Clase 5 - Universidad del CEMA

Universidad del CEMA
Métodos Cuantitativos
Prof. José P Dapena
V - ESTIMACION PUNTUAL E INTERVALOS DE CONFIANZA
5.1 Introducción
En este capítulo nos ocuparemos de la estimación de caracteristicas de la población a partir
de datos. Las caracteristicas poblacionales buscadas son cuantitativas, parámetros
poblacionales.
Dado un conjunto relevante de datos (una muestra) de una población, el problema es
trabajar los mismos para arribar a un valor que, en algun sentido, se acerque los mas posible
al valor poblacional desconocido que desamos estimar. El estadístico que calculamos es
entonces llamado ESTIMADOR PUNTUAL.
En realidad no esperamos, cuando utilizamos datos sujetos a aleatoriedad, encontrar un
estimador puntual exactamente igual al parámetro poblacional, pero esperaríamos que este
lo razonablemente cerca de forma tal que nuestro error de estimación, la diferencia entre el
estimador y el valor del parámetros, sea pequeña.
Empezaremos por definir que queremos decir por “cerca del parámetro” y a partir de alli
establecer criterios bien definidos para la selección de estimadores puntuales.
Este capítulo es acerca de la selección de estimadores puntuales en tanto que el capitulo
siguiente concierne con la aplicación y evaluación de los mismos a partir de muestra – el
objeto de los intervalos de confianza.
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Estimaciones simples de parámetros poblacionales serán:
Si la media poblacional es desconocida, utilizaremos la media muestral como estimador
puntual.
Si la proporcion poblacional es desconocida, entonces utilizaremos las proporciones
muestrales como estimadores puntuales.
5.2
Criterio de Estimacion
Error al Cuadrado
La medida básica que se utiliza para evaluar el desempeño de un estimado es la FUNCION
DE PERDIDA, con un formato generalmente aceptado llamado PERDIDA DE LOS
ERRORES AL CUADRADO. Este es un concepto muy simple y opera de la siguiente
manera; si estamos interesados en un parámetro desconocido θ, y utilizamos un estimado t
para estimarlo, entonces la diferencia de aproximación estara dada por (t - θ) e incurriremos
en una penalidad de (t - θ)2 como resultado de esta estimación. Si t es exactamente igual a
θ no hay pérdida y es claramente lo mejor que podemos obtener; pero si t es diferente,
incurrimos en una perdida que crece aceleradamente a medida que al diferencia se agranda.
El objetivo obvio es acercarse lo mas posible a θ de manera tal de minimizar la pérdida.
Este es un buen punto de partida para establecer criterios de estimación, pero como
veremos, existen muchas dificultades asociadas al mismo. Para apreciar esto consideremos
el problema de elegir entre dos estimadores t1 y t2 de θ. Los dos estimadores son funciones
de los datos de la muestra y daran generalmente distintos valores no obstante estar basados
en el mismo set de datos. Pero cual de los dos estara mas cerca de θ? Aplicando el concepto
de perdida por errores al cuadrado, diremos que preferimos t1 si
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(t1 - θ)2 < (t2 - θ)2
pero ninguna de estas funciones son cantidades que son susceptibles de ser comparadas;
son funciones del parámetro poblacional desconocido. Una visión simple de nuestro
objetivo es que necesitamos asociar, de alguna manera, un número con cada ti de manera tal
que uno seria considerado un mejor estimado que el otros si el número asociado fuese
menor.
Podemos avanzar un paso mas a los efectos de obtener un criterio manejable, haciendo uso
de nuestro conocimiento de la distribución muestral de los datos. A traves de promediar la
pérdida de los errores al cuadrado (calculando su valor esperado) sobre esta distribución
muestral arribamos a un criterio mas manejable de comparación de estimadores,
denominado el CRITERIO DE ERRORES AL CUADRADO, definido por:
Error medio al cuadrado (MSE) de t = E{( t - θ)2}
Ahora, preferiremos t1 a t2 si
E{( t1 - θ)2} < E{( t2 - θ)2}, o equivalentemente
MSE (t1) < MSE (t2)
El Error medio al cuadrado es simplemente el promedio de pérdida; en un contexto mas
general es conocida como la Función de riesgo.
