3. Dibújense las líneas de campo gravitatorio producido por dos

Campo gravitatorio – Ejercicios de la PAU Universidad de Oviedo
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Junio 1998
1. Un astronauta, con 100 kg de masa (incluyendo el traje) está en la superficie de un asteroide de
3
forma prácticamente esférica, con 2,4 km de diámetro y densidad media 2,2 g cm . Determinar con
qué velocidad debe impulsarse el astronauta para abandonar el asteroide. ¿Cómo se denomina
rigurosamente tal velocidad? El astronauta carga ahora con una mochila de masa 40 kg; ¿le será
-11
2
2
más fácil salir del planeta? ¿Por qué? G = 6,67·10 N·kg /m .
Septiembre 1998
23
2. El planeta Mercurio tiene una masa de 3,3·10 kg y se mueve alrededor del Sol en una órbita casi
10
circular de radio 5,8·10 m. (a) Determinar la energía mecánica de Mercurio en su movimiento de
traslación alrededor del Sol. (b) ¿Cuánta energía adicional habrá que suministrar a Mercurio para
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-11
2
2
aumentar el radio de su órbita hasta 1,5·10 m? Otros datos: G = 6,67·10 N·kg /m . Masa del Sol
30
= 2,0 ´10 kg.
Junio 1999
3. Dibújense las líneas de campo gravitatorio producido por dos masas puntuales iguales
separadas una cierta distancia. ¿Existe algún punto donde la intensidad del campo gravitatorio sea
nula? En caso afirmativo indíquese dónde. ¿Existe algún punto donde el potencial gravitatorio sea
nulo? En caso afirmativo indíquese dónde.
Septiembre 1999
4. La distancia Tierra-Luna es 384000 km y la relación de masas entre ambas es 0,0123. (a)
Determínese a qué distancia del centro de la Tierra la fuerza gravitatoria que ejerce la Luna sobre
un cuerpo con masa compensa a la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra sobre el mismo cuerpo.
(b) Hállese la distancia mínima al centro de la Tierra para la que se igualan el potencial gravitatorio
terrestre y el lunar. (c) Expónganse los argumentos que se esgrimieron históricamente en contra
del modelo heliocéntrico.
Junio 2000
5. Desde el suelo se dispara verticalmente un proyectil de 20 kg con una velocidad inicial de 5,0
km/s.
a. Represéntese gráficamente en función de la distancia r al centro de la Tierra las
energías cinética y potencial gravitatoria del proyectil si no hay pérdidas de energía
por rozamiento, para r mayor que el radio terrestre. Escálese el eje de energías en MJ
y el de distancias en km.
b. Si el rozamiento del aire consume el 22% de la energía cinética inicial del proyectil,
¿qué altura máxima alcanzará? Constante de la gravitación universal: 6,67×10-11 N m2
kg-2; radio terrestre: 6371 km; masa de la Tierra: 5,97×1024 kg.
Septiembre 2000
6. (a) Dedúzcase, a partir de consideraciones dinámicas, la 3ª ley de Kepler para una órbita circular. (b)
Fobos es un satélite de Marte que posee un período de 7 horas 39 minutos 14 segundos y una
órbita de 9378 km de radio. Determínese la masa de Marte a partir de estos datos. (c) Razónese
qué consecuencias tiene la ley de las áreas o 2ª ley de Kepler sobre la velocidad de un cuerpo
-11
2 -2
celeste en órbita elíptica alrededor del Sol. Constante de la gravitación universal: 6,67·10 Nm kg ;
-2
aceleración de la gravedad terrestre: 9,81 m s .
Junio 2001
Opción 1
7. La masa de un planeta se puede calcular si, mediante observaciones astronómicas, se conoce el
radio de la órbita y el período de rotación de alguno de sus satélites. Razonar físicamente por qué
(suponer órbitas circulares y utilizar las leyes de la mecánica). (1 punto).
