Análisis de funciones

Análisis de funciones
Tiempo atrás, en nuestro curso, hemos analizado algunas funciones para determinar la forma de la gráfica de
manera estimativa y sin una tabla de valores estricta. En este mismo sentido, ampliaremos la metodología para
logra un análisis más eficaz de una función mediante criterios que hacen uso de los saberes adquiridos respecto
de la aplicación de límites y derivadas .
Realizar el análisis completo de una función implicará conocer los siguientes elementos:
a) Dominio.
b) Intersección con los ejes coordenados.
c) Puntos críticos, es decir, extremos relativos, máximos o mínimos.
d) Crecimiento y decrecimiento de la función, es decir intervalos dónde la función crece y decrece.
e) Puntos de inflexión.
f) Concavidad.
g) Gráfico.
Para explicar como relacionamos los conceptos vistos de límites y derivadas con el análisis de funciones, lo
haremos mediante un ejemplo, Metodología que se aplicará a todos los casos, con mayor o menor complejidad,
dependiendo del tipo de función.
Previamente, deberemos definir el concepto de máximo y mínimo relativos y los criterios de existencia de los
mismos.
Veamos el siguiente gráfico de una función y = f ( x ) como el siguiente:
Diremos que M ( x 0 , f ( x 0 )) es un
máximo relativo de f(x), si existe un entorno del punto x0, tal que para todo valor
de x en ese entorno, la función adopta
valores menores que para x0.
∃ε ( x 0 ) / ∀x ∈ ε ( x 0 ), f ( x ) < f ( x 0 ) ,
Del mismo modo, diremos que
m( x 1 , f ( x 1 )) es un mínimo relativo de
f(x), si
∃ε ( x 1 ) / ∀x ∈ ε ( x 1 ), f ( x ) > f ( x 1 )
Una función puede tener varios máximos
o mínimos relativos, según el intervalo
considerado.
fig.1
Condición necesaria para la existencia de un extremo relativo
Si f(x) tiene un extremo relativo, máximo o mínimo en x0 y existe f´(x0), entonces f ´( x 0 ) = 0 . Debe quedar
claro que esta condición es necesaria pero no suficiente, es decir, si hay un extremo, entonces la derivada primera en ese punto es nula, pero si la derivada primera en un punto es nula, en principio, no podemos afirmar
nada acerca de la existencia de un extremo relativo. Requiere un análisis más profundo. De todos modos puede
considerarse un punto crítico y estudiarlo más en detalle.
Gráficamente lo vemos en la siguiente figura.
Por otra parte, debemos recurrir a algunos criterios para definir si un punto crítico es extremo máximo o mínimo. Para ello podemos simplemente estudiar el valor de la función en un entorno del punto crítico, de acuerdo
a la definición de máximo y mínimo relativo dada anteriormente.
Pero, también hay otros criterios basados en los valores de las derivadas.
1) Criterio basado en la derivada primera
fig.2
Si observamos el gráfico 1, vemos que la variación de la curva, es decir las
pendientes de las tangentes en un entorno del punto crítico M, antes y después
de él, son opuestas, es decir la pendiente de la tangente antes de M es positiva
(creciente) y después de M, es negativa, (decreciente), es decir que la curva
crece antes de M y decrece después de M, con lo cual debe ser ese punto un
máximo relativo. Lo contrario ocurre en el punto m, allí pasa de negativa a
positiva la pendiente, de manera que decrece y luego crece, es decir que debe
haber un mínimo relativo en m.
Resumiendo el criterio, diremos Si la derivada primera en un entorno del
punto crítico x0, pasa de izquierda a derecha, de ser positiva a ser negativa,
la función f(x) tiene un máximo relativo en x0. Por el contrario, Si la derivada
primera en un entorno del punto crítico x0, pasa de izquierda a derecha, de
ser negativa a ser positiva, la función f(x) tiene un mínimo relativo en x0.
Este criterio permite relacionar el cambio en el signo de la derivada primera
con los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
2) Criterio basado en la derivada segunda
Si reflexionamos un poco acerca del significado de la derivada segunda, derivada de la derivada de f(x), fácilmente concluimos que representa la variación de la derivada primera, es decir nos indica cómo cambia f´(x). De
esta forma podemos afirmar que si la derivada segunda existe y no es nula, entonces, si en el punto crítico es
mayor que cero, significa que la derivada primera es creciente, por lo tanto la pendiente de f(x) va en aumento y
entonces seguimos que la función crece y consecuentemente, que hay un mínimo. Por el contrario, si la derivada
segunda es menor que cero, la función estará decreciendo en el entorno del punto crítico, de manera que podemos afirmar que se trata de un máximo. Resumiendo,
si ∃f ´´( x 0 ) ≠ 0 ∧ f ´´( x 0 ) > 0 ⇒ x 0 es un mínimo
si ∃f ´´( x 0 ) ≠ 0 ∧ f ´´( x 0 ) < 0 ⇒ x 0 es un máximo
En otro orden: ¿Qué sucede si f´´(x0) = 0? Significará que la derivada primera no crece ni disminuye, es decir,
se mantiene constante en el entorno del punto. Se tratará de un punto en el cual la gráfica de la función cambia
de curvatura. A ése punto se lo llamará punto de inflexión y es aquél en el cual la curva atraviesa a la tangente.
