β β β σ β σ

Examen d'Econometria II. Llicenciatura en Economia. Juny 1999
COGNOMS
DNI
NOM
1) L'estimació MQO d'una funció de demanda de diners per 20 economies
ln Mi = β0 + β1 ln Yi + β2 ln ri + ui
M: demanda de diners, Y: renda, r: tipus d'interès
i=1,2,...,20
ha donat els següents resultats:
^
β 0 = −0.990
^
^
VAR (β MCO ) = σ 2 ( X' X ) −1 =
^
β 1 = 1 .650
^
β 2 = 0.997
 81.59




− 2. 58 − 1.22 

0 .23 − 0.11 
0.16 
SCT = 2382.34
SCE = 727.38
R2 = 0.69
F(2,17) = 19.33 [p-value = 0.00]
DW = 1.93
SCT: Suma de Quadrats Total, SCE: Suma de Quadrats dels Residus, F: contrast de significació
global dels paràmetres, DW: contrast d'autocorrelació de Durbin-Watson.
a) Coneixent la següent informació sobre la distribució del residus:
Simetria = -0.96
Curtosi = 3.91
Test Normalitat B-J = 3.813 (p-value=0.1485)
Quina valoració faries de l'estimació del model?
• Con la información que nos proporcionan podemos valorar el supuesto de normalidad en la
perturbación.
• En una distribución normal el coeficiente de simetría toma valor nulo, mientras que el de
curtosis es igual a 3. Los valores para esos coeficientes de la distribución de los residuos del
modelo no se alejan demasiado de los teóricos para la normal. De todas formas para
confirmar que esto es así deberemos realizar un contraste formal de normalidad como el
propuesto por Bera y Jarque.
• El test de Bera-Jarque sobre los residuos nos da un valor de 3.81. Este estadístico, bajo la
hipótesis nula de normalidad se distribuye como una χ 2 con 2 grados de libertad. En los
resultados nos indican que la probabilidad que deja en la cola de la χ 2 (2) es 0.1485, es
decir que nos encontramos en el área de no rechazo de la hipótesis nula. Concluiríamos que
el supuesto de normalidad de la perturbación es razonable.
• Este resultado nos garantiza la normalidad en el estimador de los parámetros del modelo sin
tener que recurrir al teorema central del límite. Por tanto nos da garantías de la aplicación
de la inferencia en muestra finita en la estimación arriba presentada.
b) Per tal de contrastar si la variància del terme de pertorbació està relacionada amb els valors de
la variable renda (Yi ), es calcula la regressió auxiliar del test de Breusch i Pagan:
SCT = 47.45
2
 ^ 
SCE= 39.39
 ui 
 ^  = − 2. 644 + 0 .174 ln Yi
R2 = 0.17
 σ 
F(1,18) = 3.68 [p-value = 0.071]
(1.920 ) (0. 091)


