Función inversa. ExMa-MA0125 W. Poveda 1 Objetivos. Interpretar y aplicar los conceptos de función inyectiva, función sobreyectiva función biyectiva, función invertible Función Inyectiva De…nición. Sea una función f : A ! B, se dice que f es inyectiva sii cada elemento del ámbito tiene una y solo una preimagen. Simbólicamente: una función f : A ! B es uno a uno o inyectiva sii 8x 1 ; x 2 2 A[x 1 6= x 2 , f (x 1 ) 6= f (x 2 )] Dada la grá…ca de una función f : A ! B tal que y = f (x); f es inyectiva en A sii cualquier paralela al eje X interseca el trazo de f una única vez o ninguna. Teorema. Sea f es una función real 1. Si f es creciente en su dominio, entonces f es inyectiva. 2. Si f es decreciente en su dominio, entonces f es inyectiva. Ejemplo. Sea la función f : R ! R y su respectiva grá…ca. En cada caso determine si f es inyectiva no. f (x) = 2x + 1 3 f es inyectiva f (x) = x2 + 2x + 1 f no es inyectiva Función inversa. ExMa-MA0125 W. Poveda 2 Ejemplo. Sea f : R ! R una función tal que f (x) = 2x + 1:Determine si f es inyectiva no. Veamos si f es inyectiva. Supongamos que f (x1 ) = f (x2 ); si demostramos que x1 = x2 entonces f es inyectiva. Como f (x1 ) = 2x1 + 1; f (x2 ) = 2x2 + 1 ) 2x1 + 1 = 2x2 + 1 ) x1 = x2 Por lo que f es inyectiva. Ejemplo. Sea f : R ! R una función tal que f (x) = x2 no. Veamos si f es inyectiva. Supongamos que f (x1 ) = f (x2 ) Como f (x1 ) = x21 5; f (x2 ) = x22 5 ) x21 5 = x22 5 p p ) x1 = x2 ) jx1 j = jx2 j que equivale a x1 = x2 _ x1 = x2 Por lo que f no es inyectiva. Considere f : R ! R; f (x) = x2 + 1 5:Determine si f es inyectiva 10 8 6 4 2 -4 -2 -2 2 4 Observando la grá…ca podemos ver que para todo elemento del conjunto [1,1[ existen dos preimagenes diferentes. En notación matemática 8 y 2 [1; 1[ 9 x1 ; x2 2 Df ; tal que f (x1 ) = f (x2 ) = y Función sobreyectiva De…nición. Una función f : A ! B es sobreyectiva si cumple que 8y 2 B 9x 2 A tal que f (x) = y: Es decir, una función se llama sobreyectiva si el ámbito y el codominio son el mismo conjunto. Ejemplo. Sea f : [ 3; 6] ! [ 1; 17] una función tal que f (x) = 2x + 5: f es una función sobreyectiva sii Af = [ 1; 17] Para calcular Af procemos a calcular la imagen de 3 y de 6 f ( 3) = 1^ f (6) = 17 ) Af = [ 1; 17] ) f es sobreyectiva. Ejemplo. Considere f : R ! R; f (x) = x2 + 1 f es una función sobreyectiva sii Af = R pero Af = [1; 1[ por lo que f no es sobreyectiva. Considere f : [ 3; 0] ! [1; 1[; f (x) = x2 + 1: Función inversa. ExMa-MA0125 W. Poveda 3 8 6 4 2 -4 -2 2 4 -2 Notamos que Af = [1; 1[ = Codf por lo que f es sobreyectiva. Toda función f : A ! B posee una relación inversa de B en A: Esta relación inversa no necesariamente es una función. Función inversa La función inversa de f se denota como f 1 : El exponente 1 no denota potencia 1 se desea expresar la potencia 1 en funciones se hace mediante (f (x)) 1. Si De…nición. Sea f una función biyectiva de A en B. La función inversa de f es una función de…nida de B en A para la cual se cumple que f (f Cuando se gra…ca f ^ f respecto a la recta y = x. 1 1 (x)) = x ^ f 1 (f (x)) = x en el mismo plano entonces una función es re‡exión la otra con Cómo rede…nir una función no invertible para que su inversa sea función Considere f : IR ! IR; f (x) = x2 Grá…camente y = x2 2x + 6 2x + 6 20 15 10 5 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 Sabemos que f 1 es función sii f es biyectiva. Note que la función en su dominio no es inyectiva y, por otra parte, no es sobreyectiva pues el codominio no es igual al ámbito. Si trazamos el eje de simetría, la parábola se "parte" en dos ramas : Función inversa. ExMa-MA0125 W. Poveda 4 f :]1; 1] ! [5; 1[ f (x) = x2 2x + 6 -8 -6 -4 -2 f : [1; 1[! [5; 1[ f (x) = x2 2x + 6 20 20 10 10 0 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 En ambos casos la función de…nida es biyectiva, por lo cual f ¿Cómo podemos hallar el criterio de f 1 ? En la ecuación procedemos a despejar y y = x2 0 1 2 4 6 8 es función. 