No estamos fuera del lio todavia! El MSE es todavia una funcion del parámetro θ, y no
provee de una solución final para nuestro problema de estimación. Si por ejemplo, en el
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contexto de la distribución binomial, utilizamos la proporcion muestral para calcular la
proporcion poblaciónal p, entonces MSE es npq; no obstante n es conocido, el MSE no es
un número sino una funcion del parámetro desconocido p. El siguiente gráfico muestra el
problema de utilizar MSE como criterio de estimacion. Es una gráfica de t1 y t2 como
funciones de θ.
MSE
t1
t2
θ
Si el verdadero valor θ es bajo, claramente preferiremos t1, mientras que si es alto, nos
inclinaremos por t2, el punto es que no conocemos θ. No obstante podemos tener una vaga
idea de su ubicación, no es un método cuantitativo formal de determinación. Llegamos a un
punto en el que no obstante MSE es un método claro y aceptado, no nos proporciona la
solucion completa a nuestro problema.
Por otro camino, podemos descomponer MSE en dos partes de la siguiente manera: esto
surge de notar que el valor esperado del cuadrado de una variable aleatoria es igual a la
suma de su varianza mas el cuadrado de su valor esperado. La variable aleatoria en este
caso es (t- θ).
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MSE = Var (t) + {E(t- θ )}2
O equivalentemente, MSE = Varianza + (Sesgo)2
El sesgo de un estimador es la diferencia entre la media (valor esperado) de la distribución
muestral y el parámetro que se está estimando. Claramente, será provechoso tener un sesgo
igual a 0.
5.3
Criterio de selección Estimadores insesgados
Si t es un estimador de θ tal que E(t) = θ, entonces t es un ESTIMADOR INSESGADO
de θ.
Un enfoque generalmente aceptado al problema de estimación es el de restringir la atención
a estimadores insesgados, y sujeto a esta propiedad, tratar de encontrar los estimadores con
la menor varianza. Un estimador de estas características es considerado insesgado, y
eficiente si su varianza es pequeña, por tener mayores probabilidades de encontrarse cerca
del parámetro poblacional.
No es difícil encontrar estimadores que satisfagan estos criterios, y en muchas
circunstancias podemos construir y usar estimadores insesgados de mínima varianza.
Ejemplo de estimadores insesgados son
m para µ
para datos de N {µ, σ2}
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R/n para p
en pruebas de Bernoulli con parámetro de éxito p
s2 para σ2
para datos de N {µ, σ2}
Para el calculo de s2 se divide por (n-1) y no n, de manera tal que el estimador sea
insesgado.
Se debe mencionar que el hecho de obtener un estimador insesgado no implica que una
transformación del mismo también lo será. Si t es insesgado para θ, t2 lo sera para θ2, esto
puede ser apreciado inmediatamente en:
E(t2) = Var (t) + θ 2 > θ 2
Estimadores insesgado para funciones paramétricas pueden ser obtenidos a través de ajustes
a un estimador obvio.
Ejemplo :
Supongamos que tenemos una muestra aleatoria de n elementos de una población con
media µ y desviación estandar σ, y queremos encontrar un estimador insesgado para µ2.
Entonces intentaremos m2, y veremos que
E(m2) = µ 2 + σ2/n,
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Pero sabemos que E(s2) = σ2, de manera tal que combinando estas dos formulas podemos
obtener
m2 – s2/n como estimador insesgado de µ2
Esto muestra un método rápido pero efectivo de obtener estimadores insesgados al elegir un
estimador, calcular su sesgo y luego ajustar el estimador original de manera tal de remover
el sesgo.
