Tema 6

Introducción a la Econometría
Tema 6: NÚMEROS ÍNDICES
Tema 6: NÚMEROS ÍNDICES
1. Concepto y tipología.
Un número índice es una medida estadística que expresa la variación relativa experimentada, en el tiempo o en el espacio, por una magnitud en dos situaciones diferentes,
una tomada como referencia denominada “situación base”, la otra recibe el nombre de
“situación actual”.
Si en la situación base “0” la magnitud X toma el valor X0 y en la situación actual “t”
toma el valor Xt, el índice de base “0” y situación actual “t” es:
I 0t =
Xt
[6.1]
X0
y es igual a:
I 0t =
Xt X0 + Xt − X0
X − X0
=
=1+ t
= 1 + ΔX t = 1 + (tasa de variación)
X0
X0
X0
Los valores Xt y X0 deberán ser positivos y, por tanto, el número índice correspondiente también lo será. Se suele publicar multiplicado por 100.
Ejemplo: Sea X el precio de un determinado bien
En “0” (situación base) X0 = 1250 pts.
I 0t =
1358
= 1,0864
1250
En “t” (situación actual) Xt = 1358 pts.
Se publicaría como I 0t = 108,64 y se debe interpretar expresando que se ha producido
una variación del 8,64% ó del 0,0864 por 1, en el precio del bien y entre las dos situaciones consideradas.
Si la situación base correspondiera al año 1995 y la situación actual al año 1998 se
podría escribir:
I 98
95 = 1,0864
Un conjunto de números índices consecutivos, respecto a la misma situación base,
reflejará la evolución de dicha magnitud a lo largo del intervalo de tiempo (o del espacio) considerado. Ejemplo:
Año: 1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
precio: 1000
1055
1105
1165
1210
1250
1280
0,80
0,844 0,884 0,932 0,968
1,00
1,024
t
I0 =
(80,0) (84,4) (88,4) (93,2) (96,8) (100) (102,4)
1997
1998
1320
1358
1,056 1,0864
(105,6) (108,64)
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Clasificaciones:
1) Por la dimensión en donde se distinguen las dos situaciones:
-
Índices espaciales: miden las variaciones entre distintas empresas, sectores,
regiones o países,... etc.
Índices temporales: miden las variaciones entre dos periodos de tiempo.
situación base = periodo base
situación actual = periodo actual o corriente
2) Por la magnitud objeto del análisis, de la que se describe sus variaciones:
-
Índices de precios (por ejemplo: IPC, IGBM)
Índices de cantidad (por ejemplo: IPI)
Índices de valor (por ejemplo: índices de salarios)
3) Por las características de la magnitud objeto del análisis:
-
Índices simples: La magnitud se presenta bajo una única modalidad.
Índices complejos o sintéticos: La magnitud se presenta bajo varias modalidades. (Ejemplo: el precio del automóvil, donde las distintas marcas y modelos constituyen las modalidades).
- sin ponderar: todas las modalidades tienen la misma importancia.
- ponderados: a cada modalidad se le asigna una ponderación
según su grado de participación en la determinación del resultado final obtenido por la magnitud.
2. Los índices complejos.
Cuando una magnitud se concreta en varias modalidades, como ocurre con el precio
o la producción de un grupo de bienes, la definición dada en [6.1] no es válida para medir la variación global que se haya producido en dicha magnitud, sino sólo se podría
aplicar a cada una de las modalidades que la forman, calculando índices simples para
cada una de ellas. Los índices complejos se elaboran como promedios estadísticos de los
índices simples de las modalidades, pudiendo ser ponderados o no ponderados, según se
considere o no la importancia relativa que tenga cada modalidad en el conjunto de todas
ellas. Las ponderaciones podrán calcularse siguiendo distinto criterios, como veremos
en el epígrafe que estudia la elaboración de los distintos tipos de índices de precios e
índices de cantidad.
Para exponer de forma general las expresiones más utilizadas en la construcción de
índices complejos, supongamos una magnitud X que se puede concretar en N modalidades diferentes: X1, X2, ... , Xi, ... , XN. Si obtenemos los valores que toma cada modalidad en los dos periodos considerados, base y actual, con los que se calculan los correspondientes índices simples, y se determinan, siguiendo algún criterio, las ponderaciones
que se asignarán a cada modalidad, se puede presentar toda esta información en el siguiente cuadro:
88
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Tema 6: NÚMEROS ÍNDICES
Modalidades Periodo
de X
base “0”
Periodo
Índices simples
actual “t” I 0t (i) = I i = X it
X i0
Ponderaciones
wi
X1
X10
X1t
I1 = XX101t
w1
X2
X20
X2t
I 2 = XX202t
w2
...
