Estimados padres, me dirijo a Vds para comunicarles que soy la

I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
INTERACCIÓN GRAVITATORIA - RESUMEN
1. Leyes de Kepler.
Describen el movimiento de los planetas y
son válidas también para cualquier cuerpo que
gire en órbita alrededor de otro y obedezca a
una fuerza que sea inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia.
La segunda ley implica que los
planetas no se mueven con la misma velocidad
en todos los puntos de la órbita. Su velocidad
es mayor en las proximidades del Sol
(perihelio) y menor cuando están más alejados
(afelio).
La tercera ley implica que cuanto más
alejado está un planeta del Sol mayor es su
período de revolución. La constante K es la
misma para todos los planetas del sistema
solar y depende sólo de la masa del Sol:
K=
4 π2
GMS
Si aplicamos la tercera ley a los
satélites de un planeta, la constante K es igual
para todos los satélites y depende sólo de la
masa del planeta, pero su valor es diferente al
de los planetas alrededor del Sol:
K=
4 π2
GMP
2. Ley de la Gravitación Universal.
Nos indica que la interacción gravitatoria
entre dos cuerpos es atractiva y puede
expresarse mediante una fuerza central
directamente proporcional a las masas de los
cuerpos e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que los separa.
Matemáticamente se expresa:
r
m m' r
F = −G 2 ur
r
donde el signo negativo nos indica que la
fuerza es atractiva y, por lo tanto, de sentido
r
contrario a u r .
Esta ley es estrictamente aplicable a
masas puntuales o a cuerpos esféricos de
densidad uniforme donde la distancia r se mide
a partir de los centros de los cuerpos. En buena
aproximación se puede aplicar al caso de
planetas, satélites y cuerpos en las
proximidades de los planetas.
3. Principio
fuerzas.
de
superposición
de
Indica que la fuerza que actúa sobre una
masa cualquiera debido a un conjunto de
masas es la resultante de las fuerzas que las
demás masas ejercen sobre ella, consideradas
individualmente:
r
FTotal sobre 1 =
n
r
∑F
i1
i=1
4. Principio de equivalencia.
Establece que la masa inercial y la
masa gravitacional son la misma magnitud.
5. Magnitudes que intervienen en el campo
gravitatorio.
a) Magnitudes características del
r
campo: Son la intensidad del campo g en un
punto, desde una perspectiva dinámica y el
potencial del campo en un punto, desde un
enfoque energético de la interacción.
b) Magnitudes correspondientes a la
interacción del campo con una partícula: Son la
fuerza que actúa sobre la partícula como
medida de la interacción, desde una
perspectiva dinámica y la energía potencial de
la partícula asociada a su posición relativa en el
campo, desde un enfoque energético de la
interacción.
6. Intensidad del campo gravitatorio.
La intensidad del campo gravitatorio
que crea una masa M en un punto, , se define
como la fuerza que actuaría sobre la unidad de
masa testigo colocada en dicho punto. Es decir:
Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria
1
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Dpto. Física y Química
r
r F
g=
m'
Ep(r ) = −G
Se
le
suele
llamar
también
simplemente campo gravitatorio. Representa
asimismo la aceleración que adquiriría una
partícula situada en el punto considerado. Su
unidad en el S.I. es el N/kg que equivale a
m/s2.
La expresión del campo gravitatorio en
función de la masa M que lo crea y de la
distancia r al punto considerado es:
r
GM r
g = − 2 ur
r
por lo tanto, es una magnitud vectorial radial
cuyo sentido apunta a la masa M creadora del
campo, disminuyendo con el cuadrado de la
distancia, anulándose en el infinito.
7. Principio de superposición de campos.
Nos indica que el campo gravitatorio
creado por varias masas en un punto es la
suma vectorial de los campos gravitatorios
creados por cada una de las masas en dicho
punto:
r
g Total =
n
r
∑g
considerando como nivel cero de energía
potencial gravitatoria aquel en el que la fuerza
gravitatoria es cero, es decir, en el infinito.
La Ep es una magnitud escalar que
aumenta al aumentar la distancia entre las
partículas. Su valor es siempre negativo,
derivado de la elección de nivel cero en el
infinito. Esta Ep representa “el trabajo que
realiza el campo gravitatorio cuando la partícula
se desplaza desde el punto considerado hasta
el infinito”.
Si consideramos el sistema formado
por la Tierra y un cuerpo de masa m, si el
cuerpo se acerca a la Tierra es porque el
campo gravitatorio realiza un trabajo, y éste
trabajo del campo se realiza a expensas de la
energía potencial que tenía el sistema
inicialmente y, por lo tanto, al acercarse va
disminuyendo la Ep del sistema (disminuye r).
Si, por el contrario, ejercemos una fuerza
externa al campo, alejando el cuerpo de la
Tierra, estamos realizando un trabajo sobre el
sistema y éste trabajo queda almacenado en el
sistema en forma de energía potencial ya que
esta aumenta (al aumentar r).
i
i=1
8. Variación del campo gravitatorio con la
altura.
El campo gravitatorio disminuye con la
altura sobre la superficie terrestre de la forma:
gh = g 0
m m'
r
R 2T
(R T + h)2
donde gh es el campo a una altura h sobre la
superficie terrestre, go es el campo en la
superficie y RT es el radio de la Tierra.
9. Energía Potencial Gravitatoria.
Al
ser
el
campo
gravitatorio
conservativo se puede definir una energía
potencial asociada a la posición. La expresión
de la energía potencial gravitatoria de una
partícula m’ (en realidad, la Ep asociada al
sistema de dos partículas) dentro del campo
gravitatorio creado por otra partícula m es:
10. Energía potencial como “mgh”.
El término “mgh” referido a la energía
potencial gravitatoria presupone que el nivel
cero de energía potencial es la superficie de la
Tierra, y es una expresión aproximada ya que
estamos considerando que “g” permanece
constante al variar la altura.
11. Potencial gravitatorio en un punto.
Se define como la energía potencial
que adquiriría la unidad de masa colocada en
dicho punto.
V=
Ep
m
= −G
m'
r
Al ser una energía potencial por unidad
de masa en la expresión del potencial sólo
aparece la masa m creadora del campo y la
distancia r al punto considerado; por lo tanto,
será un magnitud característica del campo
gravitatorio.
Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria
2
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
Su unidad en el S.I. será J/kg. Al igual
que la Ep, el potencial gravitatorio es una
magnitud escalar, su nivel cero está en el
infinito y será siempre negativo, aumenta al
aumentar la distancia r.
El potencial gravitatorio en un punto
representa “el trabajo por unidad de masa que
realiza el campo gravitatorio para trasladar la
partícula desde el punto considerado hasta el
infinito”.
El potencial en un punto creado por
varias masas es la suma de los potenciales que
crea cada una de las masas:
n
VTotal =
∑V
i
13. Energía total de un objeto en órbita
alrededor de otro.
Viene dada por la expresión:
M m
1
mv 2 − G T =
2
r
MT m
MT m
MT m
=G
−G
= −G
2r
r
2r
E = Ec + Ep =
La energía mecánica (total) de un
cuerpo en órbita es siempre negativa. Este
resultado es válido tanto para órbitas circulares
como elípticas. En estos casos el cuerpo que
orbita está ligado al campo gravitatorio del
cuerpo sobre el que orbita y no podrá escapar
de él.
i=1
La diferencia de potencial gravitatorio
entre dos puntos A y B es igual al trabajo
realizado por el campo gravitatorio para
trasladar la unidad de masa de A a B;
matemáticamente:
VA − VB =
∫
B
A
r r
g • dr
Si la diferencia de potencial entre dos
puntos es positiva será porque el primer punto
tiene mayor potencial que el segundo y, en este
caso, es el campo gravitatorio quien realiza el
trabajo para trasladar la unidad de masa de un
punto a otro a costa de una pérdida de Ep del
sistema. En caso contrario, si la diferencia de
potencial es negativa, el segundo punto estará
a mayor potencial que el primero, y para
trasladar el cuerpo se tendrá que ejercer una
fuerza externa, que será la que realice el
trabajo, incrementándose la Ep del sistema.
Esta energía mínima será cuando el
cuerpo alcanza el infinito con velocidad cero.
En este caso, su Ep(∞)=0 y Ec(∞)=0, luego su
Energía mecánica=0. Luego, la energía que
tendremos que comunicarle para que escape
debe ser tal que la E mecánica alcance el valor
cero, luego:
E Total + E Enlace = 0
⇒
E Enlace = −E Total
y como la energía total es negativa podemos
escribir que:
12. Velocidad orbital.
La velocidad con la que un cuerpo
orbita alrededor de otro se obtiene
considerando que la fuerza centrípeta
necesaria es debida a la fuerza de atracción
gravitatoria. El valor de la velocidad orbital es:
v=
14. Energía de amarre, ligadura o enlace. Un
cuerpo en órbita y, por tanto, ligado al campo
gravitatorio tiene una energía mecánica
negativa. Si queremos que escape del campo
gravitatorio habrá que comunicarle la energía
necesaria para que el cuerpo alcance el infinito
y deje de estar ligado al campo gravitatorio. La
mínima energía que hay que comunicarle se le
llama energía de amarre, ligadura o enlace ya
que por debajo de este valor el cuerpo quedará
amarrado o ligado al campo.
GMp
r
donde Mp es la masa del planeta alrededor del
cual está orbitando el cuerpo y r es el radio de
la órbita medida desde el centro del planeta.
E Enlace = E Total
luego, la energía de enlace es igual al valor
absoluto de la energía total que el sistema
cuerpo-planeta posee.
Si el cuerpo está en reposo en la
superficie de un planeta su energía de enlace
es:
E Enlace = G
Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria
Mp m
rp
3
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Si el cuerpo está orbitando alrededor
del planeta la energía de enlace es:
E Enlace =
1 Mp m
G
2
rp
15. Velocidad de escape.
Es la velocidad que hay que
comunicarle a un cuerpo para que abandone el
campo gravitatorio y deje de estar ligado a él.