La propiedad de ser insesgado es muy deseable en estimadores utilizados en encuestas, en
donde la transparencia que implica el ser insesgado es considerada de extrema importancia.
5.4 Eficiencia
Supongamos que tenemos dos estimadores insesgados del parámetro θ, t1 y t2, de forma tal
que
E(t1) = E(t2) = θ,
entonces preferiremos 1 a 2 si
Var (t1) < Var(t2)
Cuando esto es así, decimos que t1 es mas eficiente que t2, y la eficiencia relativa de t2 a t1
es:
100 * Var(t1) / Var(t2) %
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claramente, el mas eficiente es el mejor.
5.5 Consistencia
Esta es una propiedad simple que básicamente nos dice que a medida que la muestra se
agranda, el estimador converge al verdadero valor del parámetro desconocido. Definiciones
mas formales y rigurosas pueden ser encontradas en libros de estadistica, pero puede ser
mostrado que un estimador es consistente si las siguientes dos condiciones se cumplen:
(i)
El sesgo (si existe) tiende a cero a medida que la muestra se agranda.
(ii)
La varianza (y error estándar) tiende a cero a medida que la muestra se agranda.
La mayoria de los estimadores comunes son consistentes, no obstante en tópicos como
series de tiempo algunos estimadores no lo son.
5.6 Minimos Cuadrados y el teorema de Gauss Markov
El método de minimos cuadrados es ampliamente utilizado para construir buenos
estimadores en diversas disciplinas .
Supongamos que tenemos un set de datos x1, x2, ..... xn de una población con media µ.
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entonces si x1, x2, ..... xn son datos observados,
∑ {( x
i
− µ)2}
es una funcion solamente de µ.
Supongamos que ahora elegimos como estimador de µ el valor que hace mínima esa
función, se puede ver en forma clara que se obtiene la media muestral como estimador. Este
es un ejemplo simple del método cuantitativo de mínimos cuadrados.
Puede ser mostrado que este método siempre proporciona los estimadores insesgados mas
eficientes, conociéndose este resultado como el teorema de Gauss Markov.
•
INTERVALOS DE CONFIANZA
5.7 Introducción
Es usualmente fácil producir un estimador puntual del parámetro de una distribución
poblaciónal. Por ejemplo, la media muestral es claramente un razonable estimador de la
media poblacional, la varianza muestral estima la varianza poblacional, y así
sucesivamente.
Sin embargo estos valores citados “fríamente” no proporcionan una idea clara de la
exactitud del valor citado. Una media muestral basada en 100 observaciones será
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claramente mas confiable que una media muestral basada en solo 5. Hasta cierto punto
podemos otorgar una idea de exactitud a nuestro estimador al citar el error estándar de
manera que un error alto proporciona idea de mayor volatilidad; un mejor método de
obtener un grado de exactitud es el método de los intervalos de confianza – ie un intervalo
en el cual uno espera se encuentre el verdadero valor del parámetro. Este método de
expresar grado de exactitud es fácilmente entendible y no requiere de sofisticaciones
estadísticas en su uso. Por ejemplo, supongamos que estimamos un parámetro a través del
estimador puntual 3.7, y damos un intervalo de confianza de {3.5, 3.9}. Entonces estamos
diciendo que, con evidencia en los datos, nuestra mejor elección del valor del parámetro es
3.7 , y no obstante esperamos que se encuentra cercano al verdadero valor del parámetro,
nos sorprendería si fuese igual. Pero si tenemos confianza que, cualquiera sea el valor del
parámetro objetivo, tendra grandes probabilidades de estar en ese intervalo.