Campo gravitatorio – Ejercicios de la PAU Universidad de Oviedo
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8. Determinar la variación de la energía potencial de la luna, correspondiente a su interacción
gravitatoria con el sol y la tierra, entre las posiciones de eclipse de sol (figura 1) y eclipse de luna
(figura 2). (Nota: Supónganse circulares tanto la órbita de la tierra alrededor del sol como la de la
luna alrededor de la tierra) (1,5 puntos).
Figura 1
Figura 2
Datos: Radio de la órbita Luna-Tierra : 3,8x108 m ; Radio de la órbita Tierra-Sol : 1,5x1011 m ;
Masa de la Luna: 7,35x1022 Kg ; Masa del Sol :1,99x1030 Kg ; G=6,67x10-11 Nm2/Kg2
Septiembre 2001
Opción 1
9. Una de las leyes de Kepler del movimiento planetario puede enunciarse de la siguiente manera: “La
recta que une cualquier planeta al sol, barre áreas iguales en tiempos iguales “. Justificar esta ley a
partir de las leyes de la mecánica. (1 punto)
8
10. Una de las lunas de Júpiter describe una órbita prácticamente circular con un radio de 4,22x10 m y
5
un periodo de 1,53x10 s. Deducir a partir de las leyes de la mecánica, los valores de:
6
a. el radio de la órbita de otra de las lunas de Júpiter cuyo periodo es de 1,44x10 s.
b. la masa de Júpiter (1,5 puntos) (Dato: G = 6,67x10-11 Nm2/Kg2)
Junio 2002
Opción 1
11. Enuncia la ley de la Gravitación de Newton y deduce a partir de ella la tercera ley de Kepler (de los
períodos), suponiendo órbitas planetarias circulares (1,2 puntos).
12. Un planeta gira alrededor del Sol según una órbita elíptica. Cuando se encuentra más cerca del Sol,
5
4
a una distancia de 2x10 m, su velocidad es de 3x10 m/s. ¿Cuál será la velocidad del planeta
5
cuando se encuentre en la posición más alejada del sol, a una distancia de 4x10 m? (1,3 puntos)
Septiembre 2002
Opción 1
13. En una galaxia lejana, se detecta un planeta que recorre una órbita de radio semejante al de Plutón
en un tiempo equivalente a un año terrestre, por lo que los astrónomos deducen que gira alrededor
una estrella más masiva que el sol. ¿Es correcta esta deducción? Razona por qué. (1,2 puntos).
14. Sabiendo que el diámetro de la tierra es cuatro veces el de la Luna y que la aceleración de la
gravedad en la superficie terrestre es veinte veces la de la superficie lunar, ¿cuántas veces es mayor
la masa de la Tierra que la de la Luna? (1,3 puntos)
Junio 2003
Opción 1
15. ¿A qué distancia del centro de la Tierra se compensaría el campo gravitatorio terrestre con el lunar?
24
22
8
(1 punto) Datos: M Tierra = 5,97x10 kg; M Luna =7,35x10 kg ; Distancia Tierra-Luna=3,84x10 m
16. Comenta si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: "Si la Luna gira alrededor de la Tierra según
un movimiento circular uniforme, no tiene aceleración". ( 0,3 puntos)
Campo gravitatorio – Ejercicios de la PAU Universidad de Oviedo
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8
17. Dos satélites, A y B, giran alrededor de un planeta siguiendo órbitas circulares de radios 2x10 m y
8x108 m respectivamente. Calcula la relación entre sus velocidades (tangenciales) respectivas. (1,2
puntos)
Septiembre 2003
Opción 1
18. ¿A qué distancia h por encima de la superficie de la tierra la aceleración de la gravedad es la mitad
de su valor a nivel del mar? (radio de la tierra: 6370 km)(1,2 puntos)
19. Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad
inicial de 8 km/s. Determinar la altura máxima que alcanza, despreciando la resistencia del aire. (1,3
puntos)
Junio 2004
Opción 1
20. Qué se entiende por velocidad de escape de la superficie de un planeta? Deducir su expresión. (1,2
puntos)
Septiembre 2004
Opción 1
21. Demostrar que la energía total de un satélite que describe una órbita circular es igual a la mitad de
su energía potencial (1,2 puntos)
22. La distancia media del Sol a Júpiter es 5,2 veces mayor que la distancia entre el Sol y la Tierra. ¿Cuál
es el período de la órbita de Júpiter alrededor del Sol? (1,3puntos)
7
23. Un satélite artificial gira alrededor de la Tierra a 3,6x10 m de su superficie. Calcular: (a) la
velocidad, (b) la aceleración y (c) el período de rotación del satélite alrededor de la tierra expresado
en días. ¿Qué nombre reciben los satélites de este tipo? (1,3 puntos)
Datos: R Tierra = 6,38x106 m; M Tierra = 5,97x1024 kg; G = 6,67x10-11 Nm2/kg2
Junio 2005
Opción 1
24. ¿Por qué G es tan difícil de medir? (1 punto)
25. Desde la superficie de la tierra se lanza un objeto con una velocidad doble de la de escape. Calcular
2
la velocidad del objeto cuando está muy lejos de la tierra. (Dato: g = 9,8 m/seg ). (1,5 puntos)
Septiembre 2005
Opción 1
26. ¿Cuánto vale la fuerza que actúa sobre un satélite artificial de 2000 Kg que gira alrededor de la
Tierra siguiendo una órbita circular de radio equivalente a dos veces el radio de la tierra? Datos: g =
2
10 m/s ) (1,2 puntos).
27. Un sistema estelar binario está constituido por dos estrellas de igual masa que se mueven
describiendo una órbita circular alrededor de un punto que se encuentra a medio camino entre
ellas (se mueven con la misma velocidad y en todo instante se encuentran en posiciones
diametralmente opuestas). Si la distancia entre las estrellas es de 360 millones kilómetros y tardan
el equivalente a 5 años terrestres en describir una órbita completa, calcular la masa de las estrellas.
-11
2
2
Datos: G = 6.67x10 Nm /Kg ) (1,3 puntos).
Campo gravitatorio – Ejercicios de la PAU Universidad de Oviedo
Página 4
Junio 2006
Opción 1
28. Deducir la expresión correspondiente a la velocidad mínima con la que tiene que lanzarse
verticalmente un cuerpo desde la superficie de un planeta para que escape de su atracción
gravitatoria. (1,2 puntos).
29. Supongamos conocidas las siguientes magnitudes referentes a la Tierra: masa de la Tierra:
6
11
5,98x1024 Kg ; radio de la Tierra: 6,37x10 m ; distancia Tierra-Sol: 1,5x10 m ; período de la órbita
7
2
terrestre: 3,15x10 s ; g = 9,8 m/s . Con estos datos, calcular la masa del Sol. (Nota: Suponer circular
la trayectoria de la Tierra alrededor del Sol) (1,3 puntos)
Septiembre 2006
Opción 1
30. Suponiendo que la Tierra fuese una esfera perfectamente lisa de radio 6,37x106 m, ¿ Con qué
velocidad debería lanzarse un objeto, en las proximidades de su superficie y horizontalmente, para
que diese una vuelta completa a la Tierra sin tocar el suelo, siguiendo una órbita circular paralela a
la superficie terrestre? ( g = 9,8 ms-2) (1,2 puntos)
31. Un cometa se mueve según una órbita elíptica alrededor del Sol. Determinar en qué punto de su
órbita tiene mayor valor: (a) La velocidad del cometa; (b) la energía potencial del sistema cometaSol; (c) la energía cinética del cometa, y, (d) la energía total del sistema cometa-Sol (1,3 puntos).
