3. Biomecánica: Trabajo y Energía.

3. Biomecánica: Trabajo y Energía.
Las fuerzas en la naturaleza son muy variables. No siempre son constantes y pueden depender
del tiempo o de la posición de las partículas sobre las que actúan respecto un SR⇒ No podemos
aplicar la segunda ley de Newton.
Cuando las fuerzas dependen del tiempo es útil usar el impulso para obtener información del
movimiento. Así conocemos la ~v de una partícula en el tiempo conociendo el impulso, la masa
y la ~v0 . Cuando F~ = F~ (~r) respecto de un sistema de referencia es muy difícil calcular el estado
dinámico de una partícula por medio de las leyes de newton.
Se introduce el concepto de trabajo, muy ligado al concepto de energía cinética ⇒ permite ver
el movimiento de partículas y sistemas de partículas sometidos a fuerzas que son función de la
posición respecto de un sistema de referencia.
Trabajo y energía: La importancia de la idea de energía surge del principio de conservación
de la energía: la energía es una magnitud que puede convertirse de una forma a otra pero
que ni se crea ni se destruye. La energía total se conserva.
• brasero eléctrico donde energía eléctrica → energía calórica
• motor de un coche: energía interna de la gasolina → energía calórica → energía cinética.
• Seres vivos (procesos mecánicos y bioquímicos) transforma un tipo de energía en otro: energía del sol se transforma en compuestos orgánicos (fotosíntesis) ⇒ animales (herbívoros)
transforma éstos en energía para contraer y extirar los músculos y caminar.
1
Nos centramos en la energía involucrada en el movimiento producido por la acción de fuerzas
y en particular en la energía cinética y como ésta se relaciona con el concepto de trabajo.
Concepto de potencia: trabajo realizado en la unidad de tiempo.
Muchas fuerzas que no son de contacto (fuerzas a distancia) ⇒ interacciones a distancia descrita
por el concepto de campo ⇒ concepto de energia potencial.
Concepto de trabajo, trabajo realizado por una fuerza
Trabajo de una fuerza contante a lo largo de una trayectoria rectilínea
F
ϕ
∆r
r +∆r
r
O
PartículaPque se mueve en línea recta (en sist. ref. inercial) sometida a varias fuerzas constantes
⇒ F~ = i F~i ⇒ trabajo realizado por esta fuerza desde ~r a ~r + ∆~r como la magnitud W
W = F~ · ∆~r = |F~ ||∆~r|cosϕ = |F~ ||∆s|cosϕ
Si 0 < ϕ < 90 entonces W > 0. Si ϕ = 90 ⇒ W = 0. Si ϕ > 90 ⇒ W < 0.
2
Notad que el trabajo es una magnitud escalar. La ecuación de dimensiones para el trabajo es:
[W ] = [F ][∆r] = ML2 T −2
Unidad en el S.I Wu = 1N × 1m = 1J (Julio): trabajo que realiza una fuerza de 1 N al
desplazar su punto de aplicación 1 m a lo largo de su línea de acción. En el sistema técnico
Wu = 1Kp×1m = 1kgrm (kilogrómetro). En el sistema c.g.s Wu = 1 dina×1cm = 1 ergio.
Trabajo realizado por una fuerza variable a lo largo de una trayectoria rectilínea
Supongamos un muelle. Para comprimirlo más y más ⇒ ir aumentando la fuerza, debido a una
mayor reacción del muelle ⇒ trabajo realizado por una fuerza variable y trayectoria recta.
asumimos trayectoria en el eje X entre dos puntos x0 y xf , y asumimos la trayectoria total
como ∆s = xf − x0 = dx1 + dx2 + ... + dxn , es decir suma de n intervalos infinitesimales.
Supongamos que en cada intervalo d~
ri = dxi~i la fuerza es prácticamente constante ⇒ también
lo son sus componentes Fx , Fy , Fz ⇒ en cada intervalo la fuerza realiza un trabajo infinitesimal
dWi = F~ · d~ri = |F~ ||dxi~i|cosϕ = Fix dxi
⇒ trabajo a lo largo de la trayectoria (sumando todas las contribuciones infinitesimales)
Z xf
Fx dx
(1)
W = F1x dx1 + F2x dx2 + ... =
x0
3
La fuerza sobre un muelle para estirarlo una distancia x de su posición de equilibrio es1
F = kx
de donde
W =
Z
x2
x1
1
kxdx = k(x22 − x21)
2
si x1 = 0 (posición de equilibrio del muelle) y x2 = X (lo que se estira) entonces
1
W = kX 2
2
Trabajo realizado por una fuerza variable en un trayectoria curva
Partícula sometida a una fuerza variable F~ a lo largo de una trayectoria curva desde el punto
P1 al punto P2 . Dividimos la curva entre esos dos puntos en vectores d~l tangentes a la curva.
Sea ϕ el ángulo entre F~ y el vector d~l ⇒ En el sector de infinitesimal de curva que define d~l la
trayectoria es casi rectilínea y la fuerza casi constante ⇒ (resultado anterior)
1
Notad que la fuerza que el muelle ejerce es F = −kx por lo que el trabajo realizado por el muelle sería de signo contrario al que
realizamos sobre el muelle al estirarlo.