Xi
...
Xi0
...
Xit
...
I i = XXi0it
...
wi
...
XN
...
XN0
...
XNt
...
I N = XXN0Nt
...
wN
Las expresiones generales de índices complejos que son más utilizadas se pueden
resumir en este otro cuadro:
Índices sin ponderar
Índices ponderados
N
Índice media
aritmética
Índice media
armónica
IA =
IH =
∑I
N
i
I AW
N
∑
i =1
I AG =
i =1
⎛
I G = ⎜⎜
⎝
it
∑X
i0
I AGW =
i =1
N
∏
i =1
i
N
i =1
Índice media
geométrica
N
i
∑X
N
i
I HW
1
Ii
N
Índice media
agregativa
i
i =1
i
N
N
∑I ⋅w
=
∑w
∑w
=
w
∑I
i
i =1
⎞
I i ⎟⎟
⎠
∑X
it
⋅ wi
∑X
i0
⋅ wi
i =1
N
i =1
1
N
⎛
I GW = ⎜⎜
⎝
1
N
∏
i =1
⎞ ∑ wi
I iw i ⎟⎟
⎠
Las fórmulas de los números índices que propondremos más adelante, para precios,
cantidades y valor, se corresponderán con algunas de estas expresiones.
3. Propiedades de los números índices.
Vamos a exponer a continuación algunas de las propiedades que han sido enunciadas
para caracterizar a un buen índice complejo y se espera que cumplan las formas de índices complejos utilizadas en la práctica. Las cuatro primeras son propiedades, evidentes
en los índices simples, que nos ayudan en el conocimiento del significado e interpretación que se le quiere dar a los índices complejos. Mientras que las tres últimas hacen
referencia a las modalidades y son específicas de los índices complejos.
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- Existencia o determinación: Un número índice no debe tomar nunca un valor indeterminado, ni cero ni infinito. En la definición ya se comentó que sólo podía ser positivo.
- Identidad: Si la situación actual coincide con la situación base, el índice ha de tomar
el valor 1:
I 00 = I tt = 1
- Inversión: Si se intercambian las situaciones base y actual el número índice resultante es igual al inverso del inicial:
1
I 0t = t ⇔ I 0t ⋅ I 0t = 1
I0
- Circular: Si se consideran tres situaciones, “0”, “h” y “t”, se debe cumplir que:
I 0t = I 0h ⋅ I th ⇔ I 0h ⋅ I th ⋅ I 0t = 1
que se puede extender a más situaciones obteniendo la propiedad denominada de encadenamiento:
n
1
2
3
n-1
n
0
I 0n = I 10 ⋅ I 12 ⋅ I 32 ⋅ ... ⋅ I n-1
n-2 ⋅ I n-1 ⇔ I 0 ⋅ I 1 ⋅ I 2 ⋅ ... ⋅ I n-2 ⋅ I n-1 ⋅ I n = 1
Con lo cual deducimos que si se tienen las cifras de dos índices consecutivos,
como pueden ser: I 0h y I ht , de tal forma que el periodo actual del primero es el periodo base del segundo, el índice I 0t , que se refiere a un intervalo de tiempo suma de
los dos anteriores, no se calcula sumando los dos índices conocidos, sino multiplicándolos. Es, por tanto, un error calcular un índice anual sumando las cifras de los
doce índices mensuales.
- Proporcionalidad: Si se cumple para todas las modalidades que Xit = K·Xi0, entonces el índice complejo debe ser igual a K.
- Variación proporcional: Tiene dos versiones equivalentes:
- Si en “t” los valores de todas las modalidades experimentan una variación proporcional, X’it = (1 + k)·Xit, entonces el nuevo índice será: I 0t ( x' ) = ( 1 + k ) ⋅ I 0t (x) .
- Si al pasar a una nueva situación “h” todas las modalidades sufren una variación
proporcional, Xih = (1 + k)·Xit, entonces el índice en “h” será: I 0h = ( 1 + k ) ⋅ I 0t .
-
90
Homogeneidad: Un número índice complejo no debe alterarse a causa de un
cambio en las unidades de medida de alguna de las modalidades que lo definen.
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4. Cambio de base. Enlace de números índices.
Supongamos que tenemos, respecto a cierta magnitud, la serie de sus números índices, primero con base en “0” y, posteriormente, con base en “h”. Normalmente un cambio de base se produce para adaptarse a las nuevas circunstancias, corrigiendo o modificando las ponderaciones y retirando algunas modalidades que ya no resultan representativas, sustituyéndolas por otras que ahora sí lo son. En el siguiente cuadro se exponen
ambas situaciones:
periodos
Índices
(base “0”)
Índices
(base “h”)
0
I 00 = 1
1
I 10
...