Opción 6
32. Un astronauta realiza un viaje espacial a un planeta del
sistema solar. Durante su aproximación determina, con
sus aparatos de telemetría, el radio de dicho planeta, que
6
resulta ser R = 3,37x10 m. Una vez en la superficie del
planeta utiliza un péndulo simple, formado por una
pequeña esfera de plomo y un hilo de 25 cm de longitud ,
y realiza el análisis de sus oscilaciones, variando la
amplitud angular de la oscilación (q) y midiendo en cada
caso el tiempo ( t ) correspondiente a 5 oscilaciones
completas del péndulo. El astronauta representa los
valores experimentales según la gráfica.
a. Comentar físicamente los resultados mostrados en la figura. (1 punto)
b. Determinar la masa del planeta. (1,5 puntos)
Datos: G =6,67x10-11 Nm2/Kg2)
Junio 2007
Opción 1
33. Un satélite realiza una órbita circular de radio 12756 km en torno a la Tierra en un tiempo de 4
horas. ¿Qué radio tendría la órbita de un satélite cuyo período sea 1 día? ¿Cómo se llaman este tipo
de satélites? (1 punto)
34. Plutón recorre una órbita elíptica en torno al Sol situándose a una distancia rp = 4,4×1012 m en el
12
punto más próximo (perihelio) y ra = 7,4×10 m en el punto más alejado (afelio).
a. Obtener el valor de la energía potencial gravitatoria de Plutón en el perihelio y en el afelio.
b. ¿En cuál de esos dos puntos será mayor la velocidad de Plutón? Razona tu respuesta.
Datos: Considerar que la energía potencial tiende a cero cuando la distancia tiende a infinito,
G = 6,67×10-11 Nm2kg-2 ; M (Sol) = 1,98×1030 kg, M(Plutón) = 1,27×1022 kg (1,5 puntos)
Campo gravitatorio – Ejercicios de la PAU Universidad de Oviedo
Página 5
Septiembre 2007
Opción 1
35. En el exterior del sistema solar se detecta un nuevo planeta cuya distancia al Sol es el doble del
radio de la órbita de Neptuno. Suponiendo que recorre una órbita circular ¿Cuánto tiempo tardará
en dar la vuelta al Sol?
Datos: El período de Neptuno en su órbita alrededor del Sol es T(Neptuno) = 5,2 ×109 s. (1 punto)
36. Si la masa de Marte es 0,11 veces la masa de la Tierra y su radio es 0,53 veces el radio de la Tierra,
obtener la aceleración de la gravedad en la superficie de Marte.
Dato: g (Tierra) = 9,8 m/s2. (1,5 puntos)
Junio 2008
Opción 1
37. Enuncia la ley de la Gravitación de Newton y deduce a partir de ella la tercera ley de Kepler (de los
periodos) suponiendo órbitas planetarias circulares. (1 punto)
38. Un satélite de 3000 kg de masa gira en torno a la Tierra siguiendo una órbita circular de radio 9500
km.
a. Obtener la fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite.
b. Obtener su energía mecánica total.
c. ¿Cuánta energía hay que proporcionarle para que escape a la atracción gravitatoria de la
Tierra?
Datos: Considerar que la energía potencial tiende a cero cuando la distancia tiende a infinito;
-11
2
-2
24
G= 6,67×10 Nm kg ; M(Tierra) = 5,98×10 kg. (1,5 puntos)
Septiembre 2008
Opción 1
39. Calcula la distancia Tierra-Luna sabiendo que la Luna tarda 28 días en realizar su órbita circular en
torno a la Tierra.
2
Datos: g = 9,8 m/s ; R
= 6370 km. (1 punto)
Tierra
40. Un cohete de masa 5000 kg despega de la superficie terrestre con una velocidad de 20 km/s.
a. Calcular su energía mecánica total, considerando que la energía potencial es nula a
distancias muy largas.
b. Razona si el cohete será capaz de escapar a la atracción gravitatoria terrestre y, en caso
afirmativo, calcula la velocidad del cohete cuando se encuentre muy alejado de la Tierra.
2
Datos: g = 9,8 m/s ; R
= 6370 km. (1,5 puntos)
Tierra
Junio 2009
Opción 2
41. La Tierra da la vuelta al Sol exactamente en 1 año y el radio medio de su órbita es de 149,5 millones
de kilómetros. Júpiter tiene una órbita aproximadamente circular a una distancia 5,2 veces mayor
del Sol que la terrestre. Determine: a) la masa del Sol; b) cuántas veces es mayor el período de
revolución de Júpiter alrededor del Sol que el de la Tierra (1,8 puntos).