Claramente un amplio intervalo de confianza muestra que nuestro estimado no es muy
exacto debido a que no podemos estar muy seguros que se encuentre cerca del valor del
parámetro; por otros lado, un intervalo de confianza estrecho nos dirá que nuestro
estimador es bueno. El grado de confianza que tenemos en nuestro intervalo puede ser
expresado numéricamente; la situación ideal es un intervalo corto con alto grado de
confianza. Con estos puntos en mente, estos intervalos pueden ser computados a partir de
los datos en el contexto de algunas situaciones básicas. El tópico de intervalos de confianza
esta muy asociado a Tests de Significancia, materia del próximo capítulo.
5.8 Una formula general para estadísticos distribuidos normalmente
Caso 1
Se conoce el Error estándar (Varianza)
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Consideremos una situación en la que tenemos un estimador insesgado u para θ y
supongamos que u sigue una distribución
u ~ N (θ, SE2)
donde SE (el error estandar de u es conocido).
Entonces estaremos mirando por una vía de cálculo de un par de valores de manera tal que
exista una alta chance que θ esté entre los mismos.
Ahora, sabemos que Z = (u - θ)/SE se distribuye normal estándar, entonces se sigue de las
tablas estadisticas que,
P { - 1.96 < (u - θ)/SE < + 1.96} = .95
Redistribuyendo terminos en la igualdad:
P { u - 1.96 *SE< θ < u + 1.96*SE} = .95
entonces un intervalo de confianza del 95% para θ esta dado por
u ± 1.96*SE
[1]
Este es un resultado muy simple pero a la vez muy importante; como veremos puede ser
aplicado para obtener intervalos de confianza en diversas situaciones como la estimacion de
la media, proporcion, diferencias de medias, coeficientes de regresion, coeficientes de
series de tiempo, etc.
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Lo hemos utilizado para derivar un intervalo de confianza de 95% debido a que es un
intervalo generalmente aceptado. Puede ser facilmente visto, de la derivacion realizada,
como otros coeficientes pueden ser utilizados; solamente requiere de escoger el valor
adecuado de la tabla estadistica de la distribución normal estandar. Por ejemplo:
Para una confianza de 95% utilizamos 1.96,
para 90%, 1.645,
y 99%, 2.58.
Esta limitado, a pesar de todo, por el hecho que conocemos la varianza poblacional; en la
mayoría de los casos prácticos será necesario estimar el error estandar desde los propios
datos, y ello motivará una pequeña modificación en la fórmula.
Si el tamaño de la muestra es grande entonces la anterior formula puede ser utilizada con
SE reemplazada por un estimador apropiado; esto es debido al hecho que podemos ignorar
la variabilidad del estimador cuando el tamaño de la muestra es grande.
Caso 2
Error Estandar desconocido
Consideremos casos en los que el error estandar es estimado usando cálculos basados en la
suma corregida de cuadrados. Sea ESE el estimador del error estándar, en donde ESE esta
basado en ν grados de libertad. En lugar de considerar el hecho que (u - θ)/SE es normal
estándar, estamos forzados a reemplazar el parámetro desconocido SE por su estimador
ESE, y en consecuencia analizamos la distribución de (u - θ)/ESE.
Desafortunadamente, este estadístico no sigue una distribución normal estándar debido a la
variabilidad muestral de ESE, y esta volatilidad extra causará que (u - θ)/ESE tenga una
distribución mas dispersa. Esta distribución ha sido derivada, tabulada y es conocida como
la distribución t de Student; posee una función de densidad mas bien complicada (en la que
no profundizaremos) y tiene, como la distribución normal, una forma simétrica,
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acampanada y con centro en cero; pero posee una forma funcional diferente de la
disrtibución normal estandar, y es mas dispersa. Converge a la distribución normal a
medida que los grados de libertad se incrementan (la muestra incrementa su tamaño)
Distribución t de Student
Esta distribución se obtiene de la estandarizacion de una variable normalmente distribuida
utilizando un estimador independiente de su desviación estándar. Cuando la distribución
subyacente es aproximadamente normal, puede ser demostrado que el criterio de
independencia se obtiene para los estimadores m y s.
