Convergencia

Lección
6
Convergencia
Vamos a estudiar la noción de convergencia de sucesiones en un espacio métrico arbitrario,
generalizando la que conocemos en R . La definimos de forma que quede claro que se trata
de una noción topológica, y de hecho veremos que la topología de un espacio métrico queda
caracterizada por las sucesiones convergentes. En RN con la topología usual, veremos que la
convergencia de una sucesión de vectores equivale a la de sus N sucesiones de componentes,
lo que nos llevará a discutir el producto de espacios normados o de espacios métricos.
6.1.
Sucesiones convergentes
Sabemos que una sucesión de elementos de un conjunto E 6= 0/ es una aplicación ϕ : N → E ,
que se denota por {xn } , donde xn = ϕ(n) para todo n ∈ N . Las sucesiones parciales de {xn }
son las de la forma {xσ(n) } donde σ : N → N es estrictamente creciente. En lo que sigue, E
será un espacio métrico cuya distancia denotamos por d .
Decimos que una sucesión {xn } de puntos de E converge a un punto x ∈ E , y escribimos
{xn } → x , cuando cada entorno de x contiene a todos los términos de la sucesión, a partir de
uno en adelante. Así pues:
{xn } → x ⇐⇒
∀ U ∈ U(x) ∃ m ∈ N : n > m ⇒ xn ∈ U
(1)
Tenemos claramente una noción topológica, sólo involucra los entornos de x. Por tanto, al hablar
de convergencia de sucesiones en un espacio métrico E , no es necesario especificar la distancia
concreta d que estemos usando en E , sino solamente la topología que genera. En particular,
como en RN usamos siempre la topología usual, para una sucesión de vectores de RN , podemos
hablar de su convergencia, sin ninguna ambigüedad.
Por otra parte, es claro que en (1) , en vez de entornos, podemos usar sólo bolas abiertas,
{xn } → x ⇐⇒
∀ ε > 0 ∃ m ∈ N : n > m ⇒ d(xn , x) < ε
(2)
y si E = X es un espacio normado tendremos
{xn } → x ⇐⇒
∀ ε > 0 ∃ m ∈ N : n > m ⇒ k xn − x k < ε
31
6. Convergencia
32
Esto se aplicará a RN con cualquier norma cuya topología sea la usual. Para N = 1 será
{xn } → x ⇐⇒
∀ ε > 0 ∃ m ∈ N : n > m ⇒ | xn − x | < ε
luego la única noción de convergencia que vamos a usar en R es la que ya conocíamos.
Volviendo al caso general, la afirmación que aparece a la derecha de (2) significa, lisa
y llanamente, que la sucesión {d(xn , x)} converge a cero. Por tanto, la convergencia de una
sucesión de puntos de un espacio métrico, equivale siempre a la convergencia a cero de una
concreta sucesión de números reales no negativos:
{xn } → x ⇐⇒ {d(xn , x)} → 0
(3)
Esta equivalencia permite trasladar a cualquier espacio métrico propiedades conocidas de la
convergencia en R , como hacemos enseguida.
Decimos que la sucesión {xn } es convergente, cuando existe x ∈ E tal que {xn } → x , en
cuyo caso x es único. En efecto, si también {xn } → y , por ser d(x, y) 6 d(x, xn ) + d(xn , y)
para todo n ∈ N , usando dos veces (3) vemos que d(x, y) = 0 , luego x = y . Decimos que x
es el límite de la sucesión {xn } y escribimos x = lı́m {xn } = lı́m xn .
n→∞
Usando también (3) , relacionamos la convergencia de una sucesión con la de sus sucesiones
parciales. De {xn } → x se deduce que toda sucesión parcial de {xn } también converge a x.
Vemos igualmente que, fijado k ∈ N , se tiene
{xk+n } → x
⇐⇒
{xn } → x
⇐⇒
{x2n−1 } → x y {x2n } → x
Por ejemplo, si existen x ∈ E y k ∈ N tales que para n > k se tiene xn = x , entonces {xn } → x.
6.2.
Caracterización secuencial de la topología
Es muy importante observar que la convergencia de sucesiones determina la topología de
cualquier espacio métrico:
En todo espacio métrico E , un punto x ∈ E es adherente a un conjunto A ⊂ E si, y sólo
si, existe una sucesión de puntos de A que converge a x.
