Geometría analítica - Facultad de Matemáticas

Universidad Autónoma de Yucatán
Facultad de Matemáticas
Taller de Nivelación en Matemáticas
Módulo 3: Geometría Analítica
MÓDULO
3
Geometría analítica
Contenido
1. Conceptos básicos
1.1. Elementos del plano cartesiano
1.2. Distancia entre dos puntos
1.3. Punto medio entre dos puntos
2.
Lugares geométricos
2.1. Generación de lugares geométricos y sus ecuaciones
3.
La línea recta
3.1. Pendiente de una recta
3.2. Rectas paralelas y perpendiculares
3.3. Modelos analíticos y gráficos de las ecuaciones de la recta
3.4. Distancia de un punto a una recta
4. Secciones cónicas
4.1. Circunferencia
4.2. Parábola
4.3. Elipse
4.4. Hipérbola
Bibliografía
1. Fuller, G. (1979). Geometría Analítica. México: CECSA
2. Lehmann, C. (1997). Geometría Analítica. Ed. LIMUSA
3. May, A., Pech, J., Reyna, L. (2002). Matemáticas 3. Trigonometría y Geometría Analítica Básicas. México:
Universidad Autónoma de Yucatán
4. Steen, F., Ballou, D. (1985). Geometría Analítica. México: Publicaciones Culturales, S.A. de C.V.
5. Swokowski, E. (2006). Algebra y trigonometría con geometría analítica. (11a. Ed.). Thomson.
TALLER DE NIVELACIÓN EN MATEMÁTICAS 2015
CALENDARIO DE ACTIVIDADES
1: ÁLGEBRA
Del 6 al 10 de julio
8:00 A 12:30 HORAS
2: GEOMETRÍA PLANA Y
Del 13 al 17 de julio
TRIGONOMETRÍA
8:00 A 12:30 HORAS
3: GEOMETRÍA ANALÍTICA
Del 20 al 24 de julio
8:00 A 12:30 HORAS
4: PRECÁLCULO
Del 27 al 31 de julio
8:00 A 13:30 HORAS
Julio, 2015
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Módulo 3: Geometría Analítica
1. CONCEPTOS BÁSICOS
1.1 Elementos del plano cartesiano
Un sistema de ejes coordenados se forma cuando dos líneas rectas numéricas se
interceptan en un plano. Si las rectas son perpendiculares entre sí, se tiene un sistema de
coordenadas rectangulares, o denominado también, sistema de coordenadas cartesianas
(en honor a su creador, el matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650)).
Por lo general, se sitúan a dichas rectas una de forma horizontal, llamada eje de las
abscisas o eje , y otra de forma vertical, llamada eje de las ordenadas o eje .
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos asociando a
cada uno de ellos una pareja ordenada de números reales
conocido como la abscisa del punto, es tomado sobre el eje
dirigida del punto hacia el eje
tomado sobre el eje
. El número
. El número
,
y representa la distancia
, llamado ordenada del punto, es
y representa la distancia dirigida del punto hacia el eje
. La
abscisa y la ordenada son denominadas las coordenadas rectangulares o cartesianas.
Notas aclaratorias:

Un punto del plano cartesiano se denota como
abscisa e
, en donde
es la ordenada del punto, y las cuales provienen del eje
es la
y el
eje , respectivamente. Esta es la razón por la que dichos ejes reciben los
nombres de eje de las abscisas y eje de las ordenadas.

La abscisa y la ordenada un punto son conocidas como las coordenadas
rectangulares porque al ubicar un punto en el plano cartesiano “se hacen uso
de rectángulos”.

