Operaciones con Funciones

Contenido
Objetivos
Álgebra de Funciones
Composición de Funciones
Operaciones con Funciones
Carlos A. Rivera-Morales
Precálculo I
Rivera-Morales, Carlos A.
Operaciones con Funciones
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Objetivos
Álgebra de Funciones
Composición de Funciones
Tabla de Contenido
Objetivos
Álgebra de Funciones
Composición de Funciones
Rivera-Morales, Carlos A.
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Objetivos
Álgebra de Funciones
Composición de Funciones
Objetivos:
Discutiremos:
suma, resta, multiplicación y división de funciones
Rivera-Morales, Carlos A.
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Álgebra de Funciones
Composición de Funciones
Objetivos:
Discutiremos:
suma, resta, multiplicación y división de funciones
composición de funciones
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Composición de Funciones
Objetivos:
Discutiremos:
suma, resta, multiplicación y división de funciones
composición de funciones
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Álgebra de Funciones
Composición de Funciones
Álgebra y Composición de Funciones
Las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y
composición de funciones son operaciones con funciones que
permiten formar o construir otras funciones a partir de
funciones dadas.
Rivera-Morales, Carlos A.
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Álgebra de Funciones
Composición de Funciones
Álgebra y Composición de Funciones
Álgebra de Funciones
Definición: Sean f y g funciones con dominios respectivos Df
y Dg tales que Df ∩ Dg no es vacı́o. Entonces definimos las
f
funciones f + g, f − g, f g, kg y como sigue:
g
Rivera-Morales, Carlos A.
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Composición de Funciones
Álgebra y Composición de Funciones
Álgebra de Funciones
Definición: Sean f y g funciones con dominios respectivos Df
y Dg tales que Df ∩ Dg no es vacı́o. Entonces definimos las
f
funciones f + g, f − g, f g, kg y como sigue:
g
1 Suma: (f + g)(x) = f (x) + g(x)
Rivera-Morales, Carlos A.
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Composición de Funciones
Álgebra y Composición de Funciones
Álgebra de Funciones
Definición: Sean f y g funciones con dominios respectivos Df
y Dg tales que Df ∩ Dg no es vacı́o. Entonces definimos las
f
funciones f + g, f − g, f g, kg y como sigue:
g
1 Suma: (f + g)(x) = f (x) + g(x)
2
Diferencia: (f − g)(x) = f (x) - g(x)
Rivera-Morales, Carlos A.
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Composición de Funciones
Álgebra y Composición de Funciones
Álgebra de Funciones
Definición: Sean f y g funciones con dominios respectivos Df
y Dg tales que Df ∩ Dg no es vacı́o. Entonces definimos las
f
funciones f + g, f − g, f g, kg y como sigue:
g
1 Suma: (f + g)(x) = f (x) + g(x)
2
Diferencia: (f − g)(x) = f (x) - g(x)
3
Producto: (f g)(x) = f (x) × g(x)
Rivera-Morales, Carlos A.
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Composición de Funciones
Álgebra y Composición de Funciones
Álgebra de Funciones
Definición: Sean f y g funciones con dominios respectivos Df
y Dg tales que Df ∩ Dg no es vacı́o. Entonces definimos las
f
funciones f + g, f − g, f g, kg y como sigue:
g
1 Suma: (f + g)(x) = f (x) + g(x)
2
Diferencia: (f − g)(x) = f (x) - g(x)
3
Producto: (f g)(x) = f (x) × g(x)
4
Producto Escalar: (kf )(x) = kf (x)
Rivera-Morales, Carlos A.
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Álgebra y Composición de Funciones
Álgebra de Funciones
Definición: Sean f y g funciones con dominios respectivos Df
y Dg tales que Df ∩ Dg no es vacı́o. Entonces definimos las
f
funciones f + g, f − g, f g, kg y como sigue:
g
1 Suma: (f + g)(x) = f (x) + g(x)
2
Diferencia: (f − g)(x) = f (x) - g(x)
3
Producto: (f g)(x) = f (x) × g(x)
4
Producto Escalar: (kf )(x) = kf (x)
f
f (x)
Cociente: ( )(x) =
g
g(x)
5
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Notas:
1
El dominio de las funciones f + g, f − g y f g es Df ∩ Dg .