...
...
t
I t0
I th
...
...
...
h
I h0
I hh = 1
I h+1
h
h+1
...
...
...
t’
I t0
I th
...
...
...
'
'
Se plantean dos problemas relacionados con el cambio de base:
1) ¿Cómo continuar la serie de índices respecto a la base antigua “0”?. →
2) ¿Cómo completar hacia atrás la nueva serie con base “h”?. →
'
I t0
I th
Ambos problemas tienen una solución fácil, si suponemos que la expresión utilizada,
como índice complejo, verifica la propiedad circular y si en la elaboración de los índices, en los periodos posteriores al cambio de base, se mantienen las mismas modalidades que en los periodos anteriores.
1) Considerando los periodos “0”, “h” y “t`”, y por dicha propiedad se deberá cumplir que:
I t0 = I h0 ⋅ I th
'
'
91
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2) Ahora considerando los periodos “0”, “t” y “h”, y por lo mismo que antes, se
cumplirá que:
I t0
I = I ⋅ I y despejando I , se obtiene: I = h
I0
t
0
h
0
t
h
t
h
t
h
[6.2]
Dos son los problemas con que nos podemos enfrentar al aplicar estas fórmulas al
efectuar un cambio de base. El primero es que las dos relaciones obtenidas no tienen en
cuenta la posible sustitución de modalidades que se suele producir en un cambio de base. El segundo es que en la práctica, con índices de precios o de cantidad, no se suele
utilizar expresiones que verifiquen la propiedad circular, aunque se siga calculando
[6.2] para enlazar series de números índices después de un cambio de base. Habría que
distinguir lo que es un cambio de base de lo que se denomina cambio de origen, que
sería una simple comparación por cociente de dos índices con distintos periodos actuales pero con la misma base, tal como aparece en [6.2], con la intención de determinar la
variación producida entre esos dos periodos. Mientras que en un índice simple coincide
siempre el cambio de origen con el cambio de base, en un índice complejo, que no verifique la propiedad circular, no 1 .
5. Participación y repercusión de una modalidad en la variación del índice.
Sea la magnitud X que se concreta en las N modalidades: X1, ..., Xi, ... , XN . A partir
de sus valores recogidos en los periodos “0”(base) y “t”(actual) se ha elaborado un índit
ce complejo I 0 .
Si en “t”, y para todas las modalidades, se produjeran en sus valores determinadas
variaciones representadas por:
x it' = x it + Δx it
Esto produciría en la cifra del índice complejo una variación que representaremos de
la siguiente forma:
I 't0 = I t0 + ΔI t0
Se llama repercusión de la modalidad Xi en la variación del número índice a la aportación aditiva de dicha modalidad en dicha variación. Si se representa por Ri se cumplirá que:
N
∑ R = ΔI
i=1
i
t
0
Se llama participación de la modalidad Xi en la variación del número índice a la
aportación, medida en porcentaje, de dicha modalidad en dicha variación. Si se representa por PAi será igual a:
PA i =
1
Ri
(× 100)
ΔI t0
Para ampliar esta discusión se puede consultar el manual de A. Novales “Estadística y Econometría”
(1997), págs. 85-86 y 108-109.
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Tema 6: NÚMEROS ÍNDICES
Aplicación al caso de la media aritmética ponderada:
Si suponemos que el índice complejo que se utiliza es una media aritmética ponderada, tendríamos:
∑I ⋅ w
i
i=1
t
0
I =
i
=
N
∑w
i=1
x
∑ it ⋅ w i
i=1 x
i0
N
N
N
∑w
i
i=1
w
∑ (x it + Δx it ) ⋅ i
i=1
x i0
N
I = I + ΔI =
't
0
t
0
t
0
N
∑w
i=1
∑x ⋅
it
i=1
=
wi
x i0
N
∑w
i
Si se produjeran las variaciones ΔXit: x it =
complejo se podría expresar de la siguiente forma:
'
N
i=1
i
x it + Δx it , la variación en el índice
wi N
w
∑ x it ⋅ + ∑ Δx it ⋅ i
i=1
x i0 i=1
x i0
N
N
=
N
∑w
i
i=1
∑ Δx ⋅
t
0
=I +
i
it
i=1
wi
x i0
N
∑w
i=1
i
Resultando las siguientes expresiones para la repercusión y participación:
Δx it ⋅
Ri =
wi
x i0
N
∑w
i=1
wi
R
x i0
PA i = it = N
w
ΔI 0
∑ Δx it ⋅ i
i=1
x i0
Δx it ⋅
y
i
6. Índices de precios e índices de cantidades. Propiedades y relaciones.
