Tema 2 Introducción a las técnicas de estimación robusta

Tema 2
Introducción a las técnicas de
estimación robusta
2.1-CONCEPTOS BÁSICOS
- A menudo, en los procesos de ajuste, se usan distribuciones de probabilidad
sencillas para los errores, como puede ser la distribución normal. Los estadísticos
clásicos se obtienen bajo la suposición de que estos modelos son estrictamente
verdaderos. Sin embargo, estos modelos no lo son casi nunca.
-Las
desviaciones de estos modelos pueden ser debidas a la existencia de
equivocaciones en el proceso de observación. La existencia de estos errores y su
desviación de la distribución clásica, hace que los procedimientos clásicos de ajuste,
como el de los mínimos cuadrados, sean poco eficientes en determinados casos.
-El
dogma de que los errores de medida deberían distribuirse según una distribución
normal lleva a ciertas contradicciones pues el método de los mínimos cuadrados
presenta algunos problemas dado que casi todas las variaciones estadísticas son
debidas a los errores de medida.
2.2. -ELIMINACIÓN DE LOS ERRORES DE TIPO I
-Una forma de abordar los errores graves es rechazar todos los errores que no se
ajusten a la suposición de normalidad. Pero este asunto es complicado por el
hecho de que sólo conocemos estimaciones de los errores después del ajuste por
mínimos cuadrados, en el cual los errores son enmascarados y distribuidos por
todas las observaciones, y por tanto, difíciles de reconocer. También, los residuos de
mayor tamaño no indican necesariamente la correcta posición del error.
Para localizar un error de este tipo, la magnitud estimada, êi, de cada error ei, puede
ser testada para comprobar si se desvía de forma significante de cero. El test
estadístico más utilizado es el residuo normalizado:
t=
σ
el cual se distribuye según una distribución t de Student con un grado de libertad.
El denominador representa la desviación estándar correspondiente a la estimación del
error y puede ser calculada en el proceso del ajuste. Sólo los errores más
significantes se rechazan como posibles errores graves, y este proceso(el ajuste y el
test) se repiten hasta que ya no se localicen.
-El
denominador representa la desviación estándar correspondiente a la estimación
del error y puede ser calculada en el proceso del ajuste. Sólo los errores más
significantes se rechazan como posibles errores graves, y este proceso(el ajuste y el
test) se repiten hasta que ya no se localicen.
Veamos un ejemplo sencillo para ilustrar el método:
Consideremos el valor medio a estimar de la muestra
Z= (10,11,11,12,100) con desviación estándar 1.
Una vez calculados los residuos y los residuos normalizados resulta para la primera
iteración:
media=29 ;
t5% ,1= 6. 7
max(
σ
) > t α=5%,1
y para la segunda iteración(ya sin el valor 100):
media=11 ; t 5% ,1 = 6. 7
max(
σ
) < t α=5%,1
indica error ,
-Este ejemplo muestra la importancia de rechazar sólo el residuo más
significante, pues todos los residuos son de forma significante mayores
que el valor rechazado en la primera iteración.
Posibles problemas que plantea el método son:
-El test es uniparamétrico, es decir, sólo detecta un error por cada
iteración, y por tanto las conclusiones equivocadas sobre la exclusión de
observaciones incrementa en probabilidad con el número de errores en los
datos.
-Pueden quedar errores no detectados con una cierta probabilidad(alta).
-No se conocen expresiones para la precisión del valor estimado
resultante.
2. 3. - ESTIMACIÓN ROBUSTA ( RECHAZANDO LA NORMALIDAD)
-El objetivo sería, por tanto, según lo expuesto, disponer de métodos de
estimación,
que
siempre
proporcionaran
los
valores
óptimos,
independientemente de la distribución de los errores. En particular, los
estimadores no deberían ser influidos por los errores de gran tamaño y deberían
ser construidos como valores centrales del conjunto total de los datos.
-Aspectos generales de la teoría en la que se basa la estimación robusta:
La característica común de todos estos métodos es que no se minimiza el
sumatorio de los cuadrados de los residuos, sino otra función elegida de forma
adecuada:
Σ φ(v) --> mínima
-Un ejemplo sencillo puede ser la función valor absoluto
φ(v)= abs(v), llamado método de la suma mínima, que estima la
media por medio de la mediana.