4
P1
F
ϕ
dl
O
P2
dW = |F~ ||d~l|cosϕ = F~ · d~l
⇒ el trabajo total entre P1 y P2 (sumando todas las contribuciones infinitesimales)
Z P2
W =
F~ · d~l
P1
⇒ Integral de línea o circulación de F~ a lo largo la curva C que une los dos puntos. Para calcular
el trabajo necesitamos la ecuación paramétrica de la curva, y cómo varía F~ con la curva. Como
F~ = FT ~eT + FN ~eN
entonces se tiene
W =
Z
P2
P1
F~ · d~l =
Z
P2
FT ~eT · d~l +
Z
P2
P1
P1
5
FN ~eN · d~l =
Z
P2
P1
FT dl
⇒ El trabajo es el área (integral) que encierra la función FT ≡ |F~ |cosϕ, esto es la componente
tangente a la trayectoria de la fuerza, como función del desplazamiento l :
FT
P1
P2
dl
Si F~ perpendicular a desplazamiento ⇒ trabajo realizado es cero (W fuerza centrípeta es cero).
Tercera ley de Newton: una de las fuerzas está ejerciendo un trabajo positivo (la que apunta
en la dirección del desplazamiento) mientras que la otra (la reacción) está ejerciendo el mismo
trabajo pero de sentido contrario y por lo tanto es negativo (el vector desplazamiento tiene
distinto sentido respecto a esta otra fuerza).
Si resultante de todas las fuerzas es cero ⇒ el trabajo también es cero.
3.2 Potencia.
Si dos fuerzas distintas realizan el mismo trabajo, será más eficaz aquella que realiza el trabajo
en el menor tiempo. Para medir la rapidez o eficacia con que una determinada fuerza realiza
un trabajo se introduce la magnitud llamada potencia ⇒ Definimos potencia media
Pm =
6
Wm
t
Es una magnitud escalar y tiene unidades de trabajo por unidad de tiempo. Más interesante
el conocer el trabajo realizado por una fuerza por unidad de tiempo en un instante t dado
1
∆w
t1
t2
t3
2
dW
∆W
=
∆t→0 ∆t
dt
P = lı́m
]
ML T
que define la potencia instantánea, . La ecuación de dimensiones es [P ] = [W
[t] =
T
2 −3
ML T . Unidad en el S.I. 1Julio/seg = 1vatio = 1W.Algunas otras unidades son
2
−2
=
1kW = 103W
1MW = 106W
1CV (caballo de vapor) = 736W
1HP (horse power) = 746W
No confundir con 1kWh (kilovatiohora), que sería una unidad de trabajo y no de potencia. Sería el trabajo realizado por una fuerza durante 1 hora y que tiene una potencia constante
de 1kW (1kW h = 3,6 × 106Julios). Por otra parte que
P =
FT dl
dW
=
= FT v = F~ · ~v
dt
dt
7
Energía cinética: teorema de las fuerzas vivas.
Energía como la capacidad que tienen los cuerpos para producir trabajo. Un cuerpo puede realizar
trabajo debido a:
estar en movimiento (energía cinética)
por su posición respecto a un campo gravitatorio, eléctrico (energía potencial)
constitución interna (energía interna)
movimiento de sus moléculas, p.e. agua hirviendo (energía térmica)
Energía cinética de una partícula
t=0 v 1=0
FN
F
r1
F
r
r2
O
W12
=
Z
2
1,C
F~ · d~l =
Z
v
FT
dl
2
FT dl =
1
8
Z
2
maT dl = m
1
Z
2
1
dv
dl
dt
m
Z
v
0
v2
vdv = m
2
v
0
1
= mv 2(Energía cinética)
2
La energía cinética es el trabajo total necesario para para acelerar un cuerpo desde el reposo a
un estado de movimiento con velocidad ~v : trabajo que el cuerpo tiene que realizar para pasar
de un estado de movimiento con velocidad ~v a un estado de reposo.
Teorema de las fuerzas vivas
Si tenemos unahpartícula
sometida a una fuerza F~ moviéndose a velocidad ~v1 6= 0 =⇒ W12 =
i
v2
R v2
v2
= 12 mv22 − 12 mv12 = Ec (2) − Ec (1).
m
vdv
=
m
v1
2
v1
“El trabajo realizado por una fuerza sobre una partícula en movimiento se invierte en modificar
la energía cinética de dicha partícula”
W12 = ∆Ec
Consecuencias:
• W12 = 0 ⇒ ∆Ec = 0 ⇒ Ec = cte. (Ej. movimiento circular, pues el valor numérico de la
velocidad es constante, aunque varíe la dirección)
• W12 < 0 ⇒ ∆Ec < 0 ⇒ Ec (2) < Ec (1).
• W12 > 0 ⇒ ∆Ec > 0 ⇒ Ec (2) > Ec (1).
