x - ipesad

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
ALGEBRA
( p − 2q )(2 p + 9 pq + 4q )
2
2
( p + 4q )( p − 5 pq + 6q )
2
2
1
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1. Factorice completamente cada uno de los siguientes polinomios. Indique el o los
métodos que utiliza en cada factorización.
4 x (x − 1) + 1 − y 2
(a + 1)3 − (a + 1)
(
3( x − y ) − 2 x 2 − y 2
2
(x
2
)
6 y − 3x 2 − 6 x + 3 y 2
)
− 16 y 2 − ( x + 4 y )
a 2 − b 2 − 4 + 4b
mn − 1 − mn 2 + n
4 y 2 + 6x − 1 − 9x 2
x 3 + 2 x 2 − 3x − 6
2x + y 2 − x 2 − 1
a3 − a + a2 −1
49 − (2 − 3 x )
x2 −
x 1
−
2 2
2
8 x 3 + 4 x 2 y − 8 x 2 − 4 xy
4( x − 2 ) − 9
2
x 6 − 8x 3
x 3 − 9x 5
(
mn + 9m n
4
3
2
16 x 3 − 4 x
4 x 2 − 20 xy + 25 y 2
8 x 2 + 10 x − 12
x 2 + ax − 6a 2 , a constante
y3 + 3y 2 − 2 y − 6
− 2x 2 + 7x − 6
− 4 x 2 − a 2 + 4ax , a constante
2 x 3 − 20 x − 6 x 2
5 x(3x − 2) − 3x + 2
9m − n − 16 − 8n
2
(6 x
2
)
6( x + 1) − 3 x 2 − 1
2
9 x 2 − 9 − 4b 2 − 12b
)
−2 −x
4 x 4 − 12 x 2 y 2 + 9 y 4
3 + x(2 x − 7 )
x 3 − 5 x − 4 x 2 + 20
2
(
3 − x)
16 −
x 2 (2 + 3 x ) + 4(− 3 x − 2 )
4
(x − 2 )3 + 9(2 − x )
(k − p )2 − (k 2 − p 2 )
2 x 3 − 18 x − x 2 y + 9 y
x 4 + b 2 x 2 − 5 x 2 − 5b 2
x 2 − 1 + y (2 − y )
4 x + 8 y − 16t
2
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2. Simplifique al máximo cada una de las siguientes expresiones algebraicas.
3 fb − 6 fc − hb + 2hc
6 fb − 2hb + 3 fc − hc
2x 2 + 5x − 3
2x 2 − 7 x + 3
(3u
x2 − 7x + 6
x 2 − 4 x − 12
)
− 5ue − 2e 2 ÷ (u − 2e )
15 z 2 − 11z + 2
5z − 2
4 a 2 − 8a
a 3 + 5a 2 − 14a
( p − 2q )(2 p 2 + 9 pq + 4q 2 )
( p + 4q )( p 2 − 5 pq + 6q 2 )
4a 2 − 1
8a 3 + 1
2b 2 − 7b + 6
2b − 3
2 h + 5h − 3
3h 2 + 4h − 15
2
(z − u )(2 z 2 + 3zu + u 2 )
(2 z + u )(z 2 + zu − 2u 2 )
(a − b )(2a + ab − 6b )
(a + 2b )(3a 2 − ab − 2b 2 )
2
2
2
(6 x
x − 3 x − 10
x+2
2
2
)
+ xy − 2 y 2 ÷ (2 x − y )
b−3
(5b − 14)b − 3
3 xh + 4 yi − 2 xi − 6 yh
2 xh − 4 yh + xi − 2 yi
n−3
(3n − 8)n − 3
xa − xb − 2 yb + 2 ya
xa + 2 ya + 2 yb + xb
a+2
(a + 1)(a + 2) + 3a + 6
b+4
(2b + 9)b + 4
a 2 − ay − 12 y 2
a 2 − 3ay − 4 y 2
x−3
(2 x − 5)x − 3
30a 2 + 77 a − 8
30a 2 − 13a + 1
t−2
(3t − 5)t − 2
2r 2 − rs − 3s 2
3r 2 + 5rs + 2 s 2
y−2
y (2 y − 4 ) + ( y − 4 ) + 2
x2 + x − 6
x 2 + 5x + 6
nq − 2nt − 2mt + mq
2nq − nt − mt + 2mq
3
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3. Resuelva cada una de las siguientes sumas y restas de fracciones algebraicas,
reduzca al máximo su resultado.
y2
x+ y
+
2
2
2x + y
4x − y
4
2
+
2
x −1
1− x
2
 x 
y

 −
x− y
x− y
−
4b 2
2 g − 4b
+
2
2
g −b
g −b
3a
6a 2
− 2
1− a a −1
1
2a
2a 3 − a 2 + 1
+
−
a2 a +1
a 2 (a + 1)
a2
a
−
2
2
a+b
a −b
1
1 4b 2 − 4b − 1
−
+ 2 2
b2 −1 b2
b b −1
(
1
4x
− 2
x − 1 4x − 4
)
4 a 2 + 5a + 2
1
2
−
− 2
2
a +1 a
a (a + 1)
2
1
−
1+ x 1− x2
2x
4 xy
x− y
−
−
2
2
x −y
( x + y ) ( x − y ) ( x + y )2
2
2
2x
−
x +1 x
a2
1
4a 2
a2 − a
+
−
−
a 2 + 1 a − 1 a 4 − 1 (a + 1) a 2 + 1
(
5
4
−
x−2 x+2
)
3b 2 − 11ab
10ab
4a − b
+ 2
+
2
(2a − b )(a + 2b ) a − 4b 2a − b
4
x
+
2x − 1 x − 4x
a 2 − 3ab
4ab
3ab
− 2
+
2
(a − b )(a − 2b ) a − b (a + b )(a − 2b )
x
x−2
−
x −1 x +1
2
9
−
3a + 1 (3a + 1)2
24dv
10dv
2d − 3v
−
+
2
2
(d + v )(2d − 3v ) 2d + 3v
4 d − 9v
5
8
3
+
−
2
t − 1 (t − 1)
(t − 1)3
10dv
2dv
4d 2 − 18dv
+
+
(2d + 3v )(d − v ) (2d − 3v )(d − v ) 4d 2 − 9v 2
2
1
2b
−
+ 2
b+3 b−3 b −9
5a 2 − 2ay
6ay
2a − y
+ 2
−
2
(a − y )(2a + y ) 4a − y a − y
6 a + y 2a
+
3a − 9 y 3 y
4
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4. Resuelva cada una de las siguientes multiplicaciones y divisiones de fracciones
algebraicas, reduzca al máximo su resultado.
a 2 − 2ab + b 2
÷ (a − b )
a−b
2x + 1
12 x − 3
⋅
(x − 1)4 x + 1 2 x − 1
2
2
x
4
1− 2
x
1−
3x + 2
27 x − 12
⋅
(9 x − 12)x + 4 3x − 2
2
x2 − 9
− 6 x + 3x 2 + 3
⋅
(x − 2)x + 1 − 2 x 2 − 2 x + 12
1
 x

− 1
 − x 
x
 x + 1 
 1
 1

− 1
+ 1

 x − 1  x + 1 
x+ y x− y
⋅
y−x x+ y
1  2 x 

 x − 

4 x  2 x − 1 

1−
x −2
a 
 b − a 


 a −
a + b 
 b 
2
− 2m
m2
÷
m − 1 2m 2 − m − 1
(2 − x ) ÷ (4 − x )
−1
1
x
−2
1
2x + 1
÷ 2
x + 1 3x − 3
3
4
−
a −1 a +1
a −1 a +1
−
3
4
2( x − 1)
x −1
÷
x + 2x + 1 x + 1
2
a2 + x2
a2 − x2
a−x a+x
−
a+x a−x
1−
2x
4
÷
x − x ( x − 1)2
2
1 x − 2 2x − 4
−
÷
x
x
x
2y
x− y
x+ y
2−
x− y
1−
 1
  x 
− 1 ÷ 


 x +1   x −1
2
 a −1 h −1
1
−
⋅


2
 h − 1  (h − a )
h
ah − 1
− 2
a + h a − h2
3
m
m
m−3
1+
5
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5. Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones cuadráticas, utilice la
fórmula general en caso de que las soluciones sean decimales.
3x(2 x + 3) = 2 x + 3
25( x + 2 ) = (x − 7 ) − 81
(x + 5)(2 x − 1) = x(x + 9)
3x(x − 2) − (x − 6) = 23(x − 3)
(x − 1)2
7( x − 3) − 5 x 2 − 1 = x 2 − 5( x + 2 )
2
2
(
= 2x − 3
)
6 x 2 + a 2 = 5ax
(x − 5)2 − (x − 6 )2 = (2 x − 3)2 − 118
(2 x − 1)2
(5 x − 2 )2 − (3 x − 1)2 − x 2 − 60 = 0
=
9
4
(5 x − 4 )2 − (3 x + 5)(2 x − 1) = 20 x(x − 2 ) + 27
2 x( x − 2) + 2 = 5 − 3x
(
(2 x − 3)2
= 2 7 − x2
x 2 = 19 x − 88
)
(x − 1)2 + 11x + 199 = 3 x 2 − (x − 2 )2
125 − 5 x = 0
2
(x − 1)(x + 2) − (2 x − 3)(x + 4) − x + 14 = 0
(1 − x )(2 x + 3) − 1 = 2
(x − 2)(x + 2) − 7(x − 1) = 21
( x − 4 )2 + 2 ( x − 4 ) + 1 = 0
(
)
5 x( x − 1) − 2 2 x 2 − 7 x = −8
t 2 − 5t + 6 = 0
x2 − 9 = 0
(x − 2 )2 − (2 x + 3)2
g 2 − 11g + 30 = 0
x( x − 1) − 5( x − 2 ) = 2
49 a 2 − 1 = 0
( x + 2 )2 − 2 x − 5 = 3
3
a = 5( 2a − 5)
= −80
3
2
3 x 2 = 48
t (t + 3) = 10
5 x 2 − 9 = 46
x(x + 3) = 5 x + 3
7 x 2 + 14 = 0
3(3x − 2) = ( x + 4)( x − 4)
(
(2 x − 3)(2 x + 3) − 135 = 0
)
9 x + 1 = 3 x 2 − 5 − ( x − 3)( x + 2 )
3( x + 2 )( x − 2 ) = ( x − 4 ) + 8 x
2
(2 x − 3)2 −(x + 5)2 = −23
(2 x − 1)(x + 2) − (x + 4)(x − 1) + 5 = 0
6
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6. Halle el conjunto solución y el conjunto de restricciones de las siguientes ecuaciones
fraccionarias. Recordar excluir del conjunto solución el conjunto de restricciones.
5
1
−
=1
x x+2
x − 1 x + 1 2x + 9
+
=
x +1 x −1 x + 3
15 11x − 5
−
= −1
x
x2
3
1
1
−
=
x + 2 x − 2 x −1
8x
5x − 1
+
=3
3x + 5 x + 1
x+2
74
+x=
x
x
1
1
1
−
=
x − 2 x −1 6
x
3 x + 15
+x=
x−2
4
1−
x −1
x+3
−2=
x +1
3
2x − 3 x − 2
=
x+5
10
x − 13
10(5 x + 3)
= 5−
x
x2
4x − 1 2x −1
=
2x + 3 6x + 5
x
x−2 5
−
=
x−2
x
2
3x + 2
9 x + 14
= 5−
4
12 x
4 x 2 1 − 3 x 20 x
−
=
x −1
4
3
4
3
10
−
=
a − 3 a − 1 (a − 3)(a − 1)
3x − 1
2x
7
−
− =0
x
2x − 1 6
11
2
=
6t + 1 t + 1
5x − 8 7 x − 4
=
x −1
x+2
3
2
6
−
= 2
a − 4 a − 3 a − 7 a + 12
x + 3 5x − 1
−
=0
2x − 1 4x + 7
4
6
−6
+
= 2
x + 4 2 x + 3 2 x + 11x + 12
1
1
1
− =
4 − x 6 x +1
2
3
6
−
= 2
h − 2 2h − 3 2 h − 7 h + 6
x+4 x+2 1
−
=
x + 5 x + 3 24
3
2
6
−
=
a + 3 2a − 5 3a − 13
5
6
29
−
=
2
x −1 x +1 8
5
4
12t + 6
+
= 2
2t + 1 t − 1 2t − t − 1
7
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7. Resuelva los siguiente sistemas de ecuaciones, puede utilizar cualquier método de
resolución.
− 10 x − 2 y = 30