Para presentar las formulaciones más habituales en el cálculo de índices de precios,
de cantidades y de valor, vamos a exponer, primero, los elementos que se van a emplear
para su elaboración en el siguiente cuadro:
X1
periodo base “0”
cantidad valor
p10
q10
p10·q10
...
Xi
...
pi0
...
qi0
...
pi0·qi0
...
pit
...
qit
...
pit·qit
...
XN
...
pN0
...
qN0
...
pN0·qN0
...
pNt
...
qNt
...
pNt·qNt
artículo precio
periodo actual “t”
precio cantidad valor
p1t
q1t
p1t·q1t
Índices simples
precio cantidad valor
p1t ⋅q1t
p10 ⋅q10
p1t
p10
q1t
q10
...
...
...
p it
p i0
q it
q i0
p it ⋅q it
p i0 ⋅q i0
...
...
...
p Nt
p N0
q Nt
q N0
p Nt ⋅q Nt
p N0 ⋅q N0
A partir de los datos del cuadro se pueden deducir las siguientes expresiones generales para índices de precios, de cantidad y de valor:
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Índice de precios de Laspeyres: Se puede definir como la media aritmética de los índices simples de precios, ponderada por los valores en la base “0”.
N
LP =
p it
∑p ⋅p ⋅q
i0
i=0
N
i0
i0
=
N
∑p ⋅q
i0
i=1
i0
∑p ⋅q
i0
∑p ⋅q
i0
i=1
N
i=1
it
i0
Esta última expresión, que utilizaremos más a menudo, corresponde a la media agregativa de los índices simples de precios, ponderada por las cantidades del periodo base.
El alumno deberá deducir con que ponderaciones este mismo índice se puede expresar
como media armónica ponderada de los índices simples de precios.
Índice de precios de Paasche: Se puede definir como la media armónica de los índices
simples de precios, ponderada por los valores en el periodo actual “t”.
N
∑p ⋅q
PP =
it
i=1
N
N
it
=
p i0
∑ p ⋅p ⋅q
it
i=1
it
∑p ⋅q
it
∑p ⋅q
it
i=1
N
i=1
it
it
i0
Esta última expresión, que utilizaremos más a menudo, corresponde a la media agregativa de los índices simples de precios, ponderada por las cantidades del periodo actual. El alumno deberá deducir con que ponderaciones este mismo índice se puede expresar como media aritmética ponderada de los índices simples de precios.
Índice de cantidad de Laspeyres: Se puede definir como la media aritmética de los
índices simples de cantidad, ponderada por los valores en la base “0”.
N
LQ =
q it
∑q ⋅p ⋅q
i0
i=0
i0
N
∑p ⋅q
i=1
i0
i0
N
i0
=
∑q ⋅ p
i0
∑q ⋅ p
i0
i=1
N
i=1
it
i0
Esta última expresión corresponde a la media agregativa de los índices simples de
cantidad, ponderada por los precios del periodo base. El alumno deberá deducir con que
ponderaciones este mismo índice se puede expresar como media armónica ponderada de
los índices simples de cantidad.
Índice de cantidad de Paasche: Se puede definir como la media armónica de los índices simples de cantidad, ponderada por los valores en el periodo actual “t”.
94
Introducción a la Econometría
Tema 6: NÚMEROS ÍNDICES
N
∑p ⋅q
PQ =
it
i=1
N
N
it
q i0
∑ q ⋅p ⋅q
i=1
=
it
it
∑q ⋅ p
it
∑q ⋅ p
it
i=1
N
i=1
it
it
i0
Esta última expresión corresponde a la media agregativa de los índices simples de
cantidad, ponderada por los precios del periodo actual. El alumno deberá deducir con
que ponderaciones este mismo índice se puede expresar como media aritmética ponderada de los índices simples de cantidad.
Índice de valor: Se define como la media agregativa simple de los valores:
N
∑p ⋅q
IV =
i=1
N
it
∑p ⋅q
i=1
i0
it
=
Vt
V0
i0
Propiedades de los índices de Laspeyres y de Paasche:
Se pueden destacar las siguientes propiedades:
- Ambos están perfectamente definidos y admiten interpretación económica. En el
caso de índices de precios, una serie de índices de Laspeyres representa la evolución en el tiempo del coste de un conjunto de bienes bajo un presupuesto fijo,
mientras que una serie de índices de Paasche se refiere a presupuestos variables.