La distribución t se modifica de acuerdo a los grados de libertad (ν) considerados. Siendo
que cada valor de ν da lugar a una nueva distribución t, las tablas estadísticas tienen
tabuladas no más que los porcentajes de ciertos valores clave.
Entonces, en tablas estaditicas o softwares especializados, podemos encontrar valores de tν
de manera que:
P { -tν < (u - θ)/ESE < + tν } = .95,
O reacomodando las variables dentro de las llaves,
P { u -tν *ESE < θ < u + tν * ESE} = .95,
Entonces un intervalo de confianza del 95% para θ esta dado por:
u ± tν * ESE
[2]
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pudiendo utilizarse este resultado general en muchas situacion de calculo de intervalo de
confianza. Procedemos ahora a demostrar estas técnicas para situaciones básicas e
importantes.
5.9 Intervalo de Confianza para la media (varianza conocida)
Dado un set de datos independientes x1, x2, ..... xn, estimamos la media poblaciónal µ a
través de la media muestral m, siendo la desviación estandar de m igual a σ/√n.
De aquí que sustituyendo en [1], un intervalo de confianza de 95% para µ puede ser
computado como
m ± 1.96*σ
σ/√
√ n.
Es inusual conocer σ, pero si n es grande, entonces esta fórmula puede ser utilizada con σ
reemplazada por s, la desviación estándar muestral; esto es asi porque s es un muy buen
estimador de σ debido al gran tamaño de la muestra y no existe necesidad de preocuparse
por su volatilidad. Generalmente, la version “a ojo”
m ± 1.96*σ/√n
es utilizada.
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5.10
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Intervalo de Confianza para la media (varianza desconocida)
En este caso aplicamos la formual general [2], con las sustituciones:
m por u, s/√n por ESE,
un intervalo de confianza para µ sera
m – tn-1*s/√
√ n < µ < m + tn-1*s/√
√n
donde el valor t es aquel que corta, digamos 2.5%, de la cola de la distribución t (para una
confianza de 95%).
5.11
Intervalos de Confianza para las Proporciones
Sabemos que la varianza de la proporción muestral es igual a npq, donde p es la proporción,
n el tamaño de la muestra y q = 1 – p. Cuando construímos un intervalo de confianza para
la proporción, no sabemos a priori la proporción poblacional, de manera tal que la varianza
debe ser estimada; naturalmente reemplazamos p en esta varianza por la proporción
muestral de manera de obtener nuestro desviación estándar estimada,
SE = √ { (r/n) * (1- r/n)/n}
y el intervalo de confianza para p es ahora
r/n ± 1.96*SE
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NOTA: no utilizamos la distribución t por dos razones, el error estandar no ha sido
estimado en base a la suma corregida de cuadrados, y ademas el tamaño muestral debe ser
grande para que la aproximación a la distribución normal sea válida.
5.12
Escogiendo el tamaño muestral
La pregunta “que tan grande debe ser la muestra?” es común al muestrear datos. La
respuesta yace en la calidad de “inferencia” que el encuestador u observador requiere de los
datos. En el contexto de estimación esto puede ser considerado como el grado de precisión
de la estimación.
Si el observador requiere que debe haber una chance de 95% que el error de estimación no
exceda d unidades, es equivalente a tener un intervalo de confianza de largo 2d.
El intervalo de confianza de 95% esta basado en que el error de estimacion no exceda 2 (o
mas exactamente 1.96) errores estándar.
De alli tenemos 2*SE = d, y resolviendo esta simple ecuación nos proporciona el tamaño
muestral buscado. Por ejemplo, para la estimación de la media poblaciónal el error estandar
es σ/√n. Entonces tenemos
d = 2 * σ/√
√ n, o n = 4 * σ2/d2,
donde d es la tolerancia requerida y, si σ es desconocida, debe ser estimada en funcion a
una muestra piloto.