42. A partir de la representación gráfica de la energía potencial gravitatoria y de la energía total en
función de la distancia al Sol comente los diferentes tipos de órbitas planetarias (0,7 puntos).
Datos: G = 6,67x10-11 N m2/kg2; 1 año = 365,25 días
Septiembre 2009
Opción 2
43. Se dispara hacia arriba un proyectil con una velocidad inicial de 8,0 km/s. Sabiendo que el radio de
2
la Tierra es de 6370 km y que la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre es 9,80 m/s ,
determine la altura máxima alcanzada respecto de la superficie (1,5 puntos).
Campo gravitatorio – Ejercicios de la PAU Universidad de Oviedo
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44. La estrella más cercana al Sol está a 4,1x10 m. Si de repente desapareciera, ¿cuánto tiempo
tardaríamos en darnos cuenta en la Tierra y por qué? (1,0 puntos).
Junio 2010 (Específica)
Opción B
45. Se lanza un objeto verticalmente desde la superficie de la Luna con una velocidad de 1,2 km/s. ¿Se
escapará de la gravedad lunar o no? Si lo hace, ¿con qué velocidad final lo hará? Si no lo hace, ¿a
qué altura llegará? (2,5 p)
Datos: G = 6,67·10-11 N m2/kg2; radio de la Luna 1738 km; masa de la Luna 7,35·1022 kg;
46. Enuncie la segunda ley de Kepler. ¿Con qué principio de conservación está relacionada? (1 p)
Junio 2010 (General)
Opción B
47. Un satélite artificial de 900 kg posee una órbita circular de radio 12200 km alrededor de la Tierra.
Determine: a) la energía cinética del satélite; b) el período de revolución del satélite. (2,5 p)
−11
Datos: constante de la gravitación universal 6,67x10
2
2
24
N m /kg ; masa de la Tierra 5,97x10 kg.
Septiembre 2010 (Específica)
Opción A
48. Una masa puntual m genera un campo gravitatorio. En un punto el potencial vale V (referido a valor
nulo en el infinito) y la intensidad del campo es 1,6 m/s2. Ahora tomamos otro punto en el que el
potencial vale V1 = 2 V ¿Cuánto vale la nueva intensidad del campo gravitatorio? (1,5 p)
Opción B
49. Existe un punto entre la Tierra y la Luna en el que la fuerza gravitatoria total de ambos cuerpos se
anula. Sabiendo que la distancia entre los centros de ambos cuerpos es de 384000 km, a) ¿a qué
distancia se encuentra ese punto del centro de la Tierra? b) ¿cuánto vale el potencial gravitatorio
en ese punto? (2,5p)
Diversas constantes físicas necesarias en la resolución del ejercicio: constante de la gravitación universal 6,67·10-11 Nm2/kg2; masa
de la Tierra 5,97·l024 kg; masa de la Luna 7,35·l022 kg.
Septiembre 2010 (General)
Opción A
50. La Luna tiene una órbita alrededor de la Tierra aproximadamente circular de 384000 km de radio.
Sabiendo que el radio de la Tierra es de 6370 km y que la aceleración de la gravedad en su
2
superficie es de 9,80 m/s , determine: a) la intensidad del campo gravitatorio terrestre a la
distancia de la Luna; b) el período de revolución de la Luna alrededor de la Tierra. (2,5 p)
Junio 2011 (Específica)
Opción B
51. La Tierra da la vuelta al Sol exactamente en 1 año y el radio medio de su órbita es de 149,5 millones
de kilómetros. Saturno tiene una órbita aproximadamente circular a una distancia 9,54 veces mayor
del Sol que la terrestre. Determine: a) la masa del Sol; b) cuántas veces es mayor el período de
revolución de Saturno alrededor del Sol que el de la Tierra (2,5 p) Dato: constante de la gravitación universal
6,67·10-11
Junio 2011 (General)
Opción B
52. Se le quiere plantear a la Agencia Espacial Europea el envío de tres naves a Marte para hacer de
satélites “marte-estacionarios”. Determine: a) qué tipo de órbita tendrían los satélites; b) la altura
sobre la superficie de Marte a la que se encontrarían. (2,5 p)
Campo gravitatorio – Ejercicios de la PAU Universidad de Oviedo
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-11
23
Datos: constante de la gravitación universal 6,67·10 , masa de Marte 6,41·10 kg, periodo de rotación de marte 24 h 37 min 23 s,
radio de Marte 3388 km.
