RIUT-ABA-spa-2015-Devenir histórico de las transformaciones de

Albert Arango
Jessica Zamora
DEVENIR HISTÓRICO DE LAS
TRANSFORMACIONES DE LANDEN
Universidad del Tolima
Facultad de Ciencias
Programa de Matemáticas con énfasis en Estadı́stica
Ibagué, septiembre de 2014
Devenir histórico de las transformaciones
de Landen
Trabajo de grado para optar al tı́tulo de
profesional en Matemáticas con énfasis en Estadı́stica
Albert Arango, código 070200292009
Jessica Zamora, código 070200262009
Director
Leonardo Solanilla Ch.
Profesor del Departamento de Matemáticas y Estadı́stica
Universidad del Tolima
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas y Estadı́stica
Programa de Matemáticas con énfasis en Estadı́stica
Ibagué, septiembre de 2014
Resumen. En este trabajo de grado se presenta el devenir histórico de
las transformaciones de Landen desde su descubrimiento en la segunda mitad del siglo XVIII hasta la interpretación de Jacobi en la primera mitad
del siglo XIX. Se han usado las fuentes originales para describir el hallazgo de Landen, los aportes de Legendre, el algoritmo de Gauss de la media
aritmética-geométrica y simplificación introducida por Jacobi. Con esto se
ponen de manifiesto los varios sentidos que puede un concepto matemático
con el paso del tiempo.
Abstract. In this undergraduate thesis we present the historical development of Landen transformations since their discovery in the 1770’s til
Jacobi’s interpretation in the 1820’s. We have used mainly the original papers
to portrait the discovery of Landen, the improvements made by Legendre,
Gauss’ “algorithm of the arithmetic-geometrical mean” and Jacobi simplification. With this, the senses of a mathematical notion through time are
exemplified.
The application of these Improvementes will be easily made by the intelligent Reader, who is acquainted with what has been before written on the
subject. But there is a theorem (demonstrable by what is proved in Art. 8)
so remarkable, that I cannot conclude this disquisition without taking notice
of it.
John Landen en A Disquisition concerning Certain Fluents, Which are
Assignable by the Arcs of the Conic Sections; Wherein are Investigated
Some New and Useful Theorems for Computing Such Fluents (1771).
Doy gracias a DIOS por darme la fuerza, la paciencia para superar cada
obstáculo que se presentó en el trascurso de mi carrera, por darme el gusto
por el maravilloso mundo de las matemáticas.
Agradezco al director de tesis Dr. Leonardo Solanilla Ch, por su constante
apoyo, colaboración y sus consejos que forjaron un camino hacia la excelencia.
Especialmente le doy gracias a mis amados padres los cuales con su apoyo, carácter y sencillez me mostraron infinidad de veces que se puede seguir
adelante rompiendo todo lı́mite y poder transformar mi vida y lograr mis metas.
A mis hermanos los cuales han sido una motivación constante para seguir
adelante.
A mis compañeros de universidad los cuales me brindaron su amistad,
consejos en momentos difı́ciles, que dı́a a dı́a compartimos alegrı́as y tristezas, gracias a Jessica, Luisa, Nataly, Oscar. . . y a todos los que hicieron
parte de esta experiencia.
Albert Johan Arango M.
En primer lugar, el presente trabajo de investigación fue realizado bajo la
supervisión del Dr. Leonardo Solanilla Ch, a quien me gustarı́a expresar mi
más profundo agradecimiento, por la oportunidad que me ha brindado para
realizar este proyecto y aprender de él. Además, de agradecer su paciencia,
tiempo y dedicación que tuvo para que esto saliera de manera exitosa.
Gracias por su apoyo, por ser parte de la base de mi tesis.
A mis padres, por darme la vida y apoyarme en todo lo que me he propuesto.
A mi padre, por ser el apoyo más grande durante mi educación universitaria, ya que sin él no hubiera logrado mis metas y sueños. Por ser mı́ ejemplo
a seguir, por enseñarme a seguir aprendiendo todos los dı́as sin importar las
circunstancias y el tiempo.
A mi madre, Mamá, te agradezco el estar siempre conmigo, en mi mente,
mi corazón y acciones. Tu eres parte de este sueño, que el dı́a de hoy se hace
realidad y sé que estas muy orgullosa de ver la mujer que creaste y a la que
diste vida y por orientarme con tus buenos concejos.
A mis hermanos, son uno de mis motores que me impulsan a ser mejor
cada dı́a para que siempre se sientan orgullosos de mı́.
A Dios, por brindarme la oportunidad de vivir, por permitirme disfrutar
cada momento de mi vida y guiarme por el camino que ha trazado para mı́.
A mi novio Juan, por brindarme su amor, su vida y por apoyarme siempre, no importando que tan lejos este.
A todos mis compañeros y amigos de la universidad, por ser parte de mi
vida, de mis momentos tristes y alegres, por apoyarme, por nunca dejarme
caer, por estar siempre ahı́. A Albert, Luisa, Nataly. . . y a todos los demás
que siempre están presentes.
A mis maestros, desde el colegio hasta la universidad, que compartieron
conmigo sus conocimientos para convertirme en una profesionista, por su
tiempo, dedicación y por su pasión por la actividad docente.
Jessica Andrea Zamora R.
Índice general
Introducción
8
1. El descubribimiento de Landen
1.1. Segmento pedal . . . . . . . .
1.2. La elipse . . . . . . . . . . . .
1.3. La hipérbola . . . . . . . . . .
1.4. Relación . . . . . . . . . . . .
1.5. Lemas de Euler y de Landen .
1.6. Teorema de Landen . . . . . .
2. Los
2.1.
2.2.
2.3.
.