18 x + 6 y = −18
x + y y
+ =4

2
 3
3 x − y = 2
16h − 11b + 17 = 11h + 6b + 17

9h − 9b + 21 = −14h + 8b − 23
 h + b 2h − 3b 5
+
=

4
4
 8
2h − b = 7
− 11x − 14b = −37

− 13 x − 5b = 14
 g g − 3b 3
=
 +
6
4
4
 g + b = 4
− 3h + 2b = −11

− 5h + 2b = −12
1
 a + 3b a
+ =−

6
12
 4
a + 4b = 2
5h − 6b − 20 = 3h − 8b − 26

2h + 20b + 6 = −16h − 7b + 24
13 g − 6b = 5

6 g + 4b = 6
 a − 2b + 1
=2

 2a − 5b + 2
a − 2b = 1
− 2t + 2b + 16 = 8t − 5b + 22

21t + 11b + 18 = 6t + 20b + 36
4
 2a − 2b a − b
+
=−
 2
3
3

 a + 2b + 3a + 2b = 6
 4
3
− 13t + 2b = −21

2t − 3b = −16
8h − 5b = −13

− 10h + 9b = −15
2g + b g + b 3
 4 + 6 = 4

 2 g + 2b − 3 g + 2b = 0
 3
2
14h − 7b − 12 = −7 h − 16b + 30

− 17 h − 18b − 6 = −17 h − 14b + 50
 t + b 3t + 2b 1
 2 + 3 = 6

 2t + b − 4t + 3b = − 2
 3
2
3
11h − 8b = 4

− 7 h + 11b = −4
10a + 2b = 21

18a + 8b = 5
 2h + 3b − 1
=2

 2h − b + 2
h + 2b = 11
6 g − 19b − 15 = −6 g + 14b − 24

− 15 g − 12b − 4 = −17 g − 5b − 13
8
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8. Resuelva cada uno de los siguientes problemas que involucran en su solución la
ecuación de segundo grado con una incógnita.
1. En un rectángulo, el perímetro
mide 40 cm y el área es de 64
cm 2 .
¿Cuáles
son
las
dimensiones del rectángulo?
9. La suma de los cuadrados de tres
números es 549. Si el segundo
es dos tercios del primero y el
tercero es la mitad del primero,
entonces ¿Cuáles son los
números?
2. La diferencia de los cuadrados
de dos números consecutivos es
-17. Hallar dichos números.
10. Si el área de un terreno
rectangular mide 896 m 2 y el
largo excede al ancho en 4m,
entonces ¿Cuál es la longitud en
metros del largo del rectángulo?
3. Halle dos números cuyo
producto sea -6 y su suma sea 4.
4. El producto de dos números es
408 y el mayor de ellos es 3
unidades mayor que seis veces
el menor. ¿Cuáles son los
números?
11. El área de un rectángulo es 15
m 2 . Si el largo es igual a 4
aumentado en el triple del
ancho, entonces ¿Cuál es la
longitud
del
largo
del
rectángulo?
5. Halle una ecuación cuadrática
que tenga por soluciones el
opuesto aditivo y el inverso
multiplicativo de 2.
12. La suma de dos números es 23 y
su producto es 102 ¿Cuáles son
esos números?
6. Una sala de sesiones tiene 13m
de ancho y 16m de largo, y
quieren alfombrarla, excepto un
borde de ancho uniforme. ¿Qué
dimensiones deberá tener la
alfombra si su área es de 108 m 2
?
13. Si el área de un rombo es 6,4 m 2
y la longitud de una diagonal es
un quinto del cuádruplo de la
longitud de la otra diagonal,
entonces ¿Cuál es la medida de
la diagonal de mayor longitud?
7. El largo de un rectángulo es el
doble que el ancho x . Si el
ancho y el largo del rectángulo
se duplicaran, el área sería de
400 m 2 .
Calcular
las
dimensiones
originales
del
rectángulo.
14. El área de un rectángulo es 225
m 2 y su perímetro es 95m.
¿Cuánto mide el ancho del
rectángulo?
15. Un terreno rectangular de 5m
por 21m es rodeado por un
camino de ancho uniforme.
Determinar el ancho del camino
si el área del camino es 120 m 2 .
8. El producto de dos números
enteros consecutivos es 156.
¿Cuáles son esos números?
9
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16. En un triángulo rectángulo la
hipotenusa mide 2cm más que
un cateto y 16cm más que el
otro cateto. ¿Cuál es el área de
ese triángulo?
26. La diferencia de dos números es
7 y su suma multiplicada por el
número menor equivale a 184.
Hallar los números.
17. La suma de un número y su
cuadrado es 42. ¿Cuál es ese
número?
27. La longitud de una sala excede a
su ancho en 4m. Si cada
dimensión se aumenta en 4m el
área será doble. Hallar las
dimensiones de la sala.
18. Las áreas de dos cuadrados
difieren en 57 cm 2 . Si el lado de
uno mide 3cm más que el lado
del otro. ¿Cuáles son las
dimensiones de esos cuadrados?
28. La suma de las edades de A y B
es 23 años y su productos es
102. Hallar ambas edades.
29. Hallar
tres
números
consecutivos tales que el
cociente del mayor entre el
3
del
menor equivalga a los
10
número intermedio.
19. La diagonal de un rectángulo
mide 3m más que su longitud y
6m más que su anchura ¿Cuáles
son las dimensiones de ese
rectángulo?
20. Si la suma de dos números es 42
y su producto es 432. Determine
los dos números.
30. El producto de dos números es
5
180 y su cociente es . Hallar
4
los números.
21. El área de un rectángulo es 24.
Si el largo es igual a 2
aumentado en el doble del
ancho, determine la longitud del
largo del rectángulo.
31. La edad de A hace 6 años era la
raíz cuadrada de la edad que
tendrá dentro de 6 años. Hallar
la edad actual.
22. La suma de dos números es 16 y
la diferencia de sus cuadrados es
32. Hallar los números.
32. El cociente de dividir 84 entre
cierto número excede en 5 a éste
número. Hallar el número.
23. En un triángulo la base es 3
veces más grande que la altura y
el área del triángulo es 37.5 cm 2
. Determine la longitud de la
base y la altura del triángulo.
33. Miguel es 6 años mayor que su
hermana, y la suma de sus
edades es 68. Hallar la edad de
la hermana de Miguel.
34. Dos lados de un triángulo son
iguales, y el tercero es 5
unidades menor que la suma de
los dos lados iguales. Hallar la
longitud de los lados si se sabe
que el perímetro del triángulo es
47.
24. La diferencia de dos números es
14 y la cuarta parte de su suma
es 13. Hallar los números.
25. La suma de dos números es
1429 y su diferencia es 101.
Hallar los números.
10
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FUNCIONES
y
l1
2
–2
–1
1
•
3
x
l2
•–4
10
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1. Indique si cada una de las relaciones propuestas definen una función o no. En caso
afirmativo, determine el domino y el rango.
•
{(2,4), (6,8), (10,12), (6,14), (2,16)}
•
{(m, n) : m = 1, n = 1}
•
{(− 5,4), (0,6), (5,2), (10,6)}
•
{(a,1), (a,2), (a,1), (a,2), (a,1)}
•
{(a,1), (a,2), ( y,1), ( y,2), (z,1)}
•
{(3,1), (4,2), (5,3), (0,0), (7,8)}
•
{(2,0), (2,1), (2,2), (2,7), (2,10)}
•
{(0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}
•
{(1,1), (1,2), (2,2), (3,1)}
•
{(g , b ) : 0 ≤ g ≤ 8, b = 7}
•
{(− 1,1), (− 2,2), (− 3,3), (− 4,4), (− 5,5)}
•
{(0,0), (0,0), (0,0), (0,0), (0,1)}
•
{(3,2), (2,−1), (1,2)}
•
{(− 2,−1), (− 1,−1), (0,0), (1,1), (2,1)}
•
{(0,0), (0,0), (0,0), (0,0), (0,0)}
•
{(− 3,0), (0,3), (3,0)}
•
{(3,1), (4,2), (5,3)}
•
{(− 4,5), (− 2,0), (0,4), (− 2,3), (− 4,0)}
•
{( p, q ) : p = 1, q = 2}
•
{(1,1), (1,4), (1,−3), (0,0), (2,0)}
•
{(1,−1), (2,−1), (3,−1), (4,−1)}
•
{(1,1), (2,2), (3,3), (− 1,−1)}
•
{(g , b ) : 0 ≤ g ≤ 1, b = g}
•
{(0,0), (1,−1), (− 1,1), (2,−2), (3,−3)}
•
{(− 1,14), (− 8,2), (− 3,32), (− 9,4), (− 1,5)}
•
{(2,1), (0,3), (3,0), (− 1,4), (9,−6)}
•
{(2,54), (6,8), (11,2), (67,14), (2,16)}
•
{(0,0), (1,1), (2,4), (3,9), (4,16)}
2. Escribir una fórmula que defina cada una de las funciones siguientes
1. El perímetro, P , de un cuadrado es cuatro veces el lado, l .
2. El volumen, V , de un cubo es la tercera potencia de su arista, a .
3. El área de un cuadrado en función de: su diagonal, su lado, su perímetro.
4. El área de un círculo en función de su radio.
5. La altura de un triángulo cuya área es 2 m 2 , como función de la base.
11
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3. Para cada una de las siguientes funciones calcule las imágenes y preimágenes
indicadas.
1− x
1. Si g es una función definida por g ( x ) =
entonces calcule la preimágen de -3
2
2. Para la función dada por f ( x ) =
4 − 3x
calcule la preimágen de -6
2
3. Para la función dada por f ( x ) =
7 − 3x
calcule la preimágen de -2
5
4. Si f ( x ) =
2−x
, entonces calcule f (− 1)
3
5. Para la función dada por f ( x ) = 1 −
1
1
calcule la imagen de −
x
2
6. Para la función dada por f ( x ) = 2 x − x 2 calcule la imagen de -3
7. Para la función dada por f ( x ) = − x 2 − 2 x calcule la imagen de -3
8. Para la función dada por f ( x ) = − x 2 − x calcule la imagen de -2
9. Para la función dada por f ( x ) = 1 −
10. Calcule la imagen de
2−x
calcule la imagen de -1
2
1
en la función f ( x ) = 21− x
4
11. Si g es una función definida por g ( x ) = 3 2 x 3 + 1 calcule la imagen de -2
12. Para la función dada por f ( x ) =
3x
1
calcule la imagen de −
1 − 3x
3
13. Para la función dada por f ( x ) = 2 x − x 2 calcule la imagen de -3
14. Para la función dada por f ( x ) =
2x − 1
1
calcule la preimágen de
3
2
15. Sea f una función dada por f ( x ) = 5 x − 3 calcule la preimágen de
16. Para la función dada por f ( x ) =
4t − 1
1
calcule la imagen de
4
t + 2t − 1
2
17. Para la función dada por f ( x ) = 2 x − x 2 calcule la imagen de -16
12
2
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4. Para cada una de las siguientes funciones determine el máximo dominio real para el cual
se encuentran definidas.
f (x ) =
6+ x
3− x
g (x ) =
g (x ) =
4x
2x − 1
3 x 2 −1
k (x ) =
4 − x2
h(x ) =
3x + 1
x2 − 4
s(x ) =
3x 2 − 4 x + 1
7 x − 2 − 3x 2
f (x ) =
x2 −1
x2 + x
h( x ) =
27
h(x ) =
x 2 + 2x + 1
x2 − x
f (x ) =
g (x ) =
x−2
x + 2x − 3
f (x ) = 2 + x + 2 x − 6
2
x−3
(3 − x )(2 + x )
r (x ) =
f (x ) =
2−x
1
x +1
−
2
x − 3 x −1
3
x
−
2 2x + 1
g (x ) =
x 2 + 2x + 1
x2 − x
h(x ) =
x2 −1
, a constante
x+a
1
13
x −1
11
x+2 + 4− x
3x − 1
+ x −1
2− x
t (x ) =
4+ x
2 x − 11x + 12
2
f (x ) =
x
w( x ) =
1
4
1
+
+
x x −1 x + 2
x
g (a ) =
(a − 1)2
y(x ) =
x
x −1
g (x ) =
x+2
1− x
f (x ) = 3
x+3
1− x
f (x ) = 3 3 − x
m(x ) = 3 − x
67x 2
h( x ) =
1
j (x ) =
2 x
g (x ) =
3x − 1
m(x ) =
2 x ( x − 3)
l (x ) =
x −1
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5. Hallar la ecuación y = mx + b y la intersección con los ejes coordenados de la recta que pasa
por los puntos dados. Además determine si la recta resultante es creciente o decreciente.
(2,−3) y (− 1,1)
(− 9,83) y (− 8,75)
(2,−4) y (1,1)
(9,91) y (7,73)
(2,0) y (− 4,3)
(− 5,−12) y (− 10,−22)
(2,0) y (0,−4)
(3,14) y (5,26)
(− 2,3) y (0,−5)
(6,−18) y (5,−14)
(0,−2) y (3,0)
(9,−31) y (2,−3)
(− 3,−5) y (5,−5)
(− 2,−13) y (9,20)
(5,−34) y (11,−88)
(− 3,38) y (− 6,68)
(− 3,−7 ) y (2,13)
(− 10,108) y (− 2,28)
(− 4,15) y (− 3,9)
(− 3,−33) y (3,27)
(− 3,5) y (− 9,35)
(− 6,51) y (2,−29)
(− 11,72) y (5,−40)
(7,42) y (− 3,−28)
(− 3,32) y (− 9,80)
(11,92) y (− 4,−43)
6. Escriba las ecuaciones de las rectas dadas en la forma canónica ( y = mx + b )
3x + 7 y = 9
8 x − 10 y = −6
− 4x + 5 y = 3
− 6x + 5 y = 2
7 x − 11 y = −7
− 2x + 2 y = 9
4 y − 9 x = −7
6 x − 4 y = −2
− 5 x + 7 y = −2
10 x − 4 y = −2
− 5x + 4 y = 9
5x + 4 y = 6
− 3 x + 11 y = −2
2 x + 3 y = −8
11x + 5 y = 8
3 x + y = −12
14
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7. Determine la ecuación de la recta que satisface las condiciones descritas a continuación.
1. Pasa a través de (− 6,−7 ) , con pendiente -5
2. Pasa a través de (− 3,−1) , con pendiente 9
3. Pasa a través de (− 8,10) , con pendiente 2
4. Pasa a través de (5,−6 ) , con pendiente 2
5. Pasa a través de (3,−11) , con pendiente -3
6. Pasa a través de (5,6) , con pendiente 10
7. Pasa a través de (− 7,8) , con pendiente 5
8. Pasa a través de (− 2,5) , con pendiente 6
9. Pasa a través de (− 2,11) , con pendiente -3
10. Pasa a través de (− 5,3) , con pendiente -3
11. Pasa a través de (− 5,6) , con pendiente -6
12. Pasa a través de (− 7,−7 ) , con pendiente 2
13. Pasa a través de (1,2) y tiene la misma pendiente que la recta que pasa por (4,−1) y (3,6)
14. Pasa a través de (3,0) y tiene la misma pendiente que la recta 3 x + 2 y = 5
1 
15. Pasa a través de  ,3  y tiene la misma pendiente que la recta − 4 x − 3 − y = 0
2 
16. Pasa por (8,−2 ) y corta al eje y en 8.
17. La intersección con el eje y es 3, y tiene la misma pendiente que la recta 2 x + 3 y = −8
18. La intersección con el eje y es -4, y tiene la misma pendiente que la recta y =
1
x−4
5
19. Corta al eje x en 4 y al eje y en -3
20. El grado de inclinación de la recta es
1
y corta al eje x en 3
2
21. Determinar a de tal manera que 3 x + ay = 9 tenga la misma pendiente que la recta que
pasa por (7,−2) y (5,−1)
22. Hallar k tal que la recta que pasa por (4, k ) y (− 1,3) tenga la misma intersección con el
eje y , que la recta x + 3 y = 6
23. Si (− 1,3), (4,2), (− 7,5) son los tres vértices consecutivos de un paralelogramo, halle el
cuarto vértice.
15
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8. Obtenga la ecuación de la recta que satisfaga las condiciones dadas.
1. Pasa por (7,−3) y es perpendicular a la recta 2 x − 5 y = 8
2. Pasa por (1,3) y es perpendicular a la recta y = −3 x + 2
3. Pasa por (2,−3) y es perpendicular a la recta x − 3 y + 1 = 0
4. Pasa por (− 6,3) y es perpendicular a la recta 5 x − 10 y = 3
5. Pasa por (1,3) y es paralela a la recta y = −3 x + 2
6. Pasa por (− 2,4 ) y es paralela a la recta 3 x + y − 2 = 0
7. Pasa por (4,5) y es paralela a la recta 7 x + 6 y = −3
8. Pasa por (− 3,2) y es paralela a la recta 3 x + 5 y = 2
9. Pasa por (− 5,4) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (1,1) y (3,7 )
10. Pasa por (1,4) y es paralela a la recta − 4 x + 6 y = 2
11. Pasa por (− 3,2) y es perpendicular a la recta 5 x − 3 y + 21 = 0
12. Hallar la ecuación de una recta paralela a 2 x + 3 y = 5
13. Hallar el grado de inclinación de una recta paralela a 2 x − 3 y = 1
14. Hallar la ecuación de una recta perpendicular a y = −2 x − 2
15. Hallar la ecuación de una recta perpendicular a 4 x − 5 y − 6 = 0
16. Hallar una recta perpendicular a la recta que pasa por los puntos (− 3,2) y (− 4,0)
17. Pasa por (− 3,0) y es perpendicular a la recta x − 2 y = 6
18. Hallar el punto de intersección de las rectas 2 y = 3x − 4 ; 3 y + 1 = 2 x
19. Hallar el punto de intersección de las rectas − x − y = −3 ; x + y = 4
20. Determine la intersección de las rectas 10 x − 2 y − 2 = 0 y y = 5 + 4 x
21. Dos rectas perpendiculares se intersecan en el punto (− 1,2) . Si la ecuación de
una de las rectas es 2 y − x = 5 , entonces hallar la ecuación de la otra recta.
22. Hallar el valor de k para que la recta kx − 3 y = 10 sea paralela a la recta 2 x + 3 y = 6
23. Si 5 x + 2ky − 3 = 0 y 4k 2 x + 3 y + 1 = 0 son las ecuaciones que definen dos rectas
perpendiculares. Hallar el valor de k
24. Si la recta definida por (5 − a )x + (3 + 2a ) y = 2a − 1 es perpendicular a la recta
definida por y = − x + 12 . Hallar el valor de a
25. Hallar el valor de k para que la recta 5 x + 3 y = 4 sea paralela a la recta 7 x + ky = 1
16
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9. Determine la inversa de cada una de las funciones (bien definidas) dadas.
Suponga que tales funciones son biyectivas.
f (x ) = x 3
f (x ) =
2−x
3
f ( x ) = 2 − 3x
f (x ) =
x
−3
2
f (x ) =
x
+3
4
f (x ) = 2 x − 6
f (x ) =
5
x −1
f ( x ) = −23
f (x ) = 3x −
2 x + 11
f (x ) = 8 x 2 + 7 x + 3
f (x ) =
f (x ) =
1
2
f (x) = 3 − 2 x
1
x−2
f (x ) =
1
x
3+ x
4
f (x ) = 2 x −
f (x ) = x + 1
f ( x ) = −33 6 x − 6
f ( x ) = 7( x − 7 ) − 3
1
3
f (x ) =
2−x
5
f (x ) =
x
−1
5
f (x ) =
1− x
2
3
f (x ) = 3
f (x ) =
x+2
− 11
2
− 10 x + 7
x −1
x 
f ( x ) = 2 + 1
3 
f ( x ) = −9( x + 8 )
3
f (x ) =
f ( x ) = 3( x − 8) + 4
3
17
1 − 2x
3
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10. Realice el estudio completo de cada una de las siguientes funciones
f : IR → IR . Debe calcular discriminante, concavidad, intersección con los ejes,
vértice, eje de simetría, intervalos de crecimiento, decrecimiento y ámbito. Además
debe trazar un bosquejo de la grafica correspondiente.
f (x ) = x − x 2 + 6
f (x ) = 2 x 2 + x − 1
f (x ) = x 2 − 4 x + 3
f (x ) = x 2 − 3
f (x ) = − x 2 + 6 x − 8
f (x ) = − x 2 − 2
f (x ) = − x 2 + x − 6
f (x ) = x 2 − 2 x − 3
f ( x ) = −5 x 2 + 3 x
f ( x ) = −5 x 2 + 3 x + 1
f (x ) = 2 x 2 − 3x + 4
f (x ) = x 2 − x − 2
f ( x ) = −3 x 2 − 2 x − 1
f ( x ) = 3 x − x 2 + 10
f (x ) = x 2 − 4 x + 4
f (x ) = 3 − 5 x + 2 x 2
f (x ) = 3x 2 − 5 x − 2
f ( x ) = −5 x 2 + 3 x − 2
f (x ) = 3x 2 − 5 x + 1
f (x ) = (x − 4)
f (x ) = x 2 + 1
f (x ) = 4 − x 2
f ( x ) = x − x 2 − 12
f (x ) = 1 − 2 x 2 + x
f (x ) = 3 − 5 x + 2 x 2
f ( x ) = x( x − 2)
x 2 − 2x
f (x ) =
2
f (x ) = 6 − x − 2 x 2
2
11. Encuentre el valor numérico de cada uno de los siguientes parámetros de manera
que cumplan las condiciones dadas a continuación.
•
•
•
•
Hallar el valor de m para que f ( x ) = (2 − m )x 2 + 3 x + 3 sea una cóncava
hacia arriba
Hallar el valor de a para que f ( x ) = (a − 2 )x 2 + 3 x + 6 sea una cóncava hacia
abajo.
Sea f ( x ) = 2 x 2 + 4mx − 2 . Hallar el valor de m sabiendo que la coordenada
en x del vértice es 16.
Sea f ( x ) = 2 x 2 + 4mx − 2 . Hallar el valor de f (2) en función de m
18
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12. Resuelva cada uno de los siguientes problemas haciendo uso de la función cuadrática.
•
Sea f una función dada por f ( x ) = 20t − 4,9t 2 + 50 que describe la trayectoria a
los “ t ” segundos de una piedra lanzada hacia arriba desde el techo de un edificio.
¿Cuál es aproximadamente el tiempo en segundo necesario para que la piedra
alcance su máxima altura con respecto al suelo? ¿Cuál es aproximadamente la
máxima altura en metros, con respecto al suelo, que alcanza la piedra?
•
Un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba, alcanza una altura h en metros
dada por h( x ) = −4,9t 2 + 10t , donde t es el tiempo en segundos que tarda en
alcanzar esa altura. ¿Cuál es aproximadamente la máxima altura que puede
alcanzar ese objeto?
•
Un fabricante de ropa ha encontrado que cuando el precio por unidad es p
colones, el ingreso R en colones está dado por R( p ) = −4 p 2 + 4000 p . ¿Cuál es
el precio unitario en colones que se debe establecer para maximizar el ingreso?
•
Determine las dimensiones del corral rectangular de mayor área que puede
construirse con 1.5 km de malla.
•
Dividir el número 120 en dos partes de modo que el producto de ellas sea lo
mayor posible.
•
Hallar el valor máximo que se pude obtener al multiplicar dos números cuya suma
sea 1.
•
Hallar dos números cuya suma sea 24 y cuyo producto sea tan grande como sea
posible.
•
Las ventas en un teatro con capacidad de 40 asientos están dadas por
2
R ( x ) = 6000 + 60(40 − x ) − (40 − x ) , donde x es el número de asientos ocupados.
Determine las ventas máximas y el número de asistentes que las producen.
•
Suponga que con una manguera se lanza un chorro de agua hacia arriba,
describiendo una parábola con ecuación f (t ) = 160t − 5t 2 . Calcular la altura
máxima del chorro.
•
Un precarista desea cercar un terreno en forma rectangular, utilizando como uno
de los lados un muro ya existente. Si dispone de 100m de malla ¿Cuáles deben ser
las dimensiones del rectángulo para que éste tenga área máxima?
•
Un granjero dispone de 600m de malla con la cual desea encerrar un corral
rectangular a lo largo de un río (el cual tiene forma rectilínea). Si no se va a
utilizar malla en el lado que corresponde al río, ¿Qué dimensiones generarán el
corral de mayor área?
19
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13. Convierta las siguientes ecuaciones a su forma logarítmica
6 −5 =
1
77
4 −5 =
1
3
3
5
8 =2
3 −6 =
27
−
1
3
32 = 8
1
729
=
1
1024
6 −2 =
1
36
2 6 = 64
1
3
ab = c
2
83 = 4
a 2x = c
5 3 = 125
8 −2 =
1
64
1
6
8 −2 =
1
64
5 −3 =
1
125
64 = 2
14. Convierta las ecuaciones dadas a la forma exponencial
log 5 3125 = 5
 1 
log 3 
 = −5
 243 
log 2 16 = 4
1
log 2   = −4
 16 
log 3 9 = 2
log a a 2 = 2
log 8 512 = 3
log 6 46656 = 6
 1 
log 6   = −2
 36 
 1 
log 5 
 = −6
 15625 
log 6 1296 = 4
log a3 a 6 = 2
1
log 3   = −4
 81 
20
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15. Hallar el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones exponenciales.
3 ⋅ 9 2 x = 27 x −1
1
5 7 x −5 =  
5
x
 16 
 
