clase 2_teorema de la distribucion muestral_13 junio

Material de clase n° 2
Domingo 13 Junio
TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
A medida que n se vuelve más grande, la distribución de las medias
muestrales se aproxima a una distribución normal con una media 𝑥 = µ y un
error estándar de 𝜎𝑥 =
𝜎
𝑛
.
Toda distribución de probabilidad, puede describirse, mediante su media y su
distribución estándar.
Formulas del error estándar de la media
1
2
3
𝜎𝑥 =
𝜎𝑥 =
𝑛
𝑆
𝑁−𝑛
𝑛−1
Población infinita. Se conoce la varianza de
la población 𝜎 2
Población infinita. Se desconoce la varianza
𝑛−1
𝑁−𝑛
𝜎𝑥 =
.
𝑛 𝑛−1
El termino
𝜎
𝜎
Población finita. Factor de corrección por
finitud
se llama multiplicador o factor de corrección de población
finita y su efecto es el de disminuir el error estándar de la media.
Si el factor de corrección es cercano a 1 este producirá poco efecto en los
cálculos del error estándar de la distribución muestral de la media. Para
detectar rápidamente la conveniencia del uso del factor de corrección se usa
𝑛
la expresión
𝑁
= fracción de muestro.
Cuando esta fracción es menor que 0.05, no es necesario usar el factor de
corrección.
APLICACIÓN DE LA DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS
Es calcular la probabilidad de obtener una muestra con valor determinado
𝑍=
𝑥 −𝜇
𝜎𝑥
=
𝑥 −𝜇
𝜎
𝑛
Donde:
Z=
ecuación normalizada o estandarizada
µ=
media de la población
𝑥=
media de la muestra
𝜎𝑥 = error estándar de la media.
Ejemplo N° 1
Considérese una población normal con media poblacional igual a 100 y una
desviación estándar de 20. Si se selecciona aleatoriamente una muestra de
tamaño 16. ¿Cuál es la probabilidad de que esta muestra tenga una media
entre 90 y 110?
Solución:
µ = 100
𝜎= 20
n = 16
P (90 < 𝑥 < 110)
El error estándar es igual a:
𝜎𝑥 =
𝜎
20
=
𝑛
16
= 5
Los valores Z para 90 y 110 son:
Si 𝑥 = 90
Z=
Z=
90−100
5
𝑥 −𝜇
𝜎
𝑛
= −2.00
Si la media es igual a 110 entonces
Z=
110−100
5
= 2.00
La probabilidad es igual:
P ( -2.00, 2-00) = P(-2.00, 0) + P(0,2.00) = 0.4772+ 0.4772 = 0.9544
Entonces
P (90 < 𝑥 < 110) = 0.9544 = 95.44%
Ósea la probabilidad de que tenga un valor medio entre 90 y 110 es 0.9544 o
95.44%.
EJERCICIOS EN CLASE
1- La distribución de las ganancias actuales de todas las cajeras de un banco
tiene un sesgo negativo. Esta distribución tiene una media de Lps. 15,000
y una desviación estándar de Lps. 2,000. Si se extrae una muestra
aleatoria de 30 cajeras ¿Cuál es la probabilidad de que sus ganancias
promedio sean más de Lps.15,750?
2- ¿Cuál es el error estándar de la media? Si el tamaño de la población es 20
compañías textiles, la desviación estándar es de 75 empleados. Si se
muestrean 5 de esas compañías textiles.
3- Las latas de gaseosas vendidas en Miramarket tienen un promedio de 16.1
oz. Con una desviación estándar de 1.2 oz. Si se toma una muestra de 200
latas. Cuál es la probabilidad de que la media sea:
a) ¿Menor que 16.27?
b) ¿Por lo menos 15.93?
c) ¿Entre 15.9 y 16.3?
TAREA
1- La población de millas recorridas por camioneros de la empresa Standar
Fruit presenta una media de 8,500 con una desviación estándar de 1,950.
Si se toma una muestra de 100 conductores. ¿Cuál es la probabilidad de
que la media sea :
a) ¿Mayor que 8,900?
b) ¿Menor que 8,000?
c) ¿Entre 8,200 y 8,700?
d) ¿Entre 8,100 y 8,400?
2- Una encuesta realizada por la asociación Nacional de Educación revelo
que los estudiantes de último año de secundaria ven televisión un
promedio de 37.2 horas por semana. Se asume que la desviación estándar
es de 5.4 horas. En una muestra de 500 estudiantes. ¿Qué tan probable es
que la media muestral sea :
a) ¿Más de 38 horas?
b) ¿Menos de 36.6?
c) ¿Entre 36.4 y 37.9?
3- Si una población normal tiene una desviación estándar de 25 unidades.
Cuál es el error estándar de la media, si se utiliza muestra de tamaño:
a) n = 16
b) n= 25
c) n= 50
d) n= 100
e) n=150
4- Se tiene una población de tamaño 80 con una media de 22 y una
desviación estándar de 3.2 ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra
de tamaño 25 tenga una media entre 21 y 23.5?
5- Las estaturas de unos niños de un jardín están distribuidas normalmente
con una media de 39 pulgadas y una desviación estándar de 2 pulgadas.
a) Si se selecciona un niño aleatoriamente ¿Cuál es la probabilidad de que
tenga una estatura entre 38 y 40 pulgadas?
b) Se utiliza como muestra un grupo de 30 niños ¿Cuál es la probabilidad
de que la media del grupo exceda a 40 pulgadas?