La solución numérica de estos principios de ajuste se puede hacer
de forma iterativa, por sucesiva aplicación del método de los mínimos
cuadrados ponderados.
-La iteración comienza con unos valores dados a priori para los pesos de las
observaciones y un ajuste convencional por mínimos cuadrados(se supone por
el momento que todas las observaciones tienen el mismo peso).
-En la siguiente iteración, se calculan nuevos pesos para cada observación
individual a partir de sus residuos obtenidos en el ajuste anterior, y se repite el
ajuste mínimo cuadrático con estos nuevos pesos. Los pesos p de cada
observación individual se obtienen de la siguiente forma:
En primer lugar reescribimos las equivalentes “Ecuaciones Normales”:
Σ
∂φ
∂
= 0 ; donde x son las incógnitas;
que lleva a una expresión para los pesos :
∂φ
p(e) = ∂
/v
-Para el método de la Minima Suma:
p(v) =
+ε
con ε una constante pequeña
-Para el denominado Método de Huber:
p(e) =

σ
σ≤
σ>
con a = 1. 5
siendo σ la desviación estándar a priori o estimada de las observaciones.
- Aplicando el método de la suma mínima al ejemplo anterior, el valor de la
estimación de la media es 11.01 después de 20 iteraciones, tomando como
constante 0.01 . Veamos los resultados de las 6 primeras iteraciones en forma
de tabla:
iteración
1
2
3
4
5
6
pesos
1 2 3
1 1
1
0.05 0.06 0.06
0.16 0.19 0.19
0.4 0.7 0.7
0.6 1.4 1.4
0. 6 1. 7 1. 7
media
4 5
1 1
0.05 0.01
0.23 0.01
2.2 0.01
3.5 0.01
2. 4 0. 01
28. 8
16. 2
12. 4
11. 7
11. 5
11. 4
1
residuos
2
3
4
5
19
6. 2
2. 4
1. 7
1. 5
1. 4
18
5. 2
1. 4
0. 7
0. 5
0. 4
71
83. 8
87. 6
88. 3
88. 5
88. 6
18
5. 2
1. 4
0. 7
0. 5
0. 4
17
4. 2
0. 4
0. 3
0. 5
0. 6
-Otro método de interés es el M. Danés (Krarup 1967, Kubik, 1982). Puede
ser considerado como un método de estimación robusta con pesos dados por:
p(v) =
 < σ

σ
> σ
Si aplicamos el Método Danés al ejemplo anterior obtenemos:
Iteración
1
2
3
1
1
2
1
pesos
3
4
1
1
5
1
1.7 10-77 1.6 10-69 1.6 10-69 5.1 10-62 0
1
1
1
1
0
media
28.
residuos
1
2
3 4 5
19 18 18 17 71
12
11
2
1
1
0
1
0
0 88
1 89
-Este método tiene unas propiedades favorables comparado con otros métodos
robustos, en la detección de observaciones erróneas y en la velocidad de
cálculo (convergencia rápida del proceso)
-Habiendo analizado los diversos aspectos de los errores groseros, se puede
concluir que estos errores no existen como entidades independientes. Están
totalmente conectados con el dogma de la distribución normal y el método de
los mínimos cuadrados. En este sentido hay dos posibles caminos a seguir:
aceptar el método de los mínimos cuadrados y por tanto también la existencia
de estos errores, o elegir nuevos métodos de ajuste, en cuyo caso tanto el
concepto de mínimos cuadrados como el de error grosero desaparecen.
2. 4. - APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LA MÍNIMA SUMA
-Vamos a describir de forma genérica el método de la mínima suma para
resolver un conjunto de ecuaciones lineales:
Ax=b+v
donde A es la matriz (n,m) de las ecuaciones de observación, n>m, x es el
vector de parámetros incógnita (m,1), b, es el vector de observaciones (n,1) y v
es el vector de residuos.
El método de la mínima suma, como ya hemos comentado , está basado en el
criterio de minimizar la suma de los valores absolutos de los residuos:
min v = min Ax -b
En este capítulo se mostrará como se puede obtener la solución por medio de
algoritmo equivalente este principio, y también se comparará con el algoritmo
clásico de los mínimos cuadrados.