 81 
2 x −1 = 16
125 − 5 2 x = 0
3
 
2
x −1
 8 
= 
 27 
3− 2 x
3 x +5 ⋅
3
2 ⋅ 2x =
2x =
4
1
32
x
2
 
3
x −1
2 x +6
25
1
= 
5
5
1
1
= x −3
9 81
4
8 x +1
 10 
0,027 =  
 3
x+2
23x
5 t = 125
4 x −1
8
2x =
1
2 ⋅ = 8 x −1
4
2 x −3
=8
4 ⋅ 16 a = 64 a −1
64
= 5x
8
x
1
 
 16 
3
x +1
1
 
 16 
2 a −2 a +3 = 4
2
2 x −3
=8
x +1
e −2 a e 3 a = e 4
9 2 x = 3 ⋅ 27 x
3− 2 x
= 2 ⋅ 4x
27
= 3 x −1
x
9
64 = 4 ⋅ 2
x
2 2 x −5 = 128
x
3
27 x −1 = 9 x + 3
x
1
x +1
  = 2 ⋅8
4
 
1
 
3
4
9
8
x
1
 
 16 
9
= 
4
2x
=4
2 −x =
3 + 3 ⋅ 3 = 36
x
2 x −1
 9 
 
 25 
x −3
5
= 
3
x+2
511− x = 58− x
x +1
= 9 2 x +1
7 x + 2 = 343
8
x −1
1
= 
2
2x
21
− x +1
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16. Resuelva cada uno de los siguientes problemas haciendo uso de la función
exponencial.
•
El crecimiento de una colonia de bacterias C , si se empiezan con 5000 bacterias,
al cabo de t horas está dada por C (t ) = 5000 ⋅ 2 2t . ¿Cuál es el crecimiento de esa
colonia de bacterias al cabo de 1,5 horas?
•
La función f dada por f ( x ) = 2e −0,35 x se utiliza para aproximar el área en
centímetros cuadrados de una herida en la piel después de x días de producida.
¿Cuál es aproximadamente el área en centímetros cuadrados de la herida después
del cuarto día en que se produjo?
•
Se dispone de una cartulina de 1mm de espesor que se puede doblar
sucesivamente de modo que cada doblez se hace sobre el anterior. Si la relación
entre la altura h de la cartulina doblada y el número de dobleces x está dada por
h( x ) = 2 x , entonces ¿Cuántos dobleces se han realizado si en el ultimo doblez se
alcanza una altura de 8mm?
•
La función f dada por f ( x ) = Pe 0, 05 x sirve para aproximar el interés ganado al
final de un periodo de pago y que se agrega al capital inicial P a los x años.
¿Cuántos años se requieren aproximadamente para duplicar el capital?
−2 x
5
•
La función f dada por f ( x ) = 5e
se utiliza para determinar la cantidad de
miligramos de cierto medicamento en el flujo sanguíneo de un paciente, x horas
después de su administración. Si a un paciente se le inyecta dicho medicamento a
las 3 p.m., entonces ¿Qué cantidad en miligramos de ese medicamento tendrá
aproximadamente el paciente a las 5 p.m. de ese mismo día?
•
Una población P = 100 000 personas aumenta a Pe 0.05 n , después de n años.
Determine la población existente al cabo de 5 años.
•
Una sustancia radioactiva se descompone a una taza tal que si B es el número
inicial de átomos de la sustancia, y N es el número remanente al cabo de t horas,
entonces N = Be − kt , donde k es una constante. Si se empieza con 17000 átomos
y 14500 es lo que queda al cabo de media hora. Determine el valor de la constante
k.
•
El número n de bicicletas que un mecánico aprendiz puede ensamblar
diariamente después de t días de entrenamiento está dado por n = 60 1 − e −0, 04t .
Determine después de cuántos días de entrenamiento el mecánico armará 40
bicicletas diarias.
•
En una maquiladora, Steven puede coser P pantalones por día después de t días
de entrenamiento, en donde P = 400 − 400e − t . ¿Cuántos pantalones coserá Steven
al cabo de 1386 días?
[
22
]
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17. Hallar el valor numérico de la incógnita x en cada una de las siguientes expresiones
logarítmicas.
−1
2
1
log 1   = x
2
8 
log x 8 =
log 1 16 = x
log x 3 =
−1
2
1
2 log 3   = x
 81 
log 2 x =
1
3
log x 3 = 4
log 1 x =
1
3
4
8
log x = −3
log x 8 =
3
4
log 1 4 = x
2
log a a a = x
log 1 x = −3
2
log x 2 2 = −2
1
log 2   = 5
 x
log 3 3 x = 3
1
log 4   = x
2
1
log 1   = −2
x
3 
1
log x   = 3
3
− 3 log x = 3
log x 3 =
1
log 3   = x
9
1
2
3 log 4 = x
23
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18. Utilice las propiedades de los logaritmos para formular las siguientes expresiones
en términos de un solo logaritmo.
log 2 x 2 − log 2 x 4
1
+ log x
x
2 log x − log
2 log x + 2 log(2 x ) − 2 log x
(
)
(
log 1 x 2 + x − log 1 x 2 − x
2
2
)
2
1
log c a 2 + log c  
a
15

 log 4 − 2 log x 
24

log a − log b − log c
1
3
1
ln ( x + 1) − ln x − ln y 2 + ln x
2
2
4
(
)
( )
(
log b 3 − 5 + log b 3 + 5
)
log x 3 4
log b
(
)
2 − 1 + log b
(
)
m
x3n
2 +1
 x 
 x +1
2
ln
 + ln
 − ln x − 1
 x −1
 x 
(
5
(log c a − log c b )
2
)
log a + log 2 + log(a + 1)
log( x + 1) + log( x − 1) − log x
log x + log( x − 1) + log( x − 1)
log 75 − log 45
3 log(a + 1) − 2 log x
( )
( )
log x 10
−3
log x 2
2 log
(
− [log( x + 1) − log( x + 2)]
)
x + 3 + log( x − 3)
log z + 3 log a − log(a + 1)
n log a − log b − log c
4 log 5 h +
 y3 
1
2 log  − 3 log y + log x 4
2
 x 
24
2
log 5 (h + 1) − log 5 (h + 23)
3
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19. Haciendo uso de las propiedades de los logaritmos compruebe las siguientes
identidades.
log a 2 + log
1
3
+ log a = log a
a
2
1
2− 3
log
= log 2 − 3
2
2+ 3
log ab + log
a
5
1
+ log ab = log a + log b
b
2
2
1
x2 −1 1
x −1
log
+ log
= log( x − 1) − log 2
2
2
2
2x + 2
1
1
x +1
log x 2 + 3 x + 2 + log
= log x + 1
4
4
x+2
(
)
1

log x −  = 2(log( x + 1) + log( x − 1) − log x )
x

1
1
3
log a h + log a b + log a c = log a  h bc 3 
2
4
4


 t 2 (2t + b ) 
2 log t − 3 log z + log(2t + b ) = log 

z3


 tb 6 
1
2
log a t + 6 log a b − log a c = log a 

3
2
2
3
 c 

1
2 log z − log( g − 2b ) = log 
2



(g − 2b ) 
z2
 zt 2 
log z + 2 log t − log(t − 1) = log 

 t − 1
 2t 2 + 5t + 3 
 3t − 1 
 2t + 3 
log 2 
= log 2 
 + log 2  2

 3t + 2t − 1
 2t − 3 
 2t − 3 
 a 2b 
2 log x a + log x b − 3 log x c = log x  3 
c 
25
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(
 a5 f 3 
 af 
4 2 7
log 7 
 − log 7  8  = log 7 a f b
b c 
 bc 
( )
)
( )
t
log a tb 2 + 2 log a   = log a t 3
b
[
( )
log a 3 + 2 log a x + 3 log a y 3 = log a 3 x 2 y 9
]
 (t − 4 )(2t + 7 )5 
log a (t − 4 ) + 5 log a (2t + 7 ) − log a t − 3 log a (3t + 8) = log a 