Para obtenerla partimos de que la energía
cinética que hay que comunicarle debe ser
como mínimo igual a la energía de enlace,
luego:
Ec escape + E Total = 0
Dpto. Física y Química
v escape =
2GMp
rp
Esta
velocidad
de
escape
es
independiente de la masa del cuerpo, siendo
una característica del planeta de que se trate.
16. Energía y órbitas.
Si la energía mecánica (total) que un
cuerpo posee es negativa el cuerpo estará
ligado al campo gravitatorio y llevará una órbita
circular o elíptica.
Si la energía total es cero o positiva el
cuerpo no estará ligado al campo gravitatorio y
llevará una órbita parabólica o hiperbólica.
Si el cuerpo está en la superficie del
planeta, la velocidad de escape vale:
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4
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
INTERACCIÓN GRAVITATORIA - CUESTIONES Y EJERCICIOS
CUESTIONES
1º. Se desea colocar un satélite en una
órbita circular, a una cierta altura sobre la
Tierra.
a) Explique las variaciones energéticas del
satélite desde su lanzamiento hasta su
situación orbital.
b) ¿Influye la masa del satélite en su
velocidad orbital?.
PAU Universidades Andaluzas, 1999-2000.
v=
luego la Ec en B se podrá expresar como:
Ec (B) =
v
A
h
1 GM T MS
2 RT + h
ΔE = E T (B) − E T ( A ) = −
Tierra
En esta posición la energía total del satélite
será solo energía potencial gravitatoria, ya que
está en reposo antes del lanzamiento, cuya
expresión será:
ET ( A ) = Epg( A ) = −
G MT MS
1
; Ec (B) = MS v 2
RT + h
2
Ahora bien, la velocidad orbital del satélite
viene dada por:
GM T M S
1 GM T MS
−−
2 RT + h
RT
Esta variación de energía es la que tendrá que
suministrar el cohete lanzador del satélite para
poder ponerlo en órbita.
b) Como hemos visto antes la velocidad orbital
del satélite a una altura h viene dada por la
expresión:
G MT MS
RT
Una vez en órbita, posición B de la figura, el
satélite poseerá energía potencial gravitatoria y
energía cinética puesto que está orbitando con
una velocidad v determinada. Las energías en
esta posición orbital serán:
Epg (B) = −
=−
G M T MS
1 G M T MS
+
=
RT + h
2 RT + h
Luego el satélite sufre variación de energía
cinética y variación de energía potencial
gravitatoria, de tal manera que la variación total
de energía que experimentará será:
B
RT
1 G MT MS
2 RT + h
Y la energía total en la posición B, suma de la
potencial y la cinética será:
E T (B) = −
a) El satélite se encuentra inicialmente en
reposo en la superficie de la Tierra, situación A
de la figura.
G MT
RT + h
v=
G MT
RT + h
Donde se puede apreciar que esta velocidad no
depende para nada de la masa del satélite sino
de la masa de la Tierra y de la distancia al
centro de la misma que queramos que orbite el
satélite.
--------------- 000 ---------------
2º. Comente los siguientes enunciados,
definiendo los conceptos físicos asociados
y justificando su carácter de verdadero o
falso:
Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria
5
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
a) El campo gravitatorio es conservativo y
por tanto existe un potencial asociado a él.
b) El trabajo realizado por el campo
gravitatorio sobre una partícula que se
desplaza entre dos puntos es menor si lo
hace a través de la recta que une dichos
puntos, ya que es el camino más corto.
PAU Universidades Andaluzas, 1999-200
a) El campo gravitatorio es efectivamente
conservativo lo que significa que el trabajo que
realizada cuando desplaza a una masa de un
punto a otro sólo depende del punto inicial y
final y es independiente de la trayectoria
seguida. En el caso de campos conservativos
se asocia a ellos una energía potencial de tal
forma que el trabajo que realiza se puede
expresar como W = - ΔEpg .
El potencial gravitatorio en un punto de un
campo gravitatorio se define como la energía
potencial gravitatoria que adquiere la unidad de
masa colocada en dicho punto, es decir:
Vg =
Dpto. Física y Química
b) ¿Puede ser negativo el trabajo realizado
por una fuerza gravitatoria?, ¿puede ser
negativa la energía potencial gravitatoria?.
PAU Universidades Andaluzas, 1999-2000.
a) La energía potencial gravitatoria está
relacionada con el trabajo que realiza el campo
gravitatorio cuando desplaza una partícula m
de un punto a otro de tal forma que W(campo)
= - ΔEpg. De tal forma que lo que importa
realmente es la variación que sufre dicha
energía. El valor de la Epg en un punto es
arbitrario, de tal forma que podemos elegir
como cero el punto que deseemos. Una vez
elegido el nivel cero, la expresión de la Epg en
otro punto vendrá dada en función del trabajo
que realiza el campo gravitatorio.
∞
m
RT
E pg
Tierra
m
Luego: Epg = m Vg . Por lo tanto, al campo
gravitatorio se le puede asociar un potencial
gravitatorio de tal forma que el trabajo que
realiza el campo gravitatorio cuando desplaza
una masa m desde un punto a otro se puede
expresar como:
W = − ΔEpg = −m ΔVg
Vamos a calcular el trabajo que realiza el
campo gravitatorio cuando desplaza una masa
m desde la superficie de la Tierra hasta el
infinito, ver figura.
∞
r
r
F • dr =
∞
r
GMTm r
u • dr =
2
RT
RT
r
∞
∞ dr
GMTm
GMTm
dr = −GMTm
=
−
=−
2
2
RT
R
RT
r
T r
W (Fg ) =
∫
∫
−
∫
∫
Luego esta afirmación es cierta.
b) Esta afirmación es falsa ya que como hemos
visto antes el campo gravitatorio es
conservativo y, por lo tanto, el trabajo que
realiza al desplazar una masa depende sólo del
punto inicial y final, siendo independiente del
camino que se siga.
--------------- 000 ---------------
3º. Razone las respuestas a las siguientes
preguntas:
a) Si el cero de energía potencial
gravitatoria de una partícula de masa m se
sitúa en la superficie de la Tierra, ¿cuál es el
valor de la energía potencial de la partícula
cuando ésta se encuentra a una distancia
infinita de la Tierra?.
Ahora bien, este trabajo es igual a la variación
negativa de la energía potencial gravitatoria
entre los dos puntos, luego:
−
[
]
GM T m
= −ΔE pg = − E pg (∞ ) − E pg (sup) =
RT
= E pg (sup) − E pg (∞ )
Si consideramos ahora como cero el valor de la
Epg(sup) entonces el valor de la energía
potencial gravitatoria a una distancia infinita
será:
−
GM T m
= E pg (sup) − E pg (∞ ) = 0 − E pg (∞ )
RT
⇒
E pg (∞ ) =
GM T m
RT
b) Si la masa se desplaza alejándose del
cuerpo que ejerce la atracción gravitatoria (por
Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria
6
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
ejemplo, la Tierra), el trabajo que realiza la
fuerza gravitatoria es negativo. Este es el caso,
por ejemplo, de un cuerpo que asciende
alejándose del centro de la Tierra.
La energía potencial gravitatoria puede ser
negativa, todo depende de dónde se sitúe el
nivel cero de energía potencial gravitatoria. Por
ejemplo, si el nivel cero se sitúa en el infinito, la
expresión de la energía potencial gravitatoria
en cualquier otro punto viene dada por:
GM T m
E pg (r ) = −
r
Y, por lo tanto, su valor es negativo.
Dpto. Física y Química
realizaría trabajo alguno, ya que formaría un
ángulo de 90º con el desplazamiento, por lo
tanto si W(Fg)=0, entonces ΔEpg = 0 y la
energía potencial gravitatoria no variaría. Esto
es lógico ya que al movernos en una dirección
perpendicular al campo gravitatorio estaríamos
desplazándonos
por
una
superficie
equipotencial donde la energía potencial
permanece constante.
b) En el primer caso el trabajo que realizaría el
campo gravitatorio, según la figura, sería:
1
m
2
d
g = cte
--------------- 000 ---------------
4º. Una partícula se mueve en un campo
gravitatorio uniforme.
a) ¿Aumenta o disminuye su energía
potencial gravitatoria al moverse en la
dirección y sentido de la fuerza ejercida por
el campo? ¿Y si se moviera en una
dirección perpendicular a dicha fuerza?.
Razone las respuestas.
b) Escriba una expresión del trabajo
realizado por la fuerza gravitatoria sobre la
partícula para un desplazamiento “d”, en
ambos casos. ¿En qué se invierte dicho
trabajo?.
PAU Universidades Andaluzas, 1998-1999.
W (Fg ) =
∫
2
1
r
r
F • dr =
∫
2
1
r
r
2
2
F i • dr i = F dr = mg dr
∫
1
∫
1
Y como la masa y el campo son constantes
tendremos que:
∫
2
∫
2
W (Fg ) = mg dr = mg dr = mg(r2 − r1) = mgd
1
1
Este trabajo realizado se invierte en disminuir la
energía potencial gravitatoria de la masa que
se desplaza y, como el campo es conservativo,
aumentará su energía cinética.
2
a) Si el campo gravitatorio es uniforme significa
que su valor, en módulo, es igual en todos los
puntos del espacio.
Si una partícula se mueve en la dirección y
sentido del campo significa que es el campo
gravitatorio quien está realizando el trabajo
para desplazarla, este trabajo lo realiza el
campo a consta de la energía potencial
gravitatoria almacenada, luego la energía
potencial gravitatoria disminuye conforme se
avanza en la dirección y sentido del campo.