9
Energía cinética de un sistema de partículas
Energía cinética de un sistema de partículas: la suma de las E. cinéticas de cada una de las partículas
X1
mi vi2
Ec =
2
i
Teorema de Köening
r’i
ri
CM
O
R cdm
Ec = Eccdm + Ec′
La demostración es sencilla: Ya que ~vi = V~cdm + ~vi′ ⇒ (teorema del coseno) tenemos
vi2 = |~vi|2 = |V~cdm |2 + |~vi′ |2 + 2V~cdm · ~vi′
10
de donde
Ec =
1
2
1 2
2
i mi vi = 2 Vcdm
P
P
i mi +
1
2
P
′ 2
~
m
(v
)
+
V
·
vi′
i i
cdm
i
i mi~
P
′
′
2
=0
pero P~cdm
+ Ec′ + V~cdm · P~cdm
Ec = 12 MVcdm
⇒ Ec = EcCM + Ec′
⇒ la energía cinética de un sist. de partículas es igual a la energía cinética del centro de masas
más la energía cinética del sistema respecto del centro de masas.
En mov. de rotación de un sólido rígido el centro de masas no se mueve ⇒ Eccdm = 0
1X
1X
′
′ 2
Ec = Ec =
mi (vi) =
mi ωi2 (ri′ )2
2 i
2 i
donde al ser vi′ y ~ri′ las velocidades lineales y las posiciones de las partículas del sólido respecto
del sist. de ref. c.d.m, y dado que el movimiento de las partículas es de rotación hemos usado
vi′ = ωi ri′ . Pero al ser un sólido rígido se tiene ωi = ω ∀i ⇒
1 X
1
Ec = ω 2
mi (ri′ )2 ≡ Iω 2 ( energía cinética de rotación de un sólido rígido)
2
2
i
que me define el momento de inercia del sólido rígido como I =
′ 2
i mi (ri ) .
P
• Mayor momento de inercia del sólido rígido ⇒ mayor es su energía cinética de rotación.
• Cuanto mayor I más trabajo (energía cinética) hay que hacer para que rote con velocidad
angular ω.
11
• I depende del eje sobre el que rote el cuerpo, pues depende de las posiciones de las partículas
respecto de ese eje ⇒ infinitos momentos de inercia (dependiendo del eje sobre el que gire)
Si hay mov de traslación y de rotación entonces
1
1
1
2
+ Iω 2
Ec = Eccdm + Iω 2 = MVcdm
2
2
2
⇒ energía cinética de un sólido rígido en movimiento es igual a la suma de la Ec de traslación
del centro de masas más la Ec de rotación entorno a un eje que pasa por el centro de masas.
Teorema del eje paralelo: Si Icdm momento de inercia de un cuerpo que rota entorno a un eje
que pasa por el centro de masas ⇒ el momento de inercia del cuerpo cuando rota entorno a
un eje P paralelo al anterior y que está a una distancia d del otro es:
I = Icdm + Md2
Demostración: Sólido rígido dividido en capas infinitesimales definidas en el plano (x,y) perpendiculares al eje de giro (eje Z). En cada capa las partículas tienen vectores de posición
~ri′ = (x′i, yi′ , 0) y ~r”i = (x”i, y”i, 0) respecto del eje c.d.m y del eje P respectivamente ⇒
~r”i = ~r′ − d~
12
z
y
y
b
d
a
x
x
donde d~ = (a, b, 0) tal que d2 = a2 + b2. Entonces en cada capa α se tiene
P
P
I α = i∈α mi (r”i)2 = i∈α mi [(x′i − a)2 + (yi′ − b)2] =
P
′ 2
2
2
α
′ 2
i∈α mi [(xi ) + (yi ) ] + (a + b )M − 2a
′
i∈α mi xi − 2b
P
′
i∈α mi yi
P
P
donde M α = i∈α mi (masa de la capa α), pero los dos últimos términos son cero pues son
′
= 0 pues son proporcionales a las coordenas x e y del centro de masas
−2ax′cdm − 2bycdm
respecto de él mismo. Entonces tenemos para cada capa infinitesimal que
α
I α = Icdm
+ M α d2
Si ahora sumamos sobre todas las capas obtenemos el resultado buscado.
13
Campos conservativos: Energía potencial
Concepto de campo, campos de fuerza.
Interacciones en la naturaleza (gravitatoria, eléctrica) que actúan a distancia ⇒ las fuerzas que
las miden dependen de la posición y del tiempo → se introduce el concepto de campo.
Si en una región del espacio se manifiesta una magnitud física (escalar o vectorial) definida en
cada punto de la región, que es función de las coordenadas respecto de un sistema de referencia
dado y del tiempo, la asociación del valor de la magnitud con cada punto del espacio recibe el
nombre de campo.
• Si la magnitud que define el campo es escalar, el campo se llama escalar
• Si la magnitud que define el campo es vectorial, el campo se llama vectorial
• Si la magnitud que define el campo es una fuerza, el campo se llama campo de fuerzas
• Si la magnitud que define el campo sólo depende de las coordenadas y no del tiempo
F (x, y, z) ⇒ campo estacionario. Si depende del tiempo F (x, y, z, t) ⇒ no estacionario.
A cualquier interacción a distancia se le puede asociar un campo (lo contrario es incorrecto).
Ej. un cuerpo en la Tierra, la interacción gravitatoria actúa instantáneamente. Se pensó que
la interacción se transmitía instantáneamente en el tiempo. Einstein demostró que nada puede
moverse con velocidad mayor que la luz, y ésta es aunque muy alta, es finita. ⇒ habría un
tiempo en el que el cuerpo no sentiría la interacción (el tiempo que tardaría en llegar la
interacción hasta el cuerpo), cosa que no se ve experimentalmente.