Rivera-Morales, Carlos A.
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Notas:
1
El dominio de las funciones f + g, f − g y f g es Df ∩ Dg .
2
El dominio de la función kf es Df .
Rivera-Morales, Carlos A.
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Notas:
1
El dominio de las funciones f + g, f − g y f g es Df ∩ Dg .
2
El dominio de la función kf es Df .
f
El dominio de la función es Df ∩ Dg con excepción de
g
los valores para los cuales g(x) = 0.
3
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Notas:
1
El dominio de las funciones f + g, f − g y f g es Df ∩ Dg .
2
El dominio de la función kf es Df .
f
El dominio de la función es Df ∩ Dg con excepción de
g
los valores para los cuales g(x) = 0.
3
Rivera-Morales, Carlos A.
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Ejemplos: Sea f (x) = x + 2 & g(x) = x − 2. Df =R y Df =R.
Rivera-Morales, Carlos A.
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Ejemplos: Sea f (x) = x + 2 & g(x) = x − 2. Df =R y Df =R.
1
(f g)(x) = f (x) × g(x ) = (x + 2)(x - 2) = x 2 − 4. Df g =R
Rivera-Morales, Carlos A.
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Ejemplos: Sea f (x) = x + 2 & g(x) = x − 2. Df =R y Df =R.
1
2
(f g)(x) = f (x) × g(x ) = (x + 2)(x - 2) = x 2 − 4. Df g =R
(3f − 4g)(x) = 3f (x) - 4g(x) = 3(x + 2) − 4(x − 2)
= −x + 14. D3f −4g =R
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Composición de Funciones
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Ejemplos: Sea f (x) = x + 2 & g(x) = x − 2. Df =R y Df =R.
1
2
3
(f g)(x) = f (x) × g(x ) = (x + 2)(x - 2) = x 2 − 4. Df g =R
(3f − 4g)(x) = 3f (x) - 4g(x) = 3(x + 2) − 4(x − 2)
= −x + 14. D3f −4g =R
g(x)
x−2
=
. D g = R \ {-2}
f
f (x)
x+2
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Composición de Funciones
Definición: Sean f y g funciones con dominios respectivos Df
y Dg .
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Álgebra y Composición de Funciones
Composición de Funciones
Definición: Sean f y g funciones con dominios respectivos Df
y Dg . Entonces, la composición de las funciones f y g,
denotada por f ◦ g, se define como
Rivera-Morales, Carlos A.
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Composición de Funciones
Definición: Sean f y g funciones con dominios respectivos Df
y Dg . Entonces, la composición de las funciones f y g,
denotada por f ◦ g, se define como
(f ◦ g)(x) = f (g(x)).
Rivera-Morales, Carlos A.
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Composición de Funciones
Definición: Sean f y g funciones con dominios respectivos Df
y Dg . Entonces, la composición de las funciones f y g,
denotada por f ◦ g, se define como
(f ◦ g)(x) = f (g(x)).
El dominio de f ◦ g se define como
Df ◦g = {x ∈ Dg |g(x) ∈ Df }.
Rivera-Morales, Carlos A.
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Ejemplo 1: Sea f (x) = x3 y g(x) =
fórmula para f ◦ g.
Rivera-Morales, Carlos A.
√
3
x. Determine una
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Ejemplo 1: Sea f (x) = x3 y g(x) =
fórmula para f ◦ g.
√
3
x. Determine una
Solución:
√
√
3
(f ◦ g)(x) = f (g(x) = f ( 3 x) = ( x3 ) = x.
Rivera-Morales, Carlos A.
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Álgebra y Composición de Funciones
Ejemplo 1: Sea f (x) = x3 y g(x) =
fórmula para f ◦ g.