- Ambos admiten el cálculo de índices parciales para subgrupos y grupos de artículos, que progresivamente se irán agregando hasta obtener el índice final. Así se podrán calcular índices para determinados modelos de coches, luego para las diferentes marcas, para terminar en la obtención del índice de precios de automóviles. O
calcular índices para cada provincia, luego para comunidad autónoma, hasta llegar
a determinar el índice para todo el territorio nacional.
- Las expresiones de ambos tipos de índices se quedan anticuadas en series largas
que cubran varios periodos de tiempo, debido al envejecimiento de las ponderaciones utilizadas y de las modalidades incluidas en la expresión del índice complejo.
Esto será más grave en los índices de Laspeyres que utilizan ponderaciones referidas al periodo base. Mientras que la antigüedad de un índice de Paasche estará motivada por la falta de representatividad de alguna de las modalidades y la necesidad
de incluir otras. Pero a diferencia del índice de Laspeyres, la utilización de un índice de Paasche exige el conocimiento, para las ponderaciones de cada periodo, de
los presupuestos actuales.
- Ambos verifican las propiedades de existencia, identidad, proporcionalidad, variación proporcional y homogeneidad. Aunque en el caso del índice de Paasche
95
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no se puede admitir económicamente el cumplimiento de la propiedad de variación
proporcional:
Supongamos que en el periodo “t” los precios de todos los bienes sufran una variación proporcional: p it' = (1 + k) ⋅ p it . El índice de Paasche en será, ahora:
N
P =
'
P
∑
N
p it' ⋅ q it
=
i =1
N
∑p
i0
⋅ q it
i =1
∑
N
(1 + k) ⋅ p it ⋅ q it
= (1 + k) ⋅
i =1
N
∑p
i0
⋅ q it
i =1
∑p
it
∑p
i0
⋅ q it
= (1 + k) ⋅ PP
i =1
N
⋅ q it
i =1
Pero esta deducción no es admisible económicamente, ya que supone que las
cantidades, qit, se mantienen constantes cuando se consideran distintas cifras de
precios, al pasar de pit a p it' .
- Ninguno de los dos verifica ni la propiedad de inversión ni la propiedad circular.
Esto afectará a las expresiones del cambio de base:
Si consideramos el caso del índice de precios de Laspeyres y aplicamos la expresión [6.2] del cambio de base, nos quedaría:
LtP0
LhP0
∑p
∑p
=
∑p
∑p
it
⋅ q i0
i0
⋅ q i0
ih
⋅ q i0
i0
⋅ q i0
=
∑p
∑p
it
⋅ q i0
ih
⋅ q i0
≠ LtPh =
∑p
∑p
it
⋅ q ih
ih
⋅ q ih
Al no cumplirse la propiedad circular, el resultado no es el esperado para el
cambio de base. En su lugar se ha obtenido un índice complejo de precios, a través
de una media agregativa con ponderaciones representadas por las cantidades del
antiguo periodo base “0”.
Relaciones entre los índices de Laspeyres y de Paasche:
1) Es más frecuente que, para el mismo conjunto de bienes y los mismos periodos
base y actual, el índice de precios de Paasche sea inferior al índice de precios de
Laspeyres:
PP0t < LtP0
2) Aunque ninguno de los dos cumplen la propiedad de inversión, sí verifican entre
ellos la siguiente relación:
PP0t ⋅ L0Pt = PPt0 ⋅ LtP0 = 1
La podemos comprobar con el primer producto:
PP0t ⋅ L0Pt =
96
∑p ⋅q ∑p ⋅q
⋅
=1
∑p ⋅q ∑p ⋅q
it
it
i0
it
i0
it
it
it
Introducción a la Econometría
Tema 6: NÚMEROS ÍNDICES
El alumno deberá hacer la comprobación para el segundo producto y para la misma relación en el caso de índices de cantidad.
3) Se puede demostrar, fácilmente, que para un mismo conjunto de bienes se cumple
que:
LtP0 ⋅ PQ0t = LtQ0 ⋅ PP0t =
∑p ⋅q
=I
∑p ⋅q
it
it
i0
i0
V
4) Los índices de Laspeyres se utilizan más en la práctica, al ser más fácil y asequible
la obtención de las ponderaciones en el periodo base que el cálculo continuado de
las ponderaciones en cada periodo actual, como exige un índice de Paasche.