14
Hoy en dia se explica el hecho de que los cuerpos sienten instantáneamente la interacción
gravitatoria, precisamente, en el marco de la llamada teoría general de la relatividad de Einstein,
según la cual cualquier cuerpo (por ejemplo la Tierra) por el hecho de tener masa modifica el
espacio (lo curva) que es la responsable de la interacción gravitatoria. Se dice entonces que la
tierra crea en su entorno un campo de fuerzas.
Campo gravitatorio, los cuerpos sienten sus efectos si tienen las mismas propiedades que lo que
origina el campo, es decir masa (campo eléctrico y con el campo magnético).
La propiedad que siente los efectos del campo ⇔magnitud activa A. La fuerza que un campo
ejerce sobre los cuerpos es directamente proporcional a la magnitud activa A:
~
F~ = AE
~ la intensidad del campo:
donde Ees
~ → la fuerza gravitatoria entre dos masas M
• Campo gravitatorio |F~G | ∝ m ⇒ F~G = mE
y m separadas una distancia r es
ur
FG
M
m
r
Mm
F~G = −G 2 ~ur
r
15
⇒ la intensidad del campo gravitatorio creado por la masa M (notad que es la masa m la
que siente la presencia de este campo) es
~
~ = FG = −G M ~ur
E
m
r2
(2)
Unidades en el S.I. de 1N/kg = 1m/s2 (aceleración). Cerca de la superficie de la Tierra
~ = ~g = F~G (aceleración de la gravedad es la intensidad del campo
F~G = w
~ = m~g ⇒ E
m
gravitatorio cerca de la superficie) ⇒ unidades de fuerza por unidad de magnitud activa,
en este caso, masa. Más adelante derivaremos ~g de la expresión más general (2)
~ Por convenio E
~ = F~E es fuerza por unidad de
• En el campo eléctrico |F~e | ∝ q ⇒ F~E = q E.
q
carga positiva ⇒
qq ′
F~e = K 2 ~ur
r
′
q carga que crea el campo y q la que siente el campo (podría interpretarse al revés),
′
~ = K q ~ur
E
r2
~ ⇒ E
~ = F~ . La intensidad de un campo de
• Para cualquier campo estacionario F~ = AE
A
fuerzas en un punto es la fuerza que el campo ejerce en ese punto sobre la unidad de
~
magnitud activa positiva A. En general la dirección de F~ es igual a la dirección E.
• Si tenemos varios agentes (ya sean masas o cargas) que crean el campo ⇒ se satisface el
principio de superposición es decir el campo total en un punto es la suma de cada uno de
16
los campos individuales creados en ese punto es decir:
X
~
~i
E=
E
i
Representanción gráfica de los campos escalares y vectoriales
Sea una región del espacio o del plano donde tenemos definida una magnitud física en cada punto,
que es función de las coordenadas ⇒ la asociación del valor de la magnitud con cada punto de la
región define un campo. Para visualizar cómo varía la magnitud que define el campo acudimos a su
representación gráfica:
Campos escalares: Se representan mediante las llamadas superficies y líneas equipotenciales
o de nivel=lugar geométrico de todos lo puntos del campo en el que la magnitud que lo define
es constante. En el espacio los puntos definen superficies y si está definido en el plano, líneas.
Las superficies de nivel se pueden proyectar en un plano obteniendo líneas de nivel:
17
La curvas de nivel suministran información rápidamente. En el caso de una montaña, las curvas
dan información del contorno de la montaña a una determinada altura. La separación entre
líneas nos dice cómo es la pendiente de la montaña en cada punto por unidad de longitud y en
una determinada dirección.
Campos vectoriales: La magnitud que define el campo es un vector, F~ = f~(x, y, z). Se
representan por las llamadas líneas de campo (líneas de fuerza si el campo es un campo de
fuerzas). Las líneas de campo son curvas tangentes, en cada punto de la región en el que está
~ Se les asigna un sentido que es el mismo
definido el campo, al vector intensidad del campo E.
~ que se elige pues no depende de la magnitud activa ⇒ el número de líneas
que el del vector E
de campo o de fuerzas es infinito. Por convenio se dibujarn unas pocas tal que la densidad de
~ en ese punto.
tales líneas en un punto sea directamente proporcional al valor numérico de |E|
E
E
E
E
E=g
Campos conservativos: Energía potencial
Una fuerza F~ es conservativa cuando el trabajo que realiza sobre una partícula no depende de
la trayectoria seguida por esta durante la acción de la fuerza, sino de la posición inicial y final.
18
A
(I)
(II)
B
F~ = f~(x, y, z)
El trabajo es el mismo en las dos trayectorias si la fuerza es conservativa. Un campo de fuerzas
es conservativo cuando la fuerza que actúa sobre las partículas que están en su radio de acción
es conservativa. Los campos gravitatorio y eléctrico son conservativos.