Como el campo gravitatorio es conservativo,
entonces el trabajo que realiza se puede poner
como
W (Fg ) = − ΔEpg
Y al ser positivo este trabajo, la variación de
energía potencial será negativa, es decir, la
energía potencial disminuirá.
Si la partícula se mueve en una dirección
perpendicular a la fuerza gravitatoria, ésta no
d
m
g = cte
1
En el segundo caso el trabajo es nulo ya que, a
partir de la figura tendremos que:
r
2r
2 r
2
r
W (Fg ) = F • d r = F i • dr j = F dr cos 90 º = 0
∫
1
∫
1
∫
1
Por lo tanto, al ser nulo el trabajo, no variará ni
la energía potencial ni la cinética.
--------------- 000 ---------------
5º. a) Enuncia la tercera ley de Kepler.
b) Si el radio de la órbita circular de un
planeta A es cuatro veces que la de otro B,
¿en qué relación están sus períodos?.
Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria
7
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
PAU Castilla-La Mancha, 1999.
P=
a) La tercera ley de Kepler relaciona el periodo
de revolución de un planeta con su distancia
media al sol. Especifica que “el cuadrado del
período de revolución de un planeta es
directamente proporcional al cubo de su
distancia media al sol”. Matemáticamente se
puede expresar de la forma:
GMpm
RP2
G2MTm
=
9R2T
=
2 GMTm 2
= P(Tierra)
9 R2T
9
Y como el peso en la Tierra es de 100 N,
tendremos que el peso en el planeta será:
P=
2
2
P(Tierra) = 100N = 22 , 22 N
9
9
T 2 = kr 3
--------------- 000 --------------Donde k es la constante de Kepler, de igual
valor para todos los planetas.
b) Si aplicamos la tercera ley de Kepler a cada
uno de los planetas tendremos que:
TA2 = k r A3
TB2 = k rB3
;
Si dividimos miembro a miembro las dos
ecuaciones tendremos que:
TA2
TB2
=
r A3
rB3
Y como rA = 4 rB tendremos que:
7º. Un lejano planeta posee un radio que es
el doble de la Tierra, y su densidad media de
masa es la misma que la de la Tierra.
¿Dónde será mayor el peso de un objeto, en
el planeta o en la Tierra. Especifica cuánto.
PAU La Rioja, 1999.
El peso en la superficie del planeta y en la da la
Tierra serán:
PP =
GMpm
B
TA2
TB2
=
rA3
rB3
=
64 rB3
rB3
T
= 64 ⇒ A = 64 = 8
TB
Y por lo tanto, el período del planeta A será
ocho veces más grande que el del planeta B.
--------------- 000 ---------------
6º. Si un cuerpo tiene un peso de 100 N
sobre la superficie terrestre, calcula su peso
en la superficie de otro planeta cuya masa
sea el doble que la de la Tierra y su radio
sea el triple que el de la Tierra.
PAU Comunidad Valenciana, 1999.
RP2
;
PT =
GMTm
R2T
Ahora bien: RP = 2 RT y si las densidades son
las mismas podremos poner que:
MP
MT
=
4
4
3
πR P
πR 3T
3
3
MP = 8 MT
⇒
MP
8R 3T
=
MT
⇒
R 3T
Y por lo tanto:
PP =
GMpm
RP2
=
G8MTm
4R2T
=2
GMTm
R2T
= 2 PT
Luego el peso en el planeta será el doble que
en la Tierra.
--------------- 000 ---------------
El peso de un cuerpo de masa m en el planeta
será:
P=
GMp m
R P2
Y como Mp = 2 MT y Rp = 3 RT , tendremos
que:
8º. El cometa Halley se mueve en una órbita
alrededor del Sol. En el perihelio (posición
más próxima) el cometa está a 8'75.107 km
del Sol, y en el afelio (posición más alejada)
está a 5'26.109 km del Sol.
Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria
8
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
a)¿En cuál de los dos puntos tiene el
cometa mayor velocidad? ¿Y mayor
aceleración?.
b) ¿En qué punto tiene mayor energía
potencial? ¿Y mayor energía mecánica?.
PAU Madrid, 1999.
a) Si aplicamos la segunda ley de Kepler, la
velocidad aereolar es constante, implica que el
comete cuando está más cerca del Sol debe
moverse a una velocidad mayor que cuando
está más lejos. Luego tendrá más velocidad en
el perihelio.
La aceleración en cualquier punto depende de
la fuerza que el Sol ejerce sobre él y de la
masa del cometa y como en el perihelio está
más cerca del Sol se verá sometido a mayor
fuerza, según la ley de gravitación de Newton,
por lo tanto se verá sometido también a mayor
aceleración.
b) La energía potencial gravitatoria aumenta
con la distancia entre los cuerpos ya que viene
dada por la expresión:
Epg = −
GMsm
r
Luego, al aumentar r aumenta la energía
potencial gravitatoria. Por lo tanto, en el afelio
tendrá mayor energía potencial gravitatoria.
El campo gravitatorio es conservativo, lo cual
implica que la energía mecánica permanece
constante. Luego el cometa tendrá la misma
energía mecánica en el perihelio y en el afelio.
A partir del hecho de que la energía mecánica
permanece constante, podemos deducir que al
tener menor energía potencial gravitatoria en el
perihelio, deberá tener mayor energía cinética,
es decir, deberá moverse a mayor velocidad en
el perihelio, lo cual ratifica la deducción del
apartado a).
--------------- 000 ---------------
Dpto. Física y Química
Las líneas del campo gravitatorio producido por
las dos masas serían las siguientes:
La intensidad del campo gravitatorio es una
magnitud vectorial y, en un punto determinado,
vendrá dada por la suma vectorial de las
intensidades que genera cada una de las
masas. Como las dos masas son iguales existe
un punto donde se anula el campo gravitatorio
total y este sería el punto medio del segmento
que une las dos masas, ver figura. En este
punto, el módulo de los dos campos es el
mismo pero sus sentidos son contrarios,
anulándose mutuamente.
g (2)
g (1)
1
2
p.m.
El potencial gravitatorio creado por una masa
en un punto determinado es una magnitud
escalar y su valor viene dado por:
V=−
GM
r
Por lo tanto, el potencial que crea la masa 1 en
cualquier punto es negativo, al igual que
ocurrirá con las masa 2. Luego es imposible
que exista un punto donde el potencial total,
suma de los dos, se anule sino que seguirá
siendo también negativo.
--------------- 000 ---------------
9º. Dibuja las líneas del campo gravitatorio
producido por dos masas puntuales iguales
separadas una cierta distancia. ¿Existe
algún punto donde la intensidad del campo
gravitatorio sea nula? En caso afirmativo
indica dónde.
¿Existe algún punto donde el potencial
gravitatorio sea nulo?. En caso afirmativo,
indica dónde.
PAU Oviedo, 1999.
Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria
9
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
PROBLEMAS
1º. Calcula el período de revolución de
Marte alrededor del sol sabiendo que : la
distancia media de Marte al Sol es de 228
millones de kilómetros , la distancia media
de la Tierra al Sol es de 149,6 millones de
kilómetros , y el período de revolución de
la Tierra alrededor del Sol es de 365,26 días
.
Si aplicamos la tercera ley de Kepler al planeta
Marte tendremos que:
Ahora bien, no conocemos la constante de
Kepler k, pero como esta constante es igual
para todos los planetas podemos obtenerla con
los datos relativos a la Tierra, es decir:
TT2
rT3
=
(3,1558 ⋅ 107 s)2
11
3
(1,496 ⋅ 10 m)
g1 =
GM1
r12
6,67 ⋅ 10 −11Nm 2kg −2 2 kg
=
1 m2
=
= 1,334 ⋅ 10 −10 N kg −1
g2 =
GM 2
r22
=
6,67 ⋅ 10 −11Nm 2kg −2 5 kg
4 m2
=
= 8,337 ⋅ 10 −11 N kg −1
La expresión vectorial de cada uno de estos
campos sería:
TM2 = k rM3
k=
Para obtener el campo gravitatorio en el punto
P vamos a calcular primero el módulo de cada
uno de los campos gravitatorios creados por las
masas.
= 2,97 ⋅ 10 −19 s2 m− 3
Y, por lo tanto, el período de revolución de
Marte será:
TM = k rM3 = 2,97 ⋅ 10−19 s2 m−3 (2,28 ⋅ 1011m)3 =
= 5,93 ⋅ 107 s = 686,69 dias terrestres
--------------- 000 ---------------
r
r
g1 = − 1,334 ⋅ 10 −10 i N kg −1
r
r
g 2 = − 8,337 ⋅ 10 −11 j N kg −1
El campo gravitatorio total en el punto P será la
suma vectorial de ambos, es decir:
r
r
r
gP = − 1,334 ⋅ 10 −10 i − 8,337 ⋅ 10 −11 j
N kg−1
Cuyo valor numérico será: gp = 1,57 · 10-10 N
kg-1.
b) El trabajo que realiza el campo gravitatorio
para trasladar una partícula de masa m desde
un punto a otro viene dado por:
W (Fg ) = − m ΔV
2º. Dos partículas de masas m1 = 2 kg y m2
= 5 kg están situadas en los puntos P1(0,2)
m y P2(1,0) m, respectivamente.
a) Dibuje el campo gravitatorio producido
por cada una de las masas en el punto
O(0,0) m y en el punto P(1,2) m y calcule el
campo gravitatorio total en el punto P.
b) Calcule el trabajo necesario para
trasladar una partícula de 0'1 kg desde el
punto O al punto P.
G=6'67.10-11 N m2 kg-2.
PAU Universidades Andaluzas, 1999-2000.
Y
(0,2)
M1
g1
a) Los campos
gravitatorios en los
dos
puntos
indicados serían
los representados
en la figura.
P
g2
g1
O
g2
M2
Luego vamos a calcular el potencial gravitatorio
total que crean las masas en los puntos O y P.