-Sin embargo, los datos de observación rara vez contienen errores que sean
puramente aleatorios y sigan la distribución normal. De hecho, en la mayoría de
los casos, estos datos contienen algunos puntos “espúreos” (observaciones
fuera de rango), que es imposible o impracticable aislar del resto de los datos.
-Por ejemplo, en la mayoría de las redes geodésicas nacionales, las series de
observaciones que son necesarias para ajustar están formadas usualmente por
datos heterogéneos que han sido recogidos en diferentes momentos y con
diferente instrumentación, técnicas de observación y observadores de distinta
experiencia.
- Tratando con este tipo de redes, el problema no es tanto la identificación y
rechazo de las observaciones fuera de rango, sino conseguir la mejor solución
para la red tal y como está diseñada. Es decir, elegir un método de ajuste
adecuado para definir las mejores estimaciones de los parámetros de dicha red.
-En tales casos, algunos métodos rigurosos de ajuste distintos a los mínimos
cuadrados, pueden proporcionar un mejor ajuste. Uno de estos métodos es el
de la mínima suma o ajuste L1 como a veces se le denomina.
Consideremos el conjunto de ecuaciones de observación:
donde :
Ax=b+v
A: matriz de las ecuaciones de observación
x: vector de parámetros incógnita
b: vector de observaciones
v: vector de residuos
Por ejemplo, en el contexto del ajuste de una red de nivelación, x representaría
el vector de correcciones a las alturas aproximadas de los puntos.
Este método está basado en el criterio de minimizar la suma de los valores
absolutos de los residuos:
min Σ Ax-b
Este criterio se atribuye a Laplace(1799), sin embargo el primer método
sistemático para encontrar la solución fue desarrollado por Edgeworth(1888).
APLICACIÓN EN EL AJUSTE DE UNA RED DE NIVELACIÓN :
- Como aplicación de dicho método, y teniendo en cuenta su tamaño y
naturaleza, se eligió la red de nivelación geodésica de Nigeria, formada por 250
líneas de nivelación.
-El programa de nivelación para esta red comenzó en 1955 y aunque el plan
estaba totalmente definido desde el principio, la ejecución por el contrario fue un
proceso de muchas fases. Las observaciones se realizaron desde 1955 hasta
1977, con el consiguiente cambio en la instrumentación a lo largo de este
tiempo.
-Por estos cambios instrumentales y las variaciones en las condiciones
atmosféricas a lo largo de todo el territorio, estas observaciones no se podían
considerar homogéneas. De hecho, muchas líneas no se incluyeron en el ajuste
por la conocida heterogeneidad de los datos.
-La red ajustada estaba formada por 68 puntos y 40 circuitos con perímetros
entre 267 y 1299 Km, siendo 12656 Km la longitud total de las líneas.
APLICACIÓN EN EL AJUSTE DE UNA RED DE NIVELACIÓN :
-El método de la suma mínima se aplicó de la siguiente forma: a cada desnivel
se le asignó un peso de 1/L donde L era la longitud correspondiente.
-El ajuste final se realizó utilizando un algoritmo que se debe a Barrodale y
Young(1966), formulando un ajuste generalizado libre en el que no se consideró
fija ninguna estación.
-Después del ajuste, más de la mitad de los residuos resultaron cero. Se
observó que los desniveles con residuos distintos de cero grandes eran también
los únicos con discrepancias relativamente grandes en los dos sentidos de cada
tramo de la línea de nivelación. Esto indica que la magnitud del residuo en
cualquier desnivel depende de la calidad de la observación en dicho desnivel;
los desniveles con observaciones de peor calidad tenían posteriormente los
residuos o correcciones mayores.
-Para poder realizar una comparación se realizó un ajuste de la misma red
usando el método de los mínimos cuadrados. Se compararon los valores de las
estimaciones de la precisión de la red calculadas por los dos métodos y el valor
calculado con los errores de cierre del circuito, resultando mucho más realista el
valor obtenido por la suma mínima.