3
 t (3t + 8)

(
)
 a 2 + 25 (7a − 96) 
1
log 2 a 2 + 25 + log 2 (7a − 96) − log 2 3 − log 2 a − log 2 (5a + 37 ) = log 2 

2
 3a 5a + 37 
(
)
(
)
t t 3 − 2 
log 4 t + log 4 t − 2 − log 4 (5t + 3) = log 4 

 5t + 3 
(
3
)
 h 4 3 h 2 + 2h + 1 
2
4 log 5 h + log 5 (h + 1) − log 5 (h + 23) = log 5 

3
h + 23


 za 3 
log z + 3 log a − log(a + 1) = log 

 a + 1
 8 gb 4 
log y 8 + log y g + 4 log y b − log y 7 − log y c = log y 

 7c 
 z (a + b )3 
1
log z + 3 log(a + b ) − log(a − b ) = log 

2
 a−b 
(
1
log z + 2 log a + log(a + 3) = log za 2 3 a + 3
3
)
a2 b 
1
log y 
= 2 log y a + log y b − log y 5 − 3 log y c
3 
2
 5c 
 9c 
1
1
log y 
 = log y 9 + log y c − log y 5 − 2 log y a − 2 log y b
 5 ab 
log z + log a = log( za )
26
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20. Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas, recuerde probar las soluciones
obtenidas con el objetivo de excluir aquellas que indefinen la función.
log 5 (2 x + 1) + log 5 (3 x − 1) = 2
log 3 x − log 3 2 = 3 − log 3 9
log 2 (6 x + 5) + log 2 x = 2
log 3 1 − x =
log( x − 1) = 2
log 2 ( x − 1) = 4 − log 2 3
log( x + 2) − log(4 x + 3) + log x = 0
log x − log 5 = log 2 − log( x − 3)
log 3 (2 x + 1) + log 3 x = 1
log 2 (log 3 x ) = 2
2 log 9 ( x − 1) = 1
log 3 x 2 − log 3 (2 x ) = 1
log 3 (4 x + 2 ) = 2
log 1 + x =
log(2 x − 1) + log x = 0
1
2
− log 8 ( x − 5) =
1
2
log 2 ( x − 1) + log 2 ( x + 2) = 2
(
)
− log 5 (2 x ) + log 5 x 2 − 9 = log 5 ( x − 3)
2
3
log 4 x − log( x − 2) = 1
log(2 x − 1) + log x = 0
(
)
(
)
log 1 x 2 + x − log 1 x 2 − x = 1
log x − log(2 − 3x ) = 1
2
2
log 3 x + 2 = log 3 5
2
log 8 x + 3 log 8 2 = log 8  
 x
log 2 ( x + 4 ) − log 2 ( x + 1) = 1
log 2 [log(2 x − 1)] = 1
log x + log( x − 3) = 1
3 2 log 3 x = log 3 3
log 3 (2 x ) − log 3 (x + 1) = −1
log 2 log 3 x 2 − 2 x = 0
log 2 ( x + 2) + log 2 ( x − 1) = 2
log 3 (t + 1) + log 3 (t + 3) = 1
log 3 x 2 + log 3 x = 2
log 6 (a + 1) + log 6 (a + 2 ) = 1
[
log 3 x 2 − log 3 (2 x ) = 1
(
)]
log x − 2 log 4 = log 32
 a+6
log 
 = log 2
 a −1 
2 log x − log 2 = log 8
log 5 h 2 + 21h − 10 − log 5 (5h − 1) = 1
(
27
)
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
GEOMETRÍA
C2
P
S
C1
O
Q
C3
R
27
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
1. Utilice los teoremas fundamentales de la circunferencia para resolver cada uno de
los siguientes problemas.
A
E
O
B
C
A
O
C
D
B
Si en la circunferencia de centro O,
OC = 20 y AB = 32 . Entonces ¿Cuál
es, en centímetros, la medida de EC ?
En la figura adjunta CD es tangente a
la circunferencia en D y además
CD = 2 2 y BC = 2 . Hallar la medida
de CA .
En una circunferencia de diámetro
20cm , si la distancia de una cuerda al
centro es de 6cm ¿Cuál es la medida de
la cuerda?
20
8
En una circunferencia, la longitud de
una cuerda es 10. Si la distancia de esa
cuerda al centro de la circunferencia es
4, entonces ¿Cuál es la longitud del
radio?
X
30
B
A
De acuerdo con los datos de la figura
encuentre la medida del segmento x.
C
O
B
C
En la figura AB es un diámetro, si
AB = 25 y BD = 5 . Hallar la medida
de CD .
D
BC= 120º
O
D
A
De acuerdo con los datos de la figura si
AB = 12 y AC = 6 5 , entonces ¿Cuál
es la distancia de AB al centro de la
circunferencia?
P
B
65º
C
θ
A
Si BC = 24 , AD = 9 y la distancia del
centro O a BC = 4 3 , entonces ¿Cuál
A
Q
En la figura PA y QA son tangentes. Hallar la m∠θ .
es la medida de OC ?
28
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
En una circunferencia de radio 8cm, una
cuerda dista 6cm del centro, entonces
¿Cuál es la longitud de dicha cuerda?
A
H
es tangente en M,
Si
AM
m∠AMB = 60º y MB = 18 . Hallar la
medida del radio de la circunferencia.
C
C
O
30º
A
B
O
I
D
B
D
En la figura adjunta AC y BD son
cuerdas equidistantes del centro O.
Además HI = 24cm . Si la longitud del
radio de la circunferencia es de 14cm .
Halla las medidas de AC y BD .
De acuerdo con los datos de la figura, si
AD y CB son cuerdas equidistantes del
centro y AB = 12cm . Hallar la distancia
entre AD y el centro O.
C
M
R
A
B
E
S
O
O
P
Q
N
De acuerdo con los datos de la figura, si
RS y PQ son cuerdas equidistantes del
D
De acuerdo con la figura el radio de la
circunferencia es de 15cm y CE = 4cm .
Hallar la medida de AB .
P
M
A
centro,
NS = 2 3
y
ON = 2 ,
entonces ¿Cuál es la medida del radio?
B
M
P
N
C
De acuerdo con los datos de la figura, si
AB y AC son dos cuerdas congruentes
de la circunferencia de centro P,
AM = MP y AC = 8 . Hallar la medida
del diámetro de la circunferencia.
De acuerdo con los datos de la figura, si NP es
tangente en N a la circunferencia de centro O,
m∠PNM = 60º y NO = 6 . Hallar la medida
de MN .
A
Si AC y BD son diámetros de una
circunferencia
de
centro
O,
AB = CD = OA y la medida del radio es
12cm, entonces ¿Cuál es la distancia
entre las cuerdas AB y CD ?
M
O
O
B
29
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
A
A
M
P
O
B
B
De acuerdo con los datos de la figura, si
AM = MB , PM = 5 y el radio de la
circunferencia mide
39 , entonces
¿Cuál es la longitud de la cuerda AB ?
De acuerdo con los datos de la figura, si los
radios de las circunferencias concéntricas
miden 17 y 8 respectivamente, entonces
¿Cuál es la medida de AB ?
A
E
C2
D
B
P
C
S
De acuerdo con los datos de la figura, si
AC , CE y BD son cuerdas equidistantes
del centro de la circunferencia cuyo radio
mide 6 2 y m∠ACE = 60º , entonces
¿Cuál es la medida de BD ?
C1
O
Q
C3
R
Sean C1 , C2 y C 3 , circunferencias
cuyos centros son O, P y Q,
respectivamente. Si C1 y C2 son
tangentes interiormente en R; C2 y C 3
son tangentes exteriormente en S,
OR = 4 , PR = 10 , SQ = 5 , entonces
¿Cuál es la distancia entre los centros de
las circunferencias C1 y C 3 ?
P
Q
O
R
De acuerdo con los datos de la figura, si las
circunferencias de centro O y P son
tangentes interiormente, PQ = 2 y OR = 7 ,
entonces ¿Cuál es la medida del radio de una
circunferencia
concéntrica
a
la
circunferencia de centro O y que contiene al
punto P?
M
60º
B
A
A
M
En la circunferencia dada, la medida del
diámetro es 2 3 , AM y MB son
cuerdas equidistantes del centro. ¿Cuál
es la medida de AM ?
B
O
N
C
Si cuadrilátero BMON es un cuadrado y la
medida del radio de la circunferencia es
5 2 ; entonces ¿Cuál es la longitud de BC ?
30
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
C
B
M
A
O
E
B
D
A
El radio de la circunferencia de centro O
mide 6cm, AB = 2 . Hallar la medida de EC
.
En la circunferencia dada, AM y MB
son cuerdas equidistantes del centro,
m∠AMB = 60º y AB = 2 6 ¿Cuál es la
medida del radio?
C
B
A
α
Q
A
P
C
D
B
En la figura adjunta, AD y BC son
tangentes comunes a los círculos de centros
Q y P. Si PA = 12 , QB = 10 y m∠α = 60º ,
entonces ¿Cuál es la medida del segmento
que
une
los
centros
de
dichas
circunferencias?
Si AC y AB son rectas tangentes a la
circunferencia
en
C
y
B,
respectivamente, AC ⊥ AB y la medida
del diámetro es 12, entonces ¿Cuál es la
medida de BC ?
Q
D
C
En una circunferencia cuyo diámetro
mide 16cm, se traza una cuerda de
longitud 12cm, ¿A qué distancia del
centro de la circunferencia se encuentra
dicha cuerda?
O
B
A
En la gráfica las circunferencias de centro O
son concéntricas y AQ es tangente. Si
AB = 5 y AQ = 30 , entonces ¿Cuál es la
M
medida de BC ?
A
B
C
A
P
O
D
B
La circunferencia de la figura adjunta
está trisecada y su diámetro mide 2cm
¿Cuál es el área del ∆ABM ?
Las circunferencias de centro P y de centro
O son tangentes interiores en el punto D.
OA y OB son segmentos tangentes. Si
PD 1
y PD = k , entonces hallar la
=
CD 8
medida de OA en términos de k .
31
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
2. Utilice las relaciones de los ángulos con los arcos de la circunferencia para resolver
cada uno de los siguientes problemas.
A
P
A
20º
80º
52º
P
B
B
C
40º
De acuerdo con los datos de la figura
¿Cuál es la medida del arco ABC?
De acuerdo con los datos de la figura, si
AB es tangente a la circunferencia en
B, entonces ¿Cuál es la media del arco
que subtiende el ángulo seminscrito?
4º x
β
5º x
α
γ
3º x
α
5º x
3º x
De acuerdo con los datos de la figura,
¿Cuál es la medida del ∠α , ∠β y ∠γ
?
7º x
B
De acuerdo con los datos de la figura,
¿Cuál es la medida del ∠α ?
C
D
A
O
C
O
A
B
De acuerdo con los datos de la figura, si
AB es diámetro y medida del arco BC
es 30º , entonces ¿Cuál es la medida del
∠DOB ?
De acuerdo con los datos de la figura, si
la medida del arco AC es 40º, entonces
¿Cuál es la medida del ∠BAO ?
A
A
64º
C
B
O
D
O
M
B
C
De acuerdo con los datos de la figura, si
AB y AC son congruentes y la medida
del arco BMD es 70º, ¿Cuál es la
medida del ángulo ABD ?
De acuerdo con los datos de la figura, si
m∠AOC = 96º , entonces ¿Cuál es la
medida del ∠ABC ?
32
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
M
D
D
A
50º
α
60º
A
O
O
B
B
C
C
De acuerdo con los datos de la figura,
¿Cuál es la medida del ∠α ?
De acuerdo con los datos de la figura, si
medida del arco AMD es 160º, entonces
¿Cuál es la medida del arco AC ?
R
C
O
X
S
80º
40º
A
B
O
70º
B
Y
D
De acuerdo con los datos de la figura, si
CD es un diámetro y la medida del arco
(menor) CB es la mitad de la medida
del arco (mayor) AC , entonces ¿Cuál
es la medida del ∠COB ?
En la figura XY es tangente en B a la
circunferencia de centro O, entonces
¿Cuál es la m∠ROS ?
K
α
140º
A
50º
B
B
De acuerdo con los datos de la figura en la
que BK es tangente a la circunferencia en k
¿Cuál es el valor de α ?
A
C
O
D
De acuerdo de los datos de la figura, si AB
es tangente en B a la circunferencia de
centro O y DC es un diámetro, entonces
¿Cuál es la medida del ∠BCD ?
α
O
B
80º
116º
D
A
N
C
De acuerdo con los datos de la figura en la
que BC es tangente a la circunferencia en B,
¿Cuál es el valor de α ?
C
M
O
B
De acuerdo con la figura, si MO = NO y
m∠ABO = 42º , entonces ¿Cuál es la
medida del arco (menor) DC ?
33
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
M
C
70º
70º
P
A
O
A
B
M
B
De acuerdo con los datos de la
circunferencia de centro P ¿Cuál es la
m∠AMB ?
De acuerdo con los datos de la
circunferencia de centro O ¿Cuál es la
medida del arco menor AM ?
R
C
M
A
D
40º
O
O
P
48º
M
S
B
De acuerdo con los datos de la figura, si
AM = MD , ¿Cuál es la medida del ∠ADB
?
De acuerdo con los datos de la figura, si R
y S son puntos de tangencia, entonces
¿Cuál es la medida del arco RMS ?
E
C
42º
A
B
O
O
B
C
D
D
De acuerdo con los datos de la figura, si
DC es tangente al círculo en C, AB es un
diámetro y m∠DCB = 116º , entonces
¿Cuál es la medida del arco EAC ?
De acuerdo con los datos de la figura, si la
medida
del
arco
CD = 118º
y
m∠BOC = 106º , entonces ¿Cuál es la
medida del ∠OBD ?
C
B
A
86º
AB ≅ AC
O
C
A
B
D
De acuerdo con los datos de la figura, si
CD es tangente en C, entonces ¿Cuál es la
medida del arco (menor) AB ?
34
De acuerdo con los datos de la figura, si
m∠COA = 132º . Hallar la medida del
∠ABC .
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D
A
E
B
E
B
A
O
C
C
En la figura, el diámetro AB es
perpendicular a la cuerda CD , si la medida
del arco menor CD = 80º . Halle la medida
del ∠BOE .
De acuerdo con los datos de la figura, los
arcos AB y BC son congruentes y además
la m∠ACB = 38º . Hallar la medida del
∠EAC .
B
S
O
M
A
A
C
O
D
En la figura, OD ⊥ AC , O es el centro y
m∠AOD = 50º . Hallar la medida del
∠ABC .
B
3X O
A
120º
R
De acuerdo con los datos de la figura, si A
es el punto de tangencia de AS y la
circunferencia
de
centro
O
y
m∠MAS = 58º , entonces halle la medida
del arco MR .
A
C
De acuerdo con los datos de la figura, halle
el valor de la incógnita x .
D
B
O
A
C
40º
5X
C
B
De acuerdo con los datos de la figura, halle
el valor de la incógnita x .
En la circunferencia de centro O, la razón
entre el arco AB y el arco BC es 2 : 5. Si el
arco mayor excede al menor en 24 º . Hallar
la medida del ∠AOB .
α
C
O
β
A
O
52º
B
De acuerdo con los datos de la figura, halle
el valor de la incógnita α .
En la figura AO = OB = BC
Hallar el valor del ∠β .
35
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3. Determine cada una de las siguientes áreas sombreadas.
E
C
D
F
A
C
O
B
A
B
La figura adjunta corresponde a un
hexágono regular de lado 4cm. Hallar el
área de la región destacada con negro.
D
N
C
AC y AB tangentes a la circunferencia de
radio 4cm y centro O, el ∠CAB = 60º .
Hallar el área de la región destacada con
negro.
B
C
O
M
E
A
D
B
P
El cuadrilátero ABCD corresponde a un
cuadrado, donde M, N, O y P son los
puntos medios de cada uno de sus lados.
Si BM = 3 . Hallar el área de la región
destacada con negro.
El cuadrilátero de la figura adjunta es un
cuadrado de lado 6cm. Si ∆ABE es
equilátero. Hallar el área de la región
destacada con negro.
C
B
A
A
F
D
A
C
D
El cuadrilátero ABCD corresponde a un
cuadrado de lado 12cm, las ocho
circunferencias implícitas son congruentes.
Hallar el área de la región destacada con
negro.
E
B
El ∆ABC es equilátero, D, E y F son los
puntos medios de cada uno de sus lados. Si
AB = 4 . Hallar el área de la región
destacada con negro.
C
D
M
A
E
B
El ∆ABC es isósceles, el ∠CAB es recto,
además BC = 10 . Hallar el área de la
región destacada con negro.
36
La figura adjunta representa un cuadrado
de 24cm de lado. Hallar el área de la región
destacada con negro.
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A
B
B
A
O
C
D
C
La figura adjunta representa un cuadrado
de lado 6cm, cada lado está dividido en tres
partes iguales. Hallar el área de la región
destacada con negro.
D
A
D
De acuerdo con los datos de la figura, si
cuadrilátero ABCD es un cuadrado inscrito
en una circunferencia de centro O, AB = 6 ,
entonces hallar las sumas de las áreas de
las regiones destacadas con negro.
C
B
El cuadrilátero anterior representa un
cuadrado en el que A, B, C y D son los
puntos medios de sus lados respectivos. Si
BC = 4 2 . Hallar el área de la región
destacada con negro.
C
Hallar el área de la región destacada con
gris, si se sabe que OB = 6 , la medida del
arco AB = 90º .
B
A
La figura anterior representa un triángulo
equilátero circunscrito a una circunferencia
de radio 10cm. Hallar el área de la región
destacada con negro.
O
P
Q
De acuerdo con los datos de la figura, si
AB = 4 y BO = 4 , entonces ¿Cuál es el
área de la región destacada con negro?
A
B
P
Las circunferencias de centros O, P y Q
son congruentes y cada uno de sus radios
miden 6cm. Hallar el área de la región
destacada con negro.
Hallar el área sombreada de la figura
anterior, la cual está compuesta por dos
semicircunferencias perpendiculares entre
si y de radio 6cm.
37
O
De acuerdo con los datos de la figura, si las
circunferencias de centros O y P, de radios
OP y PB son tangentes interiormente,
medida del arco AB = 120º y OP = 3 ,
entonces ¿Cuál es el área de la región
destacada con negro?
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En un cuadrado de lado m desde los
vértices opuestos, con radio m , se trazan
arcos de semicircunferencias como se
muestra en la figura anterior. Hallar el área