V(O) = V1(O) + V2 (O) = −
GM1 GM 2
−
=
r1
r2
= − 4 ⋅ 10 −10 J kg −1
V(P) = V1(P) + V2 (P) = −
GM1 GM2
−
=
r1
r2
= − 3 ⋅ 10 −10 J kg −1
Luego la variación de potencial cuando se
traslada de O a P será:
ΔV = V (P ) − V (O) = 1 ⋅ 10 −10 J kg −1
X
Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria
10
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
Por lo tanto, el trabajo que realiza el campo
gravitatorio para trasladar la masa de 0,1 kg
desde O hasta P será:
W (Fg ) = − m ΔV = − 0,1 kg ⋅ 1⋅ 10 −10 J kg −1 =
= − 1⋅10
−11
J
El hecho de que este trabajo salga negativo
significa que no es el campo gravitatorio el que
desplaza libremente la partícula de O a P, sino
que tiene que actuar una fuerza externa para
desplazarla.
--------------- 000 ---------------
3º. Un cuerpo de 300 kg situado a 5000 km
de altura sobre la superficie terrestre, cae
hacia el planeta.
a)
Explique
las
transformaciones
energéticas que tienen lugar y calcule con
qué velocidad llega a la superficie,
suponiendo que el cuerpo partió del reposo.
b) ¿A qué altura sobre la superficie terrestre
debe estar el cuerpo para que su peso se
reduzca a la cuarta parte de su valor en la
superficie?.
G=6'67.10-11 N m2 kg-2 , RT=6400 km , MT=
6.1024 kg.
PAU Universidades Andaluzas, 1999-2000.
a) El cuerpo inicialmente, en la posición A de la
figura, toda su energía mecánica es de tipo
potencial gravitatoria ya que está en reposo.
A
h=5000 km
v
RT
Em (B) = −
Como el campo gravitatorio es conservativo la
energía mecánica permanecerá constante a lo
largo de toda la caída, por lo tanto podremos
poner que:
E m ( A ) = E m (B)
=−
−
GMT m
=
RT + h
GMT m 1
+ m v B2
RT
2
⎛
⎞
⎛ GMT
GMT ⎞
h
⎟⎟
⎟⎟ = 2GMT ⎜⎜
vB = 2⎜⎜
−
+
R
R
+
h
R
(
R
h
)
T
⎝ T T
⎠
⎝ T
⎠
Y al sustituir los valores correspondientes nos
da una velocidad de:
v B = 7406,21 m s −1
b) El peso en la superficie valdrá:
P(sup) =
GMTm
R 2T
Y el peso a la altura h será:
P(h) =
GMTm
r2
Donde r =RT+h. Como P(h) = P(sup) / 4 ,
tendremos que:
r
Tierra
⇒
De donde despejando la velocidad al llegar al
suelo tendremos que:
GMTm
B
GMTm 1
+ m vB2
RT
2
2
=
GMTm
4R2T
⇒
r 2 = 4 R2T
⇒
r = 2 RT
Por lo tanto, la altura a la que deberá estar será
h = RT.
El valor de esta energía mecánica será:
Em ( A ) = −
GMTm
RT + h
Al caer, va perdiendo energía potencial
gravitatoria y va ganando energía cinética, de
forma que cuando llega al suelo su energía
mecánica será de ambos tipos y su valor
vendrá dado por:
--------------- 000 ---------------
4º. Se eleva un cuerpo de 200 kg desde la
superficie de la Tierra hasta una altura de
5.000 km.
Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria
11
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
a)
Explique
las
transformaciones
energéticas que tienen lugar y calcule el
trabajo mínimo necesario.
b) Si, por error, hubiéramos supuesto que el
campo gravitatorio es uniforme y de valor
igual al que tiene en la superficie de la
Tierra, razone si el valor del trabajo sería
mayor. Igual o menor que el calculado en el
apartado a). Justifique si es correcta dicha
suposición.
RT=6400 km , MT=6.1024 kg ,G=6'67.10-11 N m2
kg-2.
PAU Universidades Andaluzas, 1998-1999
Tanto en la posición A como en la B el cuerpo
está en reposo, luego su energía cinética no
sufre variación al ser nula en ambos casos.
B
A
RT
h=5000 km
m = 200 kg
Tierra
La variación de energía que experimenta es de
tipo potencial gravitatoria. Al alejarse de la
Tierra el cuerpo gana energía potencial
gravitatoria, luego el trabajo mínimo que habrá
que realizar equivaldrá a la variación de
energía potencial gravitatoria que experimenta
el cuerpo. Es decir:
W = Epg (B) − Epg ( A ) = −
GMTm
GMTm
−−
=
RT + h
RT
necesaria para levantarlo es cada vez menor a
lo largo de los 5.000 km.
En la suposición de que el campo gravitatorio
es uniforme y de valor el de la superficie, el
trabajo que habría que realizar sería:
W = mgh = 200 kg ⋅ 9,8 m s −2 ⋅ 5 ⋅ 10 6 m = 9,8 ⋅ 10 9 J
Donde podemos observar que se realizaría un
trabajo casi doble que en el primer caso, por lo
tanto, la suposición es totalmente incorrecta.
--------------- 000 ---------------
5º.
El
radio
de
la
Tierra
es,
aproximadamente, 6370 km. Si elevamos un
objeto de 20 kg de masa a una altura de 300
km sobre la superficie de la Tierra.
a) ¿Cuánto pesa el objeto a esa altura?.
b) ¿Cuál será el incremento de su energía
potencial?.
c) Si se le deja caer desde esa altura, ¿con
qué velocidad llegaría a la superficie de la
Tierra?.
Datos: MT=5'98.1024 kg , G=6'67.10-11 N m2
kg-2.
PAU País Vasco, 1999.
B
h=300 km
A
RT
m = 20 kg
Tierra
⎛ 1
1 ⎞
⎟⎟
= GMTm⎜⎜
−
⎝ RT RT + h ⎠
Al sustituir los datos numéricos nos queda un
trabajo de:
9
W = 5,485 ⋅ 10 J
b) En el supuesto de considerar que el campo
gravitatorio, a lo largo de los 5000 km de
trayectoria, es constante e igual al que tiene en
la superficie de la Tierra, el trabajo ha realizar
sería bastante más grande ya que en todo
momento habría que realizar sobre el cuerpo
para poder trasladarlo una fuerza igual a su
peso en la superficie. En la realidad, como la
fuerza de atracción debida a la Tierra va
disminuyendo conforme nos alejamos, la fuerza
a) El peso del objeto a esa altura será:
P=
GMTm
(RT + h)2
= 179,31 N
b) La variación de energía potencial será:
ΔEpg = Epg (B) − Epg ( A ) = −
GMTm
GMTm
−−
=
RT + h
RT
⎛ 1
1 ⎞
⎟⎟ = 5,632 ⋅ 107 J
= GMTm⎜⎜
−
R
R
h
+
T
⎝ T
⎠
c) Al caer, pierde energía potencial y gana
energía cinética. Como el campo gravitatorio es
conservativo, la energía potencial gravitatoria
Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria
12
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
que pierde desde B a A (la calculada en el
apartado anterior) se transformará en cinética
en la posición A. Luego:
1
m v 2A = ΔE pg
2
=
⇒
vA =
2 ΔE pg
m
c) Trabajo necesario para traer una masa de
10 kg desde el infinito hasta el punto (0,0).
a) Los campos gravitatorios que generan cada
una de las masas en el origen O están
representados en la figura.
=
7
2 ⋅ 5,632 ⋅10 J
= 2373,18 m s −1
20 kg
Y
M3
C(0,2)
--------------- 000 ---------------
g3
M1
6º. Conocidos los valores del radio de la
Tierra, 6400 km, y de la aceleración de la
gravedad en la superficie, g0=9'8 m/s2.
Calcula la altura sobre la superficie de la
Tierra a la cual el valor de “g” se reduce a la
mitad.
El valor de g en la superficie viene dado por:
g0 =
GMT
R2T
g2 =
Dividiendo ambas ecuaciones
simplificando tendremos que:
y
g0 (RT + h)
=
gh
R2T
2
Y como g0 = 2 gh tendremos que:
RT + h
RT
⇒
h = 2 RT − RT =
= 2650,96 km
X
g2
B(3,0)
GM1
r12
GM2
r22
= 7,41⋅ 10 −10 Nkg−1
= 3,70 ⋅ 10 −10 Nkg−1
GM3
= 3,33 ⋅ 10 −9 Nkg−1
r32
Vectorialmente se podrán expresar de la forma:
g3 =
m.a.m.
O
Los módulos de cada uno de estos campos
serán:
g1 =
Y el v0alor a una altura h será:
GMT
gh =
(RT + h)2
2=
g1
A(-3,0)
M2
r
r
GM
g1 = 2 1 = − 7,41⋅ 10 −10 i
r1
Nkg−1
r
r
GM
g2 = 2 2 = 3,70 ⋅ 10 −10 i
r2
Nkg−1
r
r
GM
g3 = 2 3 = 3,33 ⋅ 10 −9 j
r3
Nkg−1
El campo gravitatorio total en el punto O será la
suma vectorial de estos tres, es decir:
--------------- 000 ---------------
7º. Dadas las masas m1=100 kg, m2=50 kg y
m3=200 kg situadas en los puntos A(-3,0) ,
B(3,0) y C(0,2) respectivamente, calcular:
a) Intensidad del campo gravitatorio y
potencial gravitatorio en el punto (0,0).
b) Trabajo que debe de realizarse para
formar dicha distribución.
r
r
g(O) = − 3,71⋅ 10 −10 i
+
r
3,33 ⋅ 10 −9 j
Nkg−1
Cuyo módulo valdrá g(O) = 3,35·10-9 N kg-1.