Si x ∈ A , para cada n ∈ N podemos tomar xn ∈ B(x, 1/n) ∩ A , obteniendo una sucesión {xn }
de puntos de A tal que {d(xn , x)} → 0 , luego {xn } → x . Recíprocamente, si {xn } → x con
xn ∈ A para todo n ∈ N , es obvio que U ∩ A 6= 0/ para todo U ∈ U(x) , luego x ∈ A .
Deducimos que un conjunto A ⊂ E es cerrado si, y sólo si, A contiene a los límites de todas
la sucesiones de puntos de A que sean convergentes:
A = A ⇐⇒ xn ∈ A ∀ n ∈ N , {xn } → x ∈ E ⇒ x ∈ A
Así pues, la topología de un espacio métrico queda caracterizada por la convergencia de
sucesiones: si conocemos la convergencia de sucesiones, conocemos las conjuntos cerrados,
luego conocemos la topología.
6. Convergencia
33
Por tanto, cualquier propiedad topológica de un espacio métrico E admitirá siempre una
caracterización secuencial, es decir, en términos de convergencia de sucesiones. Para A ⊂ E ,
vemos por ejemplo que A es denso en E si, y sólo si, todo punto de E es el límite de una
sucesión de puntos de A . En la misma línea, deducimos también una cómoda caracterización
de la equivalencia entre dos distancias:
Si d1 y d2 son dos distancias en un conjunto E, equivalen las afirmaciones siguientes:
(i) La topología generada por d1 está incluida en la generada por d2 .
(ii) Toda sucesión convergente para la distancia d2 es convergente para d1 .
Por tanto, d1 y d2 son equivalentes si, y sólo si, dan lugar a las mismas sucesiones
convergentes.
(i) ⇒ (ii) . Sea {xn } una sucesión de puntos de E y supongamos que {xn } → x ∈ E para
la distancia d2 . Si U es un entorno de x para la distancia d1 , aplicando (i) tenemos que U
también es entorno de x para d2 . Por tanto, existe m ∈ N tal que xn ∈ U para n > m , y esto
nos dice que {xn } → x para la distancia d1 .
(ii) ⇒ (i) . Para A ⊂ E, bastará ver que si A es cerrado para d1 , también lo es para d2 .
Si x es un punto adherente al conjunto A para d2 , bastará ver que x ∈ A . Por el resultado
anterior, existe una sucesión {xn } de puntos de A tal que {d2 (xn , x)} → 0 . Tomamos entonces
y2n−1 = xn e y2n = x para todo n ∈ N , con lo que también tenemos {d2 (yn , x)} → 0 . Aplicando
(ii) sabemos que la sucesión {yn } es convergente para la distancia d1 , pero su límite no puede
ser otro que x, puesto que y2n = x para todo n ∈ N . Así pues, tenemos {d1 (xn , x)} → 0 y, por
ser A cerrado para la distancia d1 , concluimos que x ∈ A , como se quería.
6.3.
Convergencia en RN
Ha quedado claro que, para conocer la topología usual de RN , basta conocer la convergencia
de sucesiones de vectores de RN , cuyo estudio se puede reducir al de la convergencia en R .
Para ello, ni siquiera necesitamos usar una norma o distancia concreta en RN , basta mirar a las
componentes de los términos de la sucesión:
Para toda sucesión {xn } de vectores de RN y todo x ∈ RN , se tiene:
{xn } → x
⇐⇒
{xn (k)} → x(k) ∀ k ∈ IN
Por tanto, {xn } es convergente si, y sólo si, {xn (k)} es convergente para todo k ∈ IN .
En efecto, basta pensar, por ejemplo, que para todo n ∈ N se tiene
N
| xn (k) − x(k) | 6 k xn − x k∞ ∀ k ∈ IN
y
k xn − x k1 =
∑ | xn(k) − x(k) |
k=1
Si {xn } → x , tenemos k xn − x k∞ → 0 y la primera desigualdad nos da {xn (k)} → x(k)
para todo k ∈
IN . Recíprocamente, si ocurre esto último, la segunda desigualdad nos dice que
k xn − x k1 → 0 , es decir, {xn } → x.