2x + 6 Como se trata de una ecuación cuadrática, la igualamos a cero y aplicamos fórmula general para despejar la variable x x2 2x + 6 y = 0 Note que a = 1; b = 2, c = (6 y) = ( 2)2 4 1 (6 y) = 4y 20 p p p p 2(1 y 5) x1 = 1 + py 5 20 = = 1 y 5 ! x = 2 4y 2 2 x2 = 1 y 5 Tenemos dos posiblesp casos para f 1 : Caso 1. Si x1 = 1 + py 5 por lo que f Caso 2. Si x2 = 1 y 5 por lo que f p (x) = 1 + px 1 (x) = 1 x 1 5 5 En conclusión : [5; 1] !]1; 1] y su criterio es f 1 1 Si f : [1; 1[! p [5; 1[ entonces f : [5; 1] ! [1; 1[ y su criterio es f pues 1 + x 5 1 8x 2]5; 1]: 1 Si f :]1; 1] p ! [5; 1[ entonces f pues 1 x 5 1 8x 2]5; 1] 1 (x) = 1 p x 5 p (x) = 1+ x 5 ¿Cómo podemos veri…car si la función inversa que encontramos es la respuesta correcta? Un primer método es gra…car f y f 1 en un mismo plano y veri…car que son simétricas con la recta y = x: Gra…quemos f :]1; 1] ! [5; 1[; f (x) = x2 2x +p6 f 1 : [5; 1] !]1; 1]; f 1 (x) = 1 x 5 y=x en un mismo plano Función inversa. ExMa-MA0125 W. Poveda 5 20 10 -20 -10 10 20 -10 -20 Observemos que las dos funciones gra…cadas son simétricas con respecto a y = x Ahora, gra…quemos en un mismo plano f : [1; 1[! [5; 1[, f (x) = x2 2x +p6 f 1 : [5; 1] ! [1; 1[; f 1 (x) = 1 + x y=x 5 25 20 15 10 5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 Observemos que las dos funciones gra…cadas son simétricas con respecto a y = x Un segundo método es hacer la composición f resultado sea x: Considere f :]1; 1] ! [5; 1[; f (x) = x2 2x +p6 f 1 : [5; 1] !]1; 1]; f 1 (x) = 1 x 5 f f = f = 1 1 (x) = f f 1 2 p 2 f x 5 2 1 1 (x) (x) + 6 2 1 p x 5 +6 f 1 (x) y f 1 f (x) y veri…car que el Función inversa. ExMa-MA0125 =1 =x p 2 x 5+x 5 p 2+2 x W. Poveda 6 5+6 Ejercicios Compruebe que f 1 f (x) = x: Considere f : [1; 1[! [5; 1[; f (x) = x2 2x+6 y f 1 : [5; 1] ! [1; 1[, f Veri…que que f 1 f (x) = x y f 1 f (x) = x 1 p (x) = 1+ x 5. 2. Considere h una funcion de…nida en su dominio máximo y codominio R;tal que h(x) = 2 j5x + 3j 6 a) Rede…na h tal que sea biyectiva. Justi…que h(x) = 2 j5x + 3j 6 el dominio es R: Solución Para darnos una idea de como rede…nir h para que sea biyectiva vamos a gra…car y = 2 j5x + 3j 3 . Para determinar intersección con el eje x resolvemos 2 j5x + 3j = 0; la solución es x = 5 3 ; 0 es la intersección con el eje x:La intersección con el eje y es (0; 6) 5 6 4 2 -2 -1 Ahora, gra…quemos y = 2 j5x + 3j unidades hacia abajo) 1 2 6 (es la grá…ca anterior con un desplazamiento de 6 4 2 -2 -1 1 -2 -4 -6 2 Función inversa. ExMa-MA0125 W. Poveda 7 Basados en la grá…ca, podemos rede…nir h para que sea biyectiva de las si-guiente forma 3 3 h: 1; ! [ 6; 1[ o bien h : ; 1 ! [ 6; 1[: 5 5 Estas dos formas de rede…nir h no son únicas. c) De…na las funciones: h 1 De…nir una función signi…ca determinar dominio, ámbito y criterio De…namos h 1 Tomemos el caso h : 1; 3 ! [ 6; 1[ , h(x) = 2 j5x + 3j 5 Para determinar el criterio de h 1 se despeja x en y = 2 j5x + 3j 3 Como x 2 1; entonces j5x + 3j = 5x 3: 5 y 12 y = 2 ( 5x 3) 6 () x = 10 3 Tenemos que h : [ 6; 1[! 1; tal que h 1 (x) = 5 4 2 -2 2 -2 -4 -6 4 6: x 12 : 10 Podemos comprobar la respuesta gra…cando y = h (x) y y = h esas dos funciones son simétricas con respecto a y = x -4 6: 1 (x)observando que