Tema 1 Introducción a la asignatura

Tema 1
Introducción a la asignatura
-La
necesidad de otro tipo de estimación surge de los
problemas conocidos(sobre todo en el ámbito
fotogramétrico, pero no sólo) del Ajuste Mínimo
Cuadrático en el caso de Observaciones con errores no
aleatorios
-Orígenes :
1774:P.S.Laplace.Expuso
las
bases
del
método(determinación de las dimensiones terrestres).
Proposiciones:
1)La suma algebraica de los errores debe ser igual a
cero
2)La suma de los valores absolutos de los errores
debe ser mínima
(“Tratado de Mecánica Celeste”)
-Esta
segunda proposición curiosamente es precursora
de
uno de los Métodos de Estimación Robusta
existentes
-Concepto de Estimación Robusta : Kendall(1948)
-Posteriormente desarrollado por Huber y Hampel en la
Universidad de Zurich(1960-70)
-Paralelamente en Princeton por Andrews en 1970
-1ª aplicación en la Geodesia : Carosio y Borre hacia
1980
-Primera definición de Robustez: Un procedimiento
estadístico es considerado como robusto si no es muy
sensible al alejamiento de las suposiciones iniciales de
las cuales depende, es decir el hecho de que la muestra
no siga exactamente una Distribución Normal
-Hay que destacar dos trabajos que marcaron el
comienzo de la etapa de aplicación de estos métodos:
1) El famoso artículo de Huber, en 1964, ha sido el origen de todas las
respuestas a la cuestión de cómo diseñar procedimientos estadísticos
robustos. Introduce los llamados M-estimadores y caracteriza una familia
de mayor robustez entre ellos para la estimación en la localización, cuando
la distribución subyacente es una normal contaminada.
-Una tesis realizada por Hampel(1968), relacionada con el trabajo de Von
Mises, introduce la curva de influencia como una herramienta manifestando
la sensibilidad de un estimador a los valores de las observaciones. De esta
forma, se puede modificar el procedimiento de estimación de modo que no
dependa de las observaciones erróneas, o de alguna otra característica
específica de las observaciones.
JUSTIFICACIÓN DE LA ASIGNATURA
-Por una parte las experiencias conocidas en la práctica
topográfica, geodésica y fotogramétrica en las cuales
los métodos de ajuste clásico no se comportaban como
era de esperar
-Por
otro lado, la existencia de unos métodos de ajuste
o estimación alternativos, denominados de estimación
robusta, que por sus características matemáticas y por
sus aplicaciones en determinados campos podrían ser
quizá los sustitutos, en determinados casos de los
métodos clásicos.
-Aplicación en el ámbito de la Fotogrametría( aunque se
analizarán algunos casos topográficos)
-Objetivo general :“Estudio de la aplicación de diversos
métodos de estimación robusta en algunos problemas
fotogramétricos en los que sea necesario la utilización
de algún método de ajuste observacional “
-Se han elegido las situaciones fotogramétricas más
didácticas en las cuales se podían presentar estos
problemas y se optó por analizar las siguientes:
1)Estudio del efecto de los errores de tipo I presentes en las
fotocoordenadas medidas dentro del proceso de Orientación
Relativa Analítica y análisis de resultados.
2) Estudio del efecto de los errores de tipo I presentes en las
transformaciones tridimensionales de semejanza, en general, y en
la Orientación Absoluta Analítica, en particular, estudiando todos
los casos posibles que aparecen al considerar como observables
tanto las coordenadas modelo, como las coordenadas terreno de
los puntos de control.
3) Estudio de los efectos de los errores de tipo I presentes en las
coordenadas modelo calculadas o medidas, en el proceso de
formación de la banda en Aerotriangulación y en el cálculo de las
coordenadas banda.
-Centraremos nuestro estudio en una serie de determinados
estimadores para estudiar su eficacia en los problemas
fotogramétricos investigados. Estos estimadores son:
-Método de la Mínima Suma
-Método Danés
-Estimador de Huber
-Estimador de Geman-McClure
-Algunas referencias de proyectos de investigación en
este ámbito:
1) Los trabajos realizados en el Instituto de Geodesia y
Fotogrametría dependiente del Instituto Suizo de Tecnología,
con base en Zurich, en el que existen tres líneas de
investigación:
-El Proyecto Geo-Software, dentro del cual se han desarrollado una
serie de programas para resolver los problemas geodésicos más
importantes y que implementa en la actualidad una serie de
aplicaciones robustas para la detección de errores en las
observaciones.