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5.13
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La comparación de Proporciones
El enfoque correcto para la comparación de proporciones de dos poblaciones es,
naturalmente, a través de la comparación de la diferencia en sus proporciones muestrales.
Para muestra grandes, este estadístico d = (r1/n1 – r2/n2) tiene la siguiente distribución
normal:
d ~ N (p1 – p2, p1q1/n1 + p2q2/n2) ,
de donde el error estandar será igual a √ (p1q1/n1 + p2q2/n2)
Esta distribución muestral es la base del siguiente intervalo de confianza y test;
Intervalo de Confianza para la diferencia de proporciones
Estimamos p1 por r1/n1, etc., de manera tal que un intervalo de confianza de 95% puede ser
computado de la siguiente formula:
u1 –u2 ± 1.96 * √ {u1(1 - u1)/n1 + u2(1 – u2)/n2},
donde
u1 = r1/n1 y u2 = r2/n2
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5.14
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Comparacion de dos medias poblacionales
En esta sección estamos interesados principalmente en la diferencia entre dos medias
poblacionales. Existen tres casos a ser analizados dependiendo en los tamaños de las
muestras y en que medida los datos se matchean entre si o no.
Caso 1
Datos no matcheados, - muestras grandes o varianzas conocidas
Supongamos que tenemos muestras aleatorias de dos poblaciones con medias desconocidas
y varianza conocidas.
Para la población 1
media= µ1
Tamaño muestral = n1
Para la población 2
media= µ2
Tamaño muestral = n2
SD= σ1
media muestral= m1
SD= σ2
media muestral= m2
y deseamos estimar µ1 - µ2
Estimamos esto a través de un estimador insesgado que surge naturalmente
m1 - m2
entonces
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m1 - m2 ~ N (µ
µ 1 - µ 2, σ12/n1+ σ22/n2)
y el error estándar del estimador puntual es
SE = √ (σ
σ12/n1+ σ22/n2)
Entonces m1 - m2 ± 1.96 * SE provee de un intervalo de confianza del 95%.
Caso 2
Datos no matcheados – tamaños muestrales pequeños
Este es un caso difícil que debe ser analizado con cuidado. El rpblema es similar al visto en
el caso 1 de manera tal que tenemos la siguiente distribución muestral
m1 - m2 ~ N (µ
µ 1 - µ 2, σ12/n1+ σ22/n2)
como antes. Sin embargo, si procedemos a reemplazar las varianzas poblacionales por su
correspondiente estimador muestral, entonces encontraremos dificultades porque el
estadístico standarizado que obtenemos no sigue una distribución t y en consecuencia la
teoria de intervalo de confianza no es de aplicación. Este dificil problema es conocido
como el problema de “Fisher – Behrens”, del que no nos ocuparemos aquí.
En su lugar, si estamos en condiciones de hacer el supuesto que las poblaciones poseen la
misma variabilidad, entonces es materia simple el computar el intervalo de confianza.
Suponiendo σ1 = σ2 = σ, entonces el error estándar se transforma en σ√(1/n1 + 1/n2),
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que procedemos a estimar por s√(1/n1 + 1/n2) en n1 + n2 - 2 grados de libertad., donde s2 es
computada a través de hacer un pool entre la suma corregida de cuadrados de ambas
muestras, así
s2 = (SCC1 + SCC1) / (n1 + n2 - 2),
o equivalentemente
s2 = {(n1 – 1)s12 + (n2 – 1)s22}/ (n1 + n2 - 2) con n1 + n2 - 2 grados de
libertad.
Esta última formula muestra que s2 es una función ponderada de las varianzas muestrales –
ponderada por los grado de libertad-.
Caso 3
Datos matcheados – muestras pequeñas
Este es el caso mas fácil de analizar, debido a que se reduce únicamente al análisis de
diferencias. Si, en cada par de datos, tomamos la diferencia de los mismos, tendremos
d1 = x1 – y1, d2 = x2 – y2, ........dn = xn – yn,
entonces md = mx – my, entonces utilizamos los d’s para computar un intervalo de
confianza para µd obteniendo el requerido intervalo de confianza para µx - µy. La técnica
utilizada es la misma que la de las secciones 7.3 y 7.4.