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9
9
11
12
13
14
17
aportes de Legendre
18
Un cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Iteraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Otra transformación de Landen . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3. Elegancia gaussiana
25
3.1. Distintas medias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Algoritmo de la media aritmética-geométrica . . . . . . . . . . 26
3.3. Paréntesis analı́tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4. Contundencia jacobiana
4.1. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Teorema de Landen, otra vez . . . . . . . . . . . . . . . . . .
viii
30
30
31
34
4.3.1. Segunda especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.2. Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.3. Demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
A manera de conclusión
39
Bibliografı́a
42
Índice de figuras
1. El descubrimiento de Landen
9
1.1. Segmento pedal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. La elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. La hipérbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Los aportes de Legendre
18
2.1. Triángulo de relaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.Elegancia Gaussiana
25
4.1. Interpretación geométrica de la transformación de Landen. . . 31
4.2. Prueba geométrica antigua de la transformación. . . . . . . . . 32
4.3. Interpretación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
x
Introducción
Lo que los matemáticos han entendido por transformaciones de Landen
no ha sido igual a través de los siglos XVIII y XIX. En este trabajo se
presenta una narración de los avatares sufridos por este concepto desde el
descubrimiento original de Landen hasta la reinterpretación de Jacobi. Para
ello, hemos usado, en la medida de lo posible, los artı́culos originales de
los analistas que han enriquecido el estudio de este tema con sus enfoques
novedosos.
El primer capı́tulo se dedica a la demostración del teorema de Landen.
En su demostración, aparece una curiosa transformación integral que, con el
tiempo, se habrá de convertir en el primer ejemplo de las transformaciones
de Landen. El Capı́tulo 2 presenta una manera de interpretar dicha transformación en términos de la teorı́a de las integrales elı́pticas de Legendre. De
paso, se encuentran otras transformaciones similares. La bella relación entre
las transformaciones de Landen y las medias aritméticas y geométricas ocupa
el Capı́tulo 3. Allı́ también se trata el tema a la luz de las formalizaciones
propias del Análisis decimonónico. Por último, en el Capı́tulo 4, se dan modelos geométricos para las transformaciones y se prueba una versión mucho
más simple el teorema de Landen, debida a Jacobi. Por último, se concluyen
algunas reflexiones que surgen de la totalidad del trabajo.
La presentación sigue casi siempre a las fuentes, con algunos aportes originales de los autores del trabajo. En verdad, la mayor originalidad ha consistido en presentar detalladamente los primeros cincuenta años de vida de
las transformaciones de Landen.
CAPÍTULO
1
El descubribimiento de Landen
¿Qué fue lo que dijo Landen (1771) que causó tanta sorpresa y suscitó tantas nuevas investigaciones de los matemáticos posteriores? Para comenzar,
se trata de un teorema sobre una relación entre los arcos de una hipérbola
y una elipse (integrales elı́pticas). La demostración de este hecho descansa
sobre un importante lema, que constituye la materia del legado de Landen.
Al igual que sus contemporáneos, Landen estudia siempre expresiones que
se corresponden con la longitud de una porción de segmento o curva. Esto
no debe entenderse jamás como una debilidad o una caracterı́stica “primitiva” de su trabajo, por el contrario, es una fortaleza que le garantiza que sus
resultados tienen validez en el plano cartesiano. Veamos.
1.1.
Segmento pedal
Los matemáticos del siglo XVIII buscaron ingeniosas parametrizaciones
para las curvas con el fin de elucidar nuevas propiedades de su longitud de
arco. Entre tales ingeniosos desarrollos, sobresalen las coordenadas pedales,
de las cuales no nos interesa aquı́ más que un segmento al que llamaremos
pedal. Sean P un punto de una curva diferenciable C y T la recta tangente a
C en P . Sea S la recta perpendicular a dicha tangente que pasa por el origen
O y F el punto de intersección de T y S. El segmento pedal de la curva en
1.1. Segmento pedal
10
P es el segmento P F . La Figura 1.1 ilustra la situación descrita.
Figura 1.1: Segmento pedal.
Con el propósito de calcular la longitud de P F , calculemos primero las
coordenadas (xF , yF ) del punto F . Sean (x, y) las coordenadas de P y y ′ la
pendiente de C en P . Por pertenecer a la tangente y a la normal por el origen,
(x − xF )y ′ − (y − yF ) = 0 y xF + yF y ′ = 0.
La solución de este sistema arroja
y ′ (y − xy ′ )
xF = −
1 + (y ′)2
y − xy ′
y yF =
.
1 + (y ′)2
En virtud del teorema de Pitágoras, la medida del P F es
|x + yy ′|
p= p
.
1 + (y ′)2
1.2. La elipse
1.2.
11
La elipse
Consideremos la porción de la elipse
x2 +
y2
= 1,
2
que yace en el primer cuadrante del plano cartesiano. Dicha porción se puede
Figura 1.2: La elipse.
estudiar con ayuda de la función
y(x) = y =
p
2(1 − x2 ).
La longitud del segmento pedal de un punto (x, y) de esta porción de elipse
es
r
1 − x2
pe (x) = x
.
1 + x2
1.3. La hipérbola
12
El cambio de variable z = x2 permite reescribir esta coordenada en la forma
r
z(1 − z)
pe (z) =
,
1+z
de tal suerte que su derivada (o fluxion en el lenguaje de Landen) es
√
√
dpe
1
1−z
1
z
= √
− √
.
3/2
dz
2 z(1 + z)
2 1 − z2
1.3.
La hipérbola
De manera similar, la porción de la hipérbola equilátera
x2 − y 2 = 1,
en el primer cuadrante del plano, se puede estudiar con la función
√
y(x) = y = x2 − 1.
Por lo tanto, la longitud de su segmento pedal es
r
x2 − 1
ph (x) = 2x
.
2x2 − 1
Ahora bien, la longitud del segmento de la hipérbola comprendido entre el
vértice y (x, y) es
Z xs 2
2ξ − 1
lh (x) =
dξ.
ξ2 − 1
1
En la época de Landen, se habı́a ya encontrado que la cantidad
fh (x) = ph (x) − lh (x),
era más cómoda de estudiar que la longitud de arco. Más aún, la sustitución
z = (2x2 − 1)−1 produce
Z s
1 1
ζ
fh (z) =
dζ.
2 z
1 − ζ2
1.4. Relación
13
Figura 1.3: La hipérbola.
1.4.
Relación
Los pedales de la elipse y la hipérbola se pueden relacionar como se explica
a continuación. Consideremos la expresión
Z s
Z r
ζ
1 1
υ
1 1
dζ +
dυ,
fh (z) + fh (y) =
2
2 z
1−ζ
2 y
1 − υ2
con
1−υ
.