La curvatura de una línea se la indica a través de la concavidad, de manera que una función f(x) puede tener una
gráfica cóncava hacia el eje de la y positivas o hacia el eje de las y negativas. Si relacionamos lo visto de
máximos y mínimos con el tema de la curvatura de la gráfica f(x), podemos concluir a través de la fig. 3 que si
f ´´( x 0 ) > 0∀x ∈ ( a , b ) ⇒ f ( x ) es cóncava hacia el eje de las y positivas. También:
Si f ´´( x 0 ) < 0∀ ∈ ( a , b ) ⇒ f ( x ) es cóncava hacia el eje de las y negativas.
fig.4 (punto de inflexión)
fig.3 (concavidad)
Es necesario explicitar que f´´(x0) =0 es una condición necesaria, pero no suficiente, es decir, si hay un punto de
inflexión, entonces la derivada segunda es nula, sin embargo, lo contrario no es cierto, puede ser la derivada
segunda nula y no tener un punto de inflexión. Analicemos la función f ( x ) = x 4 Se cumplirá que
f ´( x ) = 4 x 3 ⇒ f ´´( x ) = 12 x 2 , por lo tanto en x =0 la derivada segunda es nula, pero veamos la gráfica y
observaremos que tiene un mínimo (fig. 4)
Por lo tanto, debemos verificar
4
1 .10
que además de cumplirse
f´´(x0) = 0, deberá ser también
8750
f ´´´( x 0 ) ≠ 0 para asegurar la
existencia de un punto de in7500
flexión.
6250
f( x)
5000
3750
2500
1250
10
7.5
5
2.5
0
2.5
5
7.5
10
x
Finalmente, estos criterios y otros los analizaremos con algunos ejemplos.
a) f ( x ) =
x2 + 1
x
1) Dominio
D[ f ( x )] = R − { 0 } pues carece de definición en cero.
2) Intersección con los ejes de coordenados.
Por supuesto no corta al eje y, pues debe ser asintótica a él, para ver si corta al eje x, debemos encontrar las raíces, pero se observa fácilmente que x 2 + 1 = 0 ⇒ x 12 = ± i , de manera que al ser imaginarias puras las raíces, no
hay corte con el eje x.
3) Puntos críticos
Debemos hallar la primera derivada y anularla:
x2 − 1
d
f(x)=
x2
dx
x2 − 1
x2 − 1
y
para
hallar
los
puntos
críticos
= 0 ⇒ x 12 = ±1 ya que x,
x2
x2
nunca puede anularse, debido a que ese punto está excluido del dominio.
que también puede escribirse f ´( x ) =
Debemos ver si se trata en verdad de mínimos o máximos, para ello empleamos el criterio de la derivada se2
gunda, es decir f ´´( x ) = 3 ∧ f ´´( 1 ) = 2 ∧ f ´´( −1 ) = −2 por lo tanto en x = -2 la derivada segunda es negax
tiva, la pendiente de la curva va disminuyendo, con lo cual tendremos un máximo, mientras que con el mismo
criterio, en x = 1 habrá un minimo.
4) Asíntotas
Veamos si el eje x es una asíntota horizontal, para lo cual calculamos lím f ( x ) = ∞ , por lo tanto no habrá asínx→∞
tota horizontal, y por supuesto, el eje x no lo será. Sí está claro que existe una asíntota vertical que es el eje y, ya
que en cero la función no está definida. Pero, además podemos preguntarnos si existe una asíntota oblicua, es
decir que su pendiente no sea cero ni infinito. Reflexionemos un poco sobre esta idea: ¿qué significará que la
función tenga una asíntota oblicua? Simplemente, que la función se aproxime a una recta y = mx + b cuando la
variable crece indefinidamente, es decir, formalmente deberá cumplirse lím [ f ( x ) − (mx + b )] = 0 El problema
x→∞
es que a priori, no conocemos esa recta, pero tenemos la manera de conocer su pendiente. Veamos
x2 + 1
b⎞
f(x)
⎛
⎛ mx + b ⎞
= 1 = m , por lo tanto nueslim
= lím ⎜
⎟ = lím ⎜ m + ⎟ = m Para nuestro caso, resulta lím
x→∞
x→∞
x →∞
x⎠
x
x2
⎝ x ⎠ x →∞⎝
tra asíntota oblicua tendrá pendiente unitaria, sin embargo, deberíamos conocer la ordenada al origen, para poder definir completamente la recta. Otra cosa sencilla, pues si
⎛ x2 + 1
⎞
⎛ x2 + 1 − x2 − b ⎞
1
⎛1
⎞
⎟⎟ = lím ⎜ − b ⎟ = lím − b = 0
− x − b ⎟⎟ = 0 ⇒ lím ⎜⎜
lím [ f ( x ) − (mx + b )] = 0 ⇒ lím ⎜⎜
x→∞
x→∞
x→∞
x
⎠ x→∞ x
⎝ x
⎠
⎝
⎠ x → ∞⎝ x
⇒b=0
Finamente, la recta asíntota será y = x
5) Puntos de inflexión
Recordemos que la condición necesaria de la existencia de un punto de inflexión es f´´(x)=0, pero como
2
f ´´( x ) = 3 , se anulará sólo en infinito. Por lo tanto f ´´( x ) ≠ 0 por lo que podemos asegurar que no tiene
x
punto de inflexión.