Julio 2011 (Específica)
Opción A
53. Determine la energía potencial gravitatoria que tiene un cuerpo de 100000 kg a una altura de 20 m
sobre la superficie terrestre, sabiendo que es nula en el infinito. ¿A qué altura sobre la superficie
terrestre deberá estar un cuerpo de 15 kg para poseer la misma energía potencial? (2,5 p) Datos:
constante de la gravitación universal 6,67·10-11, masa de la Tierra 5,97·1024kg, radio de la Tierra 6370 km.
Opción B
54. ¿Qué dimensiones tiene en el Sistema Internacional la intensidad del campo gravitatorio? (1 p)
Julio 2011 (General)
Opción B
6
55. El satélite de Marte denominado Fobos tiene aproximadamente una órbita circular de radio 9,4·10
m con un período de 7 horas y 39 min. Determine: a) el módulo de la velocidad de Fobos en la
órbita; b) la masa de Marte. (2,5 p) Datos: constante de la gravitación universal 6,67·10-11.
Junio 2012 (General)
Opción B
56. Un satélite artificial de la Tierra tiene una masa de 250 kg, y describe una órbita circular de radio
20000 km. Determine: a) su energía cinética; b) su energía potencial gravitatoria (tomándola nula
en el infinito); c) ¿cuánta energía adicional deben suministrar sus cohetes si se desea que abandone
el campo gravitatorio terrestre? (2,5 p)
Datos: G = 6,67·10-11 Nm2kg-2; masa de la Tierra 5,97·1024kg
57. El cometa Halley vuelve cada cierto tiempo a las inmediaciones del Sol. Otros cometas no vuelven
nunca. Compare las órbitas de ambos casos. (1 p)
Junio 2012 (Específica)
Opción B
58. Determine la velocidad de escape de un objeto de 2 kg de masa en la Luna, la cual (casi esférica)
22
posee una masa de 7,36·l0 kg y un radio de 1740 km. Si deseamos la velocidad de escape de un
objeto de 10 kg, ¿cómo se modifica el resultado anterior? (2,5 p)
Dato: constante de la gravitación universal 6,67·10
-11
2
-2
Nm kg .
Julio 2012 (General)
Opción A
59. Un agujero negro es un objeto tan masivo que tiene una velocidad de escape igual a la velocidad de
la luz en el vacío. La gravitación universal de Newton proporciona un valor correcto para el radio del
agujero negro (denominado radio de Schwarzschild). Determine ese radio para un agujero negro
con una masa: a) 10 veces la del Sol; b) con una masa de 1 kg. (2,5 p)
Diversas constantes físicas necesarias en la resolución de los ejercicios: velocidad de la luz en el vacío 3,00x108 m/s; constante de
la gravitación universal 6,67x10-11 N m2/kg2; masa del Sol 1,99x1030 kg.
Opción B
60. Sabiendo que la Tierra tiene un período de revolución alrededor del Sol de 1 año y el semieje de su
órbita es 1 unidad astronómica, determine el período de revolución de un asteroide que tiene una
órbita con semieje mayor 2 unidades astronómicas. (1,5 p)
61. Compare los modelos geocéntrico y heliocéntrico del Sistema Solar (incluya algún esquema). (1 p)
Campo gravitatorio – Ejercicios de la PAU Universidad de Oviedo
Página 8
Julio 2012 (Específica)
Opción A
62. a: ¿Qué significa desde el punto de vista energético la velocidad de escape de un campo
gravitatorio? (1 p)
63. b: Un cometa tiene una órbita hiperbólica. ¿Qué signo tiene su energía total? (Explíquese.) (1,5 p)