1+υ
La sustitución produce, luego de ciertas manipulaciones evidentes, que la
suma fh (z) + fh (y) =
#
r
Z " p
Z r
(1 − υ)
1 y
υ
1 1
υ
√
−
dυ +
dυ.
3/2
2
2 0
1−υ
2 0
1 − υ2
υ(1 + υ)
ζ=
1.5. Lemas de Euler y de Landen
14
Ahora, en el primer integrando reconocemos a la derivada del pedal elı́ptico.
En consecuencia, el Teorema fundamental del cálculo arroja
fh (z) + fh (y) = pe (z) − pe (1) + L = pe (z) + L,
donde
1
L=
2
Z
1
0
r
υ
dυ,
1 − υ2
es una constante. Antes de retomar esta expresión, revisemos un par de lemas
fundamentales necesarios para establecer el Teorema de Landen.
1.5.
Lemas de Euler y de Landen
Esta es la sección más importante de este capı́tulo, en la que se demuestran los lemas fundamentales que constituyen el corazón analı́tico del gran
logro de Landen.
Lema 1.1 (Euler, 1782). Si en la curva elástica
Z x
t2
√
y=
dt, x ∈ [0, 1],
1 − t4
0
se distinguen las cantidades
Z 1 2
t dt
√
R=
1 − t4
0
y
S=
Z
0
1
√
dt
,
1 − t4
(llamadas respectivamente radio principal y longitud total (cuarto de lemniscata)), entonces
π
R×S = .
4
Demostración. Comencemos notando que
d k√
ktk−1 − (k + 2)tk+3
√
(t 1 − t4 ) =
.
dt
1 − t4
1.5. Lemas de Euler y de Landen
15
Al integrar esta derivada en el intervalo [0, 1], obtenemos la fórmula de recurrencia
Z 1 k−1
Z
t dt
(k + 2) 1 tk+3 dt
√
√
=
.
k
1 − t4
1 − t4
0
0
Las sustitución k = 3 produce
Z
Z 1
t2 dt
5 1 t6 dt
√
√
R=
=
.
3 0
1 − t4
1 − t4
0
Y k = 7 en la integral de la derecha, conduce a
Z
5 9 1 t10 dt
√
.
R=
3 7 0
1 − t4
Y ası́ sucesivamente,
R = lı́m
m→∞
"
m
Y
4k + 1
k=1
4k − 1
×
Z
×
Z
1
#
t4m+2 dt
√
.
1 − t4
1
#
t4m dt
√
.
1 − t4
0
De manera similar,
S = lı́m
m→∞
"
m
Y
4k − 1
4k − 3
k=1
0
Para determinar el producto R×S usamos las siguientes integrales auxiliares,
que son elementales gracias a la sustitución t2 = x:
"m
#
Z 1 3
Y 4k + 2 Z 1 t4m+3 dt
1
t dt
√
√
A=
= = lı́m
×
,
4
2 m→∞
4k
1 − t4
1
−
t
0
0
"k=1
Z 1
Z 1 4m+1 #
m
Y
t dt
4k
π
t
dt
√
√
B=
= = lı́m
×
.
4
4 m→∞
4k − 2
1 − t4
1
−
t
0
0
k=1
En el lado derecho hemos usado la fórmula de recurrencia de más arriba.
Cuando m → ∞, todas las integrales dentro de los cuatro lı́mites se hacen
iguales. En consecuencia,
R
S
× =
A B
5
3
6
4
9
7
10
8
13
···
11
14
···
12
×
3
1
4
2
7
5
8
6
11
9
12
10
···
= 2.
···
1.5. Lemas de Euler y de Landen
16
Ası́ pues,
R×S = 2×A×B =
π
.
4
Un tratamiento más contemporáneo de estas convergencias se puede consultar el Moll, Nowalsky, Neill y Solanilla (2000). Esta demostración conserva
el aroma del famoso producto de Wallis (1655).
π
2·2 4·4 6·6
=
·
·
···
2
1·3 3·5 5·7
Lema 1.2 (Landen, 1771). Sean las integrales
Z
Z
1 1 t−1/2
1 1 t1/2
√
√
dt y M =
dt.
L=
2 0
2 0
1 − t2
1 − t2
Si denotamos por
1
le (1) =
2
Z
1
0
√
1+t
p
dt,
t(1 + t)
a la longitud de un cuarto del total de la elipse considerada más arriba y por
lc (1) = π2 a la longitud de un cuarto de la circunferencia unitaria, entonces
L + M = le (1),
1
L × M = × lc (1).
2
Demostración. La primera parte (suma) es fácil. Para la segunda parte (producto), usamos el cambio de variable t = x2 , dt = 2xdx, para obtener
Z 1
Z 1 2
x dx
dx
√
√
L=R=
y M =S=
.
4
1−x
1 − x4
0
0
Entonces, el Lema de Euler produce el resultado buscado.
Con esto,
p
1
2
L=
le (1) − le (1) − 4lc (1) ,
2
p
1
2
M=
le (1) + le (1) − 4lc (1) .
2
1.6. Teorema de Landen
1.6.
17
Teorema de Landen
Teorema 1.3. Con las notaciones anteriores de este capı́tulo, se obtiene la
siguiente expresión para la longitud de arco de la hipérbola en términos de
longitudes de arco de circunferencia y elipse:
!
q
√
√
1
1
1 p
2
= 2−
3−2 2−
le (1) − 4lc (1) − le (1) .
lh p
√
2
4
2− 2
Demostración. Recordemos que en la expresión
fh (z) + fh (y) = pe (z) − pe (1) + L = pe (z) + L,
y y z se relacionan por z = (1 − y)(1 + y)−1 . Por lo tanto, si usamos el
√
punto fijo ∗z = ∗y = 2 − 1 de esta transformación, obtenemos la expresión
simplificada
1
fh (∗z) = (pe (∗z) + L) .