El potencial gravitatorio es una magnitud
escalar y su valor en el punto O será la suma
de los potenciales que crea cada una de las
masas, es decir:
Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria
13
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
V (O ) = −
Dpto. Física y Química
GM1 GM2 GM3
−
−
= −1 ⋅ 10−8 Jkg−1
r1
r2
r3
b) El trabajo para formar dicha distribución de
masas equivale a la energía potencial
gravitatoria del conjunto de masas, es decir:
Epg = −
GM1M2 GM1M3 GM2M3
−
−
=
r12
r13
r23
= −6,67 ⋅ 10 −11 Nm2kg− 2 ×
⎛ 100kg ⋅ 50kg 100kg ⋅ 200kg 50kg ⋅ 200kg ⎞
⎟⎟ =
× ⎜⎜
+
+
6m
13
13
⎝
⎠
= −6,1 ⋅ 10 −7 J
Y como la masa y el campo son constantes
tendremos que:
W (Fg ) =
∫
B
A
∫
B
mg dr = mg dr = mg(rB − rA ) = mgd =
A
= 10 kg ⋅ 8 Nkg−1 ⋅ 10 m = 800 J
Este trabajo se invierte en variar la energía
cinética de la masa, luego:
ΔE c = E c (B) − E c ( A ) = W (Fg )
⇒
E c (B) = W (Fg ) + E c ( A ) = 800 J + 200 J = 1000 J
--------------- 000 --------------c) El trabajo que realiza el campo gravitatorio
para desplazar una masa desde el infinito hasta
el punto O viene dado por:
W (campo ) = −mΔV = −m[V(O) − V(∞ )] =
[
= −10 kg − 1 ⋅ 10−8 Jkg−1
−
]
0 = 1 ⋅ 10 −7 J
El signo positivo indica que es el campo
gravitatorio el que traslada las masas desde el
infinito hasta el punto O. El trabajo que
realizaría una fuerza externa sería el mismo
pero con signo negativo.
--------------- 000 ---------------
9º. Un planeta, de forma esférica y radio
1000 km, crea un campo gravitatorio de
intensidad g=0'5 N/kg en un punto P situado
a 5000 km de su centro. Calcular:
a) la masa del planeta.
b) El potencial a 2000 y 8000 km del centro
si tomamos como origen de potencial el
punto P y le asignamos el valor cero (VP=0).
Dato: G=6'67.10-11 N m2 kg-2.
a) El campo gravitatorio a una distancia
determinada viene dado por:
g=
8º. La intensidad de un campo gravitatorio
uniforme es 8 N/kg. Una masa de 10 kg tiene
una energía cinética de 200 J cuando pasa
por un punto A del campo. Calcular la
energía cinética de esa masa, que se mueve
en la dirección del campo, cuando pasa por
un punto B que dista 10 m de A.
El trabajo que realizaría el campo gravitatorio
para trasladar la masa m desde A hasta B,
según la figura, sería:
m
A
=
r
⇒
2
MP =
(
0,5 Nkg −1 ⋅ 5 ⋅ 10 6 m
6,67 ⋅ 10
−11
2
Nm kg
gr 2
=
G
)
2
−2
= 1,87 ⋅ 10 23 kg
b) La diferencia de potencial entre dos puntos
se puede expresar como:
r
GM r
ur • d r =
2
A
A
r
⎛ 1
⎞
⎛
1
1
1⎞
= −GM⎜⎜ − + ⎟⎟ = GM⎜⎜ − ⎟⎟
⎝ rB rA ⎠
⎝ rB rA ⎠
VA − VB =
∫
Br
r
g • dr =
∫
B
−
B
GM
A
r2
∫−
dr =
B
Si consideramos como A el punto situado a
2000 km del centro y como B el punto P,
tendremos que:
d=10 m
g = cte
W (Fg ) =
=
GMp
∫
Br
A
r
F • dr =
∫
B
A
r
r
F i • dr i =
B
∫ F dr =
A
B
∫ mg dr
A
Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria
14
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
⎛1
1
VA − VP = VA − 0 = VA = GM⎜⎜ −
⎝ rP rA
Dpto. Física y Química
⎞
⎟⎟ =
⎠
= 6,67 ⋅ 10 −11Nm 2kg −2 × 1,87 ⋅ 10 23 kgx
1
1
⎞
⎛
x⎜
−
⎟ = −3,74 ⋅ 10 6 Jkg −1
6
6
⎝ 5 ⋅ 10 m 2 ⋅ 10 m ⎠
Realizando el mismo razonamiento pero
tomando ahora como A el punto situado a 8000
km del centro y como B el punto P, tendremos
que:
⎛1
1⎞
VA − VP = VA − 0 = VA = GM⎜⎜ − ⎟⎟ =
⎝ rP rA ⎠
Aplicando la tercera ley de Kepler podemos
obtener la masa del Sol de la forma:
T2 =
4 π2 3
r
GMS
⇒
MS =
4 π2 r 3
GT
2
= 1,98 ⋅ 1030 kg
Y el campo gravitatorio solar en el punto
considerado será:
g=
GM S
r2
=
6,67 ⋅ 10 −11Nm 2 kg −2 ⋅ 1,98 ⋅ 10 30 kg
(1,495 ⋅ 10 m)
9
2
=
= 59,08 Nkg −1
= 6,67 ⋅ 10 −11Nm 2 kg −2 × 1,87 ⋅ 10 23 kgx
1
1
⎞
⎛
x⎜
−
⎟ = 9,35 ⋅ 10 5 Jkg −1
6
6
5
10
m
8
10
m
⋅
⋅
⎠
⎝
--------------- 000 ---------------
10º. Marte posee un satélite con un período
de 460 min que describe una órbita con un
radio orbital medio de 9'4.106 m. ¿Cuál es la
masa de Marte?.
Si aplicamos la tercera ley de Kepler al sistema
Marte-satélite tendremos que:
--------------- 000 ---------------
12º. Cuatro partículas iguales de 1 kg de
masa están situadas en los vértices de un
cuadrado de 2 m de lado. Determina:
a) El campo gravitatorio en el centro del
cuadrado.
b) El módulo de la fuerza gravitatoria que
experimenta cada partícula debido a la
presencia de las otras tres.
c) La energía potencial gravitatoria de una
partícula debida a la presencia de las otras
tres.
T 2 = kr 3
Donde la constante k vales:
k=
4 π2
GMm
a) Los campos gravitatorios que crean las
cuatro masas son los representados en la
figura.
m=1 kg
Combinando las dos ecuaciones tendremos
que:
Mm =
2 3
4π r
G T2
L=2 m
= 6,45 ⋅ 1023 kg
--------------- 000 ---------------
11º. Suponiendo que la órbita terrestre es
circular de 1'495.108 km de radio y que la
Tierra invierte 365'25 días en su revolución
completa, determinar la intensidad del
campo gravitatorio solar en un punto que
diste del Sol la centésima parte que nuestro
planeta.
Como se puede observar, por la simetría del
problema, todos los campos son iguales en
módulo y, por lo tanto, se anulan mutuamente,
luego el campo total en el centro del cuadrado
será nulo.
b) La fuerza sobre cada partícula debido a las
demás será igual en módulo para cada una de
ellas, variando sólo la dirección y sentido en
que actúa. Por lo tanto, calcularemos la que se
ejerce sobre una solo. Si representamos las
Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria
15
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
fuerzas que se ejercen, por ejemplo, sobre la
situada en la esquina superior izquierda
tendremos que:
c) Para calcular la energía potencial de una de
las partículas debido a las otras tres
consideraremos que esta energía viene dada
por:
E pg = m ⋅ V total
F1
Donde m es la masa considerada y Vtotal es el
potencial gravitatorio que crean las otras tres
masas en el punto donde se encuentra la masa
m. Por lo tanto:
45º
F2
F3
Cuyos valores numéricos serán:
F1 =
6,67 ⋅ 10
−11
2
Nm kg
4m
−2
Epg
⋅ 1kg ⋅ 1kg
2
=
= 1,66 ⋅ 10 −11 N
F2 =
6,67 ⋅ 10 −11Nm 2kg −2 ⋅ 1kg ⋅ 1kg
8m 2
=
--------------- 000 ---------------
6,67 ⋅ 10 −11Nm 2kg −2 ⋅ 1kg ⋅ 1kg
4m 2
=
= 1,66 ⋅ 10 −11 N
Vectorialmente se expresarán como:
r
r
F1 = 1,66 ⋅ 10 −11 i
⎞
−⎟
⎟
⎟
−⎟ =
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= −9,02 ⋅ 10 −11 J
= 8,33 ⋅ 10 −12 N
F3 =
⎛ 6,67 ⋅ 10 −11Nm2kg−2 .1kg
⎜−
⎜
2m
⎜
−11
6,67 ⋅ 10 Nm2kg− 2 .1kg
= 1kg ⋅ ⎜ −
⎜
8m
⎜
−11
2 −2
⎜ 6,67 ⋅ 10 Nm kg .1kg
⎜−
2m
⎝
r
r
N ; F3 = −1,66 ⋅ 10 −11 j
N
Para expresar vectorialmente F2 calcularemos
primero sus componentes:
F2 x = F2 ⋅ cos 45 º = 5,89 ⋅ 10 −12 N
F2 y = F2 ⋅ sen 45º = 5,89 ⋅ 10
−12
13º. Dos masas puntuales m=10 kg están
separadas una distancia de 48 cm. Una
tercera masa m’=100 g se deja en reposo en
un punto A equidistante de las dos masas
anteriores y situado a una distancia de 18
cm por encima del punto medio B del
segmento que une las masas m. Determinar:
a) La aceleración de la masa m’ en los
puntos A y B.
b) La velocidad de dicha masa en el punto
B.
a) La situación de las masas sería la de la
figura.