6. Convergencia
34
Usaremos a menudo este resultado para trasladar de R a RN diversos resultados acerca de
la convergencia de sucesiones. Pero antes, lo establecemos en un contexto más general.
6.4.
Producto de espacios normados
Los mismos procedimientos que, a partir del valor absoluto, nos permitieron definir tres
normas equivalentes en RN , sirven para definir otras tantas normas en cualquier producto de
espacios normados. Por su relación más directa con el producto cartesiano, casi siempre es
preferible usar la norma del máximo. Cuando se trabaja con varios espacios normados, es una
sana costumbre denotar por k · k a las normas de todos ellos. No hay peligro de confusión,
pues según cual sea el vector cuya norma usemos en cada momento, estará claro en qué espacio
calculamos dicha norma.
Supongamos pues que, para cada k ∈ IN tenemos un espacio normado Xk , y consideremos
el espacio vectorial producto X = X1 × X2 × . . . XN . Igual que hacíamos en RN , para x ∈ X y
k ∈ IN denotamos por x(k) ∈ Xk a la k-ésima componente de x . Las operaciones de X tienen
entonces el mismo aspecto que las de RN : para x, y ∈ X , λ ∈ R y k ∈ IN , se tiene
x + y (k) = x(k) + y(k)
y
λ x (k) = λ x(k)
Convertimos X en un espacio normado, sin más que definir
k x k∞ = máx k x(k) k : k ∈ IN
∀x ∈ X
pues se comprueba sin ninguna dificultad que k · k∞ es una norma en X . Decimos que X con
la norma k · k∞ es el espacio normado producto de los espacios normados X1 , X2 , . . . , XN .
También decimos que la topología de la norma k · k∞ es la topología producto de las topologías
de la norma en X1 , X2 , . . . , XN .
Obviamente, la topología usual de RN es un ejemplo de topología producto, en el que todos
los factores son idénticos: R con la topología usual. También es fácil ver que, si para M ∈ N
pensamos que RN+M = RN × RM , la topología usual de RN+M es el producto de la usual de
RN por la usual de RM . Esto permite definir normas en RN , con N > 3 , que
p hasta ahora no
x2 + y2 , | z | ,
han aparecido. Por ejemplo, si para x, y, z ∈ R definimos k (x, y, z) k = máx
obtenemos una nueva norma en R3 , cuya topología es la usual de R3 . Las bolas para esta norma
tienen forma cilíndrica:
B (0, 1) = (x, y, z) ∈ R3 : x 2 + y 2 6 1 , −1 6 z 6 1
Para trabajar con la topología producto, es muy cómodo usar la convergencia de sucesiones,
que sabemos caracteriza a dicha topología. El mismo razonamiento que hemos usado en RN
nos dice que, conocer la convergencia en el producto, equivale a conocerla en los factores:
Si X = X1 × X2 × . . . × XN es un producto de espacios normados, para toda sucesión
{xn } de vectores de X y todo x ∈ X , se tiene:
{xn } → x
⇐⇒
{xn (k)} → x(k) ∀ k ∈ IN
6. Convergencia
35
En efecto, basta tener en cuenta que, para cualesquiera n ∈ N y k ∈ IN , se tiene
N
k xn (k) − x(k) k 6 k xn − x k∞ 6
∑ k xn( j) − x( j) k
j=1
6.5.
Producto de espacios métricos
Todo lo que hemos hecho con un producto de espacios normados puede hacerse, de forma
enteramente análoga, con un producto de espacios métricos, así que lo repasamos brevemente.
Supongamos que E1 , E2 , . . . , EN son espacios métricos cuyas distancias denotamos todas
por d , y consideremos el producto cartesiano E = E1 × E2 × . . . EN . Convertimos E en un
espacio métrico sin más que definir
d∞ (x, y) = máx d x(k), y(k) : k ∈ IN
∀ x, y ∈ E
pues se comprueba inmediatamente que d∞ es una distancia en E . Con ella decimos que E
es el espacio métrico producto de los espacios métricos E1 , E2 , . . . , EN , y también que la
topología generada por d∞ es la topología producto de las generadas por las distancias de
E1 , E2 , . . . , EN . Entonces, para toda sucesión {xn } de puntos de E , y todo x ∈ E , se tiene que
{xn } → x si, y sólo si, {xn (k)} → x(k) para todo k ∈ IN .