2
Para regresar a un valor que tenga sentido
la hipérbola usamos la inversa
p en
√
de z = (2x2 − 1)−1 para hallar ∗x = ( 2 − 2)−1 . Ası́,
fh (∗x) = ph (∗x) − lh (∗x) =
De donde,
lh (∗x) = ph (∗x) −
1
(pe (∗z) + L) .
2
1
(pe (∗z) + L) .
2
Ahora bien,
ph (∗x) =
√
2,
q
√
pe (∗z) = 3 − 2 2,
p
1
L=
le (1) − le2 (1) − 4lc (1) .
2
Para la última parte hemos usado el Lema de Landen. Poniendo todo junto,
se encuentra la tesis del teorema.
CAPÍTULO
2
Los aportes de Legendre
Quizás el primero en notar la importancia de los lemas del capı́tulo anterior fue Lagrange (1784-5). Sin embargo, la posteridad prefiere recordar a
Legendre (1786-88) porque dedicó su vida a las integrales elı́pticas. Ciertamente, hoy en dı́a se llaman transformaciones de Landen a ciertas generalizaciones de los citados lemas. En este capı́tulo estudiamos una manera de
generalizarlos por medio de una sustitución integral.
2.1.
Un cambio de variable
Consideremos la integral elı́ptica de primera especie de módulo k, es decir,
Z θ
dϑ
p
F (θ, k) =
.
0
1 − k 2 sin2 ϑ
Recordamos que el módulo es una constante 0 < k < 1. Remitimos al lector
interesado en las propiedades de esta integral al libro Pareja, Solanilla y
Tamayo (2010). A propósito, son dichas propiedades las que justifican el
procedimiento que sigue.
La idea de Legendre consiste en hacer un cambio de variable ϕ 7→ ψ(ϕ)
de la forma
sin 2ϕ
ϑ(ϕ) = arctan
.
k + cos 2ϕ
2.1. Un cambio de variable
19
Para realizar la sustitución necesitamos
ϑ′ (ϕ) = 2 ×
1 + k cos 2ϕ
.
1 + 2k cos 2ϕ + k 2
Ası́ pues,
F (θ, k) =
Z
θ
0
dϑ
p
1 − k 2 sin2 ϑ
=
Z
φ
0
ϑ′ (ϕ)dϕ
p
.
1 − k 2 sin2 ϑ(ϕ)
Consideremos el integrando de la derecha. Después de remplazar ϑ′ (ϕ) y
de aplicar identidades trigonométricas,
ϑ′ (ϕ)
p
1 − k 2 sin2 ϑ(ϕ)
= 2×
= p
= p
1+k cos 2ϕ
1+2k cos 2ϕ+k 2
√ 1+k cos 2ϕ
1+2k cos 2ϕ+k 2
2
1 + 2k cos 2ϕ + k 2
2
(1 + k)2 − 4k sin2 ϕ
.
Para el último paso, hemos expresado cos 2ϕ en función de sin2 ϕ.
Con esto, nuestra integral toma la forma
Z θ
Z φ
dϑ
2 dϕ
p
q
=
4k
2
0
0 (1 + k)
1 − k 2 sin2 ϑ
1 − (1+k)
2 sin ϕ
Z φ
dϕ
2
p
=
.
1+k 0
1 − l2 sin2 ϕ
√
donde l = ±2 k/(1+k). Notemos que como 0 < k < 1, entonces (1+k)2 < 4
y ası́
4k
l2 >
> k > k2.
2
(1 + k)
Por tanto, si exigimos 0 < l < 1, tendremos k < l.
2.2. Iteraciones
2.2.
20
Iteraciones
En la transformación integral de la sección anterior, pongamos
ϑ = ϕn ,
ϕ = ϕn+1 ,
k
l=
= kn ,
√
2 kn
,
=
1 + kn
kn+1
para n ∈ N. De esta manera obtenemos la fórmula de iteración
Z φn
Z φn+1
dϕn
2
dϕn+1
p
q
,
=
2
2
kn + 1 0
1 − kn sin ϕn
0
1 − k 2 sin2 ϕn+1
n+1
a partir, digamos, de k0 = k y cierto ϕ0 = ϕ. Por lo tanto, procediendo como
en el capı́tulo anterior,
Z
0
φ
dϕ
n
Y
2
p
×
=
2
k +1
1 − k 2 sin ϕ
j=0 j
Z
φn+1
0
dϕn+1
q
2
1 − kn+1
sin2 ϕn+1
.
Para lo que sigue necesitamos demostrar que la sucesión (kn ) de los módulos satisface siempre (independientemente de la condición inicial k0 ∈ (0, 1])
lı́m kn = 1.
n→∞
Ciertamente, (kn ) ⊂ [0, 1] es acotada y estrictamente monótona: kn < kn+1 .
En consecuencia, (kn ) converge a cierto k ∈ [0, 1]. Es mas, si pasamos al
lı́mite en la formula de recurrencia
p
2 kn−1
kn =
, n ≥ 1,
kn−1 + 1
se tiene que
Ahora bien, como
√
2 k
k=
.
k+1
√
k≤1≤
2
,
k+1
2.3. Otra transformación de Landen
21
la única posibilidad es k = 1.
De esta forma,
Z φn
Z φ∞
dϕn
dϕ∞
p
p
lı́m
=
n→∞ 0
1 − kn2 sin2 ϕn
1 − sin2 ϕ∞
0
Z φ∞
=
sec ϕ∞
0
π ϕ ∞
= log tan
+
.
4
2
Con esto encontramos inmediatamente la desconcertante expresión
Z φ
∞
π ϕ Y
2
dϕ
∞
p
=
× log tan
+
.
2
2
4
2
1 − k sin ϕ j=0 kj + 1
0
Y de ésta, la utilı́sima fórmula práctica del Análisis Numérico
Z φ
n
π ϕ Y
2
dϕ
n
p
≈
× log tan
+
,
2
4
2
1 − k 2 sin ϕ j=0 kj + 1
0
para n convenientemente grande.
2.3.
Otra transformación de Landen
Por métodos similares a los de la sección anterior es posible probar que
Z φ
Z θ
dϕ
dϑ
′
p
p
=
(1
+
k
)
,
1 − λ2 sin2 ϕ
0
0
1 − k 2 sin2 ϑ
√
donde tan(ϕ − ϑ) = k ′ tan ϕ con k ′ = 1 − k 2 y
1 − k′
λ=
.