N
m’=0,1 kg
Por lo tanto:
A
r
r
r
F2 = 5,89 ⋅ 10 −12 i − 5,89 ⋅ 10 −12 j N
L=18 cm
Luego la fuerza total sobre la suma m será la
suma vectorial de cada una de las fuerzas:
r r
r
r
r
F = F1 + F2 + F3 = 2,24 ⋅ 10 −11 i − 2,24 ⋅ 10 −11 j N
B
m1=10 kg
D=48 cm
m2=10 kg
Cuyo módulo será:
F=
(2,24 ⋅ 10 ) + (− 2,24 ⋅ 10 )
= 3,16 ⋅ 10
−11 2
−11
−11 2
=
a) La aceleración de la masa m’ en el punto A
vendrá dada por:
N
Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria
16
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
a=
Dpto. Física y Química
F
m'
Donde la fuerza F es el módulo de la fuerza
resultante de las que ejercen las masas m1 y
m2 sobre ella. Estas fuerzas serían las
representadas en la figura:
m’=0,1 kg
Pero, se podrá resolver fácilmente utilizando
términos de energía. La masa m’ cae dentro del
campo gravitatorio creado por las otros dos
masas y como el campo gravitatorio es
conservativo, la energía mecánica de la masa
m’ se conservará en su caída. Luego:
Em( A ) = Em(B )
⇒
Epg ( A ) = Epg (B ) + Ec (B )
Luego:
A
F1
30 cm
Ec (B ) = Epg ( A ) − Epg (B )
F2
53,13º
30 cm
18 cm
24 cm
m1=10 kg
Para calcular la energía potencial gravitatoria
de m’ en un punto tendremos en cuenta que
esta viene dada por:
24 cm
m2=10 kg
E pg = m' V total
Como las masas m1 y m2 son iguales y la
distancia a m’ es igual, las dos fuerzas F1 y F2
serán iguales en módulo y de valor:
F1 = F2 =
= 7,41⋅ 10
6,67 ⋅ 10 −11Nm 2kg −2 ⋅ 10kg ⋅ 0,1kg
(0,3m)2
−10
=
F = 2 ⋅ Fy = 2 ⋅ 7,41⋅ 10 −10 N ⋅ cos 53,13º =
= 8,89 ⋅ 10
⎛ Gm1 Gm2 ⎞
⎟=
−
Epg ( A ) = m' VA = m' ⎜⎜ −
r2 A ⎟⎠
⎝ r1A
= −4,44 ⋅ 10 −10 J
N
La fuerza total vendrá dada como suma de las
componentes y de cada una de estas fuerzas,
ya que las componentes x se anulan
mutuamente. Esta fuerza total irá dirigida
verticalmente hacia abajo.
Además, las
componentes y de ambas fuerzas son iguales
luego:
−10
Donde Vtotal es el potencial gravitatorio que
crean las otros dos masas, m1 y m2, en el punto
considerado. Luego:
⎛ Gm1 Gm 2
−
E pg (B) = m' VB = m' ⎜⎜ −
r2B
⎝ r1B
⎞
⎟⎟ =
⎠
= −5,55 ⋅ 10 −10 J
Por lo tanto:
Ec (B) = Epg( A ) − Epg (B) = 1,11 ⋅ 10−10 J
Y, finalmente, la velocidad en B será:
N
Y la aceleración en el punto A será:
F 8,89 ⋅ 10 −10 N
a( A ) =
=
= 8,89 ⋅ 10 −9 ms − 2
m'
0,1kg
Es evidente que en el punto B la aceleración de
la masa m’ será nula ya que en ese punto las
fuerzas que ejercen las otras dos son iguales y
de sentido contrario y, por lo tanto, se anularán.
b) Para calcular la velocidad en B de la masa
m’ en su movimiento de caída no podremos
utilizar las ecuaciones del movi. uniformemente
acelerado ya que la fuerza que actúa sobre m’
es variable según va cayendo y, por lo tanto, su
aceleración también será variable.
vB =
2 ⋅ E c (B)
=
m'
2 ⋅ 1,11⋅ 10 −10 J
=
0,1kg
= 4,71⋅ 10 −5 ms −1
--------------- 000 ---------------
14º. Calcula el trabajo necesario para
trasladar un satélite terrestre artificial de
2500 kg desde una órbita circular de 8.000
km de radio hasta otra de 10.000 km de
radio..
MT=6·1024 kg
Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria
17
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
El trabajo que realiza el campo gravitatorio será
igual a la diferencia negativa de energías
potenciales del satélite en la órbita B y A.
g1 = g 2 =
6,67 ⋅ 10 −11Nm 2 kg −2 ⋅ 1kg
1m 2
=
= 6,67 ⋅ 10 −11 Nkg −1
B
A
rA
g3 =
6,67 ⋅ 10 −11Nm 2 kg −2 ⋅ 1kg
2m 2
= 3,335 ⋅ 10 −11 Nkg −1
rB
Tierra
=
Las componentes x e y de g3 serán:
g3 x = g3 ⋅ cos 45 º = 2,35 ⋅ 10 −11 Nkg −1
g3 y = g3 ⋅ sen45º = 2,35 ⋅ 10−11 Nkg−1
Es decir:
W (Fg ) = −(Epg (B ) − Epg ( A ))
Por lo tanto:
W (Fg ) = −( −
GMTm
GMTm
−−
) = −2,5 ⋅ 1010 J
rB
rA
Como este trabajo es negativo significa que no
lo realiza el campo sino que debe realizarlo una
fuerza externa. Por lo tanto, el trabajo que debe
realizar una fuerza externa para trasladar el
satélite de la órbita A a la B será de 2,5·1010 J.
--------------- 000 ---------------
Luego, la expresión vectorial de cada uno de
los campos será:
r
r
g1 = −6,67 ⋅ 10 −11 i Nkg −1
r
r
g 2 = −6,67 ⋅ 10 −11 j Nkg −1
r
r
r
g3 = −2,35 ⋅ 10 −11 i − 2,35 ⋅ 10 −11 j Nkg−1
Y, por lo tanto, el campo total en el punto P
será la suma vectorial de cada uno de estos, es
decir:
r
r
r
gP = −9,02 ⋅ 10 −11 i − 9,02 ⋅ 10 −11 j
Cuyo módulo valdrá:
gP = 1,27 ⋅ 10 −10
15º. Dadas tres masas puntuales de valor 1
kg situadas en tres de los vértices de un
cuadrado de 1 m de lado, calcula el campo
gravitatorio en el cuarto vértice.
Los campos gravitatorios en el cuarto vértice P
son los representados en la figura.
M1=1 kg
g1
P
g2
g3
Nkg−1
Nkg −1
--------------- 000 ---------------
16º. Dadas tres masas puntuales de valores
m1 = 1 kg, m2 = 2 kg, m3 = 3 kg, situadas en
tres de los vértices de un cuadrado de 1 m
de lado, calcula el potencial gravitatorio en
el centro y en el cuarto vértice y la energía
potencial de una masa de m = 10 kg en los
citados puntos.. ¿Cuánto vale el trabajo
realizado para llevar dicha masa del primer
punto al segundo?.
M1=1 kg
P
L=1 m
O
M2=1 kg
L=1 m
M3=1 kg
M3=3 kg
Sus módulos serán:
M2=2 kg
Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria
18
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
El potencial gravitatorio en un punto vendrá
dado por la suma de los potenciales que crea
cada una de las masas en ese punto. Por lo
tanto:
masa de 10 kg desde O hasta P será de 2,5·109
J.
--------------- 000 ---------------
GM1 GM2 GM3
V (O ) = −
−
−
r1
r2
r3
Y como la distancia de las tres masas al centro
es igual y de valor
2
2
m tendremos que:
G
(M1 + M2 + M3 ) =
r
6,67 ⋅ 10 −11Nm 2 kg −2 ⋅ 6kg
17º. Se tienen tres masas iguales de 100 kg
en los vértices de un triángulo equilátero de
lado 1 m. Calcula, considerando sólo la
acción de las masas mencionadas, la
intensidad del campo y el potencial
gravitatorio en el baricentro del triángulo.
V (O ) = −
=−
2
m
2
= −5,66 ⋅ 10 −10 Jkg −1
⎛M
M
M ⎞
V(P) = −G⎜⎜ 1 + 2 + 3 ⎟⎟ =
r2
r3 ⎠
⎝ r1
⎛ 1kg
2kg
3kg ⎞
⎟⎟ =
= −6,67 ⋅ 10 −11Nm2kg− 2 ⎜⎜
+
+
1
m
2m 1m ⎠
⎝
La situación de las masas sería la representada
en la figura donde el baricentro B es el punto
donde se cortan las medianas, las alturas y las
bisectrices por ser un triángulo equilátero. Las
tres masas distan del baricentro una distancia d
igual.
M1=100 kg
= −3,61 ⋅ 10 −10 Jkg−1
L=1 m
B
d
La energía potencial de una masa colocada en
un punto viene dada por:
30º
x=0,5 m
M3=100 kg
M2=100 kg
Epg = mV
Donde V es el potencial gravitatorio en ese
punto, por lo tanto:
E pg (O) = mV(O) = 10kg ⋅ −5,66 ⋅ 10 −10 Jkg −1 =
La distancia d se puede calcular fácilmente a
partir de la figura de la forma:
d=
= −5,66 ⋅ 10 −9 J
E pg (P) = mV (P) = 10kg ⋅ −3,61⋅ 10 −10 Jkg −1 =
= −3,61⋅ 10 −9 J
El trabajo que realiza el campo gravitatorio para
trasladar la masa de 10 kg desde O hasta P
viene dado por:
W (Fg ) = −(E pg (P) − E pg (O)) =
= −( −3,61⋅ 10 −9 J − −5,66 ⋅ 10 −9 J) =
= −2,05 ⋅ 10 −9 J
Como este trabajo es negativo significa que no
lo realiza el campo sino que debe realizarlo una
fuerza externa. Por lo tanto, el trabajo que debe
realizar una fuerza externa para trasladar la
0,5m
= 0,577m
cos 30º
El potencial gravitatorio en B, teniendo en
cuenta que las masas son iguales y que las
distancias también lo son sería:
V(B) = 3 ⋅ −
6,67 ⋅ 10 −11Nm 2 kg −2 ⋅ 100kg
=
0,577m
= −3,46 ⋅ 10 −8 Jkg −1
El campo gravitatorio total en el baricentro
deberá ser nulo ya que al ser las masas iguales
y sus distancias también, el módulo del campo
creado por cada una de ellas será también
igual y al ser las direcciones y sentido tal y
como se muestran en la figura se anularán
mutuamente por simetría.
Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria
19
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
La energía cinética en la órbita teniendo en
cuenta que la velocidad orbital a una distancia r
deberá ser igual a:
M1=100 kg
L=1 m
g1
B
GM T
1
2
⇒ E c (B) = mv orb
=
r
2
1 GM T m
=
= 1,56 ⋅ 1010 J
2
r
v orb =
g3
g2
M3=100 kg
M2=100 kg
Por lo tanto, la energía total del satélite en
órbita será:
--------------- 000 ---------------
E total (B) = −3,12 ⋅ 1010 J + 1,56 ⋅ 1010 J =
= −1,56 ⋅ 1010 J
18º. Un satélite artificial de 1000 kg gira
alrededor de la Tierra en una órbita circular
de 12.800 km de radio.
a) Explique las variaciones de energía
cinética y potencial del satélite desde su
lanzamiento en la superficie terrestre hasta
que alcanzó su órbita y calcule el trabajo
realizado.
b) ¿Qué variación ha experimentado el peso
del satélite respecto del que tenía en la
superficie terrestre?.
RT=6400 km , MT=6.1024 kg , G=6'67.10-11 N
m2 kg-2.
PAU Universidades Andaluzas, 1999-2000
Energía total que es negativa como
corresponde a un cuerpo ligado al campo
gravitatorio terrestre.
a) El satélite inicialmente está en la superficie
de la Tierra en reposo, luego no tendrá energía
cinética. Si posee energía potencial gravitatoria
que vendrá dada por:
b) El peso del satélite en la superficie terrestre
será:
v
A
r
= 4,69 ⋅ 1010 J
Este es el trabajo que deberán realizar los
cohetes propulsores para poder poner el
satélite en órbita.
P( A ) =
GMTm
= −6,25 ⋅ 1010 J
RT
Una vez en órbita, posición B, el satélite tendrá
energía potencial gravitatoria y energía cinética
ya que tiene una velocidad orbital.
La energía potencial gravitatoria valdrá:
GMTm
= −3,12 ⋅ 1010 J
r
GMTm
R2T
= 9770,5 N
Mientras que su peso en órbita será:
P(B) =
Tierra
Epg (B) = −
W = E(B) − E( A ) = −1,56 ⋅ 1010 J − −6,25 ⋅ 1010 J =
B
RT
Epg ( A ) = −
El trabajo que habrá que realizar para ponerlo
en órbita será la diferencia de energía entre la
situación B y A, es decir:
GMTm
r2
= 2442,6 N
Luego el peso del satélite habrá disminuido en
un porcentaje igual a:
P(B)
2442,6N
× 100 =
× 100 = 25 %
P( A )
9770,5N
Luego el satélite en órbita pesa un 25 % de su
peso en la superficie terrestre. Es decir, sufre
una disminución del 75 % de su peso en la
superficie.
--------------- 000 ---------------
Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria
20
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
19º. Un satélite artificial en órbita
geoestacionaria es aquél que, al girar con la
misma velocidad angular de rotación que la
Tierra, se mantiene sobre la misma vertical.
a) Explique las características de esa órbita
y calcule su altura respecto a la superficie
de la Tierra.
b) Razone qué valores obtendría para la
masa y el peso de un cuerpo situado en
dicho satélite sabiendo que su masa en la
Tierra es de 20 kg?.
RT=6400 km , MT=6.1024 kg , G=6'67.10-11 N
m2 kg-2.
PAU Universidades Andaluzas, 1999-2000
Tendremos que:
v 2 = ω2 ⋅ r 2
r=3
C
B
v
Tierra
ωrot =
GMT
= ω2 ⋅ r 2
r
⇒
ω2
GMT
=3
ω2
los
valores
numéricos
6,67 ⋅ 10 −11Nm2kg−2 ⋅ 6 ⋅ 1024 kg
(7,27 ⋅ 10
−5
rad ⋅ s−1
)
2
=
= 4,23 ⋅ 107 m
Por lo tanto, la altura sobre la superficie
terrestre a la que deberá colocarse será:
h = r − RT = 4,23 ⋅ 107 m − 6,4 ⋅ 106 m = 3,59 ⋅ 107 m
b) Evidentemente la masa del cuerpo en el
satélite sería la misma que en la Tierra, es
decir, 20 kg. Ahora bien, su peso se vería
reducido bastante. Su valor sería:
P=
=
Si orbitase según la órbita C, sería imposible
que estuviese siempre sobre la misma vertical
debido al sentido de rotación de la Tierra.
Si gira con la misma velocidad de rotación de la
Tierra significa que su velocidad angular de
rotación deberá ser igual a:
⇒
GMT
Si
sustituimos
tendremos:
r=3
a) La órbita geoestacionaria tiene que estar en
el plano del Ecuador porque si no fuera así
sería imposible que estuviese siempre sobre la
misma vertical de la Tierra. Además, el centro
de la órbita debe ser el centro de la Tierra ya
que la fuerza de atracción gravitatoria sobre el
satélite va dirigida hacia él.
Al orbitar a la misma velocidad de rotación que
la Tierra se mantendría sobre la misma vertical,
punto B. Ver figura.
GMT
r
v=
GMT m
r2
=
6,67 ⋅ 10 −11Nm 2kg −2 ⋅ 6 ⋅ 10 24 kg ⋅ 20kg
(4,23 ⋅ 10 m)
7
2
= 4,47 N
Mientras que su peso en la Tierra sería:
Po = 20 kg ⋅ 9,8ms −2 = 196 N
--------------- 000 ---------------
2 ⋅ π rad
= 7,27 ⋅ 10 −5 rad ⋅ s−1
24 ⋅ 3600s
Su velocidad lineal (orbital) será:
v = ω⋅r
Donde r es el radio de la órbita que describe.
Si tenemos en cuenta que la velocidad orbital
de un satélite alrededor de la Tierra y a una
distancia r viene dada por:
20º. Un satélite se encuentra a una altura de
600 km sobre la superficie de la Tierra,
describiendo una órbita circular.
a) Calcule el tiempo que tardará en dar una
vuelta completa, razonando la estrategia
seguida para dicho cálculo.
b) Si la velocidad orbital disminuyera,
explique si el satélite se acercaría o se
alejaría de la Tierra e indique qué
variaciones experimentarían la energía
potencial, la energía cinética y la energía
mecánica del satélite.
Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria
21
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
RT=6400 km , MT=6.1024 kg , G=6'67.10-11 N
m2 kg-2.
PAU Universidades Andaluzas, 1998-1999
a) El radio de la órbita que describe sería:
r = RT + h = 6,4 ⋅ 106 m + 6 ⋅ 105 m = 7 ⋅ 106 m
La velocidad a la que órbita a esa distancia
viene dada por:
v orb =
=
GM T
=
r
6,67 ⋅ 10
−11
2
Nm kg
−2
24
⋅ 6 ⋅ 10 kg
6
7 ⋅ 10 m
3
= 7,56 ⋅ 10 ms
=
−1
e 2πr
2π ⋅ 7 ⋅ 106 m
=
=
= 5,81 ⋅ 103 s
3
−1
v
v
7,56 ⋅ 10 ms
b) Como la velocidad orbital viene dada por
v orb =
GMT
r
Para que disminuya tiene que aumentar r, por
lo tanto, el satélite se alejaría de la Tierra
pasando a estar en una órbita más alejada.
La energía cinética disminuiría ya que
disminuye su velocidad pero la energía
potencial gravitatoria aumentaría al estar más
alejado de la Tierra ya que la energía potencial
gravitatoria viene dada por la expresión:
Epg = −
a) La velocidad orbital será:
v orb =
Por lo tanto el tiempo que tardará en dar una
vuelta será:
t=
21º. Un satélite de 250 kg de masa está en
órbita circular en torno a la Tierra a una
altura de 500 km sobre su superficie.
Calcula:
a) Su velocidad y su período de revolución.
b) La energía necesaria para poner el
satélite en órbita con esa velocidad.
RT=6400 km , MT=6.1024 kg ,G=6'67.10-11 N m2
kg-2.
PAU Castilla y León, 1999
GMTm
r
Y al aumentar r aumenta la energía potencial
gravitatoria ya que es negativa.
La energía mecánica del satélite no sufrirá
variación ya que el campo gravitatorio es
conservativo y, por lo tanto, la energía
mecánica de un cuerpo sometido sólo a la
atracción gravitatoria se conserva. Es decir, la
pérdida de energía cinética se convierte en
ganancia de energía potencial gravitatoria.
=
GM T
=
r
6,67 ⋅ 10 −11Nm 2kg −2 ⋅ 6 ⋅ 10 24 kg
6,9 ⋅ 10 6 m
=
= 7,61⋅ 10 3 ms −1
El periodo de revolución, tiempo que tarda en
dar una vuelta, será:
t=
e 2πr 2π ⋅ 6,9 ⋅ 106 m
=
=
= 5,69 ⋅ 103 s
v
v
7,61 ⋅ 103 ms −1
b) La energía necesaria será la diferencia entre
la energía que tiene en órbita y la que tiene en
la superficie de la Tierra antes del lanzamiento.
