Departamento de Matemáticas.
I.E.S. Severo Ochoa. Granada.
Matemáticas 4º ESO. Opción B
2ª Prueba (1ª Evaluación) CURSO 09-10
Solución
1.-
(2 p) Racionaliza, opera y simplifica la siguiente expresión:
2 15 − 6 21
3 7 +5 5
Solución:
2 15 − 6 21
3 7 +5 5
2.-
=
( 2 15 − 6 21)(3 7 − 5 5 ) = 6
(3 7 + 5 5 )(3 7 − 5 5 )
105 − 10 75 − 18 147 + 30 105
2
(3 7 ) − (5 5 )
2
=
=
6 105 − 10 52 3 − 18 7 2 3 + 30 105 6 105 − 50 3 − 126 3 + 30 105 −176 3 + 36 105
=
=
=
63 − 125
−62
−62
=
176 3 − 36 105 88 3 − 18 105
=
62
31
a) (1 p) Opera y simplifica las siguiente fracción algebraica:
2 x − 4 x2 + x
⋅
x2 − 1 x2 − 2 x
Solución:
2 ( x − 2 ) x ( x + 1)
( 2 x − 4) ( x2 + x )
2 ( x − 2 ) x ( x + 1)
2 x − 4 x2 + x
2
⋅
=
=
=
=
2
2
2
2
x − 1 x − 2 x ( x − 1)( x − 2 x ) ( x + 1)( x − 1) x ( x − 2 ) ( x + 1) ( x − 1) x ( x − 2 ) ( x − 1)
b) (1p) Calcula el valor de m para que la división (x3 - 3x2 + mx – 2) : (x+1) sea exacta.
Solución:
(x3 - 3x2 + mx – 2) : (x+1). Hacemos la división por Ruffini e igualamos a cero el resto.
1
−1
1
-3
m
-2
-1
4
-m-4
-4
4+m
-m-6
-m-6=0 ⇒ -m=6 ⇒ m=-6
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3.-
I.E.S. Severo Ochoa. Granada.
a)(1p) Marcial emplea tres horas más que Rosa en realizar un trabajo de Historia. Sin
embargo juntos lo harían en dos horas. ¿Qué tiempo empleará Marcial en hacerlo solo?
Solución:
La siguiente tabla explica el problema:
Lo que tarda Marcial en
hacer solo el trabajo (en
horas)
Lo que tarda Rosa en
hacer sola el trabajo(en
horas)
La parte del trabajo que
hace Marcial en 1 hora
La parte del trabajo que
hace Rosa en 1 hora
La parte del trabajo que
hace juntos en una hora.
(Todo lo hacen en 2 h)
1
x
1
x −3
1
2
x−3
x
Así pues se tiene que la parte de trabajo que hacen juntos en una hora es la suma de las
partes del trabajo que hacen cada uno, solos, en una hora.
1
1
1
+
=
x ( x − 3) 2
; 2 ( x − 3) + 2 x = x ( x − 3 ) ; 2 x − 6 + 2 x = x 2 − 3 x ; x 2 − 7 x + 6 = 0
7−5 2
x=
= =1
7 ± 49 − 24 7 ± 25 7 ± 5
2
2
x=
=
=
⇒
2
2
2
x = 7 + 5 = 12 = 6
2
2
X=1 no puede ser, porque entonces Rosa tarda x-3=1-3=-2 horas. Entonces Marcial
emplea 6 horas en hacer el trabajo solo.
b) (1p) Resuelve la siguiente ecuación x 4 − 20 x − 4 x 2 + 5 x3 = 0 .
Solución:
x 4 − 20 x − 4 x 2 + 5 x3 = 0 ; x 4 + 5 x3 − 4 x 2 − 20 x = 0 ; x ( x 3 + 5 x 2 − 4 x − 20 ) = 0
Utilizamos Ruffini para descomponer x 3 + 5 x 2 − 4 x − 20
1
2
5
-4
-20
x 2 + 7 x + 10 = 0
−7 − 3 −10
x=
=
= −5
2
14
20
−7 ± 49 − 40 −7 ± 9 −7 ± 3
2
2
x=
=
=
⇒
2
2
2
0
1
7
10
x = −7 + 3 = −4 = −2
2
2
Por tanto factorizo el polinomio y la ecuación que queda es:
x=0
( x-2 ) =0 ⇒ x=2
3
2
x ( x + 5 x − 4 x − 20 ) = 0 ⇒ x ( x-2 )( x+5)( x+2 ) = 0 ⇒
( x+5 ) =0 ⇒ x=-5
( x+2 ) =0 ⇒ x=-2
Las soluciones son 0, 2,-5 y -2.
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4.- (2p) Resuelve la siguiente ecuación: ( 2x + 1)( x - 3) = ( x + 1)( x 2 - 1) - 8
2
2
2
Solución:
( 2x 2 + 1)( x 2 - 3) = ( x 2 + 1)( x 2 - 1) - 8 ⇒ 2x 4 − 6x 2 + x 2 − 3 = x 4 − 1 − 8 ⇒
x 4 − 5x 2 + 6 = 0 ⇒; Que es bicuadrada, hacemos el cambio x 2 = t ⇒ x 4 = t 2 y queda:
t 2 - 5t + 6=0
5 −1 4
t=
= =2
5 ± 25 − 24 5 ± 1 5 ± 1
2
2
t=
=
=
⇒
5
+
1
6
2
2
2
t =
= =3
2
2
Ahora para cada t hallamos los valores de x sustituyendo en x 2 = t :
x = − 2
t=2 ⇒ x 2 = 2 ⇒ x = ± 2 ⇒
x = + 2
x = − 3
t=3 ⇒ x 2 = 3 ⇒ x = ± 3 ⇒
x = + 3
5.- (2p) Resuelve la siguiente ecuación radical y comprueba las soluciones:
4x+1 +
x-2 = 7
Solución:
4x+1 +
⇒ 4x+1 = 49 - 14 x-2 + x − 2 ⇒ 14
(
2
2
) = ( 7- x-2 ) ⇒
x-2 = −3x + 46 ⇒ (14 x-2 ) = ( −3x + 46 )
x-2 = 7 ⇒ 4x+1 = 7- x-2 ⇒
4x+1
2
2
⇒
⇒ 196 ( x-2 ) = 9x 2 -276x + 2116 ⇒ 196x - 392=9x 2 -276x + 2116 ⇒
⇒ 9x 2 - 472x + 2508 = 0 ⇒
472 − 364 108
x
=
=
=6
472 ± 222784 − 90288 472 ± 132496 472 ± 364
18
18
x=
=
=
⇒
18
18
18
x = 472 + 364 = 836 = 418
18
18
9
Comprobación:
1. x=6 ⇒
4 ⋅ 6+1 + 6-2 = 7 ⇒ 25 + 4= 7 ⇒ 5 + 2= 7 ⇒ 7= 7. Si es.
2. x=
418
418
⇒ 4⋅
+1 +
9
9
⇒
1681
+
9
418
418
-2 ⇒ 4 ⋅
+1 +
9
9
418
-2 = 7 ⇒
9
400
41 20
61
=7⇒
+
= 7 ⇒ = 7 ⇒ 20.3 = 7. No es.
9
3
3
3
Sube medio punto a la nota de la prueba: Calcula, sin utilizar la calculadora, el siguiente
logaritmo log 27 9
Solución:
log 27 9 = log 27
(
3
27
)
2
2
= log 27 ( 27 ) 3 =
2
3
0