1 + k′
Para ello, construyamos un triángulo como en la Figura 2.1, cuyos lados
de longitud 1, m y sus ángulos α, 2β − α satisfacen la ley de las tangentes
tan 12 (α − (2β − α))
tan(α − β)
1−m
=
=
.
1
tan β
1+m
tan 2 (α + (2β − α))
2.3. Otra transformación de Landen
22
Figura 2.1: Triángulo de relaciones.
De otro lado, la ley de los senos garantiza que
m sen α = sen(2β − α).
Además, un simple ejercicio de identidades trigonométricas arroja que
sin 2β
sin 2β
m sin α = sin(2β − α) ⇔ tan α =
⇔ α = arctan
.
m + cos 2β
m + cos 2β
En este punto recordemos la transformación de Landen de la sección
anterior
Z θ
Z φ
dϑ
2
dϕ
p
p
=
,
1+k 0
1 − l2 sin2 ϕ
0
1 − k 2 sin2 ϑ
donde l2 = 4k/(1 + k)2 y
ϑ = arctan
sin 2ϕ
k + cos 2ϕ
.
Pongamos aquı́
√
1 − k2 = k′ =
1−m
1 − k′
⇔m=
, α = ϕ y β = ϑ.
1+m
1 + k′
2.3. Otra transformación de Landen
23
De esta manera,
1−
sin 2ϑ
⇔ tan(ϕ − ϑ) =
ϕ = arctan 1−k′
+ cos 2ϑ
1+
1+k ′
1−k ′
1+k ′
1−k ′
1+k ′
tan ϑ = k ′ tan ϑ,
en virtud de la mencionada ley de las tangentes.
Por lo tanto,
Z φ
Z θ
dϕ
2
dϑ
q
p
=
,
1−k ′
′
2 sin2 θ
1 + 1+k′ 0
2 sin2 ϕ
0
1
−
l
1 − ( 1−k
)
′
1+k
donde
′
2
l =
1−k
4 1+k
′
(1 +
1−k ′ 2
)
1+k ′
= k2.
La nueva transformación se descubre cuando se observa que
2
= 1 + k′ .
1−k ′
1 + 1+k′
El resultado obtenido se puede también iterar:
Z φn+1
Z φn
dϕn+1
dϕn
′
q
p
= (1 + kn )
,
2
1 − kn2 sin2 ϕn
0
0
1 − kn+1
sin2 ϕn+1
con tan(ϕn+1 − ϕn ) = kn′ tan ϕn , kn′2 + kn2 = 1 y
kn+1 =
1 − kn′
.
1 + kn′
Por lo visto en la sección anterior, se tiene que la sucesión (kn ) es acotada
en [0, 1]. Asimismo, 0 < kn < 1 implica 0 < kn+1 < kn < 1. Al tomar el
lı́mite a la fórmula de iteración se encuentra que
√
1 − 1 − k2
√
k=
.
1 + 1 − k2
En consecuencia, lı́m kn = 0.
n→∞
2.3. Otra transformación de Landen
24
Con todo esto podemos obtener otra fórmula aproximada para calcular
una integral elı́ptica de la primera especie. Si llamamos ϕ al lı́mite de las
ϕn y tomamos un n suficientemente grande, la integral de la derecha en la
recurrencia se aproxima por la función identidad y
Z
0
φ
dϕ
p
1 − k 2 sin2 ϕ
n
Y
≈
(1 + kj′ ) × φn .
j=0
CAPÍTULO
3
Elegancia gaussiana
De manera independiente a Lagrange y Legendre, Gauss (1818) descubrió un algoritmo para aproximar numéricamente la integral elı́ptica completa (φ = π/2). Su descubrimiento constituye el célebre “algoritmo de la media
geométrica-aritmética”. Para él, se trataba solamente de una herramienta
para resolver un problema de atracción entre planetas.
Algunos defienden que Gauss habı́a desarrollado ya la teorı́a de las funciones elı́pticas hacia 1808. Sin embargo, sus resultados no fueron conocidos
sino hasta después de su muerte, entre sus anotaciones personales.
3.1.
Distintas medias
Sean dos números reales positivos a y b y asumamos sin pérdida de generalidad que a > b > 0. Las medias aritmética, geométrica y armónica de
estos números se definen respectivamente mediante las expresiones
√
1
2ab
A(a, b) = (a + b), G(a, b) = ab, y H(a, b) =
.
2
a+b
No es difı́cil ver que ellas satisfacen las desigualdades
a > A(a, b) > G(a, b) > H(a, b) > b.
3.2. Algoritmo de la media aritmética-geométrica
26
También se puede ver que
H(a, b) =
1
1
y
G(a,
b)
=
.
A(a−1 , b−1 )
G(a−1 , b−1 )
Para lo que nos interesa aquı́ debemos iterar estas expresiones. Sean, pues,
a0 > b0 > 0 y definamos las fórmulas de recurrencia
an = A(an−1 , bn−1 ) y bn = G(an−1 , bn−1 ),
para n > 0 natural. Debido a la monotonicidad de estas fórmulas, las sucesiones resultantes convergen. Más aún,
an−1 − bn−1
,
2
y las sucesiones (an ) y (bn ) convergen al mismo lı́mite. Este lı́mite fue bautizado por el mismo Gauss con el nombre de media aritmética-geométrica de
a0 , b0 y nosotros lo denotaremos como M(a0 , b0 ). Algo similar sucede con la
recurrencia de las medias geométrica y armónica, su lı́mite común se llama
media geométrica-armónica.
0 < an − bn <
3.2.