Basándose en las formulaciones de Laspeyres y Paasche, Fisher obtuvo una expresión de número índice, conocido como índice “ideal” de Fisher, que verifica la
propiedad de inversión y se define de la siguiente forma:
Índice de precios de Fisher:
FP = L P ⋅ PP =
Índice de cantidad de Fisher:
∑p ⋅q ∑p ⋅q
⋅
∑p ⋅q ∑p ⋅q
it
i0
it
it
i0
i0
i0
it
FQ = L Q ⋅ PQ
7. El problema de la deflación.
Consideremos un conjunto de N bienes o artículos, cuyas cuantías (producidas o
vendidas) y precios (de coste o de venta) en cada periodo son conocidos. Dos tipos de
valoraciones monetarias se pueden realizar sobre este conjunto, en un periodo cualquiera “t”:
N
- Valor monetario a precios corrientes (o valor nominal):
Vt = ∑ p it ⋅ q it , que coi=1
rresponde a la forma más usual de valoración, obtenida por la observación directa de
los datos contables.
N
- Valor monetario a precios constantes (o valor real):
V = ∑ p i0 ⋅ q it , que supone
R
t
i=1
valorar a los precios que se determinaron en el periodo “base” y, por tanto, sus valores únicamente recogen las variaciones causadas por los aumentos o disminuciones
en las cantidades producidas o vendidas, y no por los cambios en los precios.
Mientras que la serie de valores reales, a precios constantes, refleja la evolución de la
producción o de las ventas fielmente, de acuerdo a las variaciones de las cantidades fabricadas o vendidas, la serie de valores nominales, a precios corrientes, recoge las fluctuaciones tanto de las cantidades como de los precios, pudiéndose dar el caso que, debido al aumento de los precios, el valor nominal se incremente, aún habiendo disminuido
la cantidad producida o demandada del conjunto de bienes.
Como lo habitual es observar y recoger los datos de una serie monetaria valorada a
precios corrientes, sería conveniente poder retirar, de la misma, la influencia de las variaciones de los precios, operación que recibe el nombre de “deflación”.
97
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Para descontar el efecto de la inflación o, lo que es lo mismo, para “deflactar” una
serie de valores nominales debemos dividir cada uno de esos valores por un índice de
precios 2 , que corresponda a los precios de los bienes del conjunto representado en la
serie y con base en el periodo donde se determinan los precios constantes. El resultado
de la deflación dependerá de la representatividad del índice de precios utilizado y de su
formulación. Suponiendo que el índice incluyera, únicamente, los precios de los bienes
N
considerados, la serie deflactada debería resultar igual a:
VtR = ∑ p i0 ⋅ q it .
Veamos
i=1
que resultados se obtienen cuando se emplea un índice de Laspeyres o un índice de
Paasche:
p it ⋅ q it
p it ⋅ q it
Vt
t
=
=
⋅
⋅
= V0 ⋅ PQ0
p
q
Con Laspeyres:
i0
i0
t
L P0
p it ⋅ q i0
p it ⋅ q i0
∑
∑
∑p
∑
∑
∑
i0
⋅ q i0
Esto es, no se consigue el valor deseado a precios constantes, pero el resultado deberá estar bastante próximo, ya que es igual al producto del valor monetario en el periodo
base del conjunto de bienes, por el correspondiente índice de cantidad de Paasche que
mide la variación experimentada en las cantidades de los bienes desde ese periodo base.
p it ⋅ q it
Vt
=
=
p i0 ⋅ q it = VtR
Con Paasche:
t
PP0
p it ⋅ q it
∑
∑
∑p
∑
i0
⋅ q it
Con lo que se obtiene exactamente el valor real de la serie y por eso al índice de precios de Paasche se le denomina “deflactor ideal”.
No solo podemos deflactar el valor monetario de un conjunto de bienes, sino también
se podrá aplicar la deflación a una serie monetaria de salarios. Si suponemos que el valor salarial se va a emplear en la adquisición de bienes de consumo, su poder adquisitivo
disminuirá por el aumento de los precios. Una forma de observar la evolución del poder
adquisitivo de los salarios es obtener la serie deflactada o serie de salarios reales, obtenida por división de los salarios nominales entre el índice de precios más adecuado.
8. Ejemplos más importantes.
Para obtener información sobre la elaboración y resultados de los principales índices:
IPC, IPI, IBEX-35 e IGBM, facilitamos a continuación las conexiones a las páginas web
del INE, de los métodos de elaboración del IPC y del IPI, de Bolsas y Mercados Españoles (BME) y de la Bolsa de Madrid.
http://www.ine.es/daco/daco43/meto_res_ipc.htm
http://www.ine.es/
http://www.ine.es/daco/daco43/notaipi.htm
http://www.bolsasymercados.es/?empresa=04
2
http://www.bolsamadrid.es/esp/portada.htm
Si se aplica a un solo bien con el índice simple de precios, se obtiene exactamente el valor del bien al
precio del periodo base:
98
p it ⋅ q it
= p i0 ⋅ q it
p it
p i0
Introducción a la Econometría
Tema 6: NÚMEROS ÍNDICES
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. En 1991 la producción de una determinada fábrica aumentó un 25% respecto a la de
1990. En 1992 la producción bajó un 10% con respecto a la de 1991, pero superó en
un 20% a la de 1993. Calcule los números índices simples de la producción de esta
fábrica para el periodo 1991-1993:
1º) tomando como base el año 1990.