DW = 2.79
Nota: χ 2 5% (1)=3.84
Podem rebutjar la hipòtesi nul· la d'homoscedasticitat segons aquest contrast? Justifica la resposta.
• El test de BP=1/2*SCRegresiónAUX. Dado que nos proporcionan SCT y SCE, obtendremos
SCR como SCR=SCT-SCE=47.45-39.39=8.06. Por tanto el resultado del contraste:
BP=4.03
• En este ejemplo, bajo la hipótesis nula de homoscedasticidad el test BP se distribuye como
χ2 (1) y el valor crítico al 5% en esta distribución es 3.84. En consecuencia rechazamos la
nula de homoscedasticidad.
c) A continuació es presenten els resultats d'altres regressions auxiliars efectuades sobre els residus
del model inicial:
^
| u i | = − 5. 616 + 0. 491 ln Yi
(4. 733) (0. 223)
SCT = 300.89
SCE= 237.37
F(1,18) = 4.81 [p-value = 0.042]
DW = 2.71
Yi−1
SCT = 300.89
SCE= 240.69
F(1,18) = 4.50 [p-value = 0.048]
DW = 2.65
| u i | = − 15. 704 + 4 .468 ln Yi1 / 2
(9.317 ) (2.041)
SCT = 300.89
SCE= 237.61
F(1,18) = 4.79 [p-value = 0.042]
DW = 2.70
^
| u i | = 14. 306 − 195. 721 ln
(4. 639 ) (92 .247 )
^
^
| u i | = 24.384 − 89.190 ln Yi−1 / 2
(9. 220) (41. 441)
SCT = 300.89
SCE= 239.31
F(1,18) = 4.63 [p-value = 0.045]
DW = 2.67
De quin contrast es tracta i a quina conclusió arribaríem? Detalla la forma funcional que se suposa
en cada cas per la variància del terme de pertorbació.
•
•
•
•
Se está realizando el test de Glesjer.
Las formas funcionales para E(ε i 2) vienen dadas para los valores de h={1, -1, ½, -1/2} en
σi 2 =(γ0 + γ1 lnYh )2 Por tanto que la desviación estándar depende directamente del logaritmo
de la renta, relación inversa, y relación inversa y directa de la raíz del logaritmo de la renta.
En primer lugar comprobamos si en algunas de las especificaciones la variable renta resulta
significativa y por tanto contribuye a explicar la variabilidad de los residuos. Si hacemos
contrastes de la t de significación del parámetro γ1 en todas las regresiones, obtenemos que
en todas ellas se rechaza la nula de no significación, por lo que rechazaríamos el supuesto
de homoscedasticidad.
Para discernir la forma funcional más adecuada para la relación entre varianza y renta,
seleccionamos aquella especificación en la que γ1 sea más significativo, o la que presente
una menor SCE. Calculando los t-ratios para γ1 observamos que el valor más elevado se
obtiene para la primera especificación (h=1). Como es lógico, esa especificación es también
la que proporciona la menor SCE. Por tanto todo apunta a que existe una relación directa
con el log de la renta.
d) Considerant els resultats previs, quines característiques tindrà l'estimació MQO de la matriu de
variàncies i covariàncies dels paràmetres del model, presentada al quadre inicial? Raona la resposta.
•
•
La matriz de VC de la estimación MCO de los parámetros del modelo ha sido estimada
ˆ MCO ) = σˆ 2 (X' X)−1 donde σˆ 2 = εˆ ' εˆ . Pero si la perturbación no es esférica,
como VC(β
N −k
2
ˆ
ˆ (X' X) −1 ( X'ΩX)(X' X) −1 ≠ σˆ 2 (X' X) −1 , y además la
la matriz de VC será VC(βMCO ) = σ
2
estimación de MCO de σ será consistente. En consecuencia los resultados relativos a la
matriz de VC de los parámetros estimados por MCO en la primera tabla no procederán de
una estimación correcta de la matriz de varianzas y covarianzas de los parámetros
estimados.
Por tanto el uso de tal matriz afectará a los resultados de la inferencia, por ejemplo cuando
utilicemos los elementos en la diagonal (varianzas) para construir ratios de la t para el
contraste de hipótesis de los parámetros del modelo.
e) Suposant que lnY i fos "responsable" de l'heteroscedasticitat, descriu clarament i concisa un
mètode d'estimació que proporcionés estimacions eficients en aquestes circumstàncies.
• Deberíamos aplicar MCG. Para ello definimos la matriz Ω como:
 ln Y1

 .
Ω=

 0






ln YN ) 
.
0
.
.
y la utilizamos para calcular:
βˆ MCG = (X' Ω−1 X) −1 ( X'Ω −1Y) . Por lo que respecta a la varianza del modelo:
σˆ MCG =
•
εˆ ' Ω −1 εˆ
, mientras que la matriz de VC de los parámetros:
N−k
VC(βˆ MCG ) = σˆ 2 ( X' Ω −1X)−1
Alternativamente podríamos premultiplicar el modelo por la matriz de transformación
correspondiente a Ω:
 1

ln Y1

.
T=


0


.