Observemos finalmente la coherencia entre los dos productos que hemos considerado. Si
X = X1 × X2 × . . . × XN es un producto de espacios normados, entonces el espacio métrico
X también es el producto de los espacios métricos X1 , X2 , . . . , XN , puesto que la distancia
asociada a la norma k · k∞ del producto de espacios normados, coincide obviamente con la
distancia d∞ del producto de espacios métricos.
6.6.
Ejercicios
1. Sea E un conjunto no vacío con la distancia discreta. ¿Qué sucesiones de puntos de E
son convergentes?
2. Sea E un espacio métrico, A ⊂ E y x ∈ E. Probar que x ∈ A 0 si, y sólo si, existe una
sucesión de puntos A, distintos de x , que converge a x .
3. Sean {xn } e {yn } sucesiones de puntos de un espacio métrico E. Supongamos que
{xn } → x ∈ E y que {yn } → y ∈ E. Probar que {d(xn , yn )} → d(x, y) .
4. Sea {xn } una sucesión de vectores de un espacio normado X . Probar que {xn } → 0 si,
y sólo si, {k xn k} → 0 . Probar también que si {xn } → x ∈ X , entonces {k xn k} → k x k ,
pero que en general el recíproco no es cierto.
5. Sean {xn } e {yn } sucesiones de vectores de un espacio normado X . Supongamos que
{xn } → x ∈ X y que {yn } → y ∈ X. Probar que {xn + yn } → x + y .
6. Convergencia
36
6. Sea {xn } una sucesión de vectores de un espacio normado X tal que {xn } → 0 , y sea
{λn } una sucesión acotada de números reales. Probar que {λn xn } → 0 .
7. Sea {xn } una sucesión de vectores de un espacio normado X tal que {xn } → x ∈ X , y sea
{λn } una sucesión de números reales tal que {λn } → λ ∈ R . Probar que {λn xn } → λ x .
8. Sean {xn } e {yn } sucesiones de vectores de un espacio
pre-hilbertiano X . Supongamos
que {xn } → x ∈ X y que {yn } → y ∈ X. Probar que ( xn | yn ) } → ( x | y ) .
N
9. Sean E1 , E2 , . . . , EN espacios métricos y E =
∏ Ek
el espacio métrico producto. Sea
k=1
N
Ak ⊂ Ek para todo k ∈ IN y A =
∏ Ak . Probar que A ◦ =
k=1
N
∏ Ak◦ y que A =
k=1
N
∏ Ak .
k=1
Deducir que A es un abierto de E si, y sólo si, Ak es un abierto de Ek para todo k ∈ IN ,
mientras que A es un cerrado de E si, y sólo si, Ak es un cerrado de Ek para todo k ∈ IN .
N
10. Sean X1 , X2 , . . . , XN espacios normados y X =
∏ Xk
el espacio vectorial producto.
k=1
Probar que definiendo
N
k x k1 =
∑ k x(k) k
∀x ∈ X
k=1
se obtiene una norma en X que es equivalente a la norma k · k∞ , es decir, la topología de
la norma k · k1 es la topología producto.
11. Sean X1 , X2 , . . . , XN espacios pre-hilbertianos con productos escalares denotados todos
N
ellos por ( · | · ) , y sea X =
∏ Xk
el espacio vectorial producto. Probar que definiendo
k=1
N
(x|y) =
∑ ( x(k) | y(k) )
∀ x, y ∈ X
k=1
se obtiene un producto escalar en X . Probar también que la norma asociada a dicho
producto escalar es equivalente a la norma k · k∞ .
12. En el espacio vectorial C[0, 1] de las funciones continuas de [0, 1] en R se consideran
las tres normas que ya conocemos, definidas para toda función x ∈ C[0, 1] , por
Z 1
1/2
Z 1
2
kxk =
x(t) dt
,
k x k1 =
| x(t) | dt y
0
0
k x k∞ = máx | x(t) | : t ∈ [0, 1]
Para cada n ∈ N sea xn ∈ C[0, 1] la función dada por
xn (t) = t n−1 ∀t ∈ [0, 1]
Probar que {xn } → 0 tanto para la norma k · k como para k · k1 , pero no para k · k∞ .