Algoritmo de la media
aritmética-geométrica
Gauss estudió las integrales elı́pticas en la forma
Z φ
dϕ
p
I(a, b; φ) =
,
a2 cos2 ϕ + b2 sin2 ϕ
0
con a > b > 0. Claramente, ellas se convierten a la forma canónica de Legendre
Z φ
1
dϕ
F (φ, k)
p
×
=
,
2
2
a
a
1 + k sin ϕ
0
donde
a2 − b2
.
a2
Al estudiar las integrales en esta forma, las transformaciones de Landen se
vuelven muy elegantes, tal como lo muestra el teorema que sigue.
k2 =
3.2. Algoritmo de la media aritmética-geométrica
27
Teorema 3.1 (Teorema de Gauss). Sean dos números reales positivos a0 y
b0 tales que a0 > b0 > 0. Entonces,
Z π/2
π
dϕ
π
p
=
I a0 , b0 ;
=
,
2
2
2 × M(a0 , b0 )
a20 cos2 ϕ + b20 sin ϕ
0
donde M(a0 , b0 ) es la media aritmética-geométrica obtenida por iteración desde a0 y b0 .
Demostración. Comencemos por escribir, como más arriba,
I(a0 , b0 ; φ) =
F (φ, k0 )
,
a0
donde k02 = (a20 − b20 )/a20 . Por la transformación de la Sección 2.3, la integral
de la derecha se convierte en
1 + k1
× F (θ, k1 ),
a0
donde
Sustituyendo,
p
1 − 1 − k02
1 − k0′
a0 − b0
p
=
k1 =
=
.
′
2
1 + k0
a0 + b0
1 + 1 − k0
1 + k1
1
× F (θ, k1) =
a0
a0
=2
Z
Z θ
a0 − b0
dϑ
q
1+
a0 + b0
−b0 2
0
1 + ( aa00 +b
) sin2 ϑ
0
0
El último radicando equivale a
θ
dϑ
p
(a0 + b0 )2 + (a0 − b0 )2 sin2 ϑ
.
a20 cos2 ϑ + b20 cos2 ϑ + 2a0 b0 (cos2 ϑ + sen2 ϑ) + 2a0 b0 sen2 ϑ.
Es decir, (a0 + b0 )2 cos2 +4a0 b0 sen2 ϑ. A fin de cuentas, con φ = φ0 y θ = φ1 ,
I(a0 , b0 ; φ) = I(A2 (a0 , b0 ), G2 (a0 , b0 ); φ1 ).
3.3. Paréntesis analı́tico
28
En términos de las sucesiones de medias aritméticas y geométricas, se
tiene que
I(a0 , b0 ; φ0 ) = I(a1 , b1 ; φ1 ) = · · · = I(an , bn ; φn ) = · · ·
Por lo tanto,
I(a0 , b0 ; φ0 )) = lı́m I(an , bn ; φn ) = I(M(a0 , b0 ), M(a0 , b0 )) =
n→∞
φ∞
.
M(a0 , b0 )
Finalmente, φ0 = π/2 es punto fijo de todas las sustituciones y
I(a0 , b0 ; π/2)) =
3.3.
π
.
2 × M(a0 , b0 )
Paréntesis analı́tico
A los ojos del rigor analı́tico de hoy, el final de la prueba anterior es
insatisfactorio. Sin embargo, el asunto se puede remediar como sigue. La
sucesión de funciones
!
1
p
a2n cos2 ϕ + b2n sin2 ϕ n∈N∪{0}
converge uniformemente a 1/M(a0 , b0 ) en [0, π/2], donde an y bn son como
en la Sección 3.1. Este hecho, evidente para Gauss, exige en el análisis contemporáneo una explicación adicional.
Ciertamente, podemos escribir
a2n = µ2 + cn
y b2n = µ2 − dn
donde cn , dn son sucesiones de términos positivos que convergen a cero.
Ası́ pues,
a2n cos2 ϕ + b2n sin2 ϕ = µ2 + cn cos2 ϕ − dn sin2 ϕ.
3.3. Paréntesis analı́tico
29
En consecuencia, para todo ǫ > 0 es posible encontrar un N ∈ N tal que si
n ≥ N, entonces
2
2
2
2
2
an cos ϕ + bn sin ϕ − µ < ǫ,
independientemente de ϕ ∈ [0, π/2]. Como la función raı́z cuadrada es continua,
q
2
2
2
2
an cos ϕ + bn sin ϕ − µ < ǫ.
Este resultado es independiente de ϕ para n grande y, ası́, se tiene la convergencia uniforme.
La integral se puede intercambiar pues con el lı́mite en virtud del siguiente
resultado del análisis clásico.
Teorema 3.2. Si I es un intervalo cerrado y acotado de la recta real y
fn : I → R es una sucesión de funciones integrables en el sentido de Riemann
que convergen uniformemente a f : IR en I, entonces
Z β
Z β
fn (x)dx converge a
f (x)dx,
α
para cualquier par α, β ∈ I.
α
CAPÍTULO
4
Contundencia jacobiana
En este capı́tulo mostramos una manera geométrica de motivar la transformación de Landen de la Sección 2.1. Seguimos a Küpper (1857), quien
afirma que la idea original está en una carta de Jacobi (1845) a Hermite.
También hemos usado algunos métodos de Bellachi (1894). Estas consideraciones nos llevan a dar una demostración más contundente y a revelar un
nuevo significado para el teorema de Landen del Capı́tulo 1.
4.1.
Cambio de variable
Queremos encontrar una interpretación geométrica de la citada transformación, a saber:
sin 2ϕ
ϑ(ϕ) = arctan
.
k + cos 2ϕ
En la circunferencia de la Figura 4.1, de centro O y diámetro BA = a + b,
ubiquemos el punto Q tal que BQ = b y QA = a. Por lo tanto, QO = (a−b)/2
y OA = (a + b)/2. Sea K un punto cualquiera sobre la circunferencia y H su
punto de caı́da vertical sobre OA. Además, sean s el ángulo de ABK y ϕ(s)
el ángulo de AQK. Por Geometrı́a Euclidiana básica, 2s es ángulo de AOK.
Se sigue que
2KH
2OH
sin 2s =
y cos 2s =
.
a+b
a+b
4.2. Transformación
31
Figura 4.1: Interpretación geométrica de la transformación de Landen.
Con esto, notamos que
a−b
a+b
2KH
sin 2ϕ
=
a − b + 2OH
+ cos 2ϕ
KH
KH
=
=
.
QO + OH
QH
Para terminar, basta definir ϑ(ϕ) como el ángulo AQK, ya que su tangente
aparece en la última expresión. De paso, hemos hallado también un significado geométrico para el módulo k = (a − b)/(a + b).
