3.- Razones trigonométricas de ángulos agudos

1º BCN-BT
Trigonometría
3.- Razones trigonométricas de ángulos agudos
Las razones trigonométricas de un ángulo agudo
se definen en función de los lados de un triángulo
rectángulo y son independientes de su tamaño. Las
razones trigonométricas seno, coseno y tangente del
ángulo agudo de un triángulo rectángulo como el de la
figura, en el que el ángulo B = 90º, b es la hipotenusa, y a
y c son los catetos, se definen como aparecen en la
gráfica.
Las razones seno, coseno y tangente tienen sus
respectivas inversas en las razones cosecante (para el
seno), secante (para el coseno) y cotangente (para la tangente).
cosec α =
b
a
sec α =
b
c
cotag α =
c
a
Se denomina razón porque es un cociente entre dos números; se añade trigonométrica porque
esos números corresponden a la medida de los lados de un triángulo.
Si se aumenta el tamaño de los lados del triángulo ABC prolongando los lados b y c y
trazando rectas paralelas al lado a se obtienen triángulos semejantes al anterior y, por tanto, las
razones trigonométricas del ángulo A siguen siendo las mismas, dependiendo sólo de su amplitud
(en grados o radianes).
Ejemplo.- En un triángulo rectángulo los catetos miden 6 y 8. Calculemos el valor de las seis razones trigonométricas del
menor de sus ángulos. Lo primero será calcular la hipotenusa (aplicando
Pitágoras).
a=
2
2
6 +8 =
sen α =
6 3
=
10 5
cos α =
8 4
=
10 5
6 3
tg α = =
8 4
Ejercicios.-
100 = 10 . Sólo nos queda aplicar las definiciones:
5
cos ec α =
3
5
sec α =
4
4
cot g α =
3
1.- Aplicación del teorema de Pitágoras para resolver triéngulos rectángulos. Resuelve y comprueba
los siguientes triéngulos:
● a = 13 m y c = 12 m, ¿b?, solución, b = 5m
● c = 30 m, y b = 16 m, ¿a?, solución a = 34 m
C
● a = 13 m y b = 5 m, ¿c? solución b = 12 m
a
● b = 12 m y c = 16 m, ¿a?, solución a = 20 m
b
● b= 24 m y c= 32 m, ¿a?, solución a = 40 m
● a = 41 m y b = 9m, ¿c?, solución c = 40 m
● a = 5 m y b = 3 m, ¿c?, solución c = 4m
B
A
c
● b = 16m y c = 30 m, ¿a?, solución a = 34 m
● a = 10 m y b = 6m, ¿c?, solución c = 8 m
● a = 48 m y c = 50 m, ¿b?, solución b = 14 m
● a = 25 m, b = 7 m, ¿c?, solución c = 24 m.
● b = 9m y c = 40 m, ¿a?, solución a = 41 m.
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2.- Calcula previamente el lado (cateto o hipotenusa que falte) del triángulo que a continuación se
dibuja y calcula las razones trigonométricas de los ángulos que se indican o bien indica el nombre
de la razón trigonométrica y el ángulo al que se corresponde la fracción que se indica
I)
C
13 m
b
A
II)
C
12 m
B
a
12 m
A
III)
C
16 m
B
10 m
6m
A
c
B
sen B=
cosec B=
tg B=
cos C =
cotag C=
tg A=
12
=
13
5
=
13
13
=
5
12
=
5
5
=
12
13
=
12
sen B=
cosec B=
tg B=
cos C =
cotag C=
tg A=
3
=
4
5
=
3
4
=
5
4
=
3
5
=
4
3
=
5
sen B=
cosec B=
tg B=
cos C =
cotag C=
tg A=
5
=
4
3
=
5
4
=
5
3
=
4
4
=
3
5
=
3
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