de la región destacada.
¿Cuál es el área del segmento circular que
corresponde a un ángulo central de 60º en
una circunferencia en que la medida del
radio es 12cm?
B
C
A
D
De acuerdo con los datos de la figura, si
cuadrilátero ABCD es un cuadrado y
OA = 6 2 , entonces ¿Cuál es el área de la
región destacada con negro?
Sea R la longitud del radio de una de las
circunferencias. Si la longitud del radio de
3
la otra circunferencia es
R, entonces
4
¿Cuál es el área de la región destacada con
negro?
De acuerdo con los datos de la figura, si M
y P son los centros de las circunferencias,
AQ = 4 y medida del arco EQD = 205º ,
entonces ¿Cuál es el área de las regiones
destacadas con gris?
En la figura se tienen dos circunferencias
con el mismo centro y de radios 6cm y
4cm. Las dos circunferencias están
divididas
por
dos
segmentos
perpendiculares.
Calcular
el
área
sombreada.
S
R
A
De acuerdo con los datos de la figura, si
AC es un diámetro y los arcos AB y BC
son semicircunferencias cuyos diámetros
miden respectivamente 4 y 8, entonces
¿Cuál es el área de la región destacada con
negro?
P
B
De acuerdo con los datos de la figura, si
RS = 10 2 y m∠RPS = 90º , entonces
¿Cuál es el área de la región destacada con
negro?
38
En la figura hay 2 circunferencias de radio
18cm de centros O y P. Calcular el área
sombreada.
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3. Resuelva cada uno de los siguientes problemas relacionados con polígonos regulares.
La medida de la apotema de un pentágono
regular es 4 ¿Cuál es aproximadamente la
longitud de cada lado del pentágono?
¿Cuál es la longitud del lado de un
triángulo equilátero inscrito en una
circunferencia cuyo radio mide 4?
El área de un hexágono regular es 24 3 ,
¿Cuál es el perímetro de ese hexágono?
Si la medida de la apotema de un triángulo
equilátero es 12, entonces ¿Cuánto es el
perímetro de dicho triángulo?
¿Cuál es aproximadamente la longitud de
la circunferencia en la que se puede
inscribir un pentágono regular cuyo
perímetro es 3?
El perímetro de un rectángulo es 36cm y el
área es 32 cm 2 , entonces ¿Cuánto mide el
largo del rectángulo?
¿En cuál polígono regular se pueden trazar
un máximo de 20 diagonales en total?
En una misma circunferencia se inscribe y
se circunscribe un triángulo equilátero. Si
el radio de la circunferencia mide 2cm,
¿Cuánto mayor es el área del triángulo
circunscrito con respecto al área del
triángulo inscrito?
Si la apotema de un hexágono regular mide
3cm, entonces ¿Cuánto medirá el perímetro
de dicho hexágono?
El área de un hexágono regular es 72 3
cm 2 , entonces ¿Cuánto mide su apotema?
La longitud de una circunferencia es 8π .
¿Cuál es la medida de la apotema de un
cuadrado inscrito en dicha circunferencia?
La medida del lado de un pentágono
regular inscrito en una circunferencia cuyo
radio mide 5cm, es 8cm. Hallar el área de
dicho pentágono.
Si la medida de la diagonal de un cuadrado
es 8, entonces ¿Cuál es la longitud de la
circunferencia inscrita es ese cuadrado?
Si la medida de cada uno de los lados de un
pentágono regular es 12, entonces ¿Cuál es
la medida de la apotema de dicho
pentágono?
Si el área de un cuadrado es 24, entonces
¿Cuál es la longitud de la circunferencia en
la que se puede inscribir ese cuadrado?
Si en un polígono regular la medida de
cada uno de los ángulos internos es 162º ,
entonces ¿Cuál es la medida de un ángulo
central de dicho polígono?
La medida del radio de una circunferencia
es 4 2 . Si el cuadrado ABCD está
circunscrito a dicha circunferencia,
entonces ¿Cuál es la medida de AD ?
39
Si la medida del radio de un dodecágono
regular es 10, entonces ¿Cuál es
aproximadamente la medida de cada lado
del polígono?
En un polígono regular, la medida de cada
ángulo interno es 135º . Si el perímetro es
48, entonces ¿Cuál es la medida de cada
lado del polígono?
En un polígono regular, si desde uno de sus
vértices se pueden trazar únicamente dos
diagonales, entonces ¿Cuál es la medida
del ángulo interno determinado por esas
diagonales?
Un hexágono regular y un triángulo
equilátero tienen la misma área. Si el
perímetro del triángulo es 36, entonces
¿Cuál es el perímetro del hexágono?
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¿Cuál es la longitud aproximada de la
circunferencia
circunscrita
a
un
dodecágono regular si la medida de su
apotema es 12?
La figura anterior hace referencia a un
hexágono regular, si AB = 4 3 , entonces
¿Cuál es la medida de BC ?
Si el perímetro del pentágono regular
anterior es 50, entonces ¿Cuál es la medida
aproximada de la diagonal AB ?
Calcular el área de un hexágono regular
que tiene 12cm de lado.
¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuya
área es equivalente al de un hexágono de
16cm de lado y 12cm de apotema?
La figura anterior hace referencia a un
hexágono regular, si AB = 2 , entonces
¿Cuál es la medida de CD ?
F
El diámetro de una circunferencia mide
10cm. Si necesitamos disminuir el área
hasta 16π , entonces ¿En cuánto debemos
disminuir el radio de dicha circunferencia?
E
G
D
Calcular el área del hexágono regular
circunscrito a un círculo de un metro de
radio.
H
C
De acuerdo con los datos de la figura, si
cuadrilátero ABCD es un cuadrado y la
medida de la apotema del hexágono regular
CDEFGH es 3 , entonces ¿Cuál es el área
de la región destacada con negro?
A
B
¿Como se clasifica, según el número de
lados, un polígono regular cuyo ángulo
central mide 45º ?
¿Como se clasifica, según el número de
lados, un polígono regular cuyo ángulo
interno mide 144 º ?
M
E
Si un ángulo interno de un polígono regular
mide 135º ¿Cuál es el número total de
diagonales de ese polígono?
C
D
La figura anterior hace referencia a un
pentágono regular ¿Cuál es la medida de
∠BCM ?
¿Cuál es la suma de los ángulos internos de
un heptágono regular?
Si un ángulo interno de un polígono regular
mide 54º , entonces ¿Cuánto mide uno de
sus ángulos externos?
De acuerdo con la figura, si la longitud de la
π
circunferencia es
y AB es congruente con
4
el radio, entonces ¿Cuál es el área del rombo?
40
¿Cuánto mide el lado de un triángulo
equilátero, inscrito en una circunferencia
de 12cm de radio?
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
¿Cuánto mide el radio de una
circunferencia circunscrita a un triángulo
equilátero de 9cm de altura?
Si la apotema de un hexágono regular mide
3
3 , entonces ¿Cuál es la medida de cada
2
lado?
Si la longitud de la circunferencia inscrita
en un triángulo equilátero es 12πcm ,
entonces ¿Cuál es la medida en centímetros
de la altura de dicho triángulo?
Si la longitud de la circunferencia circunscrita a
un triángulo equilátero es 12π , entonces ¿Cuál
es la altura de dicho triángulo?
¿Cuánto mide la apotema de un cuadrado
de 18cm de lado?
¿Cuál es la razón entre el diámetro y el radio de
un círculo?
¿Cuál es la longitud de un lado de un
cuadrado circunscrito a una circunferencia
de radio 3 2 ?
Si los lados de un rombo miden 13cm cada uno
y una diagonal mide 10cm, entonces ¿Cuál es la
medida de la otra diagonal?
¿Cuál es el área de una circunferencia
inscrita a un cuadrado de 12cm de radio?
En un polígono regular la medida de cada
ángulo interno es 135º , si el perímetro es 4
¿Cuál es el área de un cuadrado inscrito en
una circunferencia de 2cm de radio?
¿Cuál es el perímetro de un hexágono regular si
la apotema mide 27 ?
¿Cuál es la longitud de una circunferencia
circunscrita a un hexágono de 3 3cm de
apotema?
Si el número de diagonales de un polígono
regular es nueve, entonces ¿Cuál es la suma de
las medidas de los ángulos internos?
¿Cuál es el valor de la apotema de un
hexágono regular circunscrito a una
circunferencia de radio 4cm?
El área de un hexágono regular mide 72 3 ,
entonces ¿Cuánto mide su apotema?
Si un hexágono regular tiene perímetro
12cm, entonces ¿Cuál es la medida del
diámetro de la circunferencia inscrita en
dicho hexágono?
¿Cuál es el área del hexágono regular
inscrito en un círculo de radio 4 3cm ?
¿Cuál es la longitud de la circunferencia
inscrita en un hexágono, si un lado del
hexágono mide 6?
Un hexágono regular está circunscrito en
una circunferencia de 2 3 de radio. ¿Cuál
es el área del hexágono regular?
41
¿Cuánto suman los ángulos internos de un
polígono regular cuyo ángulo central mide 36º ?
Si un polígono regular inscrito en una
circunferencia tiene 18 radios que llegan a sus
vértices, entonces ¿Cuánto mide el ángulo
central que determinan dos radios consecutivos?
¿Cuál es la medida del radio del círculo en que
está inscrito un hexágono regular que mide 5cm
de lado?
¿Cuál es el área de un anillo circular
determinado
por
dos
circunferencias
5
1
concéntricas cuyos diámetros son cm y cm
4
2
respectivamente?
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4. Resuelva cada uno de los siguientes problemas relacionados con los cuerpos sólidos, deben
aparecer los dibujos respectivos que le llevaron a la solución.
Se tienen dos esferas cuyos radios miden 6
y 3, respectivamente. Si dichas esferas se
unen para formar otra esfera, entonces
¿Cuál es la medida del radio de la esfera
formada?
El área lateral de una pirámide de base
cuadrada es 32 3 . Si cada una de las caras
de la pirámide es un triángulo equilátero,
entonces ¿Cuál es el área basal de dicha
pirámide?
El área total de un cilindro circular recto es
144π . Si el radio de la base es congruente
con la altura del cilindro, entonces ¿Cuál es
el volumen de dicho cilindro?
Las caras laterales de una pirámide regular
son cuatro triángulos isósceles congruentes
entre sí. Si la altura de cada uno de ellos es
5
64
y el área de la base es
, entonces
3
9
¿Cuál es el volumen de la pirámide?
El área lateral de un cubo es 2. ¿Cuál es el
volumen de dicho cubo?
El volumen de una pirámide recta de base
cuadrada es 384. Si la medida de la altura
es 8, entonces ¿Cuál es el área lateral de la
pirámide?
El volumen de un cono circular recto es
igual al volumen de un cilindro circular
recto. Si en el cono la altura es 9 y el radio
de la base es 4 y en el cilindro la altura es
3, entonces ¿Cuál es el área de la base del
cilindro?
La altura de un prisma es 12 y la base es un
rectángulo que mide 6 de largo y 3 de
ancho. Se desea modificar de manera que
el volumen sea el mismo pero la altura sea
la mitad de la anterior. Si se mantiene el
ancho de la base, ¿Cuál debe ser la medida
del largo?
42
¿Cuál es el área lateral de una pirámide
recta de base cuadrada si la medida de cada
uno de los lados de la base es 10 y la
medida de la altura de la pirámide es 12?
Un prisma recto de base cuadrada y un
cilindro regular recto tienen el mismo
volumen. El diámetro de la base del
cilindro tiene igual medida que el lado de
la base del prisma. Si la medida de la altura
del cilindro es 6 y la medida del diámetro
de la base del cilindro es 8, entonces ¿Cuál
es aproximadamente la altura del prisma?
¿Cuál es el área lateral de una pirámide
recta, si la base es un cuadrado de 10 de
lado y la medida de la altura de la pirámide
es 12?
La base de un prisma recto es un triángulo
rectángulo isósceles. Si la longitud de uno
de los catetos es 6 y la altura del prisma es
5, entonces ¿Cuál es el área lateral del
prisma?
La base de un prisma recto es un triángulo
equilátero. Si el área lateral es 12 y la
altura del prisma es 2, entonces ¿Cuál es el
volumen del prisma?
La altura y el radio de un cono circular
recto son congruentes. Si el volumen de
ese cono es 72π , entonces ¿Cuál es el área
lateral del cono?
¿Cuál es el volumen de un pirámide regular
recta cuya base es un cuadrado, si el área
lateral es 320 y el área basal es 256?
El radio de una esfera, el radio de la base
de un cono circular recto y su altura tienen
la misma medida. Si el número que expresa
el volumen del cono es igual que el número
que expresa el área total de la esfera,
entonces ¿Cuál es el área basal de ese
cono?
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El volumen de una pirámide recta de base
cuadrada es 72. Si la medida de la altura de
la pirámide es 6, entonces ¿Cuál es el área
lateral de esa pirámide?
El área de la base de un prisma recto de
base cuadrada es “ x ”. Si la altura del
x
prisma es
, entonces ¿Cuál es el área
4
lateral del prisma?
El área lateral de un cono circular recto es
45π . Si la longitud de la generatriz es 15,
entonces ¿Cuál es el área de la base?
En la figura anterior el área total del
cilindro es 78πcm 2 y la altura del cilindro
es 10cm. ¿Cuál es el área del rectángulo
colocado dentro del cilindro?
Una esfera tiene un área de 2916π
¿Cuánto vale su volumen?
Si un tercio del volumen de un cilindro
circular recto es 30π y la medida de la
altura es 10, entonces ¿Cuál es el área basal
del cilindro?
¿Cuál es el área lateral de un cilindro
circular recto, si la altura es 10, y el área de
la base es 36π ?
En la figura anterior, el cilindro contiene
agua hasta las tres cuartas partes de su
volumen, si el radio de la base mide 4cm y
la altura es de 10cm, entonces ¿Qué
volumen de agua contiene el cilindro?
El volumen de un cubo es 216 ¿Cuál es la
longitud de la diagonal de ese cubo?
Acm
La diagonal de la base rectangular de un
prisma recto mide 40 y el largo es el triple
del ancho. Si la altura de ese prisma mide
60, entonces ¿Cuál es su área total?
Se desea construir un embase cilíndrico
con tapas de 10cm de radio y 10cm de
altura ¿Cuánto material se necesita?
Se desea construir una lata metálica con
tapa, de tal manera que sea con forma de
cilindro y que tenga 10cm de altura. Las
bases deben tener un radio de 7cm cada
una. ¿Cuánto metal se necesita?
Para forrar una caja cúbica se ha utilizado
6 m 2 de papel. ¿Cuál es el volumen de la
caja?
43
Bcm
Ccm
Al extraerse un objeto de un tanque lleno
totalmente con agua, el nivel del agua bajó
1cm, como se muestra en la figura anterior.
De acuerdo con la figura anterior, ¿Cuál es
el volumen V del agua que hay en el
tanque?
Si se sabe que el cono superior tiene una
altura de h1 = 2r y el inferior una altura de
h2 = 3r . Donde r es el radio de la base
común para ambos conos, determine el
volumen del sólido.
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Hallar la altura de una pirámide de base
cuadrada, si se sabe que su área lateral es
de 2 5 y el lado de la base mide 2.
La generatriz de un cono es de 26m y su
altura es de 10m. Halle el área de la base
de dicho cono.
Hallar la diagonal de un cubo cuya área
total es de 6cm 2 .
¿Cuál es el área total de una esfera de radio
4cm?
¿Cuál es el área total de dos esferas
congruentes con radio igual a π cm?
Halle el volumen de una esfera de 23 3 de
radio.
Hallar en función de la altura h , el área
lateral de un cono circular recto en el que
el radio de la base mide 1cm.
Si el área de una bola es el doble de su
volumen ¿Cuál es la medida de su
diámetro?
Halle el volumen de un prisma triangular
regular cuya base tiene 6cm de lado y su
altura es de 18cm.
Un juego para niños consta de tres cubos
