Mathcad - DerivadasII

APLICACIONES EN CÁLCULO
Introducción al estudio de las derivadas
2
Dada la siguiente función f ( x) := x : (1) encontrar su derivada, (2) el valor de la pendiente en cualquier
punto dado de la curva, (3) la ecuación de la pendiente en el punto seleccionado y (4) graficar la ecuación y
la ecuación de la pendiente en el punto dado.
Solución
(1)
Calcular su derivada simbólicamente:
d
f ( x) → 2⋅ x
dx
(2)
Calcular el valor de la derivada en un punto n
dado y almacenar este valor en una variable
llamada m (pendiente de la recta tangente)
para uso posterior:
n :=
(3)
Para identificar la ecuación de la pendiente,
definimos una fórmula de cálculo en función de
la pendiente y un punto:
recta ( pendiente , P , x) := pendiente⋅ ( x − P1) + P2
1
2
m :=
⎛ n ⎞
⎟
⎝ f ( n) ⎠
d
f ( n)
dn
⎛⎜ 1 ⎞⎟
2
P→ ⎜ ⎟
⎜1⎟
⎜4⎟
⎝ ⎠
Calculamos las coordenadas del punto de
intersección entre la recta y la curva dada
P := ⎜
Ecuación calculada de la recta:
recta ( m , P , x) → x −
Grado de inclinación de la pendiente:
atan ( m) = 45 deg
atan ( m) →
Ricardo Villafaña Figueroa
π
4
1
4
(4)
Graficación:
100
50
f ( x)
recta ( m , P , x)
− 10
−5
0
− 50
x
Ricardo Villafaña Figueroa
5
10
Cambiar el punto de cálculo de la derivada y
observar los cambios
n := 3
m :=
⎛ n ⎞
⎟
⎝ f ( n) ⎠
d
f ( n)
dn
⎛3 ⎞
P→ ⎜ ⎟
⎝9 ⎠
P := ⎜
recta ( m , P , x) → 6⋅ x − 9
atan ( m) = 80.538 deg
atan ( m) → atan ( 6)
100
50
f ( x)
recta ( m , P , x)
− 10
−5
0
− 50
− 100
x
Ricardo Villafaña Figueroa
5
10
Ejemplo
3
2
Para la siguiente función 2x − 9x + 12x encontrar: (1) su derivada en cualquier punto, (2) encontrar los
rangos de X para los cuales la función es creciente y decreciente, (3) calcular la ecuación de la pendiente
en cualquier punto dado, (4) graficar la función y la pendiente en un punto dado.
(1)
Definimos la expresion en función de X:
f ( x) := 2x − 9x + 12x
Calculo de la derivada de la función:
d
2
f ( x) → 6⋅ x − 18⋅ x + 12
dx
(3)
Definir rangos para el estudio de la gráfica:
3
2
x1 := −2
x2 := 3
y1 := 1
y2 := 6
6
5
4
f ( x)
3
2
−2
−1
1
0
1
x
Cálculo del valor de la función en cualquier
punto:
x0 := 0
f ( x0) → 0
Calcular los valores para los cuales la derivada
vale cero:
Ricardo Villafaña Figueroa
⎛1 ⎞
d
f ( x) solve , x → ⎜ ⎟
dx
⎝2 ⎠
2
3
Estudiar los rangos en los cuales la función
es creciente (derivada positiva) o decreciente
(derivada negativa)
x1 := −3 , −2.5 .. 2.5
d
f ( x1) =
dx1
x1 =
120
-3
Dibujar la pendiente en los puntos críticos:
-2.5
94.5
-2
72
-1.5
52.5
-1
36
-0.5
22.5
0
12
0.5
4.5
1
-2.686·10-14
1.5
-1.5
2
-6.188·10-15
2.5
4.5
⎛1 ⎞
⎞
⎛d
f ( x) ⎟ solve , x → ⎜ ⎟
⎝2 ⎠
⎝ dx
⎠
sol := ⎜
x1 := sol1
Cálculo del primer punto
⎛ x1 ⎞
⎟
⎝ f ( x1) ⎠
A1 := ⎜
Ricardo Villafaña Figueroa
m1 :=
⎛1 ⎞
A1 → ⎜ ⎟
⎝5 ⎠
⎛ x2 ⎞
⎟
⎝ f ( x2) ⎠
⎛2 ⎞
A2 → ⎜ ⎟
⎝4 ⎠
d
f ( x1)
dx1
m1 → 0
A2 := ⎜
Cálculo de la ecuación de la primera recta:
x2 := sol2
Cálculo de la ecuación de la segunda
recta:
recta ( m1 , A1 , x) → 5
m2 :=
d
f ( x2) m2 → 0
dx2
recta ( m2 , A2 , x) → 4
Definir rangos para el estudio de la
gráfica:
x1 := −2
x2 := 3
y1 := 1
y2 := 6
6
5
f ( x)
recta ( m1 , A1 , x)
4
recta ( m2 , A2 , x)
3
2
−2
−1
1
0
1
x
Ricardo Villafaña Figueroa
2
3