La energía en la superficie será solo potencial
gravitatoria, ya que está en reposo. Luego será:
Epg (suelo) = −
GMTm
= −1,56 ⋅ 1010 J
RT
La energía en la órbita será la cinética más la
potencial gravitatoria, es decir:
Epg (órbita) = −
GMTm
= −1,45 ⋅ 1010 J
r
La energía cinética en órbita teniendo en
cuenta la expresión de la velocidad orbital es:
Ec (órbita) =
GMTm
= 7,25 ⋅ 109 J
2r
Por lo tanto la energía total en órbita será:
E total (órbita) = 7,25 ⋅ 10 9 J − 1,45 ⋅ 1010 J =
= −7,25 ⋅ 10 9 J
--------------- 000 ---------------
Por lo tanto, la energía necesaria para poner al
satélite en órbita será:
Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria
22
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
GM T
=
r
v orb =
E = −7,25 ⋅ 109 J − −1,56 ⋅ 1010 J = 8,35 ⋅ 109 J
6,67 ⋅ 10 −11Nm 2 kg −2 ⋅ 5,98 ⋅ 10 24 kg
=
--------------- 000 ---------------
6,378 ⋅ 10 6 m + 3 ⋅ 10 5 m
=
= 7,74 ⋅ 10 3 ms −1
22º. Un satélite artificial gira en torno a la
Tierra describiendo una órbita situada a
5.105 m de altura sobre la superficie
terrestre y tarda 1'57 horas en dar una
vuelta. Calcula la masa de la Tierra.
Datos: RT = 6'4.106 m G = 6'6.10-11 N m2 kg-2.
PAU Extremadura, 1999.
b) El periodo de rotación vendrá dado por:
T=
2πr 2π ⋅ (6,378 ⋅ 10 6 m + 3 ⋅ 10 5 m)
=
=
v orb
7,74 ⋅ 10 3 ms −1
= 5421,07 s
--------------- 000 --------------A partir de la tercera ley de Kepler aplicada al
sistema Tierra-satélite tendremos que:
2
T = kr
3
Donde la constante k vale:
k=
4 π2
GMT
Combinando ambas ecuaciones tendremos
que:
4π 2 r 3
=
MT =
GT 2
4π 2 (6,4 ⋅ 10 6 m + 5 ⋅ 10 5 m) 3
6,67 ⋅ 10 −11Nm 2kg −2 ⋅ (1.57 ⋅ 3600 s)
2
24º. Se coloca un satélite metereológico de
1000 kg en órbita circular, a 300 km sobre la
superficie terrestre. Determina:
a) La velocidad lineal, la aceleración radial y
el periodo en la órbita.
b) El trabajo que se requiere para poner en
órbita el satélite.
Datos: gravedad en la superficie g=9'8 m.s-2,
RT = 6370 km.
PAU Madrid, 1999.
a) La velocidad lineal (velocidad orbital) será:
=
= 6 ⋅ 10 24 kg
--------------- 000 ---------------
v orb =
Como no conocemos como dato la masa de la
Tierra tendremos que expresarla en función de
r y RT, de la forma:
g=
23º. Se desea poner en órbita un satélite
artificial a una altura de 300 km sobre la
superficie terrestre. Calcula:
a) La velocidad orbital que se ha de
comunicar al satélite.
b) El periodo de rotación.
Datos: RT=6378 km , MT=5'98.1024 kg ,
G=6'67.10-11 N m2 kg-2
PAU Galicia, 1999.
a) La velocidad orbital viene dada por:
GMT
r
GMT
⇒
MT =
gR 2T
= 5,96 ⋅ 1024 kg
G
R2T
Y de aquí la velocidad orbital será:
v orb =
=
GMT
r
=
6,67 ⋅ 10 − 11Nm 2kg − 2 ⋅ 5,96 ⋅ 10 24 kg
=
6,37 ⋅ 10 6 m + 3 ⋅ 10 5 m
= 7,72 ⋅ 10 3 ms − 1
La aceleración radial o centrípeta viene dada
por:
Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria
23
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
(
Dpto. Física y Química
)
2
v2
7,72 ⋅ 103 ms −1
ac =
=
= 8,93 ms − 2
r
6,37 ⋅ 106 m + 3 ⋅ 105 m
(
)
Como hemos visto en un problema anterior el
radio de la órbita geoestacionaria viene dado
por:
El periodo de la órbita será:
2πr 2π ⋅ (6,37 ⋅ 10 6 m + 3 ⋅ 10 5 m)
T=
=
=
v orb
7,72 ⋅ 10 3 ms −1
r=3
= 5428,6 s
=3
b) El trabajo necesario será la diferencia entre
la energía que tiene en órbita y la que tiene en
la superficie de la Tierra antes del lanzamiento.
La energía en la superficie será solo potencial
gravitatoria, ya que está en reposo. Luego será:
Epg (suelo) = −
GMTm
= −6,24 ⋅ 1010 J
RT
Ec (órbita) =
1
2
mv orb
= 2,97 ⋅ 1010 J
2
=
6,67 ⋅ 10 −11Nm 2 kg −2 ⋅ 6 ⋅ 10 24 kg
(7,27 ⋅ 10
−5
rad ⋅ s −1
)
2
=
Para poder saber si el cohete escapará o no de
la atracción terrestre deberemos calcular la
velocidad de escape a la distancia que se
encuentra la estación espacial. La velocidad de
escape viene dada por:
v esc =
=
GMTm
= −5,96 ⋅ 1010 J
r
La energía cinética en órbita teniendo en
cuenta la expresión de la velocidad orbital es:
ω2
= 4,23 ⋅ 10 7 m
La energía en la órbita será la cinética más la
potencial gravitatoria, es decir:
Epg (órbita ) = −
GM T
2GMT
=
r
2 ⋅ 6,67 ⋅ 10 −11Nm 2 kg −2 ⋅ 5,98 ⋅ 10 24 kg
4,23 ⋅ 10 7 m
=
= 4342,68 ms −1
Por lo tanto, como la velocidad con la que el
cohete alcanza la estación es inferior a la de
escape no podrá escapar de la atracción
terrestre. Deberá llegar como mínimo con una
velocidad igual a la de escape.
Por lo tanto la energía total en órbita será:
--------------- 000 ---------------
E total (órbita) = 2,97 ⋅ 1010 J − 5,96 ⋅ 1010 J =
= −2,98 ⋅ 1010 J
Por lo tanto, el trabajo necesario para poner al
satélite en órbita será:
W = −2,98 ⋅ 1010 J − −6,24 ⋅ 1010 J = 3,26 ⋅ 1010 J
--------------- 000 ---------------
25º. Una estación espacial se encuentra en
órbita geoestacionaria en el plano del
Ecuador. Se lanza un cohete que llega a la
altura de la estación con una velocidad de
4.000 m/s. ¿podrá escapar dicho cohete de
la atracción gravitatoria terrestre?. En caso
negativo, ¿qué velocidad debería tener el
cohete al alcanzar la estación espacial para
escapar de la atracción de la Tierra?.
Datos: RT=6378 km , MT=5'98.1024 kg ,
G=6'67.10-11 N m2 kg-2
26º. Determinar la energía de enlace de un
satélite de 3 Tm que se encuentra situado
en la superficie del planeta Mercurio, cuya
masa es M=3'31.1023 kg y cuyo radio es
R=2.440 km.
La energía de enlace corresponde con el valor
absoluto de la energía total que tiene el satélite.
Si está en la superficie no tendrá energía
cinética y sólo poseerá potencial gravitatoria,
luego:
E enlace =
=
GMMm
=
RM
6,67 ⋅ 10 −11Nm 2kg −2 ⋅ 3,31⋅ 10 23 kg ⋅ 3000kg
2,44 ⋅ 10 6 m
=
= 2,71⋅ 1010 J
--------------- 000 ---------------
Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria
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I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
27º. Determinar con qué velocidad tiene que
lanzarse un satélite artificial desde la
superficie terrestre para que alcance una
altura de 5.000 km. Suponer que el
rozamiento con la atmósfera es nulo.
Datos: RT=6378 km , MT=5'98.1024 kg ,
G=6'67.10-11 N m2 kg-2
La energía cinética que habrá que comunicarle
debe compensar la diferencia de energía
potencial entre la superficie y la altura
considerada ya que esta energía cinética se irá
convirtiendo paulatinamente
en energía
potencial gravitatoria. Por lo tanto deberá
cumplirse que:
Dividiendo m.
tendremos que:
a
v orb (T )
MT
=
=
v orb (L )
ML
m.
ambas
6 ⋅ 1024 kg
7,3 ⋅ 1022 kg
ecuaciones
= 9,06
Por lo tanto, la velocidad orbital del que orbita
la Tierra es aproximadamente 9 veces mayor
del que orbita la Luna.
--------------- 000 ---------------
1
GMTm
GMTm
mv 2 = −
−−
2
RT + h
RT
Despejando la velocidad tendremos que:
⎛ 1
1 ⎞
⎟⎟ = 7,41 ⋅ 103 ms −1
v = 2GMT ⎜⎜
−
+
R
R
h
T
⎝ T
⎠
--------------- 000 ---------------
28º.
Dos
satélites
idénticos
están
recorriendo sendas órbitas del mismo radio,
el primero alrededor de la Tierra y el
segundo alrededor de la Luna. ¿Cuál de
ellos se mueve a mayor velocidad? ¿Por
qué? ¿Cuál es la relación entre sus
velocidades si las masas de la Tierra y de la
Luna son 6.1024 kg y 7'3.1022 kg,
respectivamente?.
Como la velocidad orbital viene dada por:
v orb =
GM
r
Y al ser los radios de las órbitas iguales, la
velocidad del que orbita la Tierra debe ser
mayor ya que la masa de la Tierra es mayor
que la de la Luna.
La velocidades orbitales serían:
v orb (T ) =
GMT
r
;
v orb (L ) =
GML
r
Física 2º Bachillerato - Interacción Gravitatoria
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