APLICACIÓN EN EL AJUSTE DE UNA RED DE NIVELACIÓN :
-Por otro lado, el estudio de la distribución de los errores de cierre dentro de
cada circuito, muestra que, mientras que el método de la suma mínima coloca
los mayores residuos en las diferencias de altura más flojas en precisión, el
método de los mínimos cuadrados los distribuye o reparte entre todos.
-Se podría resumir como conclusión que en un ajuste mínimo cuadrático, no es
posible detectar errores sistemáticos o groseros mediante un mero examen de
la variabilidad interna de los propios residuos.
-Esto ocurre porque en este ajuste, la observación peor no recibe
necesariamente la corrección mayor. La detección de este tipo de errores se
realiza indirectamente a través de test estadísticos sobre los residuos(Baarda)
y a través del análisis de la matriz covarianza
-En cambio, en el ajuste aquí estudiado, las partes más débiles de la red se
localizan directamente observando el tamaño de los residuos.
2. 5. PROBLEMAS PLANTEADOS POR EL MÉTODO CLÁSICO
-Sabemos que el método de los mínimos cuadrados minimiza el sumatorio de
los cuadrados de las correcciones v de las observaciones.
Σ v2 MÍNIMO
-A partir de los resultados del ajuste y los residuos puede ser muy complicado
detectar y localizar los errores graves . De hecho, el método es “muy
eficiente” en ocultar los errores mayores y distribuir sus efectos sobre todas las
observaciones, haciéndolos , por tanto, irreconocibles.
-Las observaciones erróneas no son necesariamente aquéllas con los mayores
residuos después del ajuste, como se mostrará en determinados ejemplos que
se desarrollarán en capítulos posteriores.
-Para afrontar estos problemas, Baarda desarrolló una amplia teoría basada
en tests estadísticos (Data Snooping) . Este método es, sin embargo, muy
elaborado, requiriendo tanto la inversión de la matriz de ecuaciones normales o
ajustes sucesivos excluyendo de forma individual todas las observaciones
Veamos algunos ejemplos de Estimadores Robustos:
MÉTODO DE LA SUMA MÍNIMA
Como una alternativa al método de los mínimos cuadrados, fue propuesto este
método en 1887. En este caso, se hace mínima la suma de los valores
absolutos de las correcciones:
Σ v  MÍNIMO
Este método resulta atractivo de forma intuitiva, pues los residuos más grandes
son tolerados, facilitando la detección y localización de las observaciones
erróneas a partir de los resultados.
Estudios posteriores demuestran que este método proporciona mejores
resultados en la presencia de este tipo de errores que el método clásico.
En la mayoría de los casos, los residuos individualmente indican claramente
que medidas son erróneas.
(Sólo en la presencia de muchos y desfavorablemente localizados errores el
método puede llegar a conclusiones equivocadas )
MÉTODO DE HUBER:
Consiste en minimizar una función de los residuos φ(v), siendo para Huber
φ(v) = {
si v≤ 2σ
v2
2σ (2v-2σ)
si v> 2σ
siendo σ la desviación estándar de las observaciones
MÉTODO DE HAMPEL:
v2
φ(v) =
0 ≤| v |< a
a ≤| v |< b
a
v2
(cv − ) b ≤| v |< c
c -b
2
2
a c
| v |≥ c
c -b 2
av
Donde a , b y c son constantes
Otros principios de Estimación Robusta vienen dados por :
Σ |v| p ----> mínimo
con
1≤p<2
donde el rango de valores más favorable para la constante p está entre 1. 2 y
1. 5.
MÉTODO DANÉS :
-Este método fue desarrollado a partir de las ideas de Krarup(1967) y estaba
diseñado especialmente para eliminar errores groseros.
-El punto de partida de este método es un ajuste convencional por mínimos
cuadrados.
-A partir de los residuos del primer ajuste, se calculan nuevos pesos para cada
medida de forma individual, basados en la siguiente función de pesos
p(v) =
1
ke
- cv 2
| v |≤ 2σ
| v |> 2σ
-Con estos nuevos pesos, se realiza un nuevo ajuste por mínimos
cuadrados, y este proceso de reponderación y ajuste se repite hasta que se
logre la convergencia.
