v′
− v1
v1 → 0
σ p = 0 en sc
r
φ (r ) =
r r
∇ P ( r ′)
R
0
∫
s
0
σ
p
R
dS
+
1
4 πε
0
∫
v
ρ
p
R
d v ′
0
14
El vector desplazamiento eléctrico D.
Susceptibilidad y Permitividad eléctrica
• Las ecuaciones fundamentales de lar relectrostática
son
r
∇xE = 0
y ∇E = ρ
ε0
• Estas ecuaciones son correctas en el vacío y en un medio
dieléctrico
r
r
r
ρ (r ) = ρ f (r ) + ρseparar
• Al analizar un medio dieléctrico es conveniente
p (r )
• Pero
rr
r
r
r
ρ (r ) = ε 0∇E = ρ f (r ) − ∇P
r
r v
D = ε0E + P
• La combinación
es un nuevo vector
denominado campo desplazamiento
rr
∇D = ρ
∫
r r
DdS = Qv
S
• Se cumple la ley de Gauss con las cargas
libres
15
El vector desplazamiento eléctrico D.
Susceptibilidad y Permitividad eléctrica
Dieléctricos lineales
• Un aislante o dieléctrico con P proporcional a E es un medio lineal
dieléctrico
• (isotropía, homogeneidad, linealidad)
• Se utilizan diversos parámetros que relacionan E, P y D:
Parámetro
Susceptibilidad
Permitividad
Constante dieléctrica
Símbolo
Ecuación constitutiva
χe
r
r
P = χ eε o E
ε
r
r
D =ε E
εr = κ
εr = ε /εo
·
16
El vector desplazamiento eléctrico D.
Susceptibilidad y Permitividad eléctrica
Dieléctricos lineales
Otra relación de interés es:
ε = ε 0 (1 + χ e )
χ e es siempre positivo ya que los dipolos atómicos se alinean
con E de forma que P apunta en la dirección de E. Así, ε ⟩ε 0
y κ ⟩1 para cualquier material dieléctrico.
En el vacío,
χ
e
= 0
ε = ε0
κ =1
En la materia, los parámetros macroscópicos están
determinados finalmente por las propiedades atómicas.
17
Algunas propiedades electricas y mecánicas
de la materia
• Piroelectricidad: al aumentar la temperatura, aparece un campo eléctrico
en la superficie del cristal (turmalina, el “iman Ceylon”, 1703)
• Ferroeléctricos: materiales en los que la polarización espontánea puede
alterarse mediante un campo eléctrico aplicado
• Ferroelásticos: materiales en los que tensiones mecánicas alteran la
polarización espontánea
• Piezoeléctrico: material en los que la aplicación de una tensión genera
cargas eléctricas en su superficie (efecto piezoeléctrico directo, Pierre
Currie, 1880)
• Electrostricción: acoplamiento secundario en el que la tensión es
proporcional al cuadrado del campo eléctrico; frecuentemente implica un
“efecto piezoeléctrico inverso” (energía eléctrica se convierte en
mecánica; Lippman, a partir de principios termodinámicos, Currie
experimentalmente en 1881)
18
Algunas propiedades eléctricas y mecánicas
de la materia
¿Qué es la ferroelectricidad?
Los materiales ferroeléctricos
muestran una polarización
espontánea con el campo eléctrico
aplicado debido al desplazamiento
atómico del átomo “centrado en
cuerpo” en la estructura de la
perovskita (ABO3).
Polarización
“0”
Voltaje
“1”
El estado de polarización se
mantiene al desaparecer el campo
aplicado.
Los ferroeléctricos presentan
dos estados estables, base de
aplicaciones de memoria
Campo
eléctrico
A
Energía
O
B
Estructura
ABO3
Z
19
Algunas consideraciones sobre la materia y
su estado de condensación
Moléculas polares
• En un gas diluido (moléculas sin interacción),
r
r
P = nαE , χ e = nα / ε 0
y κ = 1 + nα / ε 0
• de donde la susceptibilidad adquiere la expresión (fórmula
de Langevin-Debye):
χe =
np 2
3kTε 0
20
Algunas consideraciones sobre la materia y
su estado de condensación
Materia condensada
• El campo responsable de la polarización de una
molécula en un medio denso no es el campo
r
macroscópico aplicado E0
• A este campo se le denomina campo local o campo
r
molecular
Eloc
r
• La forma de calcular Eloc es dividir el dieléctrico en
dos regiones: una esfera de radio
alrededor del
punto donde queremos calcular el campo y el resto
del dieléctrico (que puede tratarse como un continuo).
Finalmente se aplica el principio de superposición.
21
Algunas consideraciones sobre la materia y
su estado de condensación
El campo local puede descomponerse en las siguientes
contribuciones (figura):
r
r
r
r
r
E
loc
= E
c
+ E
d
+ E
s
+ E
i
Ec = V d
r
r
Ed = − P
ε0
r
E s ( 0) =
rπ
r
1
σ b r dS
1 2πa 3 P
=
cos 2 θ sin θdθ =
4πε 0 ∫ r 3
4πε 0 a 3 ∫0
=
1 r
P
3ε 0
22
Algunas consideraciones sobre la materia y
su estado de condensación
Campo macroscópico
r r
r
Campo local de Lorentz
E = Ec + E d
r
r
1 r
Eloc = E +
P
3ε 0
El campo de polarización en un medio polarizado vale
r
r
r P
r
P = np = nα  E +
3ε 0