F~ (x, y, z) campo conservativo ⇒
Z
B
A,I
F~ · d~l +
Z
A
Z
B
F~ · d~l =
A,I
F~ · d~l = 0 ⇒
B,II
Z
Z
B
A,II
A
A,I+II
F~ · d~l ⇒
Z
B
A,I
F~ · d~l = 0 ⇒
I
F~ · d~l = −
Z
A
F~ · d~l
B,II
F~ · d~l = 0
La expresión F~ · d~l = 0 dice que una fuerza es conservativa cuando el trabajo realizado por
ella a lo largo de una curva cerrada es cero. Si el trabajo realizado por una fuerza conservativa
es únicamente función de las coordenadas inicial y final de la partícula y no de la trayectoria
⇒ podremos encontrar una magnitud que sea únicamente función de las coordenadas tal que
su diferencia de valores entre los puntos inicial y final nos dé el trabajo,
Z B
F~ · d~l = F (xB , yB , zB ) − F (xA, yA , zA ) ≡ (−Ep(xB , yB , zb )) − (−Ep(xA, yA , zA ))
H
A
19
que define la energía potencial
WAB
=
2
en un punto del espacio Ep (x, y, z) ≡ −F (x, y, z)3 ⇒
Z
B
F~ · d~l = Ep(A) − Ep (B) = −∆Ep
A
⇒ el trabajo realizado por una fuerza conservativa sobre una partícula entre dos puntos de su
trayectoria es igual a menos la variación de su energía potencial entre esos dos puntos. De la
definición de energía potencial no podemos calcular la energía potencial que tiene una partícula
en un determinado punto del espacio. Por convenio asignamos el valor cero de energía potencial
a un determinado punto de referencia y se calcula diferencia de energía potencial entre ese punto
de referencia y cualquier otro. Sea ~r0 un punto del espacio tal que Ep(~r0) = cte 6= 0 ⇒
Z ~r
Z ~r
F~ · d~l
F~ · d~l = Ep (~r0) − Ep (~r) ⇒ Ep(~r) = Ep(~r0) −
~r0
~r0
entonces por convenio elegimos Ep (~r0) = 0 de donde tenemos:
Z ~r
Z ~r0
F~ · d~l
Ep(~r) = −
F~ · d~l =
2
3
(3)
~r
~r0
Sería la energía que tiene una partícula por su posición en un determinado campo de fuerzas.
~ p (~r) = (− ∂Ep , − ∂Ep , − ∂Ep ) pues en este caso se tiene
Matemáticamente esto se cumple si y sólo si F~ = −∇E
∂x
∂y
∂z
Z
B
A
F~ · d~l = −
Z
B
A
∂Ep
∂Ep
∂Ep
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
=−
Z
B
d(Ep ) = Ep (A) − Ep (B),
A
es decir, se convierte en una diferencial exacta ⇒ la integral se puede calcular como la diferencia de dicha función entre los dos límites
~ p.
de integración ⇒ Una definición alternativa de campo conservativo es que F~ = −∇E
20
La integral anterior es lo que llamamos energía potencial de la partícula en el punto ~r. En
realidad es la diferencia de energía potencial de la partícula entre el punto ~r y el punto tomado
como referencia ~r0 ⇒ La identidad (3) dice que la energía potencial de una partícula
en un punto ~r de un campo conservativo es igual al trabajo que ha de realizar el
campo para llevarla desde la posición ~r al punto de referencia ~r0 .
En el caso rectilíneo en un desplazamiento elemental considerando ~r = x~i y ~r0 = (x + dx)~i
dEp
dx
⇒ Fx = −
dW = F · d~l = Fx dx = − [Ep(x + dx) − Ep(x)]
dx
dx
Se puede extender a las tres dimensiones (si en cualquier d~r la variación de Ep en cada dimensión
espacial no depende de las componentes de la fuerza en las otras dimensiones ⇒
dE
Fx = − dxp
dE
Fy = − dyp
dE
Fz = − dzp
es decir
~ p (~r)
F~ = −∇E
Energía potencial gravitatoria:
Sea F~ = −G Mr2m ~ur la fuerza que ejerce un planeta de masa M como la tierra sobre una partícula
de masa m en una posición ~r respecto de un sistema de referencia en centro del planeta.
21
dlr
dl
F
dl T
r
r0
ur
R
R ~r
R ~r
R ~r
R ~r
Ep (~r) = W~r~r0 = ~r 0 F~ · d~l = − ~r0 F~ · d~l = ~r0 G Mr2m ~ur · (d~lr + d~lT ) = ~r0 G Mr2m dr, donde
dr = |d~lr | y (ver dibujo) d~lr = dr ~ur . Tomando como referencia ~r0 = ∞ ⇒
Ep(~r) = −G
Mm
r
Si la distancia es pequeña, r = R + h con h pequeño y R el radio del planeta ⇒ (serie Taylor)
Ep (R + h) = −G
Mm
h
Mm
Mm
≈ −G
(1 − ) ≡ −G
+ mgh = Ep(R) + mgh
(R + h)
R
R
R
donde g ≡ G RM2 ≃ 9,8m/s2 para el caso de la Tierra ⇒ tomando como referencia Ep (R) = 0
Ep(h) = mgh
R ~r
Este resultado lo podíamos haber obtenido de la expresión general Ep(~r) = − ~r0 F~ · d~l sin
más que considerar ahora la fuerza es el peso F~ = −mg~k y d~l = dz~k ~r0 = 0~k (superficie de la
22
Tierra) y ~r = h~k entonces
Ep (h) =
Z
h
0
mgdz = mgz]h0 = mgh
energía potencial que tiene una partícula que está a una altura h respecto de la superficie de
la Tierra. Para un cuerpo no puntual, hay un punto que es su centro de gravedad en el que
podemos considerar que está aplicado su peso ⇒ la expresión anterior es válida para cuerpos
considerándolos como partículas de la misma masa que el cuerpo situadas en su centro de
gravedad. Para demostrar esto consideremos un cuerpo rígido ⇒ ~g es la misma para todas las
partículas del cuerpo ⇒
X
X
Ep =
mi gzi = g
mi zi ≡ gMzcdm
i
i
pues por definición la coordenada z del centro de masas del cuerpo es
1 X
mi zi
zcdm =
M i
entonces llamando h = zcdm se tiene
Ep = Mgh
Energía potencial eléctrica: Haciendo el mismo análisis que en el caso gravitatorio, para
el campo eléctrico creado por una carga puntual q y que siente una carga puntual q ′ ,
Ep(~r) = K
asumiendo de nuevo que Ep(∞) = 0.