√
3
x. Determine una
Solución:
√
√
3
(f ◦ g)(x) = f (g(x) = f ( 3 x) = ( x3 ) = x.
Ejemplo 2: Sea f (x) = x2 + 1 y g(x) =
fórmula para f ◦ g e indique su dominio.
Rivera-Morales, Carlos A.
√
x. Determine una
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Composición de Funciones
Álgebra y Composición de Funciones
Ejemplo 1: Sea f (x) = x3 y g(x) =
fórmula para f ◦ g.
√
3
x. Determine una
Solución:
√
√
3
(f ◦ g)(x) = f (g(x) = f ( 3 x) = ( x3 ) = x.
Ejemplo 2: Sea f (x) = x2 + 1 y g(x) =
fórmula para f ◦ g e indique su dominio.
√
x. Determine una
Solución:
√
√
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ( x) = ( x)2 + 1 = x + 1.
Rivera-Morales, Carlos A.
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Ejemplo 1: Sea f (x) = x3 y g(x) =
fórmula para f ◦ g.
√
3
x. Determine una
Solución:
√
√
3
(f ◦ g)(x) = f (g(x) = f ( 3 x) = ( x3 ) = x.
Ejemplo 2: Sea f (x) = x2 + 1 y g(x) =
fórmula para f ◦ g e indique su dominio.
√
x. Determine una
Solución:
√
√
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ( x) = ( x)2 + 1 = x + 1.
√
Df ◦g = {x ∈ Dg |g(x) ∈ Df } = {x ∈ [0, +∞)| x ∈R}.
= [0, +∞)
Rivera-Morales, Carlos A.
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Ejemplo 3: Sea f (x) = {(3, 6), (2, 12), (4, 0), (0, 14)} y
g(x) = {(0, 0), (2, 0), (3, 3), (12, 4), (1, 2), (15, 4)}.
Rivera-Morales, Carlos A.
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Ejemplo 3: Sea f (x) = {(3, 6), (2, 12), (4, 0), (0, 14)} y
g(x) = {(0, 0), (2, 0), (3, 3), (12, 4), (1, 2), (15, 4)}.
Determine f ◦ g.
Rivera-Morales, Carlos A.
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Composición de Funciones
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Ejemplo 3: Sea f (x) = {(3, 6), (2, 12), (4, 0), (0, 14)} y
g(x) = {(0, 0), (2, 0), (3, 3), (12, 4), (1, 2), (15, 4)}.
Determine f ◦ g.
Solución:
f ◦ g = {(0, 14), (2, 14), (3, 6), (12, 0), (1, 12), (15, 0)}.
Rivera-Morales, Carlos A.
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Ejercicios:
1: Sea f (x) = {(−3, 6), (2, 12), (4, 0), (0, −14)} y
g(x) = {(0, 5), (2, 0), (3, 12), (12, 18), (1, 2), (15, 4)}.
Determine f ◦ g.
2: Sea f (x) = {(3, 6), (2, 12), (4, 0), (0, 14)} y
g(x) = {(0, 5), (2, 3), (3, 12), (12, 18), (1, 1), (15, 1)}.
Determine f ◦ g.
Rivera-Morales, Carlos A.
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3: Sean f y g funciones. Use las dos tablas de la izquierda para
llenar la tabla de la derecha.
Si h(x) = f (g(x)) escriba una posible fórmula para la función h.
Rivera-Morales, Carlos A.
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4: Use las gráficas de las funciones f y g para graficar la
función h = g ◦ f .
Rivera-Morales, Carlos A.
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5: Para las funciones f y g dadas, escriba una fórmula para
f ◦ g y el dominio de f ◦ g √
y para g ◦ f y el dominio de f ◦ g.
a) f (x) = x2 − 3x, g(x) = x + 2
x
3
b) f (x) =
, g(x) =
x−2
x
6: Para la función h dada, determine dos funciones f y g tal
que h = f ◦√g. Puede haber más de una posibilidad.
+ 3x
a) h(x) = 3 x2√
b) h(x) = 4 + x2 + 1
Rivera-Morales, Carlos A.
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