soluciones

SOLUCIONES........ MICROECONOMIA IV............... EXAMEN FEBRERO 2002
Pregunta 1.- Libro J. Segura, págs.: 299-300.
Pregunta 2.- Libro J. Segura, págs.: 396-397.
Pregunta 3.a) La curva de contrato es el lugar geométrico de los puntos donde se produce la
tangencia de las curvas de utilidad de ambos consumidores. Es decir:
RMS12 (1) =
∂U 1 ( x1 )
∂U 2 ( x 2 )
∂x 11
∂x 12
∂U 1 ( x1 )
∂x 12
=
∂U 2 ( x 2 )
= RMS12 (2)
⇒
x 12
x 11
=
x 22
x 12
∂x 22
Para calcular los puntos interiores de la caja de Edgeworth de la curva de contrato
tenemos en cuenta las dotaciones iniciales de ambos bienes:
x11 + x12 = x1 → x12 = x1 − x11
x 12 + x 22 = x 2 → x 22 = x 2 − x12
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación anterior, obtenemos la expresión de
la curva de contrato:
x 12 x 2 − x 12
x 22 x 2 − x 22
,o, expresada en términos del consumidor 2,
.
=
=
x11 x1 − x11
x12 x1 − x12
b)
Para calcular la asignación de equilibrio competitivo resolvemos los problemas de
optimización de ambos consumidores. El consumidor 1:

Max U( x1 ) = x 11 x 12
L(⋅) = x 11 x 12 − λ ( p 1 x 11 + x 12 − p 1 x 11 − x 12 )
1
1
1
1 
s.a : p 1 x 1 + x 2 = p 1 x 1 + x 2 
Las condiciones de primer orden son:
∂L(⋅) 1
= x 2 − λ p1 = 0
(1)
∂x11
∂L(⋅) 1
= x1 − λ = 0
(2)
∂x12
∂L(⋅)
= p1 x11 + x12 − p1 x11 − x 21 = 0
(3)
∂λ
Operando con las c.p.o. (1) y (2) obtenemos la siguiente relación: x12 = p1 x11 .
Sustituyendo esta condición en la c.p.o.(3) tenemos: p1 x11 + p1 x11 = p1 x11 + x 21 ,
y, operando, resulta la función de demanda del consumidor 1 del bien, que es:
1
1 1
x11 = x11 +
x2
2
2 p1
Por su parte, la función de demanda del consumidor 1 del bien x 2 será:
p
1
x 12 = 1 x11 + x 21
2
2
El consumidor 2 se enfrenta a un problema simétrico:

Max U (x 2 ) = x12 x 22
2
2
2
2 
s.a : p1 x1 + x 2 = p1 x1 + x 2 
Operando de la misma manera que para el consumidor 1, obtenemos las funciones
de demanda de ambos bienes del consumidor 2, que son:
p
1
1 2
1
x12 = x12 +
x2
x 22 = 1 x12 + x 22
2
2 p1
2
2
Para calcular el precio de equilibrio competitivo, basta con saber que será aquel en
el que la oferta de ambos bienes sea igual a la demanda (excesos de demanda
nulos). Por la ley de Walras al existir dos bienes, es suficiente con trabajar con la
función de exceso de demanda de uno de ello, puesto que si está en equilibrio un
mercado, también lo estará el otro . Por ejemplo, para el bien 1:
2
1
1 1 1 2
1 2
z1 (p) = ∑ z1i (p) = x11 +
x 2 + x1 +
x 2 − x11 − x12 = 0
2
2 p1
2
2 p1
i =1
Reordenando términos y teniendo en cuenta que, x1 = x11 + x12 , y, x 2 = x 21 + x 22 :
x
1
1
x1 +
x 2 − x1 = 0 , y despejando, se obtiene : p1* = 2
2
2 p1
x1
c)
a)
En los apartados a) y b) se ha calculado todo lo que se pide para el caso general.
Por tanto, basta con sustituir las dotaciones iniciales por los valores fijados.
x 12 6 − x 12
=
⇒ x 12 (6 − x11 ) = x11 (6 − x12 ) ⇒ x 12 = x11
x11 6 − x11
Esta es la expresión de la curva de contrato expresada en términos de las
cantidades del consumidor 1. En términos del consumidor 2 sería: x 22 = x12 .
Obsérvese que en este caso la curva de contrato es la diagonal principal de la caja
de Edgeworth. El precio de equilibrio será:
x
6
p1* = 2 = =1
x1 6
Con lo que las cantidades y los niveles de utilidad de equilibrio resultan ser:
( x11 ) * = ( x 12 ) * = 3,5
(U 1 ) * = 12,25
( x12 ) * = ( x 22 ) * = 2,5
(U 2 ) * = 6,25
Pregunta 4.La solución de máximo beneficio para el monopolista implica la igualdad de los
ingresos marginales y los costes marginales. De la función de demanda se
obtienen los ingresos marginales: I' = 300 − 5x , y de la función de costes los costes
marginales: C' = x 2 − 15x + 100 . Igualando ambas expresiones:
300 − 5x = x 2 − 15x + 100 ⇒ x 2 − 10 x − 200 = 0
Resolviendo la ecuación de segundo grado:
20
10 ± 100 + (4 )(200)
= 5 ± 15 =
xM =
2
− 10
Puesto que las cantidades producidas nunca pueden ser negativas, el monopolista
producirá 20 uds. a un precio de 250. El excedente del productor (EP) es el área
que se encuentra entre el precio al que vende el producto y la curva de costes
marginales. Mientras que el excedente del consumidor (EC) es el área
comprendida entre la función de demanda y el precio de monopolio.
p,C 350
a
300
250
200
150
100
50
0
C'
D
b
I'
c
d
0
2
4
6
8
10 12 14
16 18
20 22 24
x
Para calcular el EP se calcula el área que se encuentra debajo de la curva de los
costes marginales y restarla a los ingresos percibidos por el monopolista. En el
gráfico, restar el área: c, 20, 0, d (coste variable de fabricar el producto) al área:
250, b, 20, 0 (ingresos totales).
I = px = (250)(20 ) = 5.000
El área bajo la función de costes marginales sería su integral desde 0 hasta 20
unidades. Es decir:
20
∫0
b)
(
)
20
x3
x − 15x + 100 dx =
− 7,5x 2 + 100 x = 1.666,7
3
0
2
Por lo que el excedente del productor es: EP M = 5.000 − 1.666,7 = 3.333,3 .
El excedente del consumidor sería el área comprendida en a, b, 250:
(300 − 250)(20) = 500
EC M =
2
M
M
M
ES = EC + EP = 3.333,3 + 500 = 3.833,3
El equilibrio de competencia perfecta se sitúa en el punto en el que los costes
marginales igualan al precio. Por tanto:
300 − 2,5x = x 2 − 15x + 100 ⇒ x 2 − 12,5x − 200 = 0
12,5 ± 12,5 2 + (4 )(200) 21,7 
C
xC =
=
 p = 300 − 2,5x = 300 − 54,3 = 245,8
− 9, 2
2

La solución de competencia perfecta implica una mayor cantidad del bien y un
precio de equilibrio menor. La obtención del excedente social se realiza igual que
en el apartado anterior.
21,7 3
2
EP C = (21,7 )(245,8) −
+ (7,5)(21,7 ) − (100 )(21,7 ) = 3.287,8
3
(
300
− 245,8)(21,7 )
EC C =
= 588,1
2
Podemos observar que el excedente del productor se reduce sustancialmente y el
del consumidor aumenta respecto a la situación de monopolio como consecuencia
de la disminución del precio de equilibrio.
ESC = EC C + EP C = 3.333,3 + 588,1 = 3.921,4
Y por lo tanto el excedente social ganado al cambiar a competencia perfecta sería:
∆ES = ESC − ES M = 32.921,4 − 3.921, 4 = 42,6
En monopolio la empresa produce de forma ineficiente.