23
qq ′
r
Energía potencial elástica: Es la energía potencial que tiene una partícula sometida a una
fuerza elástica que es aquella que la produce un cuerpo que sea elástico. Estas fuerzas son
conservativas y de tipo central al igual que las fuerzas gravitatorias y eléctricas.
y
x
x
F
x
F
F~ = −kx~i ⇒ Fx = −kx Ley de Hooke Vamos a ver cuánto vale la energía potencial elástica.
De la expresión general tenemos usando que d~l = dx~i
R2
2
~ ~
W
=
1
1 F · dl = Ep (1) − Ep (2)
R
x
W12 = x12 −kxdx = − 21 kx22 + 12 kx21 = Ep(1) − Ep (2) ⇒
Wx0 = Ep(x) − Ep(0) = 12 kx2
Por convenio Ep (0) = 0 ⇒
Ep(x) = 12 kx2
24
Fuerzas no conservativas: El trabajo realizado por dichas fuerzas depende del camino. Las
más importantes son las llamadas fuerzas resistivas o disipativas como la fuerza de rozamiento,
o también la fuerza magnética como veremos más adelante.
Potencial, concepto de gradiente
~ donde la magnitud activa A = m, q ′ , .... Si
Hemos visto antes que en un campo de fuerzas F~ = AE
~ en todo punto ⇒ este campo esta completamente descrito. Además
conocemos E
Z ~r
Z ~r
~ · d~l
Ep(~r) = −
F · d~l = −A
E
~r0
~r0
es decir Ep(~r) ∝ A, es decir es directamente proporcional a la magnitud activa.
Definimos la magnitud escalar potencial en un punto de un campo conservativo y lo denotamos
por V (~r) como la energía potencial que posee en ese punto la unidad de magnitud activa.
Ep (~r)
(4)
A
⇒ V (~r) no depende de la magnitud activa. Sólo depende del agente que crea el campo y de las
coordenadas. Por ejemplo:
V (~r) =
Campo Gravitatorio:
V (~r) = −G
M
r
V (~r) = K
q
r
Campo eléctrico:
25
Se cumple el principio de superposición ⇒ si hay varias masas o cargas que crean el campo⇒
P
V (~r) = i V (~ri )
P
V (~r) = −G i Mrii
P qi
V (~r) = K
ri
donde ~ri es el vector que une cada una de las masas (Mi ) o cargas (qi) que crean el campo con
la magnitud activa (m, q ′). Como los cuerpos esféricos y homogéneos (formados por muchas
partículas) se comportan como masas puntuales localizadas en su centro geométrico (o centro
de masas) las expresiones generales para una masa puntual son válidas para estos cuerpos en
puntos exteriores a los mismos. En estos casos ~r es la distancia entre el centro geométrico del
cuerpo y el punto considerado. Esto mismo ocurre en el caso de un cuerpo cargado donde la
carga se distribuye homogéneamente por todo el cuerpo, y éste se comporta como una sóla
partícula de carga igual a la carga total situada en su centro geométrico o centro de masas.
Por otra parte de la relación anterior (4) se tiene:
Ep(~r) = AV (~r).
