Trigonometría Matemáticas Básicas 2004

Definiciones
Relaciones trigonométricas en el triángulo
Fórmulas trigonométricas
Trigonometría
Matemáticas Básicas 2004
19 de Octubre de 2004
Trigonometría Matemáticas Básicas 2004
Definiciones
Relaciones trigonométricas en el triángulo
Fórmulas trigonométricas
Seno, Coseno y Tangente de un ángulo
Funciones inversas
Ángulos complementarios y suplementarios
Definiciones
Un ángulo queda determinado por un par de semirrectas con
origen el mismo punto. Las semirrectas se llaman lado inicial y
lado final. Al origen se le denomina vértice del ángulo.
Se suele identificar ángulos de magnitud positiva si se generan
con un radio que gira en sentido contrario a las agujas del reloj
y negativo en caso contrario.
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Definiciones
Relaciones trigonométricas en el triángulo
Fórmulas trigonométricas
Seno, Coseno y Tangente de un ángulo
Funciones inversas
Ángulos complementarios y suplementarios
Para medir ángulos utilizaremos dos medidas:
1. Grados. El ángulo de 1 grado es aquél que resulta de
dividir la circunferencia en 360 partes iguales.
1o = 600 = 360000
2. Radianes. Es la medida más habitual en matemáticas. El
ángulo de 1 radián es aquél cuya longitud del arco
coincide con el radio de la circunferencia.
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Relaciones trigonométricas en el triángulo
Fórmulas trigonométricas
Seno, Coseno y Tangente de un ángulo
Funciones inversas
Ángulos complementarios y suplementarios
¿Cómo pasar de unas unidades a otras?
L=Longitud de la circunferencia= 2 · π · r
no de Radianes:
L
r
=2·π
no de grados: 360o
⇓
360o = 2 · π radianes
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Fórmulas trigonométricas
Seno, Coseno y Tangente de un ángulo
Funciones inversas
Ángulos complementarios y suplementarios
Teorema de Thales
Si se cortan varias rectas paralelas por dos rectas transversales,
la razón de dos segmentos cualesquiera de una de ellas es igual
a la razón de los correspondientes de la otra
AC
A0 C 0
= 0 0
AB
AB
AB
A0 B 0
= 0 0
BC
BC
BB 0
CC 0
=
AB
AC
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Fórmulas trigonométricas
Seno, Coseno y Tangente de un ángulo
Funciones inversas
Ángulos complementarios y suplementarios
Seno, Coseno y Tangente de un ángulo
sin(α) =
b
a
cos(α) =
c
a
tan(α) =
sin(α)
b
=
cos(α)
c
Por el Teorema de Pitágoras:
sin2 (α) + cos2 (α) = 1
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Fórmulas trigonométricas
Seno, Coseno y Tangente de un ángulo
Funciones inversas
Ángulos complementarios y suplementarios
Signos de cada función en los distintos cuadrantes
sin(α)
cos(α)
tan(α)
(0, π/2) (π/2, π) (π, 3π/2) (3π/2, 2π)
+
+
−
−
+
−
−
+
+
−
+
−
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Fórmulas trigonométricas
Seno, Coseno y Tangente de un ángulo
Funciones inversas
Ángulos complementarios y suplementarios
Algunos ángulos notables
Grados
Radianes
sin(α)
cos(α)
tan(α)
0◦
0
0
1
0
30◦
45◦
60◦
90◦
π/6
π/4
π/3
π/2
√ √
3/2
1
√1/2 1/√2
3/2
0
√ 1/ 2 1/2
√
1/ 3
1
3 No existe
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Fórmulas trigonométricas
Seno, Coseno y Tangente de un ángulo
Funciones inversas
Ángulos complementarios y suplementarios
Funciones inversas
Inversas respecto el producto
cosec(α) =
1
sin(α)
sec(α) =
1
cos(α)
cot(α) =
1
tan(α)
Inversas respecto de la composición
arcsin = sin−1
arc cos = cos −1
arctan = tan−1
Ver gráficas para analizar los dominios de definición
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Fórmulas trigonométricas
Seno, Coseno y Tangente de un ángulo
Funciones inversas
Ángulos complementarios y suplementarios
Ángulos complementarios y suplementarios
Complementarios
Ángulos cuya suma es
π
2
radianes (o 90◦ )
cos(α) = sin(π/2 − α)
sin(α) = cos(π/2 − α)
tan(α) = cot(π/2 − α)
Suplementarios
Ángulos cuya suma es π radianes (o 180◦ )
sin(α) = sin(π − α)
cos(α) = − cos(π − α)
tan(α) = − tan(π − α)
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Fórmulas trigonométricas
Seno, Coseno y Tangente de un ángulo
Funciones inversas
Ángulos complementarios y suplementarios
Ángulos que tienen razones trigonométricas que
coinciden en valor absoluto
Además de los ángulos complementarios y suplementarios
también es posible establecer relaciones entre las razones
trigonométricas de otros ángulos que presenten otras
regularidades.
¿Cómo estarían relacionadas las funciones trigonométricas de
dos ángulos tales que:
Al restarlos obtenemos π/2?
Al restarlos obtenemos π?
Al sumarlos obtenemos 0?
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Definiciones
Relaciones trigonométricas en el triángulo
Fórmulas trigonométricas
Relaciones trigonométricas en el triángulo
Relación fundamental
α + β + γ = π radianes = 180◦
Teorema del seno
a
b
c
=
=
sin(A)
sin(B)
sin(C )
Teorema del coseno
c 2 = a2 + b 2 − 2ab cos(C )
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Relaciones trigonométricas en el triángulo
Fórmulas trigonométricas
Fórmulas trigonométricas
Fórmulas del ángulo suma.
cos(A + B) = cos(A) · cos(B) − sen(A) · sen(B)
sen(A + B) = sen(A) · cos(B) + cos(A) · sen(B)
cos(A − B) = cos(A) · cos(B) + sen(A) · sen(B)
sen(A − B) = sen(A) · cos(B) − cos(A) · sen(B)
tan(A + B) =
tan(A) + tan(B)
1 − tan(A) tan(B)
tan(A − B) =
tan(A) − tan(B)
1 + tan(A) tan(B)
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Fórmulas trigonométricas
Fórmulas del ángulo doble
cos(2A) = cos2 (A) − sen2 (A)
sen(2A) = 2 · sen(A) · cos(A)
1 + cos(2 · A)
2
1 − cos(2 · A)
sen2 (A) =
2
2 tan(A)
tan(2A) =
1 − tan2 (A)
cos2 (A) =
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Relaciones trigonométricas en el triángulo
Fórmulas trigonométricas
Fórmulas de la tangente del ángulo mitad
Sea t = tan 12 A . Entonces:
sen(A) =
2t
,
1 + t2
cos(A) =
1 − t2
,
1 + t2
tan(A) =
2t
1 − t2
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Fórmulas trigonométricas
Sumas y diferencias de senos y cosenos
sen(C ) + sen(D) = 2 · sen
sen(C ) − sen(D) = 2 · cos
C +D
2
C +D
2
cos
C −D
2
· sen
C −D
2
,
,
C +D
C −D
cos(C ) + cos(D) = 2 · cos
· cos
,
2
2
C +D
C −D
· sen
.
cos(C ) − cos(D) = −2 · sen
2
2
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