2º) tomando como base el año 1993.
2. En cierto país el I.P.C. ha tenido la siguiente evolución en los últimos años:
Año : 1993 1994 1995
IPC (base 1988): 200 234 269,1
1º: ¿En qué año se produjo un mayor aumento en los precios?.
2º: ¿Cuál fue el aumento de los precios en el año 1995?.
3. El Índice General de la Bolsa de Madrid tomó, en las fechas que se detallan, los siguientes valores
Fecha : 1/1/1986
1/1/1987
4/9/1987
208,31
305,26
Índice : 100
1º: Interprete estas cifras en términos de la variación porcentual producida en el nivel
general de las cotizaciones.
2º: Obtener la cifra que debería haber tomado el Índice General el 1/1/1988 para que
representara en el año 1987 igual variación porcentual del nivel general que la
producida en el año 1986.
3º: Si en el 1/1/1987 se hubiese producido un cambio de base (el Índice en esa fecha
igual a 100), ¿qué cifra correspondería al Índice en la fecha de 4/9/1987?.
4. Una empresa de electrodomésticos dispone de dos secciones A y B. A lo largo de los
últimos 5 años la cantidad producida, en miles de unidades, y los precios unitarios,
en miles de pesetas, se recogen en la siguiente tabla:
SECCIÓN B .
SECCIÓN A .
Precios
Cantidades
Precios Cantidades
1991
50
10
60
11
1992
60
10
70
12
1993
70
15
80
12
1994
60
14
100
15
1995
70
20
120
10
1º: Calcule los Índices de precios de Laspeyres, tomando como base el año 1991.
2º: Calcule los Índices de precios de Paasche, tomando como base el año 1991.
3º: Calcule los Índices de cantidades de Laspeyres, tomando como base el año 1991.
4º: Calcule los Índices de cantidades de Paasche, tomando como base el año 1991.
5º: Calcule los Índices de valor, tomando como base 1991.
6º: Compruebe que se cumplen las correspondientes relaciones entre los cinco tipos
de índices calculados.
99
Departamento de Estadística e Investigación Operativa II (Métodos de Decisión)
5. El aumento del I.P.C. (Índice de Precios al Consumo) en porcentaje respecto a la media del año anterior ha sido en el periodo 1981-90:
año: 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
% : 14,6 14,4 12,1 11,3 8,8
8,8
5,2
4,8
6,8
6,7
1º: Obtenga las cifras anuales del I.P.C. durante dicho periodo con base en 1980.
2º: Calcule, a partir de los datos obtenidos en el apartado anterior, las cifras anuales
del I.P.C. con base en el año 1986.
6. Para una empresa distribuidora de varias modalidades de cierto producto se han recogido los siguientes datos anuales para el periodo 1990-94:
AÑO
1990
1991
1992
1993
1994
VENTAS Índice de precios
(en 106pts. de LASPEYRES
corrientes) ( base 1990)
600
100
590
104
625
110
615
116
660
120
Índice de precios
de PAASCHE
(base 1990)
100
103
109
116
118
1º: Obtenga, utilizando el índice de precios más adecuado, la serie de las ventas deflactada, en millones de pesetas constantes de 1990.
2º: Establezca, razonadamente, por qué el índice de precios utilizado es el más adecuado.
3º: Si en el año 1994 los precios para todas las modalidades hubiesen sido un 10% más
altos, ¿qué cifras de índices de precios de Laspeyres y de Paasche se hubieran obtenido?. Uno de estos resultados no se puede aceptar económicamente, ¿cuál de ellos y
por qué?.
7. En un determinado sector con varias modalidades de cierto producto a la venta se
han recogido los siguientes datos anuales para el periodo 2000-2003 :
AÑO
2000
2001
2002
2003
VENTAS
(en millones de
euros corrientes)
750
786,42
813,7
842,4
VENTAS
(en millones de
euros constantes
del año 2000)
750
765
790
810
1º: Calcule, justificando el método empleado, la serie de índices de precios de Paasche,
con base en 2000, para cada año del periodo considerado.
2º: Si en el año 2004 los precios aumentasen un 5% para todas las modalidades, ¿se podría obtener directamente la cifra del índice de precios de Paasche de ese año?. Demuestre el cumplimiento o incumplimiento de la propiedad correspondiente.
