Ecuaciones cuadráticas

Matemáticas 3 • Bloque 3
Tema: Proporcionalidad y funciones
Ecuaciones cuadráticas
Si en una ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una
ecuación cuadrática, que se caracteriza porque puede tener dos soluciones
(aunque también una sola, e incluso ninguna). Cualquier ecuación cuadrática se
puede expresar de la siguiente forma: ax2 + bx + c = 0. Donde a, b y c son unos
parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en
cada caso particular.
Solución por factorización
Para resolver una ecuación del tipo ax2 + bx + c = 0 por el método de factorización, se deben seguir los siguientes pasos.
• Se descompone en 2 factores el primer término de la ecuación.
• Después, en el primer factor se pone el signo del segundo término del
trinomio, mientras que en el segundo factor se pone el signo que resulta
de la multiplicación del signo del segundo término por el signo del tercer
término del trinomio.
• Encontrar dos números que sumados den el segundo término y multiplicados den como resultado el tercer término. Estos números se pueden
encontrar, sacando el mínimo común múltiplo.
• Una vez encontrados los números, en donde los dos factores se están
multiplicando, dándonos como resultado 0, se puede concluir que uno de
los dos factores es 0, ya que cualquier número multiplicado por 0 da como
resultado 0, por lo que se procede a igualar dos factores a 0.
• Después se despeja x en los dos factores, por lo que el resultado para x es
x = 1 y x = 2.
Fórmula general
En este método de resolución, sólo hay que seguir la fórmula general para poder
llegar a la resolución. La fórmula es:
x =
−b ±
b2 −4ac
2a
• Sólo hay que sustituir los valores de a, b y c en la fórmula.
• x1 y x2 son el resultado que se obtiene de la ecuación; por tanto, son las
dos posibles soluciones para x.
D.R. Ríos de Tinta S.A. de C.V.
• Para comprender mejor este método, consideremos primero la ecuación
del tipo x2 + bx + c = 0.
• Podemos escribir esta ecuación del siguiente modo: x2 + bx = −c. Si observamos el primer miembro, veremos que al binomio x2 + bx le falta un
término para ser un trinomio cuadrado perfecto.
• Tal término es el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo térmi2
no ( b )2, o lo que es lo mismo b . En efecto, formamos así un trinomio
4
2
cuyo primer término es el cuadrado de x; su segundo término es el doble
producto de x por b y su tercer término es el cuadrado de la mitad del
2
2
coeficiente del segundo término ( b )2 o sea b .
4
2
• Para que no se altere la ecuación, le agregamos al segundo miembro
la misma cantidad que le agregamos al primer miembro. Así tendremos
2
2
x2 + bx + ( b ) = b −c.
4
4
• En el primer miembro de esta ecuación tenemos un trinomio cuadrado
perfecto.
2
• Factorizamos: (x + b ) 2 = b −c y extraemos la raíz cuadrada a ambos
4
2
miembros:
2
(x + b ) 2 = + b −c
4
2
b 2
b x+
= + −c
4
2
2
x = −b + b −c
2
4
Elaborado por Ada Pantoja Zúñiga.
Completando el trinomio cuadrado perfecto
Fuente: http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/
ecuaciones-cuadraticas.html (consultado el 20 de marzo de 2013).
En los siguientes enlaces encontrará información sobre este tema.
•“Ecuación cuadrática”. Disponible en
http://www.ecuacioncuadratica.com/
•Solucionador de ecuaciones cuadráticas. Disponible en
http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuacionescuadraticas-solucionador.html
•Este video podrá ayudar en la comprensión del último
procedimiento. Disponible en
http://www.youtube.com/watch?feature=player_
embedded&v=2zgu4K3BdIw#!
D.R. Ríos de Tinta S.A. de C.V.