4.2.
Transformación
Con ayuda de las formas diferenciales podemos encontrar la transformación de Landen de una manera distinta a la usada antes en la Sección 2.1. La
nueva demostración conserva el estilo clásico de los analistas del siglo XVIII.
4.2. Transformación
32
En la Figura 4.2 se muestra el cı́rculo de radio CA = R. El punto L
está situado sobre el diámetro AA′ a una distancia LC = r del centro. Sean
los ángulos ACM = 2ψ y ALM = ϕ. Si M ′ es “infinitamente próximo” a
M, entonces
∠MM ′ = 2Rdψ y ∠MLM ′ = dϕ.
Figura 4.2: Prueba geométrica antigua de la transformación.
Ası́ mismo, ∠MM ′ L = ∠MM ′ C + CM ′ L = π/2 + CM ′ L y la ley de los
senos en el triángulo MM ′ L produce
MM ′
sin(MLM ′ )
=
.
ML
sin(MM ′ L)
Los numeradores de estas fracciones ya los conocemos. Para los denomina-
4.2. Transformación
33
dores, notemos primero que
sin(MM ′ L) = cos(CM ′ L)
q
1 − sin2 (CM ′ L)
=
q
=
1 − sin2 (CML)
r
r2
=
1 − 2 sin2 (ϕ).
R
De otro lado, por la ley del coseno,
p
R2 + r 2 + 2Rr cos 2ψ
ML =
s
4Rr
= (R + r) 1 −
sin2 ψ.
(R + r)2
Poniendo por brevedad
4Rr
4k
r
=k y
=
= h2 ,
2
R
(R + r)
(1 + k)2
se logra
dψ
( 1+k
)
2
Finalmente, integrando,
p
dϕ
p
=
.
1 − h2 sin2 ψ
1 − k 2 sin2 ϕ
F (h, ψ) =
1+k
F (k, ϕ),
2
√
√
donde h = 2 k/1 + k > k y, por lo tanto, 0 < k < 1.
La relación entre ϕ y ψ se logra del triángulo CML:
sin(CLM)
CM
=
.
sin(LMC)
CL
O sea,
sin(2ψ − ϕ) = k sin ϕ,
de donde se derivan fácilmente las siguientes:
tan ϕ =
sin 2ψ
,
k + cos 2ψ
4.3. Teorema de Landen, otra vez
34
1−k
tan ψ.
1+k
Además, dado que el módulo k es positivo menor que la unidad, se sigue de
la relación entre los senos es
tan(ϕ − ψ) =
sin(2ψ − ϕ) < sin ϕ,
y, por consiguiente, 2ψ − ϕ < ϕ y ψ < ϕ. Por lo tanto, la transformación de
Landen significa que una integral elı́ptica de la primera especie se transforma
en otra de la misma especie con módulo mayor y amplitud menor (o viceversa,
con módulo menor y amplitud mayor).
4.3.
4.3.1.
Teorema de Landen, otra vez
Segunda especie
Una nueva demostración más jacobiana del teorema de Landen se puede
realizar con ayuda de la segunda especie de Legendre. Una integral elı́ptica
de la segunda especie tiene la forma
Z ϕq
E(k, ϕ) =
1 − k 2 sin2 ϕ dϕ.
0
Tal como con la primera especie, k es el módulo de la integral y ϕ ∈ [0, π/2]
es su amplitud. Un sencillo cálculo demuestra que las integrales elı́pticas de la
segunda especie expresan la longitud de arco de una elipse de excentricidad k.
Para un tratamiento detallado de los arcos de las cónicas centrales, remitimos
al lector a Solanilla y Tamayo (2007).
4.3.2.
Lema
Usemos, de nuevo, la Figura 4.2. Sea P el pie de la normal trazada desde
el centro C sobre LM, y N el segundo punto de corte de esta lı́nea recta con
4.3. Teorema de Landen, otra vez
35
la circunferencia. Denotemos NL = p y LM = p′ . Entonces, por lo dicho
arriba,
q
p + p′
p′ − p
2
2
PM =
= R 1 − k sin ϕ y LP =
= r cos ϕ.
2
2
La relación dada por la ley de los senos en la sección anterior equivale ası́ a
2dψ
dϕ
= p+p′ .
′
p
2
Es decir,
(p + p′ )dϕ + (p′ − p)dϕ = 2pdψ + 2p′ dψ.
Ya que pp′ = R2 − r 2 ,
(R2 − r 2 )
+ 2p′ dψ,
(p + p )dϕ + (p − p)dϕ = 2dψ
′
p
′
′
o sea,
q
p
(1 − k)dψ
1 − k 2 sin2 ϕdϕ + k cos ϕdϕ = (1 + k) 1 − h2 sin ψdψ + p
.
1 − h2 sin2 ψ
Luego de integrar, se halla la siguiente relación importante entre la primera
y la segunda especie:
E(k, ϕ) − k sin ϕ = (1 + k)E(h, ψ) + (1 − k)F (h, ψ).
Por la transformación de Landen, se obtiene finalmente
E(k, ϕ) + k sin ϕ − (1 + k)E(h, ψ) =
1 − k2
F (k, ϕ).
2
De esta manera, una integral elı́pica de la primera especie es la suma de dos
integrales elı́pticas de la segunda especie.
4.3.3.
Demostración
Volviendo al teorema de Landen sobre la longitud de arco de las cónicas,
consideremos la hipérbola
x2 y 2
− 2 = 1.
a2
b
4.3. Teorema de Landen, otra vez
36
El ángulo α de la tangente MT con el eje transverso es tal que
tan α =
b2 x
,
a2 y
y la abscisa del punto T en el eje x es OT = a2 /x. La situación se ilustra en
la Figura 4.3.
Sea N la intersección de MT con la circunferencia de radio a, concéntrica
a la hipérbola. Sea ϕ el complemento del ángulo agudo ONT . Por la ley de
los senos,
OT
cos ϕ
=
ON
sin α
De esta manera,
y
cos ϕ =
a sin α
ab2
.