-Finalmente las observaciones afectadas de este tipo de errores tienen peso
cero y sus residuos son una medida de la magnitud del error correspondiente.
Una posible selección de pesos, que usualmente proporciona buenos
resultados dentro del campo de la fotogrametría sería la siguiente:
1ªiteración:
p=1
2ªy 3ªiteración: p=(exp[-(v/σ)4.4])0. 05
siguientes iteraciones: : p=(exp[-(v/σ)3])0. 05
2. 6. -BASES MATEMÁTICAS DE LA TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN
ROBUSTA
Métodos de Estimación Robusta ( basada en estimadores
robustos)
Punto de partida:
• Φ (v) mínima ≠ vt P v
Planteamiento Matemático General:
f(x) distribución asociada al conjunto de observaciones
Parámetro a estimar : θ
Valor Estimado :
θ
Distribución del Estimador : ϕ (
θ
,f)
- f(x) no se conoce exactamente
- g(x)
-
θ
Representa el Modelo matemático
para f(x)
será ROBUSTO si
d(f,g) < η
d [ϕ ( θ ,f), ϕ ( θ ,g) ] < ε
∀ η , ε positivos
d : se denomina distancia de Prokhorov
Planteamiento Matemático : Aplicación
Modelo de Distribución de las
Observaciones:
g(x) ≈ N ( µ, σ2)
Distribución Real : Normal Contaminada
f(x) = (1-) N(µ,σ2) + η(a ,σ2)
con η pequeño
y (a - µ)2 > n σ2
PASOS DEL PROCESO
Elección del Punto de Análisis
Construcción
Influencia
de
la
Función
de
Método de Jacknife
Clasificación General
Condiciones que debe cumplir un estimador de tipo M
-Veamos primero cual sería el algoritmo de aplicación para los
estimadores de tipo M:
Como ya se ha señalado con anterioridad, una de las técnicas robustas
más utilizadas son los llamados estimadores de tipo M.Sea vi el residuo
correspondiente al dato iésimo, la diferencia entre la observación y el
valor ajustado. El método estándar de los mínimos cuadrados trata de
minimizar el sumatorio
, el cual es inestable si existen datos aislados
dentro de las observaciones.
Estos datos producen un efecto tal en el proceso de minimización, que los
parámetros estimados quedan distorsionados. Los estimadores de tipo M,
como ya se ha señalado, intentan reducir el efecto de estas
observaciones reemplazando los residuos al cuadrado por otra función de
dichos residuos, es decir
ρ
-donde ρ es una función simétrica, definida positiva con un único mínimo en cero, y
se elige de tal forma que sea menos creciente que el cuadrado.
-En lugar de resolver directamente el problema, tal y como se hizo en el método
clásico de los mínimos cuadrados, se puede implementar un algoritmo que sería
unos mínimos cuadrados reponderados.Veamos como se construye el algoritmo:
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Resumen del Algoritmo General de aplicación de
los estimadores de tipo M:
Elección de la Función Objetivo :
• ρ(v) mínima
Construcción de la Función de Influencia:
• Ψ(x) = d ρ(x)/ dx
Construcción de la Función de Pesos:
• p(x)= Ψ(x)/ x
Algoritmo General de aplicación de los
estimadores de tipo M:
Proceso Iterativo :
1−
• k: nº de iteración
• i : nº de residuo
Otros estimadores(tipo M):
ρ
Ψ
ρ
Ψ
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3
ρ
+
−
Ψ
+
+
Otros estimadores(tipo M):
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ρ
Ψ
ν
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7' +
Ψ
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+
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−
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Ψ
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Veamos ahora una serie de características de de estas funciones:
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Elección de los Estimadores Robustos:
Mínima Suma :
ρ(x) = |x|
ψ (x) = sgn(x)
p(x) = 1 / |x|
Método de Huber :
≤1
ρ(x) =
1
3
1
p(x) = 1
>1
≤1
>1
ψ (x) =
≤1
1 "*
k cte.
>1
Elección de los Estimadores Robustos:
Método Danés :
≤ σ
ψ (x) =
3
p(x) =
> σ
c,σ ctes.