1
ln Y20 
0
.
.
TY=TXβ+Tε; Y* = X * β + ε *
y aplicar MCO al modelo transformado:
* *
ˆβMCG = ( X* ' X* ) −1 X* ' Y* , σˆ MCG 2 = εˆ ' εˆ y VC(βˆ MCG ) = σˆ MCG 2 ( X* ' X* ) −1
N −k
2)
A) Per tal de contrastar la hipòtesi de rendiments constants a escala en la funció
d'aparellaments en el marcat de treball de l'economia espanyola, s'ha estimat el següent model:
ln Et = β0 + β1 ln Ut + β2 ln Vt + et t=1,2,...,20
E: aparellaments, U: atur, V: vacants
Els resultats de l'estimació MQO són els següents:
^
^
^
β 0 = 107 .3
VAR (β MCO ) = σ 2 ( X' X ) − 1 =
0
0 
 43. 85


0 .03 0.02 


0.40 

^
β 1 = 0.30
^
β 2 = 0.91
Contrasta la hipòtesi d'interès ( β1 + β2 =1) mitjançant un test de Wald.
• Nos proporcionan toda la información necesaria para aplicar el test de Wald. Si
θNR=(β0 ,β1 ,β2 )’ y c(θ NR ) = (β1 + β2 − 1) , entonces ∂c(θ NR ) / ∂θ = (0,1,1) . Teniendo en
cuenta los resultados de la estimación del modelo no restringido:
c(θˆ NR ) = βˆ 1 + βˆ 2 − 1 = 0.30 + 0.91 − 1 = 0.21 y
(
)
0 
 43.85 0


VAR (β ) = 
0.03 0.02  .
MCO

0.40 

^
•
Por tanto:
−1

0  0 
 43.85 0

 

−
1
W = c(θˆ NR )'¨{VAR (θˆ NR )} c(θˆ NR ) = 0.21(0,1,1)
0.03 0.02 1  0.21


0.40 1 


= 0.212 (0.03 + 0.40 + 2 * 0.02) −1
Bajo la H0 , W~χ2 1 , por lo que con el resultado que se obtiene del estadístico W para
ese caso no rechazaríamos la hipótesis nula de rendimientos a escala en la función
de emparejamientos.
•
Es importante notar que como se trata de una única restricción y además esta es
lineal, el estadístico de Wald equivale a un t-ratio al cuadrado:
(t RTOS )
2
2


 βˆ 1 + βˆ 2 − 1 
βˆ 1 + βˆ 2 − 1




=
=


ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ˆ 
 es(β1 + β 2 − 1) 
 VAR (β1 ) + VAR (β 2 ) + 2 COV (β1β 2 ) 
2
0 .30 + 0 .91 − 1


 0.21 
=
 =
 = 0 .47
 0 .68 
 0.03 + 0 .40 + 2 * 0 .02 
2
2
B) Quins instruments podries fer servir per tal de seleccionar entre les següents especificacions
(justifica breument la resposta):
 E t = β 0 + β1 U t + β 2 Vt + e t

ln E t = β 0 + β1 ln U t + + β 2 ln Vt + e t
•
•
Se trata de dos modelos que no están anidados.
Únicamente podría emplear estadísticos diseñados para discriminar entre este tipo de
modelos: R2 , estadísticos de capacidad predictiva como EPAM, ECM, etc y principalmente
los basados en criterios de información como el AIC y el SC.