A, B y C, el cubo B tiene un centímetro
menos de arista que el cubo C y un
centímetro más que el cubo A. Si el cubo A
tiene 8cm de arista, entonces ¿Cuál es el
volumen total en centímetros cúbicos de
los tres cubos?
Halle el área total de un prisma regular que
tiene una altura de 10cm y su base es un
triángulo equilátero de 6cm de lado.
Un cubo tiene 54cm 2 de área total. Halle el
volumen del cubo.
Halle la diagonal de un cubo si se sabe que
su área total es de 96m 2 .
Halle el volumen de una pirámide regular
cuya base es un cuadrado de 12cm de lado
y cuyas caras laterales son triángulos
equiláteros.
Se quiere forrar con papel un bote
cilíndrico sin una de sus tapas. Si el radio
de la base es de 20cm y el bote tiene 30cm
de altura, ¿Cuántos centímetros cuadrados
se necesitan para forrar el bote?
Una compañía de alimentos fabrica 2000
latas cilíndricas de fríjol molido. Si cada
una mide 10cm de altura y las bases tienen
un radio de 6cm. ¿Cuánto metal se
necesitará para cada lata?
Hallar el área lateral de una pirámide de
base cuadrada de 10 m de lado y de 13cm
de arista.
Si el volumen de un cilindro mide 16π y el
radio de la base 2. ¿Cuánto mide la altura
de dicho cilindro?
En un cilindro el radio de una de las bases
es 6cm y la altura es de 8cm ¿Cuál es el
área total de dicho cilindro?
Un cono tiene un volumen de 180π .
Sabiendo que el diámetro de la base mide
12cm, halle su altura.
44
Los globos de la lámpara ilustrada
anteriormente tienen un diámetro de 24cm
de longitud cada uno. Hallar el área de
ambos globos.
2cm
Encuentre el diámetro de la circunferencia
circunscrita al hexágono regular.
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¿Cuál es el volumen de un diamante en
forma de (doble) pirámide de base
hexagonal (superpuestas), si el radio de la
base mide 2mm, la altura por un lado mide
7mm y por el otro 5mm?
El embudo anterior tiene forma de cono
circular recto. Si el diámetro mide 10cm y
la altura mide 12cm. Hallar el área lateral
del embudo.
De acuerdo con la figura anterior, hallar el
área lateral, en metros cuadrados de la
pirámide cuadrangular.
Un cono está inscrito en una esfera, como
en la figura anterior. El radio de la base del
cono mide 12cm y el radio de la esfera
mide 15cm. Hallar el volumen del cono.
De acuerdo con los datos de la figura en la
que se muestra una pirámide cuadrangular
de base cuadrada ¿Cuál es el área de la
base?
Un cono circular está inscrito en una esfera
cuyo radio mide 4cm, como en la figura
anterior. Si ∆ABC es equilátero, entonces
¿Cuál es el área lateral del cono?
En un cilindro circular recto el radio de una
de las bases es 5cm y la altura del cilindro
es de 6cm. ¿Cuál es aproximadamente, en
centímetros cúbicos, el volumen del
cilindro?
¿Cuál es el área lateral de un cono si el
área del triángulo que lo engendró es de
24cm 2 y el cateto sobre el eje de rotación
mide el triple de la medida del radio del
cono?
En un cono circular recto el radio de la
base es 3cm y la altura del cono es 8cm.
¿Cuál es aproximadamente el volumen del
cono?
Un horno cilíndrico debe tener un diámetro
de 5m de longitud y un volumen de 130 m 3
. ¿Cuántos metros de acero se necesitan
para construirlo?
En la figura anterior se muestra un salero
cuyo diámetro de la base es de 6cm y la
generatriz es de 12cm, determine el área
total del embase.
45
¿Cuál es el área lateral de un cilindro
circular recto, cuya altura es 15cm y el
perímetro de la base es 16π ?
El diámetro de la base de un cono circular
recto mide 10cm y la altura mide 12cm.
¿Cuál es el área total del cono?
La base de un pirámide es un cuadrado que
mide de lado 16cm y la altura de la
pirámide mide 15cm. ¿Cuál es el volumen
de la pirámide?
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Ejercicios Adicionales
E
Si A y B son dos puntos de una
circunferencia de 20cm de diámetro y
centro P, tal que la cuerda AB mide 16cm,
entonces ¿Cuál es la distancia de P a dicha
cuerda?
Considere
dos
circunferencias
concéntricas que determinan una corona
circular de 2cm de ancho y 20 cm 2 de área,
entonces ¿Cuál es el radio de la
circunferencia menor?
Si los lados de dos polígonos regulares
semejantes están en la relación 7: 9 y el
área del polígono mayor es 324 m 2 ,
entonces ¿Cuál es el área del polígono
menor?
Si el área de un cuadrado es 100 cm 2 ,
entonces ¿Cuál es el área del círculo
circunscrito a ese cuadrado?
En un polígono regular el diámetro de la
circunferencia circunscrita mide 20cm,
entonces ¿Cuál es la medida del radio de la
circunferencia inscrita a ese polígono?
En un polígono regular cada ángulo interno
mide el doble de cada ángulo externo.
Hallar la cantidad de lados de dicho
polígono.
C
D
B
A
De acuerdo con los datos de la figura
anterior, si CB = 10 , BD = 5 , AE = 27 y
AB > BE , entonces ¿Cuál es la medida de
AB ?
Si cada uno de los ángulos internos de un
polígono regular mide 168º, entonces
¿Cuál es le número de vértices que tiene
dicho polígono?
¿Cuál es el perímetro de un polígono
regular de tres lados cuyo radio mide
10cm?
La base mayor de un trapecio mide 12cm.
Si la altura y la base menor son iguales y
su área es de 22,5 cm 2 , entonces ¿Cuánto
mide su altura?
Si el volumen de una esfera es de 32π ,
entonces ¿Cuánto mide el radio de dicha
esfera?
Si el volumen de un cono es igual a 196π
y la altura del cono es 12, entonces
¿Cuánto mide el radio de la base?
En un polígono convexo en el que se
pueden trazar dos diagonales por vértice,
las medidas de los lados son números
enteros consecutivos. Si el lado menor
mide 5cm determine el perímetro del
polígono.
Si la apotema de un cuadrado mide 6cm,
entonces ¿Cuál es el área de la región
determinada por el cuadrado y la
circunferencia inscrita a él?
¿Cuál es el radio de una esfera inscrita en
un cubo de arista a ?
46
Si dos ángulos internos de un cuadrilátero
miden 115º y 80º, y los otros dos están en
relación 2:3, determine cuánto miden estos
dos.
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Calcule el área lateral de un cono circular
recto en el cual la base es un círculo de
81 π de área y la medida de la altura es
igual a la medida del radio de la base.
En la circunferencia de centro A de la
figura anterior se cumple que FH ⊥ DE , y
los arcos menores DG y GF son
congruentes. Si m∠HFE = 20º , calcule la
medida del arco menor GF.
En la figura anterior A, B y C son los
centros de las semicircunferencias menores
y DE es un diámetro de la circunferencia
de centro B. Si el área de la región
destacada es 6π . Calcule la medida de
BC
Considere un hexágono ABCDEF de
centro P, en el cual L, M y N son los
puntos medios de los lados ED , BC y
AF respectivamente. Si MP = 6 3 ,
calcule el área y el perímetro del triángulo
∆LMN .
En la figura anterior las rectas EH y HG
son tangentes en C y G respectivamente, a
la circunferencia de centro A y radio 10cm.
Si α = 50º calcule el área de la región
destacada con negro.
Calcule el área total de una pirámide de
base cuadrada que tiene 10cm de altura y
120 cm 3 de volumen.
En la figura anterior suponga que BA y CD
son arcos menores de las circunferencias
concéntricas de centro P tales que
PA = 2 AC y m∠BPA = 60º . Si el
perímetro del ∆PAB es 3cm. Calcule la
medida del arco menor CD.
Las bases de un prisma recto son
hexágonos regulares de 10cm de lado.
Calcule el volumen y el área lateral del
prisma si la altura mide 8cm.
Si el diámetro de la base y la altura de un
cilindro circular recto miden 10cm. Calcule
el volumen.
47
En la figura anterior C es el centro de la
circunferencia, AB = 16cm , AE = 20cm y
el arco EB mide 74º. Halle el área del
∆ABC . Halle la longitud del arco menor
AB. Halle el área del sector circular
limitado por CB , CE y el arco menor BE.
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DB y AC son cuerdas de una misma
circunferencia que se cortan en un punto M.
Si AM = 3cm , BM = 8cm y MD = 6cm ,
entonces ¿Cuál es la medida de MC ?
En la figura anterior E es el centro del
triángulo equilátero ABC de lado 12cm.
Halle el área del segmento circular
limitado por la cuerda AB y el arco menor
AB. Halle el área del anillo circular
limitado por ambas circunferencias.
En un polígono regular cada ángulo central
mide 18º, entonces ¿Cuánta cantidad de
diagonales se pueden trazar desde cada
vértice?
¿Qué nombre recibe el polígono regular en
cual se pueden trazar un total de 54
diagonales?
En un polígono regular cada lado mide
12cm y la longitud de la circunferencia
circunscrita es 16π , entonces ¿Cuál es el
diámetro de la circunferencia inscrita a
dicho polígono?
En la figura anterior, O es el centro de la
circunferencia, m∠CBA = 25º , m∠EPD = 60º
y la medida del arco AE es 70º, entonces
¿Cuál es la medida del arco AC?
Si C1 y C 2 son circunferencias tangentes
exteriores en el punto M, de centros P1 y P2
MP1
= 2 y la longitud de
respectivamente. Si
MP2
C1 es 14π , entonces ¿Cuál es la longitud de
C2 ?
¿Cuánto mide la apotema de un triángulo
equilátero de 36 3cm 2 de área?
¿Cuánto mide el radio de la circunferencia
inscrita en un cuadrado de 60cm 2 de área?
En dos nonágonos regulares los lados miden
3b cm y b cm respectivamente. Si el primero
de ellos tiene un área de 45cm 2 entonces
¿Cuál es el área del segundo?
En un cubo la diagonal de cada cara mide
6cm , entonces ¿Cuál es el área total del
sólido?
En una caja de base rectangular sin tapa las
dimensiones de la base están en la razón 2:3
y la altura mide 5dm. Si el volumen del
paralelepípedo es 270dm 3 , entonces ¿Cuál
es el perímetro de la base?
En la figura anterior AB es un diámetro y DC
es tangente en C a la circunferencia de centro
3
E. Si AB = 10cm y DC = DA , entonces
2
¿Cuál es la medida de DC ?
48
En una pirámide recta de base octogonal
regular las aristas laterales miden 10cm y la
altura de cada cara lateral de la pirámide
mide 8cm, entonces ¿Cuál es el
semiperímetro de la base?
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Si en un cono circular recto de 15cm de
altura la base tiene un área 64π , entonces
¿Cuánto mide el área lateral del cono?
La medida de la altura de un cilindro
circular recto es 10. El área de la base es
36π , entonces ¿Cuál es el área lateral de
dicho cilindro?
En una esfera de área A cm 2 y volumen V
cm 3 se cumple que A = 27V , entonces
¿Cuánto mide el radio de la esfera?
2
partes de un
3
recipiente cilíndrico circular recto de 10cm
de altura y 9cm de radio. Si se extraer la
tercera parte del contenido del recipiente,
entonces ¿Cuánto liquido queda aún en el
recipiente?
Un líquido ocupa las
Un cubo de arista a y un cono de radio r
tienen igual volumen. Si en el cono la altura
mide igual que el radio, entonces ¿Cuánto
mide el radio del cono en función de la
arista del cubo?
En la figura anterior el ∆ABC es un
triángulo equilátero y MNTPQR es un
hexágono regular, E es el centro de ambos
polígonos y F es el punto medio de CB . Si
el segmento EC mide 2 3cm , entonces
¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero
MCBR?
Las bases de un trapecio isósceles miden
16cm y 22cm , si los lados iguales miden
5cm , entonces ¿Cuál es el área del trapecio?
Si una cara lateral de una pirámide
cuadrangular tiene un área de 24cm 2 y cada
lado de la base mide 4cm, entonces ¿Cuál es
el volumen de la pirámide?
Si el radio de un octágono regular mide
6cm , entonces ¿Cuál es el área del
octágono?
Si la longitud de la circunferencia en la que
¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo
central mide 30º?
π
,
4
entonces ¿Cuál es aproximadamente el
perímetro del pentágono?
está inscrito un pentágono regular es
Si el diámetro de una esfera se reduce en 2,
el área total de la esfera resultante es 16π ,
entonces ¿Cuál es el volumen de la esfera
original?
Si la medida de la apotema de un hexágono
3 3
regular es
, entonces ¿Cuál es la
2
medida de cada lado del hexágono?
Hallar el perímetro de un polígono regular
de tres lados cuyo radio mide 10cm.
Si el área de un triángulo equilátero es
9 3cm 2 , entonces ¿Cuánto mide el radio de
la circunferencia circunscrita a dicho
triángulo?
49
Considere la circunferencia anterior de
centro O y radio 12,5cm. Si hay un
rectángulo
ABCD
inscrito
en
la
circunferencia, de modo que la medida de
sus lados está en la razón 3:4, entonces
¿Cuál es el área de la región sombreada?
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Si la altura de un cono es 8cm y la longitud
de la circunferencia de la base es 12π ,
entonces ¿Cuál es el área lateral de dicho
cono?
B
C
En un prisma recto la base es un decágono
regular. Si el área lateral del prisma es 120
cm 2 y el perímetro de la base es 60 cm ,
entonces ¿Cuál es la altura del sólido?
La diagonal de la cara de un cubo mide
10cm, entonces ¿Cuál es la diagonal de
dicho cubo?
x
E
C
A
O
P
Observe la figura anterior. Considere que la
recta PB es tangente, en B, a la
circunferencia de centro O y la recta OP es
secante a la circunferencia. Si el radio de la
2
circunferencia mide 10cm y PA = PB ,
3
entonces ¿Cuál es la medida de PB ?
y
G
D
D
A
B
F
A
H
Considere las circunferencias tangentes
externas de la figura anterior. El triángulo
AEB es rectángulo en E. El radio AC mide
10cm y el radio BD mide 7cm. Si EB mide
igual al radio de la circunferencia de centro
A, entonces ¿Cuál es el valor numérico de x
?
E
Considere la figura anterior. En la
circunferencia de centro A, FH ⊥ AE , y los
arcos menores DG y FE son congruentes. Si
m∠HFE = 25º , entonces ¿Cuál es la
medida del arco mayor GF?
E
B
E
P
D
O
W
P
A
O
C
D
B
Observe la circunferencia de centro O de la
figura anterior. Considere que la recta PB es
tangente a la circunferencia y la recta PC es
secante a ella; además el arco menor
determinado por los puntos B y E mide 50º,
∠BPD mide 15º. ¿Cuál es la medida del
arco menor determinado por los puntos B y
D?
El área de un sector circular es 18π . Si el
arco que subtiende este sector mide 45º,
entonces ¿Cuál es la medida del diámetro de
la circunferencia?
50
C
Considere la circunferencia de centro O. La
recta BC es tangente a la circunferencia por
el punto B y la recta BE es secante a la
circunferencia.
Si
m∠PBC = 75º ,
m∠APE = 155º y la medida del arco menor
ED es 30º, entonces ¿Cuál es la medida del
arco menor AE?
En una circunferencia de radio 10cm,
considere el segmento circular determinado
por una cuerda congruente al radio. Halle el
área del segmento circular.
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D
Los segmentos CD y AB son cuerdas de
una circunferencia de centro O. AB está a x
cm del centro y CD a 2x cm del centro. Si el
radio mide 10 cm y AB = 18cm , entonces
¿Cuál es la medida de CD ?
C
x
A
2x
B
Considere la circunferencia de la figura
anterior. El triángulo ABC está inscrito en
1
ella y m∠CAB = m∠ACB . Si el arco
2
ADC mide 210º, entonces ¿Cuál es la
m∠ACB ?
Las cuerdas AC y CB son congruentes y la
recta BD es tangente a la circunferencia en
el punto B. Si el arco menor AB mide 90º,
entonces ¿Cuál es la medida del ∠CBD ?