-El desarrollo de procedimientos de estimación robusta para la
vectorización y estructuración automática de objetos de tipo
área, a partir de mapas topográficos escaneados, los cuales
pueden utilizarse como un procedimiento de entrada de datos
para un sistema de información geográfica.
- Integración de métodos robustos en los algoritmos matemáticos
de compensación para transformaciones lineales geodésicas.
2) En la Universidad de Texas se ha desarrollado una plataforma
denominada GAUSSFIT para resolver los problemas de ajuste
utilizando métodos clásicos y métodos robustos en la reducción de
los datos astrométricos obtenidos a partir de las observaciones
procedentes del Telescopio Espacial Hubble de la NASA.
3)En el Instituto de Geodesia e Investigación Geofísica de la Academia
Húngara de las Ciencias, se ha investigado y obtenido buenos resultados
en la aplicación de determinados estimadores robustos en el cálculo de
los parámetros de una transformación proyectiva en dos dimensiones
utilizando en concreto el método de la mínima suma(o mínima norma).
4) Dentro de los proyectos e investigaciones planeados para el período
1996-2000 por The Royal Institute of Technology de Suecia, dentro del
departamento de Geodesia y Fotogrametría, existe una línea de
investigación con el título genérico de Aspectos de la Calidad, en la que
se tratan de mejorar los procesos en fotogrametría digital, de forma que la
detección de errores en los conjuntos de observaciones utilizados sea
realizada de forma automática y aplicando algoritmos que se basan en los
métodos de estimación robusta.
DESCRIPCIÓN PORMENORIZADA DE LA ASIGNATURA
Primera Parte .- Las Técnicas de Estimación Robusta
• Los errores de tipo I
Distribuciones de probabilidad
Métodos existentes de eliminación
• Fundamento matemático de los métodos robustos
Métricas y estimadores
Punto de análisis y función de influencia
•
Clasificación de los métodos de estimación robusta
Estimadores de tipo M
Estimadores de tipo L
Estimadores de tipo MM
Estimación robusta y detección de errores
Segunda Parte.La aplicación de los métodos robustos en
procesos fotogramétricos
•
•
Estimación robusta en Fotogrametría
Detección de observaciones aisladas
Problemas planteados por el método clásico
Posibles aplicaciones
El estimador bicuadrado
Detección automática de los errores de tipo I
Modificación al Método Danés
El programa PAT-M43 de ajuste de bloques
Tercera Parte .- Adaptación de diversos estimadores robustos a tres
problemas fotogramétricos fundamentales
FASE DE TRABAJO INDIVIDUAL : Cada alumno elegirá un determinado
problema de ajuste y estudiará la posible aplicación de métodos de
estimación robusta(topografía, fotogrametría, geodesia, etc)
BREVE REVISIÓN DE LOS MÉTODOS
CLÁSICOS DE AJUSTE MMCC
Datos de partida : Conjunto de Observaciones
redundantes(l). Modelo de Distribución Normal
Elaboración : Planteamiento de las Ecuaciones de
Observación: Av + Bx = f
(Método General de Ajuste)
Criterio Mínimo Cuadrático : Φ = vt P v mínima
Resultados del Ajuste : Parámetros , Residuos y
Observaciones ajustadas + Precisiones
Casos particulares:
Método Paramétrico:
• V (residuos) = Ax(Parámetros) – L(observaciones)
Solución : x = (AtPA)-1(AtPL)
Cálculo de precisiones a posteriori
Método de Ecuaciones de Condición:
Bv+D=0
Donde D = Bl –l0
Cálculo de Precisiones a posteriori
Técnicas Estadísticas para detectar errores
groseros en la metodología clásica:
Tests de Baarda
Tests de Hipótesis basados en la
Varianza de Referencia
Criterios de eliminación sobre las
desviaciones estándar a posteriori
Test de Baarda(Data Snooping):
v : vector de residuos (v1,v2,...,vn)
Cálculo del residuo normalizado:
vi
vi =
σvi
Residuos normalizados ≈ N(0,1)
Test de Hipótesis : H0 : Residuos normalizados ≈ N(0,1)
Si existe un único error en las observaciones, su residuo
normalizado será el mayor.
Test de Baarda(Data Snooping):
En el caso de existencia de más de un error en las observaciones, la
estrategia a seguir es:
1)Determinar una solución global utilizando todas las observaciones
2)Aplicar el Test de Hipótesis a los residuos normalizados
3)Eliminar la observación sospechosa de tener errores según el test
anterior
4)Determinar de nuevo una solución global, sin incluir la observación
errónea.