•
•
ln E t = β 0 + β1 ln U t + β 2 ln Vt + e t
ln (E/V) t = β 0 + β1 ln( U / V ) t + e t
En este caso ambos modelos están anidados. El modelo no restringido es el primero.
Introduciendo en ese modelo restricción dada por la hipótesis nula de rendimientos
constantes a escala en la función de emparejamientos (β1 + β2 =1) se obtiene la segunda
especificación (modelo restringido).
Para seleccionar entre ambos podemos utilizar cualquier contraste de una restricción lineal
(t, F, Wald, ML, RV), además de cualquiera de los estadísticos válidos para los no
anidados, como los criterios de información.
3) a) Donat els gràfics de les dues sèries següents, digueu (amb una breu explicació en cada cas) si
les sèries són estacionàries en mitjana i variància i si presenten estacionalitat.
•
•
La serie de la izquierda presenta una marcada tendencia a crecer a lo largo del periodo. No
parece razonable suponer que fluctúe de sobre una media constante. Respecto a la
estacionariedad en varianza, resulta menos evidente, pero no se debería descartar que las
fluctuaciones sean mayores al final del periodo que al principio. Lo que sí se aprecia
claramente es un marcado patrón estacional, que origina “picos” y “caídas” muy evidentes
en los mismos meses de los diversos años considerados.
La serie de la derecha parece fluctuar de forma estable sobre un valor medio. Podríamos
pensar que la dispersión es de todas formas mayor al final del periodo, aunque esta
circunstancia podría deberse a algunos outliers. En resumen, no cabría descartar la
estacionariedad en media y en varianza para esta serie. Por otra parte, en este caso no
parece apreciarse un patrón claro de estacionalidad.
b) Donat el quadre següent, a on es recull l'estimació d'un model ARIMA associat a una sèrie
temporal Xt , assenyala la bondat del model proposat (especialment l'anàlisi de la seva invertibilitat i
estacionarietat), així com assenyala altres instruments que haguessin estat útils per a la seva
validació.
•
•
•
•
•
Los dos coeficientes del modelo son altamente significativos.
Dado que se trata de un proceso media móvil tanto para la componente regular como para
la estacional, el modelo será estacionario. Además será invertible dado que tanto la raíz del
polinomio del MA(1) regular como del estacional están fuera del círculo unidad, |L|>1,
dado que ambos coeficientes son menores a 1 en valor absoluto.
Por lo que respecta a los parámetros, en caso de que se hubiese proporcionado la
información de la matriz de correlaciones, se habría comprobado que no fuesen
redundantes.
Respecto a los residuos se podría haber comprobado: su normalidad, la ausencia de
autocorrelación y la ausencia de observaciones atípicas.
Asimismo se podría haber analizado la capacidad predictiva del modelo, tanto ex-ante
como ex-post a través de las medidas habituales de capacidad predictiva: EPAM, ECM, etc
c) Sabent que la sèrie Wt =∆∆12 Xt , i que Xt segueix un model ARIMA (2,1,0)(0,1,1)12 , dibuixa un
correlograma teòric de la FAS i FAP tant de Wt com de Xt (a se possible, detalla les interaccions
que hi haurien en els esmentats correlogrames)
Xt:
Xt requiere de una diferencia en la componente regular y otra en la estacional para ser
estacionario, por lo que en origen no es un proceso estacionario en ninguna de esas
componentes. Por tanto, el correlograma de la FAS será el habitual para un proceso no
estacionario: todos los coeficientes igual a la unidad, mientras que el de la FAP únicamente
presentará el primer coeficiente distinto de cero e igual a la unidad. Conviene indicar que la
no estacionariedad regular no permitirá manifestarse a la estacional.
1
1
1
wt=∆∆ 12Xt:
Tras ser diferenciado en las componentes regular y estacional el proceso resultante presenta un
AR(2) regular y un MA(1) estacional. Por tanto la FAS mostrará decrecimiento en los primeros
coeficientes y un coeficiente distinto de cero en el 12º (correspondiente a la estructura MA(1)
estacional). Por su parte la FAP mostrara en la parte regular los dos primeros coeficientes distintos
de cero y una estructura de decrecimiento en los coeficientes múltiplos de 12 (12, 24, 36).
1
1
12
12
24
36