100
Introducción a la Econometría
Tema 6: NÚMEROS ÍNDICES
8. Defina el índice de precios de Laspeyres como media armónica ponderada y demuestre que el índice de precios de Paasche no verifica la propiedad Circular.
Si representamos por 0 al periodo base anterior, por h al nuevo periodo base y por t a
un periodo cualquiera comprendido entre 0 y h , ¿qué expresión se obtiene del índice
de precios de Laspeyres de periodo actual t con base en h a partir de la serie de índices con base en 0, si se aplica el cambio de base ?. Comente la corrección o incorrección del resultado obtenido.
9. Si el valor monetario Vt (Vt = ∑ pit·qit) de una determinada magnitud económica es
deflactado con la cifra correspondiente del índice de precios de Laspeyres, ¿se obtiene exactamente la valoración monetaria de dicha magnitud a precios constantes del
periodo base elegido?. Comente el significado de la expresión a la cual se llega.
Si los valores monetarios, en millones de pesetas, de las ventas anuales de una empresa han sido los que a continuación se expresan acompañados de las cifras de su índice
de precios de Laspeyres:
año (t) :
Ventas(106):
Ltp92 :
1992
1275
100
1993
1300
104
1994
1391
107
1995
1526
109
1996
1595
110
1º: Obtenga los valores de la serie deflactada, en pesetas constantes de 1992.
2º: A partir del resultado teórico deducido en el primer párrafo de esta pregunta, calcule las cifras del índice de cantidad de Paasche para los distintos años con base en
1992.
10. Si sobre una determinada magnitud económica se sabe que:
V90 = ∑ p i90 ⋅ q i90 = 500 ⋅ 106 pts.
L97P90 = 132
97
PQ90
= 118
L97Q90 = 120
i
1º: Obtenga el índice de precios de Fisher de 1997 con base en 1990.
2º: Determine el valor monetario de dicha magnitud en 1997, primero en pesetas
constantes de 1990 y segundo en pesetas corrientes, justificando los cálculos realizados.
11. En un determinado sector con varias modalidades de cierto producto a la venta se
han recogido los siguientes datos anuales para el periodo 2000-2003 :
VENTAS
Índice de precios de
Laspeyres
Año (en millones de euros corrientes)
2000
500
100
2001
556
104
2002
620
109
2003
690
114
1º: Si en el año 2004 los precios aumentasen un 5% para todas las modalidades, ¿se podría obtener directamente la cifra del índice de precios de Laspeyres de ese año?.
Demuestre el cumplimiento o incumplimiento de la propiedad correspondiente.
2º: Calcule, justificando el método empleado, la serie de índices de cantidad de Paasche, con base en 2000, para cada año del periodo considerado.
101
Departamento de Estadística e Investigación Operativa II (Métodos de Decisión)
12. En un determinado sector con varias modalidades de cierto producto a la venta se
han recogido los siguientes datos anuales para el periodo 2003-2006:
VENTAS
AÑO
2003
2004
2005
2006
VENTAS
(en millones de euros
(en millones de euros
corrientes)
constantes del año 2003)
2400
2772
3168
3480
2400
2640
2880
3000
1º: Calcule, justificando teóricamente los métodos y las fórmulas empleadas, la serie
de Índices de Precios de Paasche, la serie de Índices de Valor de las ventas y la serie
de Índices de Cantidad de Laspeyres, todas para cada año del periodo considerado y
con base en 2003.
2º: Si en el año 2007 los precios aumentasen un 5% para todas las modalidades, ¿se podría obtener directamente la cifra del índice de precios de Paasche de ese año?.
Demuestre el cumplimiento o incumplimiento de la propiedad correspondiente.
13. Una empresa fijó, en 900€, el precio unitario de cierto bien en el año 2001. Por otro
lado, el índice de precios del grupo de artículos al que pertenece dicho bien tomó los
siguientes valores en el periodo 2001-2005:
AÑO
2001
2002
2003
2004
2005
Índice de precios
del grupo
80
88
92
100
106
Calcule:
a) El precio unitario del bien en cada uno de los años del periodo 2001-2005, si se
supone que siguió igual evolución que el conjunto de precios del grupo.
b) Si el valor total de las ventas de dicho bien en el año 2005 fue de 1.656.250€, determinar dicho valor a precios constantes del año 2001.
c) En el supuesto de que el índice de precios utilizado sea un índice de precios de
Laspeyres,
- ¿a qué expresión del valor deflactado se llega al utilizar dicho índice como deflactor?.
- al aplicar la fórmula del cambio de base, ¿qué expresión se obtiene del índice
con la nueva base, pero con periodo actual anterior?
Comente ambos resultados.
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