Considere las circunferencias concéntricas
en O de la figura anterior. Si los radios de
las circunferencias están a razón 5:3 y
AF = 6cm , entonces ¿Cuál es la medida del
radio de mayor longitud? Si m∠AOH = 60º
y los radios de las circunferencias miden
24cm y 30cm , entonces ¿Cuál es el área de
la región destacada con negro?
¿Cuál es el volumen de un cilindro circular
recto circunscrito a un cono circular recto de
volumen 150cm 3 ?
En un plano, un punto se localiza a 12cm del
centro de una circunferencia de 15cm de
radio, entonces ¿Cuánto mide la menor
cuerda que pasa por ese punto?
F
B
O
E
En la figura anterior, AB es un diámetro y
mide 24cm, BD mide 4cm y CD ⊥ AB ,
entonces ¿Cuál es la medida de CD ?
D
C
A
P
Si el arco mayor AB mide 250º, y además se
cumple que ∠BPF ≅ ∠CPA y los ángulos
∠DPE y ∠BPF están a razón 3:2,
entonces ¿Cuál es la medida del ∠FPC ?
51
El área de un sector circular es 36π , si su
radio mide 9cm, entonces ¿Cuál es la
medida de su ángulo central?
El área de un sector circular es 40π , si su
ángulo central mide 30º, entonces ¿Cuál es
la longitud de su arco?
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Considere la circunferencia anterior de
centro O. Si la medida del ∠BAC = 84º y la
medida ∠AFB = 40º , entonces ¿Cuál es la
medida del ángulo ∠FCD ? Si la medida del
ángulo ∠AED = 30º y la medida del ángulo
∠AFD = 130º , entonces ¿Cuál es la medida
del arco mayor AD?
En la figura anterior, BC , CD , DE y EF
son cuerdas congruentes de la circunferencia
de centro O. Si el ∠BAF es recto y el arco
menor AB mide 100º, entonces ¿Cuál es la
medida del arco AFE?
Considere la figura anterior donde O es el
centro de la circunferencia. Si OC mide 5cm
3π
y la longitud del arco menor CE es
cm,
2
entonces ¿Cuál es la medida del ∠CDE ?
En la figura anterior A, Y y W son,
respectivamente, los centros de las
circunferencias. Si B es el punto medio de
AW y AB = 2cm , entonces ¿Cuál es el
área de la región sombreada?
En la figura anterior, L es el centro de ambas
circunferencias.
La
medida
del
∠KLP = 120º . Si los radios de las
circunferencias miden, respectivamente,
6cm y 9cm, entonces ¿Cuál es el área de la
región sombreada
Considere la circunferencia en la que AM
es un radio y la recta tangente a la
circunferencia en E es paralela a la recta BC. Si el ángulo ∠BEM = 25º y el arco menor
ED mide 100º, entonces ¿Cuánto mide el ∠CBD ?
Si en un polígono regular se pueden trazar un total de 20 diagonales, entonces ¿Cuánto
mide cada ángulo externo de ese polígono?
52
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A
¿Cuánto mide el segmento UL ? ¿Cuál es
el área del ∆UPL ?
B
D
C
En la figura anterior, el cuadrilátero
ABCD es un rectángulo, C y D son los
centros de las circunferencias tangentes a
BC = 4cm y
AB = 15cm ,
AB . Si
entonces ¿Cuál es el área destacada con
negro?
En la figura anterior, ∆ABC es un
triángulo equilátero de centro E, F es el
punto medio de BC y AF mide 9cm.
Calcule el perímetro del ∆ACE .
A
15cm
B
C
En la figura anterior, C es el centro de la
circunferencia y AC ⊥ BC , entonces
¿Cuál es el área de la región sombreada?
Suponga que en la figura anterior la recta
EC es tangente en C a la circunferencia
de centro A, AF = 6cm y m∠AEC = 45º
. Hallar la longitud del arco menor FC.
Hallar el área del sector circular limitado
por AF , AC y el arco FC. Hallar el área
de la región sombreada.
En la figura anterior, DHJIKF es un
hexágono regular de centro A. Si la
longitud de la circunferencia circunscrita
es 12π , entonces ¿Cuál es el área del
cuadrilátero AFKI?
En un circulo de 20cm de diámetro ¿A
que distancia se encuentra del centro toda
cuerda de 16cm?
En la figura anterior, AB = AC = 10 y
CF ⊥ AB . Si AE = 6 , entonces ¿Cuál es
la medida de EF ?
En la figura anterior, L es el centro del
cuadrado ORPQ de 64cm de perímetro, T
es el punto medio de PQ y U es el punto
medio de QT .
53
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Suponga que A es el centro de la
circunferencia y D-A-E, AB es la
bisectriz del ∠CAE , el arco menor DC
mide 120º y la longitud del arco menor
BC es 2π cm. Hallar la medida de la
cuerda CE . Hallar el área del sector
circular determinado por el arco menor
BE. Hallar el área del segmento circular
determinado por el arco menor CD.
En la figura anterior, el cuadrilátero
ECFD es un rombo de 16cm de lado y E
es el centro de la circunferencia. ¿Cuál es
el área de dicho cuadrilátero?
Si la altura de un prisma mide 15 cm y la
base es un triángulo equilátero de área
25 3cm 2 , entonces ¿Cuál es el área total
del prisma?
Si A, B y C son puntos de la
circunferencia de centro O tales que las
medias de los arcos menores AB, AC y
CB están dadas por x , 3x y 5 x ,
entonces ¿Cuál es la medida del ∠ABC ?
En un cubo está inscrito una esfera de
1200π de superficie. ¿Cuál es la medida
de la arista de ese cubo?
En un cilindro circular recto el volumen
es π cm 3 y el área de la base es π cm 2
¿Qué se puede asegurar con respecto a la
medida de la altura de ese cilindro?
Si cada uno de los ángulos internos de un
polígono regular mide 168º, entonces
¿Cuántas diagonales se pueden trazar
desde cada vértice?
¿Cuál es el área de un cuadrado cuyo
radio mide 10 2cm ?
¿Cuánto mide la apotema en un triángulo
equiángulo de 90cm de perímetro?
¿Cuál es el área de un triángulo
equilátero cuya altura es igual a 6 ?
En la figura anterior, el área de la
circunferencia menor es 64π y el
diámetro de la circunferencia mayor mide
20cm. Si la recta MN es tangente a
ambas circunferencias y AB = 38,25 ,
¿Cuál es el semiperímetro de un polígono
regular en el cual se pueden trazar un
total de 35 diagonales, si cada lado mide
6cm?
calcule la medida de MN ?
¿Cuál es la medida del lado de un
cuadrado inscrito en una circunferencia
cuya longitud es 100cm? ¿Cuánto mide
cada lado de un nonágono regular de
10cm de apotema?
Considere una pirámide recta cuya base
es un hexágono regular en el cual la
circunferencia inscrita tiene 15cm de
radio. Si el volumen de la pirámide es
1800 3 encuentre el área lateral.
54
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paralela a AB y PB = 6 , entonces ¿Cuál
es la medida de AB ?
De acuerdo con los datos de la figura
anterior. Si O es el centro de la
OA = 12
, OD ⊥ OA ,
circunferencia
OD ⊥ BC y m∠AOB = 60º , entonces
¿Cuál es el área de la región destacada
con negro?
De acuerdo con la figura anterior, en la
que se muestra una circunferencia de
centro A, si la longitud del arco menor
CB es 5π , entonces ¿Cuál es la medida
de la cuerda CE ?
Considere dos puntos P y Q de una
circunferencia de centro O y radio r, tales
que PQ = OP . Si M es el punto medio de
QP , entonces ¿Cuál es la medida de
OM ?
De acuerdo con los datos de la figura
anterior, en la cual C es el punto de
tangencia de la recta CH y la
circunferencia
y
m∠FCD = 50º ,
entonces ¿Cuál es la medida del ∠DCH
?
De acuerdo con los datos de la figura
adjunta, en la cual el arco menor AE
mide 130º y que AE = CE , entonces
¿Cuánto mide el ∠CAV ?
Si los perímetros de dos polígonos
regulares de igual cantidad de lados están
en relación 5:7 y el área del menor es
35 2 , entonces ¿Cuál es el área del
mayor?
De acuerdo con los datos de la figura
anterior, si PQ es tangente a la
circunferencia de centro O en P, PQ es
55
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El volumen de un cilindro circular recto
es 54π y la medida de la altura es 6. Si
el radio de la base se triplica y se
mantiene la misma altura, entonces ¿Cuál
es el volumen resultante?
La diagonal de un cubo mide 12 2cm ,
entonces ¿Cuánto mide la diagonal de
cada cara del cubo?
Considere dos circunferencias de centros
P y Q que se intersecan en dos puntos A
y B. Si PQ = 24cm
y AQ = 13cm ,
entonces
¿Cuál es el área del
cuadrilátero BPAQ?
Considere
dos
circunferencias
concéntricas que determinan una corona
circular de 2 cm de ancho y 20 cm 2 de
área. ¿Cuál es el diámetro de la
circunferencia menor?
En la figura anterior, el cuadrilátero
PQRS y ∆ABC (equilátero) son
polígonos regulares inscritos en la
circunferencia de centro O. Si el
perímetro del triángulo es 18cm,
entonces ¿Cuál es el área del cuadrado?
¿Cuántos vértices tiene un polígono
regular de 170 diagonales?
¿Cuál es el número de lados de un
polígono regular en el cual el radio mide
el doble de la apotema?
Calcule el área de la región sombreada
anteriormente, si se sabe que A y E son
los centros de las circunferencias,
m∠DHC = 30º y AE = 2cm
En la figura adjunta anteriormente, N es
el centro de ambas circunferencias. U y
V son los puntos medios de NT y NU ,
respectivamente, entonces ¿Cuál es el
perímetro
del
pentágono
regular
VWXYZ, en función del segmento TP ?
En la figura adjunta M y K son puntos de
la superficie esférica. J es el centro de la
esfera y de la base del cono circular recto
de vértice M. El volumen de la esfera es
de 36π cm 3 . Calcule el volumen y el
área lateral del cono.
En un hexágono regular el área es x cm 2
y el perímetro es x cm , entonces ¿Cuál
es la medida del lado de dicho hexágono?
56
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TRIGONOMETRÍA
sen x
cot x +
1 + cos x
56
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1. En cada uno de los siguientes ejercicios determine la medida en radianes que
corresponde a la medida dada en grados.
382º
342º
150º
568º
-167º
-197º
497º
420º
-101º
395º
-653º
90º
141º
-469º
45º
-512º
-165º
30º
116º
395º
60º
350º
-294º
180º
2. En cada uno de los siguientes ejercicios determine la medida en grados
correspondiente a la medida en radianes.
4π
11
−
10π
3
6π
7
7π
10
−
3π
2
7π
9
7π
8
−
π
3
π
2
9π
7
6
5π
2
− 3π
π
π
−
8π
9
9π
5
14π
3π
5
−
30π
7
π
4π
11
9π
57
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3. En cada uno de los siguientes ejercicios, calcule la medida de un ángulo (en grados)
positivo y otro negativo que sea coterminal con el ángulo dado. La respuesta no es única.
319º
204º
45º
-177º
152º
90º
388º
643º
135º
-700º
-14º
270º
339º
226º
180º
-197º
-112º
360º
-434º
125º
500º
-489º
3º
400º
4. En cada uno de los siguientes ejercicios, calcule la medida de un ángulo (en radianes)
positivo y otro negativo que sea coterminal con el ángulo dado. La respuesta no es única.
−
π
2
π
2
−
5π
3
6π
7
−
3π
2
5π
7
3π
4
5π
8
π
3π
2
4π
5
20π
7
−
5π
4
−
4π
5
3
19π
7
11π
13
21π
8
4π
7
−
7π
2
3π
4
−
58
10π
7
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5. Para cada uno de los siguientes ejercicios, halle los ángulos de referencia para cada
uno de los ángulos dados, además dibuje su lado terminal en el plano cartesiano.
98π
45
-952º
673º
-471º
992º
-328º
-124º
880º
-650º
718º
7º
283π
90
-610º
-399º
−
194º
280º
-201º
752º
-155º
956º
-803º
587π
180
472º
-814º
−
−
139π
30
188π
45
61π
36
17π
36
481π
180
997π
180
337π
180
-679º
6. Compruebe cada una de las siguientes identidades trigonométricas.
sin α cot 2 α
1
=
cos α
tan α
sin 2 x ⋅ cot 2 x + cos x ⋅ tan 2 x = 1
cot α ⋅ secα ⋅ sin α = 1
2 cot 2 β + cot 4 β = csc 4 β − 1
sec 2 x − tan 2 x = 1
sec 2 u − 1
= sin 2 u
2
sec u
1 + sec x
= csc x
sin x + tan x
sin ϖ
= cot ϖ + cscϖ
1 − cosϖ
sec 2 α ⋅ cot α
= sec α
csc α
1 + cos t
sin t
+
= 2 csc t
sin t
1 + cos t
1
= sin 2 x ⋅ sec 2 x ⋅ csc 2 x
2
cos x
sin α cos α
+
=1
csc α sec α
tan δ ⋅ cos 2 δ − tan (90º −δ ) ⋅ sin 2 δ = 0
59
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1 + sin β
= sec β + tan β
cos β
tan 2 x cot 2 x
+
=1
sec 2 x csc 2 x
cot α ⋅ sec α = csc α
sin x(csc x − sin x ) = cos 2 x
cos 2 ϕ
= 1 + sin ϕ
1 − sin ϕ
tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x ⋅ sin 2 x
sec x − cos x = sin x ⋅ tan x
(1 − sin ε )(1 + tan ε ) = 1
2
2
(1 + sin x )(1 − sin x ) =
1 + csc x
= cos x + cot x
sec x
1
sec 2 x
cos x(tan x + cot x ) = csc x
sin v
= 1 − cos 2 v
csc v
sin x ⋅ sec x = tan x
tan 2 x + 1
= tan 2 x
2
cot x + 1
csc x − cos x ⋅ cot x = sin x
1 − cos 2 x
= sin x ⋅ tan x
cos x
sec 2 x − 1
= sin 2 x
2
sec x
sin x + cos x
= 1 + tan x
cos x
sin x + tan x
= tan x
1 + cos x
sec x − cos x = tan x ⋅ sin x
sin x − cos x tan x − 1
=
sin x + cos x tan x + 1
1 + tan x
= cot x + sec 2 x − tan 2 x
tan x
cos x + tan x ⋅ sin x = sec x
1 + sin x
cos x
+
= 2 sec x
cos x
1 + sin x
1 − tan 2 x
= 1 − 2 sin 2 x
2
1 + tan x
sin x + cos x
= 1 + tan x
cos x
sec x
= sin x
cot x + tan x
sec f ⋅ sin f
= sin 2 f
tan f ⋅ cot f
csc 2 x
= cot 2 x
2
1 + tan x
sin x
1 + cos x
+
= 2 csc x
1 + cos x
sin x
sec x + tan x =
1 + sin x
cos x
cos x = sec x − tan x ⋅ sin x
sec 4 x − tan 4 x
1 + 2 tan 2 x
7. Simplifique cada una de las siguientes expresiones trigonométricas.
60
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
tan 2 x ⋅ cos 2 x ⋅ sec 2 (90º − x )
sin x + sin x ⋅ cos x
1 + cos x
sin x ⋅ tan(90º − x )
1+
sec x ⋅ cot x ⋅ cos(90º − x )
2
tan x + cot x
csc x
tan x ⋅ sec x ⋅ cos 2 x
cot x ⋅
cot x
tan x
1
⋅ cos 2 (90º − x )
tan x
cos x + cos x ⋅ tan 2 x
(
sin x ⋅ tan x ⋅ csc 2 x − sin x ⋅ tan x
cot 2 x 1 + tan 2 x
)
sin x + cos x ⋅ cot x
tan 2 x ⋅ csc 2 x ⋅ cot 2 x ⋅ sin 2 x
sin x ⋅ tan x sin x
+
csc x
sec x
sin x ⋅ sec x − cot x
sin x ⋅ cot 2 x
cos x
sin 2 x ⋅ cos x + cos 3 x − cos x + sin x
cos x
sin x sec x
+
cos x csc x
cos x ⋅ tan x ⋅ sin x
tan x
sin 2 x + cos 2 x + tan 2 x
sec x
− tan x
sin x
cos x csc x
+
tan x cot x
cot x csc x
−
tan x sin x
csc 2 − 1
cot x
tan x ⋅ csc x ⋅ cos x
sec x ⋅ csc x ⋅ cot x
cos 2 x +
1
1
+
1 − cos(90º − x ) 1 + sin x
1
csc 2 x
sec x
+ cot x
tan x
tan x ⋅ cos x
1 + sec x
1 − sec x
sin x ⋅ cos x ⋅ tan x
sec x ⋅ csc x ⋅ cot x
sin x
1 + cos x
+
1 + cos x
sin x
tan 2 x + 1
cot 2 x + 1
(csc x − 1)(csc x + 1)
61
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
sec 2 x ⋅
sin x ⋅ cos(90º − x ) + cos x ⋅ sin(90º − x )
cot x
tan x
(1 − sin x )sec
2
2
cos x ⋅ tan x ⋅ tan(90º − x ) ⋅ csc(90º − x )
x
sin x ⋅ cot x ⋅ cot(90º − x ) ⋅ sec(90º − x ) + 2
csc x − csc x ⋅ cos 2 x
sec(90º − x ) − cot x ⋅ cos(90º − x ) ⋅ tan(90º − x ) − sin x
(sec x − tan x)(1 + sin x )
cos x(tan x + cot x )
sin x ⋅ cot 2 x
cos x
1
cos x
−
cos x 1 + sin x
1 − cos 2 x + sin 2 x
1 − sin 2 x
sec x
− tan x
sin x
csc x sec x
+
sin x cos x
sec x
− tan x
sin x
csc 2 x −
cot x csc x
−
tan x sin x
(1 − cos x )(1 + tan x )
2
sin x cos x
+
csc x sec x
sec x ⋅ cot x
cot x ⋅ sec x ⋅ sin x
tan x ⋅ csc x ⋅ cos x
sin x
1 + cos x
(1 − cos x )sec
2
x
(1 + cot x )cos
2
x
2
sin x ⋅ cot x
2
sin x + sin x ⋅ tan x
2
2
2
1 − tan
csc x
cot x − cos x
cot 2 x
2
2
cot x ⋅ csc x
1 + tan 2 x
tan 2 x
cot x +
cot x
tan x
2
1 − csc x
cot x
2
sin x
− cos x
1 − cos x
sin x ⋅ cot(90º − x ) ⋅ sec(90º − x )
cos x ⋅ tan x + sin x ⋅ cot x − cos x
1 − tan x
sec x
sin(90º − x ) ⋅ cot(90º − x )
62
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
cos(90º − x ) ⋅ cot x
1
1
+
1 − cos(90º − x ) 1 + sin x
csc x ⋅ cot(90º − x )
tan x ⋅ sin x + cos x
sec x
− tan x
sin x
csc x − cos x
cot x csc x
−
tan x sin x
csc x − cot x ⋅ cos x
sin x + cos x ⋅ cot x
1
1
−
1 + cos x 1 − cos x
sec x − sec x ⋅ sin 2 x
(1 + sin x )(sec x − tan x )
sin 2 x
+ cos x
cos x
π