≤ σ
3
> σ
Elección de los Estimadores Robustos:
Estimador de Geman & McClure:
ρ(x) =
ψ (x) =
+
p(x) =
+
+
2. 7. –ALGUNOS EJEMPLOS SENCILLOS DE APLICACIÓN DE ESTIMADORES
EJEMPLO DEL ESTIMADOR DE HUBER
Este estimador fue desarrollado por PETER J. HUBER en el año 1964 y en
su trabajo “Robust Estimation ” del año 1968 presenta en detalles la teoría de
la estimación robusta de un parámetro de tendencia central o posición central
o puntual de una distribución normal “contaminada” y presenta los tres
métodos para construir estimadores que robustos.
El Estimador HUBER se desarrolló en base a las funciones :
( Vi )² = mínima
K
(2 V
si se cumple
- K ) = mínima
|V|
K
si cumple con | V |
K
generalmente K adopta valores de 2 ó 3. Muchos recomiendan usar el valor 3,
pués K representa la tolerancia de la medición y representa la exactitud
de la observación o medición obtenida. Es un proceso iterativo.
El Estimador de HUBER usa como función de Peso P lo siguiente :
P= 1
si
| V|
K
K
P = ---------------
si
|V|
K
| V|
Veamos en la pizarra un ejemplo numérico de aplicación muy
sencillo:
EJEMPLO DEL MÉTODO DANÉS
-Este método fue propuesto por TORBEN KRARUP en 1967 y desde entonces
ha sido usado como un método standard de computación en el Instituto Danés de
Geodesia para sus cálculos Geodésicos. Durante los últimos años ha sido usado
para otras tareas en la Universidad de Aalborg.
- El método Danés puede ser interpretado también como un método iterativo, como
lo es el estimador de HUBER, para resolver un problema de programación lineal,
particularmente si los Pesos para las mediciones con errores groseros ( los
denominados “outliers”) son reducidos a cero.
-La convergencia del método depende de las condiciones del problema y del
porcentaje de errores groseros.
La estimación de acuerdo con el Método Danés tiene el siguiente algoritmo
iterativo :
CASO DE MEDICIONES DE IGUAL EXACTITUD :
(1) Si los residuos l V l
K les corresponde un peso P = 1
(2) Si los residuos l V l
K les corresponde un peso dado
por la expresión siguiente :
p(v ) = e
Siendo :
v2
−
( kσ )2
e = 2.718282 . . . ( base de los logaritmos Neperianos )
K = constante que adopta el valor de 2 ó 3
= precisión adoptada para el grupo de mediciones.
Hay que señalar que existen diferentes variantes del Método Danés
dependiendo del problema a resolver.
Veamos también ahora un ejemplo numérico como aplicación de este
Método:
EJEMPLO COMPARATIVO
Consideremos el caso de dos estudiantes A y B que cursaron las mismas
asignaturas y cuyas calificaciones son las siguientes :
ASIGNATURAS
Matemáticas
Física
Química
Biología
Historia
CALIFICACIONES
A
B
10
20
10
20
10
20
10
20
20
10
¿ Cual es la calificación que representaría al Estudiante A y B ?
Si aplicamos las estimadores paramétricos de la media aritmética, la mediana y la
media de los extremos, por ejemplo, se obtiene :
ESTIMADOR
Media Aritmética
Mediana
Media de los Extremos
ESTUDIANTE
A
B
12
10
15
18
20
15
De estos resultados observamos que la media aritmética parece que no
representa mejor las calificaciones, mientras que la mediana ofrece una mejor
representación; mientras que la media de los extremos califica de igual tanto al
buen estudiante como al mal estudiante ( ¿ qué tal ? ). Obsérvese que no hay
consistencia entre las tres estimaciones realizadas.
Obsérvese que la muestra es pequeña y no podemos eliminar la calificación
que se sale de la mayoría; tampoco podemos asumir alegremente que es una
distribución normal o una distribución rectangular.
Aplicando los ESTIMADORES ROBUSTOS se obtienen los valores siguientes :
ESTIMADOR
APLICADO
Estimador de HUBER ( * )
Método Danés ( * )
( * ) Se utilizó
= 1 y valor de K = 2
ESTUDIANTE
A
10.498
10
B
19.501
20