6) Crecimiento y decrecimiento de la función
Analizaremos los signos de las derivadas primera y segunda
(− ∞ ,−1)
(− 1 ,0 )
(0 ,1)
>0
<0
<0
Creciente
Decreciente
Decreciente
<0
<0
>0
f´´(x)
Concavidad ↓
Concavidad ↓
Concavidad ↑
Además recordamos que en X = -1 tendrá un máximo y en x = 1 tendrá un mínimo.
Por lo tanto, la gráfica con las consideraciones anteriores, será la siguiente
f´(x)
(1 , ∞ )
>0
Creciente
>0
Concavidad ↑
10
8
6
4
2
f( x)
g( x)
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
2
4
6
8
10
x
Resumen análisis de funciones
Inflexión
F´(x)
F´´(x)
F´´´(x)
=0
≠0
Máximo
=0
<0
Mínimo
=0
>0
Creciente
>0
2)
Concavidad
>0 ↑
Ejercicios para resolver
1)
Decreciente
<0
6)
7)
3)
8)
4)
9)
5)
10)
<0 ↓
Aplicaciones de la derivada
1) Un proyectil disparado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial v 0 = 100
m
.
s
a) Determine la altura alcanzada para t = 2s.
b) Determine la velocidad y la aceleración para t = 2s.
c) Determine la altura máxima alcanzada pro el proyectil
2) Se dispara un proyectil en tiro oblicuo, con un ángulo de disparo respecto de la horizontal α = 30° y con
m
una velocidad inicial v 0 = 100 .
s
a) Determine el alcance del proyectil.
b) Determine la altura máxima alcanzada.
c) Determine el ángulo de disparo que hará máximo el alcance.
3) A un bloque de masa m, que se desplazará sin rozamiento y que está unido a un resorte fijo en la pared,
se le aplica una fuerza de tracción y luego se lo suelta. Tal sistema describirá un movimiento oscilatorio
armónico, siendo el espacio recorrido en función del tiempo, una senoide. Es decir x( t ) = Asenωt .
a) Determine la expresión de la velocidad y de la aceleración del bloque.
b) Determine el valor de la frecuencia de la oscilación.
m
1
k
2
4) Recordando que la ecuación del diodo en polarización directa y con una pequeña tensión alterna superVQ + vd
VT
, determine le valor de la conductancia dinámica, que es la que
puesta, la podemos escribir iD = Ise
presentará el diodo frente a una tensión alterna.
5)
Con una hoja cuadrada de cartón de lado 2a, se pretende realizar una caja de área cuadrada y con volumen máximo. Por lo tanto, determine el valor de la
altura x, que hace máximo al volumen.
6) Sabiendo que la corriente en un circuito R-L-C serie, responde al a ecuación I =
V
1 ⎞
⎛
R + ⎜ ωL −
⎟
ωC ⎠
⎝
2
mine el valor de la frecuencia que hace máxima dicha corriente.
2
, deter-
7) Un cuerpo es lanzado hacia abajo con una velocidad inicial v0 =30 m/s y recorre el espacio según la ley
del m.r.u.a. y = 30 t + 5 t 2 . Determine el valor de la velocidad y de la aceleración.
1
8) Un móvil describe un recorrido expresado por x = t 2 − 16 t . Determine el valor de la aceleración
3
cuando la velocidad se anula.
9) Ídem problema 8) pero para una ecuación horaria x = t 3 − 4 t 2 − 3 .
5
4
10) Demuestre que para que un cuerpo pueda recorrer una distancia según la ecuación horaria x = t , la
aceleración en el instante inicial deberá ser infinita.
11) Una pelota es lanzada hacia arriba según la ecuación y = 6 + 24 t − 5 t 2 , Determine el instante en el cual
se alcanza la altura máxima y cuál es el valor de ella.
12) Demuestre que la razón entre el logaritmo natural de un número y el propio número, es máxima cuando
x = e . Grafique la función anterior.