De la relación entre P y E podemos deducir el valor de la susceptibilidad
macroscópica
χe =
nαε 0
1 − nα / 3ε 0
Por tanto, la polarizabilidad atómica vale, en función de la susceptibilidad:
α=
ε0 χe
3ε κ − 1
= 0
n 1+ χ e
n κ +2
3
Ecuación de
Clausius-Mossotti
23
Propiedades dieléctricas de
algunos materiales aislantes
Material
Const. dieléctrica relativa
κ
Tensión dieléctrica
Emas x106V/m
3
20
Aire
Poliestireno
1.00059
2.5
Lucita
Plexiglás
Teflón
Mylar
Papel
Cuarzo
fundido
Pyrex
Agua
Titanato de
estroncio
2.8
3.4
2.1
3.1
3.7
3.8 a 4.1
20
40
60
4a6
80
332
14
16
8
24
Condiciones en la frontera de separación
entre dos dieléctricos
r
∇D = ρ
(Dr
r r
∫ DdS = Q
2
)
r r
− D1 n2 = σ
S
S
(Er
r
∇x E = 0
r
r
∂B
∇xE = −
∂t
(
)
r
r r
E 2 − E1 ∆l = 0
2
)
r r
− E1 ∆l = 0
∫
r
∂B r
dS = 0
∂t
S →0
25
Condiciones en la frontera de separación
entre dos dieléctricos
Comportamiento de los campos E,D,en la
interfase entre dos medios materiales
Caso estático
B
r
r
φ ( B) − φ ( A) = − E t − dl
∫
A
B′
r
r
φ ( B ′) − φ ( A′) = − Et + dl
∫
A′
r
φ (r ) =
1
4π ε 0
∫
S
r
σ ( r ′)
dS
R
26
Condiciones en la frontera de separación
entre dos dieléctricos
Comportamiento de los campos E,D, en la
interfase entre dos medios materiales
r
∇J = 0
r r
n [J ] = 0
ε
ε
σ = Dn + − Dn − =  + − −
σ + σ −

 J n = (τ + − τ + )J n

Caso no estacionario
r
r  r ∂D 
=0
n  J +
∂t 

r
 r ∂D 
∇ J +
=0
∂t 

r
r
∂σ
∂
nr [J ] = − nr [D ] = −
∂t
∂t
27
Medios conductores.
Modelo de Drude
qN
= qn
V
r
r
r q r
na = qE → a = E
m
ρ=
r
r r
q r
v = a τ = Eτ = µE
m
q
τ =µ
m
r
r
r qN r
J = ρv =
v = qnµE
V
r
r
J = σE
σ = qnµ =
q2
nτ
m
28
Medios conductores.
Conductividad eléctrica
r
r
J =σ E
r
r ∂D r
∇xH −
=J
∂t
r
r
r
iσ (ω )  r

∇xH = σ (ω ) E − iω ε (ω ) E = −iω ε (ω ) −
E
ω 

r
∂ρ
∇ J +
∂t
−t
r
r
ρ ( r , t ) = ρ ( r ,0) e τ
= 0
∂ρ σρ
+
=0
∂t
ε
τ=
ε
σ
29