=p
x
a4 y 2 + b4 x2
x2 y 2
1
+ 4 = 2
.
4
a
b
a cos2 ϕ
Figura 4.3: Interpretación.
4.3. Teorema de Landen, otra vez
37
De ésta última y de la ecuación de la hipérbola se encuentran las coordenadas de M, a saber:
p
x
c2 − a2 sin2 ϕ y
b
=
y = tan ϕ.
a
c cos ϕ
b
c
Pongamos ahora
b √
a
k = , k ′ = = 1 − k 2 y ∆ϕ =
c
c
Derivando con respecto a ϕ,
q
1 − k 2 sin2 ϕ.
k 2 sin ϕdϕ
dy
k ′2 dϕ
dx
=−
y
=
−
.
a
cos2 ϕ∆ϕ
a
k cos2 ϕ
Por lo tanto,
ds =
y ası́,
p
dx2 + dy 2 =
ak ′2 dϕ
k cos2 ϕ∆ϕ
1 − k 2 sin2 ϕ − k 2 cos2 ϕ
k ds
=
a dϕ
cos2 ϕ∆ϕ
k2
∆ϕ
−
.
=
cos2 ϕ ∆ϕ
Con un poco más de trabajo, se obtiene
k
dϕ
ds = d(∆ϕ tan ϕ) − dϕ∆ϕ + (1 − k 2 )
.
a
∆ϕ
Integrando al fin esta relación, se llega a que la longitud del arco AM es
a
a
a
∆ϕ tan ϕ − E(k, ϕ) + (1 − k 2 ) F (k, ϕ).
k
k
k
Para finalizar, se expresa la integral de la primera especie mediante dos integrales de la segunda especie. De este modo, el arco AM mide
a
a
2a
∆ϕ tan ϕ − E(k, ϕ) +
(E(k, ϕ) + k sin ϕ − (1 + k)E(h, ψ)) .
k
k
k
4.3. Teorema de Landen, otra vez
38
De manera más sencilla,
AM =
a
a
2a(1 + k)
∆ϕ tan ϕ + 2a sin ϕ + E(k, ϕ) −
E(h, ψ).
k
k
k
Con esto, todo arco de hipérbola es la suma de dos arcos de elipse y una
expresión algebraica. Esta es la materia esencial del teorema de Landen.
A manera de conclusión
En cada momento de su devenir y para cada matemático particular, una
teorı́a matemática se puede entender como un sistema, es decir, como un
conjunto de elementos relacionados entre sı́. El todo es más que la suma
de sus partes, ya que la información que nos da dicha teorı́a sobrepasa con
creces la que nos da cada uno de sus elementos aislados. Con el tiempo dichos
sistemas cambian en todos los sentidos posibles, o sea, cambia el sistema total
porque cambian sus elementos y las relaciones entre ellos. Cambia también
ese todo que es mucho mas que los elementos y sus relaciones. En ese cambio
juega un papel crucial las interpretaciones que los nuevos matemáticos hacen
de sus maestros y de las obras de sus predecesores.
Las distintas nociones de transformación de Landen estudiadas en este
trabajo ejemplifican muy bien esta concepción sistémica. En efecto,
El objeto de la teorı́a original de Landen estaba constituido por las
longitudes de las secciones cónicas centrales (elipse e hipérbola). Su
propósito era expresar la longitud de arco de una cónica en términos
de longitudes de otras cónicas, un problema tı́pico de aquellos tiempos
heroicos en los cuales las integrales elı́pticas no estaban todavı́a clasificadas en especies. La transformación de Landen era un elemento de
esta teorı́a y el papel que define su relación con los teoremas principales
es el de un lema auxiliar: las transformaciones de Landen emergieron
como una mera herramienta para probar expresiones que relacionaban
longitudes de arco de secciones cónicas.
Legendre habı́a alcanzado el gran logro de clasificar las integrales elı́pti-
40
cas en formas canónicas o especies. En el marco de las integrales de la
primera especie, la transformación de Landen se interpreta como una
transformación del módulo de la integral elı́ptica. Ahora bien, la transformación se define de manera conveniente por medio de una integración por sustitución. Hay varias maneras de lograr este tipo de transformaciones, con algunas de ellas el módulo crece, con otras el modulo
decrece. Como los módulos son acotados por la unidad, las transformaciones iteradas producen sucesiones convergentes de modulos. En
resumen, para Legendre las transformaciones de Landen ya no son un
lema auxiliar sino un teorema principal, una propiedad importante de
las integrales elı́pticas de la primera especie.
La motivación de Gauss proviene la necesidad de resolver un problema
de astronomı́a que involucra ciertas integrales. Al escribir las integrales elı́pticas de una forma ligeramente diferente a Legendre, se revela
su relación con las medias aritméticas y geométricas. Esto produce un
algoritmo muy eficiente para aproximar numéricamente las funciones
elı́pticas. De paso, se demuestra que la convergencia de las iteraciones repetidas de una transformación de Landen ocurre porque, en el
infinito, la media aritmética y la geométrica son iguales. Las transformaciones vuelven a ser un resultado auxiliar, esta vez dentro de un
problema de matemáticas aplicadas. La potencia del resultado compite
con su belleza y elegancia.
Jacobi es uno de los padres de las funciones elı́pticas. Siempre mostró admiración y respeto por la obra de Legendre. Dedicó buena parte de su
vida al estudio de las transformaciones de las integrales y funciones
elı́pticas (en cierto sentido son las mismas). En uno de los muchos
rincones de su vasta teorı́a estaban las transformaciones de Landen.
En otras palabras, ellas eran un simple ejemplo en el inmenso mar
de las transformaciones elı́pticas. Sin embargo, Jacobi las premió con
su esfuerzo y dedicación. Ideó una interpretación geométrica para las
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transformaciones de Landen y resucitó el olvidado teorema de Landen.
Para él, sin embargo, ya no existı́an tanto las longitudes de arco de las
secciones cónicas como las integrales de la primera y la segunda especie. El teorema de Landen, que parece a primera vista tan complicado,
se convierte ahora en un simple corolario de una relación casi evidente
entre integrales de las dos primeras especies de Legendre.
Bibliografı́a
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