Teniendo en cuenta el significado de la energía potencial, el potencial en cada punto de un campo
conservativo evalúa el trabajo que tiene que hacer el campo para llevar a la unidad de magnitud
activa desde ese punto al punto de referencia:
W12 = Ep(~r1) − Ep (~r2) = A[V (~r1) − V (~r2)]
2
V (~r1) − V (~r2) = WA1
La diferencia de potencial entre dos puntos ~r1 y ~r2 del campo expresa el trabajo que tiene que
hacer el campo para llevar a la unidad de magnitud activa desde el punto ~r1 al ~r2. Sólo depende
26
del agente que crea el campo y de las coordenadas (posición), es decir, V (~r). Como V (~r) depende
de las coordenadas, la asociación de cada punto del campo con el valor que toma el potencial en
ese punto define un campo escalar , que podemos representar por las llamadas líneas equipotenciales
(que son el lugar geométrico del espacio que tiene el mismo valor del potencial V (~r))
Para que un campo conservativo pueda ser descrito por V (~r) es necesario que a partir del valor del
~ en módulo, dirección y sentido y por tanto
potencial en cada punto podamos deducir el valor de E
el valor de F~ ⇒ podremos además representar gráficamente el campo de fuerzas mediante las líneas
de fuerza y también por las superficies equipotenciales:
R ~r
R ~r
~ · d~l = Ep (~r1) − Ep (~r2) = A[V (~r1) − V (~r2)]
W12 = ~r12 F~ · d~l = A ~r12 E
R ~r2
R
~ · d~l = V (~r1) − V (~r2) ≡ − ~r2 dV ⇒
E
~r1
~r1
dW
~
~
dV = −E · dl = A
⇒ el trabajo elemental realizado por el campo sobre la unidad de A para moverla entre dos puntos
muy próximos es igual a menos la variación elemental del potencial entre los mismos. Ejemplos:
El campo mueve la partícula tangencialmente a las líneas equipontenciales ⇒
27
E
dl
E
E
V=cte
~ · d~l = |E|
~ × |d~l| × cosθ = 0 ⇒ θ = 90o
dV = 0 ⇒ E
~ es en todo punto perpendicular a las superficies equipotenciales. Su sentido es
Es decir,el vector E
el de los potenciales decrecientes
Supongamos dos superficies equipotenciales muy próximas:
gradV
dl
θ
E
VB < VA
VB
VA
~ · d~l = |E||d
~ ~l|cosθ
dV = −E
28
~
si llamamos ds = |d~l| se tiene trivialmente − dV
ds = |E|cosθ que se le conoce como derivada
direccional e indica la deriva de la función potencial en la dirección que marca d~l. Si ponemos
el producto escalar en función de sus coordenadas y usando que
d~l = dx~i + dy~j + dz~k
~ = Ex~i + Ey~j + Ez~k ⇒
E
dV = − (Ex dx + Ey dy + Ez dz)
Por definición de diferencial de una función V (~r) = V (x, y, z) se tiene que
∂V
∂V
∂V
dV =
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
de donde igualando se tiene
Ex = − ∂V
∂x
Ey = − ∂V
∂y
Ez = − ∂V
∂z
Introduciendo el vector gradiente
−−→ ~
∂
∂
∂
grad = ∇ ≡ ~i + ~j + ~k
∂x
∂y
∂z
~ puede definirse mediante el potencial V (~r) en la forma
⇒ un campo conservativo F~ = AE
−→
~ = −−
~ (~r)
E
gradV (~r) = −∇V
−→
~ en un punto de una campo conservativo es igual a −−
El vector intensidad del campo E
grad
~ a partir de V (~r), y podemos describir el
del potencial V en ese punto ⇒ Podemos obtener E
campo de fuerzas mediante el potencial y representarlo mediante superficies equipotenciales.
29
−−→
Notad que el gradV (~r) es perpendicular a las superficies equipotenciales y tiene el sentido de
−→
~ y−
los potenciales crecientes. La dirección de los vectores E
gradV (~r) es aquella en la cual el
potencial varía más rápidamente por unidad de longitud. No hay que confundir líneas de fuerza
y superficies equipotenciales:
E
E
E
E
E=g
~ =
Además notad que como E
−−→
− A1 gradEp (~r) por lo que
F~
A
−−→
y −∆V = W12/A = −∆Ep/A ⇒ F~ /A = −gradV (~r) =
−−→
~ p (~r)
F~ = −gradEp(~r) = −∇E
Resultado que ya habiamos encontrado antes. Por lo tanto si el sistema está aislado F = 0
Principio de conservación de la energía
Supongamos una fuerza conservativa actuando sobre una partícula que se mueve de A a B
WAB = Ec (B) − Ec (A)
⇒ Ec(B)−Ec(A) = Ep(A)−Ep(B) ⇒ Ec (B)+Ep(B) = Ec (A)+Ep(A)
WAB = Ep (A) − Ep(B)
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Introduciendo la energía mecánica de la partícula Em ≡ Ec + Ep ⇒ Em (B) = Em (A) ⇒
Em = cte ⇒ ∆Em = 0 principio de conservación de la E. mecánica de una partícula
“La energía mecánica de una partícula que se mueve sometida a fuerzas conservativas se mantiene
constante durante el movimiento”
Nota: El término de Ep incluye aquí todas las energías potenciales de la partícula (gravitatoria,
eléctrica, elástica, ...)
Supongamos la partícula sometida a fuerzas conservativas y a fuerzas no conservativas
WAB = WAB (C) + WAB (N C) = Ec(B) − Ec(A)
⇒ WAB (N C) = [Ec (B) + Ep(B)] − [Ec(A) + Ec (A)]
B
WA (C) = Ep (A) − Ep(B)
WAB (N C) = ∆Em
Cuando sobre una partícula actúan fuerzas conservativas y no conservativas, la variación de la
energía mecánica de la partícula entre los puntos final e inicial es igual al trabajo realizado por las
fuerzas no conservativas. Por ejemplo, supongamos que la fuerza no conservativa es el rozamiento
A → B ⇒ WAB (R) = ∆Em = Em(B) − Em(A) < 0
En este caso se dice que la partícula está realizando trabajo a costa de perder energía mecánica
WAB (R) ≡ −Q ⇒ ∆Em + Q = 0
El resultado anterior no es más que un caso particular de otro más general:
“La energía no se crea ni se destruye, únicamente se transforma”, afirmación que se conoce como
principio de conservación de la energía.