cos x ⋅ sin  − x 
2

tan x ⋅ csc x − cos x
cos x(tan x + cot x )
csc x ⋅ cot(90º − x )
tan x ⋅ csc x ⋅ cos x
8. Halle el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas.
Debe trabajar en el intervalo [0,2π [
4 sin x = csc x
2 cot x ⋅ cos x − cot x = 0
2 sin 2 x = −3 cos x
2 3 sin x = 6
2 sin 2 x = − sin x
2 cos 2 x = − cos x
4 tan 2 x = 3 sec 2 x
tan 2 x + 1 = −2 tan x
2 3 sin x = 6
2 sin 2 x = − sin x
sec 2 x − 1 = − sec x + 1
4 tan 2 x = 3 sec 2 x
2 sin x = sin x
cos 2 x + sin 2 x = sin x +
6 + 3 ⋅ tan x = 5
(1 + cos x )(1 − cos x ) = 1 − cos x
2 sin x − cos x = 1
2
(
1
2
2 cos x = 3 cot x
)
3 − cot x csc x = 0
2 sin 2 x = sin x
3 sin 2 x = cos 2 x
sin x(tan x + 1) = 0
63
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
4 − csc x = 2
3 − cos x = 0
2 tan x = 3 + tan x
3 tan x + 3 = 0
3 tan x + 1 = 0
2 3 sin x − 3 = 0
4 sin 2 x − 3 = 0
1 + 3 tan x = 0
cos x = 2 − cos x
2 cos x + 1 = 0
sin x ⋅ tan x = sin x
3 − cos x = cos x
2 sin x ⋅ cos x = sin x
(2 cos x − 3 )(sec x − 2) = 0
sin x = 1 − sin x
2 + 3 tan x = 3
2 sin x = −1
3 csc x + 2 = sin x
2 + 3 tan x = 3
(csc x + 2 )(sin 2 x − 1) = 0
(1 − 2 cos x )sin x = 0
cos x = 0.5
3 tan x + 1 = 0
sin x = 0.5
cos x = 2 − cos x
1 − 2 cos x = 0
sin 2 x + sin x = 0
2 sin x = −1
(2 cos x − 3 )(sec x − 2) = 0
3 tan x = 1
2 3 sin x = 6
2 + 3 tan x = 3
sec 2 x − 1 = − sec x + 1
− 1 + 3 cot x = 0
2 sin x ⋅ cot x − 2 2 = − 2
4 cos 2 x − 3 = 0
π

2 tan  − x  = −2
2

sin x ⋅ tan x = sin x
64