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Intervalos de confianza para las varianzas
En esta sección describimos técnicas para determinar intervalo de confianza para varianzas
en lugar de medias; en este caso estamos interesados en evaluar la variabilidad de nuestra
población y en comparar la variabilidad de dos poblaciones mas que la media de dos
poblaciones. No obstante los estadísticos y las distribuciónes muestrales son diferentes, los
conceptos esenciales subyacentes en los que estos métodos se basan son exactamente
iguales. Una diferencia básica entre inferencias de varianza e inferencias de medias surge
en las distribuciónes muestrales. Para las medias, estan son simétricas (normal, o t),
mientras que para las varianzas las distribuciones (chi – cuadrada, o F) no lo son.
Varianzas muestrales son estimadores bastante menos confiables que medias muestrales, de
manera que buenos estimadores son posibles únicamente si el tamaño muestral es
razonablemente grande o los datos no poseen mucha volatilidad. También, se parte del
supuesto que los datos se obtienen de una distribución normal y, a diferencia de la media
muestral, la distribución de la varianza muestral no es robusta a desviaciones de este
supuesto. Se debe tener cuidado en asegurarse que los datos se distribuyen
aproximadamente en forma normal.
Finalmente, debe ser notado que, no obstante la discusión de este capítulo apunta a varianza
poblacionales, su aplicación se extiende a desviaciones estandar poblacionales, con la obvia
precaución de tomar la raiz cuadrada positiva.
Un intervalo de confianza para una varianza
Tests e intervalos de confianza para varianzas poblaciónales estan basados en la
distribución muestral de la varianza muestral. Esando esta distribución muestral estamos en
condiciones de hacer una aformacion como:-
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P(L < (n – 1) s2 / σ2 < U) = .95,
donde L corta a nivel inferior la distribución chi –cuadrada (χ2) a .025 (2.5%), y U corta a
nivel superior la distribución chi –cuadrada a .025 (2.5%).
Algunas manipulaciones algebraicas de esta relación proporcionan la formula estandar para
el intervalo de confianza de la varianza:
Esta es
(n- 1)s2/ U a (n- 1) s2/ L
Comparación de varianza
El enfoque correcto para al comparación de volatilidades de dos poblaciones normales es a
traves del ratio de sus varianzas poblacionales. Este tipo de procedimiento de inferencia es
particularmente importante, como procedimiento de test, en el contexto de regresion y
analisis de varianza (ANOVA). El ratio de varianzas muestrales es el estadístico natural a
considerar en este caso, y puede ser demostrado que la distribución muestral basica en las
que se respaldan estas inferencias se encuentra bien tabulada y es conocida como la
distribución F. En términos generales, posee la misma forma que la distribución χ2 y es, de
hecho, la distribución muestral de la función:
F = { s12 / s22 } / {σ
σ 12 / σ 22}
[3]
Esta basada en dos tipos de grados de libertad, los grados de libertda del numerador y del
denominador. Los superiores estan asociados con s1, mientras que los inferiores estan
asociados a s2. Tanto las tablas como funciones especiales de softwares proporcionan
probabilidades a partir de los parámetros de consideración.
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Intervalo de Confianza para el ratio de varianzas.
Sea L el valor que corta a nivel inferior la distribución F con una probabilidad de 2.5%, y
sea U el valor que corta a nivel superior la distribución F con una probabilidad de 2.5%.
Entonces p(L < F < U) = .95 y sustituyendo en la formual [3] y después de un pequeño
manipuleo de la desigualdad, arribamos a la fórmula para un intervalo de confianza del
95% para el ratio de varianzas, σ12 / σ22 como
{ s12 / s22 } /U a {s12 / s22 } /L
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