31
Sistemas de partículas
Sea un sist. partículas sometido a fuerza exteriores e interiores ⇒ Teorema de las fuerzas vivas
B
B
WA,ext
+ WA,int
= Ec(B) − Ec(A)
El trabajo realizado por las fuerzas exteriores e interiores sobre un sistema de partículas en movimiento es igual a la variación de la energía cinética del sistema.
B
Sist. de partículas moviéndose con distancias relativas fijas (sólido rígido) WA,int
=0⇒
B
WA,ext
= Ec (B) − Ec (A)
• Si sólo hay movimiento de traslación
1
1
B
WA,ext
= MVB2 − MVA2
2
2
• Si hay movimiento de traslación y rotación (en el plano)
1
1 2
1 2
1
B
2
2
WA,ext = MVB + IωB −
MVA + IωA
2
2
2
2
Principio de conservación en el caso de que las F~ext y las F~int sean conservativas
Entonces
B
B
= Ec(B) − Ec(A)
+ WA,int
WA,ext
B
B
WA,ext + WA,int = Ep(A) − Ep (B)
P i
P i
donde Ep = i Ep,ext
+ i Ep,int
Ep + Ec = cte ⇒ Em = cte ⇒ ∆Em = 0
32
• Si son conservativas y no conservativas:
∆Em + Q = 0
Sistema aislado (F~ext = 0) con F~int conservativas
Entonces otra vez
B
= Ec(B) − Ec (A)
WA,int
B
WA,int = Ep(A) − Ep (B)
P i
donde ahora Ep = i Ep,int
Ep + Ec = cte ⇒ Em = cte ⇒ ∆Em = 0
Sistema aislado con F~int conservativas y no conservativas
B,ncon
B,con
= Ec (B) − Ec (A)
+ WA,int
WA,int
B,con
WA,int = Ep (A) − Ep(B)
P i
donde ahora Ep = i Ep,int
Entonces despejando ahora tenemos
B,ncon
= ∆Em
WA,int
B,ncon
ncon
= −Q < 0 ⇒ ∆Em + Q = 0
Si tenemos que F~int
= F~roz entonces WA,int
Sistema no aislado con F~int = 0 y F~ext conservativas y no conservativas, tendríamos (Ejercicio)
B,ncon
= ∆Em
WA,ext
33
y en el caso de que tengamos la fuerza externa sea la de rozamiento
B,ncon
= −Q < 0 ⇒ ∆Em + Q = 0
WA,ext
Colisiones
Si las fuerzas que actúan entre dos partículas que chocan son mucho más grandes que las fuerzas
externas (gravedad o fuerza eléctrica) podemos despreciar las fuerzas externas (únicas fuerzas importantes van a ser las fuerzas internas, que aparecen cuando las partículas chocan) y considerar el
sistema constituido por las dos partículas que chocan como un sistema aislado. El momento total
del sistema por tanto se conserva (como ya hemos visto)⇒ tiene el mismo valor antes y después de
la colisión y la energía potencial debido a las fuerzas externas siempre es la misma.
P~ antes = P~ después
mA~vA + mB~vB = mA~vA′ + mB ~vB′
Epantes = Epdespués
Sean dos partículas que chocan. Si las fuerzas entre los cuerpos que chocan son conservativas
⇒ no hay variación de la energía mecánica del sistema en el choque ⇒ colisión se dice que es
elástica (choques de bolas de billar, casi elástica). Como el sistema está aislado, en una colisión
elástica la energía cinética total de sistema antes y después del choque es la misma. Antes del
choque el sistema tiene una determinada energía cinética que durante el choque disminuye y
se invierte en aumentar la energía potencial “elástica” de repulsión entre las dos partículas que
de nuevo se invierte en aumentar la velocidad de las mismas y por lo tanto en aumentar su
energía cinética total hasta el valor original (ver dibujo).
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vB
vA
B
A
vB v A
B
A
vB
B
vA
A
vB
vA
B
A
vA
vB
B
A
Ecantes = Ecdespués
1
m v 2 + 21 mB vB2 = 21 mA v ′2A + 21 mB v ′ 2B
2 A A
Una colisión en la que la energía mecánica (o la energía cinética total) después de la colisión es
menor que antes de la colisión se denomina colisión inelástica (disparo a un tronco de madera, o
un choque entre dos coches). Una colisión inelástica se llama completamente inelástica cuando
los cuerpos que colisionan se mantienen unidos después del choque. El grado de inelasticidad
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se mide con el llamado coeficiente de restitución que se define
e=−
vB′ − vA′
vB − vA
que puede tomar valores entre cero y uno. Para un choque elástico e = 1 y para uno totalmente
inelástico (las masas quedan unidas después del choque) e = 0.
Un colisión es frontal cuando la dirección en que se mueven los cuerpos que chocan es la misma
antes y después del choque. Es lateral cuando las direcciones antes y después no son las mismas
En muchas situaciones se puede despreciar el término de energía potencial debido a que el
choque transcurre a la misma altura sobre la superficie terrestre.
En resumen, en cualquier colisión en que las fuerzas externas son despreciables el momento
se conserva y el momento total antes y después de la colisión es el mismo, y sólo en las
colisiones elásticas la energía cinética total antes y después de la colisión son las mismas.
36