Por supuesto, el sistema de coordenadas rectangulares no es el único
sistema de referencia para posicionar puntos. En ocasiones, se recurre al
llamado sistema de coordenadas polares, en la que un punto se ubica
utilizando un radio y un ángulo, conocidos como el módulo y el
argumento, respectivamente.
1.2 Distancia entre dos puntos
Si los puntos extremos de un segmento son
y
̅̅̅̅
, entonces la longitud del segmento viene dada por:
√
1.3 Punto medio entre dos segmentos
Si los puntos extremos de un segmento son
y
, las coordenadas del punto medio del segmento
coinciden con la semisuma de las coordenadas de los puntos extremos:
(
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)
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Ejercicios propuestos
1. Comprueba que el punto
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equidista de los puntos
2. Averigua cuál de los puntos
y
y
.
está más cerca del punto
3. Considera al triángulo con vértices en
y
.
. ¿El
es escaleno, isósceles o
equilátero?
4. ¿El cuadrilátero formado por
y
es un paralelogramo? ¿Es un rombo?
¿Qué puedes concluir acerca del cuadrilátero formado por
y
5. Determinar el perímetro del triángulo con vértices en
y
?
. Especificar si se trata de
un triángulo escaleno, isósceles o equilátero.
6. Halla el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos
7. Encuentra el valor de , si la distancia entre
8. Encuentra un punto
y
y
.
es
en el plano cartesiano tal que su abscisa es
y dista
unidades del punto
9. Determinar las coordenadas del punto que equidista de los puntos fijos
10. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos
y
y
.
.
. Hallar las coordenadas
del tercer vértice.
11. El diámetro de una circunferencia tiene como extremos los puntos
y
. Determine las
coordenadas del centro y la longitud de su radio.
12. El punto medio de un segmento es
y uno de sus extremos es
. Hallar las coordenadas del
otro extremo.
13. Uno de los extremos de un segmento es el punto
, y su punto medio es
14. Tres de los vértices de un paralelogramo son
y
. Hallar el otro extremo.
. Hallar las coordenadas del
cuarto vértice.
15. Calcular la longitud de cada una de las medianas (rectas que unen el vértice con el punto medio) del
triángulo con vértices en
y
16. ¿Cuáles son las coordenadas de un punto
distancia de
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a
es el doble de la de
.
que está sobre la recta que pasa por
y , si se sabe que la
a ?
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2. LUGAR GEOMÉTRICO
2.1 Generación de lugares geométricos y sus ecuaciones
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos (o el espacio ocupado por ellos) que satisfacen determinadas
propiedades geométricas. Cada lugar geométrico está constituido por puntos que poseen alguna característica
en común o que cumplen ciertas condiciones dadas. Estas condiciones varían según como se quiera definir al
lugar geométrico.
Los lugares geométricos son representados mediante gráficas o ecuaciones algebraicas, las cuales permiten
entender, comprender, estudiar y analizar muchas de sus propiedades, inclusive hasta su “comportamiento”.
Nota aclaratoria:

Desde un punto de vista estático, un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen ciertas
condiciones. Mientras que, desde un punto de vista dinámico, un lugar geométrico es un punto (o la
trayectoria recorrida por éste) que se mueve siguiendo alguna condición o propiedad geométrica.
Ejercicios propuestos
1. Bosqueje en el plano cartesiano cada uno de los lugares geométricos que se describen a continuación:
a) Lugar geométrico del punto que se mueve de tal manera que su
distancia al eje de las ordenadas es siempre la misma.
b) Lugar geométrico del punto que se mueve de tal manera que su
distancia al eje de las abscisas es siempre la misma.
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c) Lugar geométrico del punto que se mueve de tal forma que su
distancia al eje
y al eje
es siempre igual.
d) Lugar geométrico del punto que se mueve de tal forma que su
distancia al origen es siempre la misma.
e) Lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de los
extremos de un segmento dado.
2. Actividad de inducción: Considera a un punto que se
mueve en el plano, en diferentes períodos de tiempo, con
las siguientes trayectorias:

Período 1: Siempre permanece a tres unidades encima del eje .

Período 2: Siempre permanece a 5 unidades de distancia del eje .

Período 3: Siempre se encuentra a la misma distancia tanto del eje
como del eje .
Bosquejar la gráfica de los lugares geométricos generados por el movimiento del punto y determinar la
ecuación de cada uno de ellos.
3. Establece una ecuación algebraica que represente al lugar geométrico de los puntos
que satisfacen
las condiciones dadas. Si es posible, bosqueja gráficamente a dicho lugar geométrico.
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a) Lugar geométrico de los puntos cuya distancia dirigida al eje
es igual a su distancia dirigida al eje
.
b) Lugar geométrico de los puntos cuya distancia dirigida al eje
es igual al cuadrado de la distancia
dirigida al eje .
c) Lugar geométrico de los puntos cuya ordenada es tres unidades menor que su abscisa.
d) Lugar geométrico de los puntos cuya distancia dirigida al eje
es igual a la mitad de su distancia
dirigida al eje .
e) Lugar geométrico de los puntos que están a cuatro unidades por encima del eje .
f) Lugar geométrico de los puntos que están a 7 unidades por debajo del eje .
g) Lugar geométrico de los puntos que están a cinco unidades a la izquierda del eje .
h) Lugar geométrico de los puntos cuya distancia dirigida al eje
es de cinco unidades.
i) Lugar geométrico de los puntos tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos fijos
y
sea igual 20.
j) Lugar geométrico del punto que se mueve de tal manera que la diferencia de los cuadrados de sus
distancias a los dos puntos
y
es siempre igual a 12.
4. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje
disminuida en
es siempre igual al doble de
su distancia al eje . Determinar la ecuación que representa a su lugar geométrico y dar su interpretación
geométrica.
Una vía férrea está situada entre dos pueblos
y . ¿En qué lugar hay que colocar la estación, sobre la
vía, para que esté a la misma distancia del pueblo
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y del pueblo ?
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3. LA LÍNEA RECTA
3.1 Inclinación y pendiente de una recta
Llámese ángulo de inclinación de una recta, o simplemente como
inclinación, al ángulo que determina dicha recta con el sentido positivo
del eje
, siendo medido este ángulo en sentido contrario de las
manecillas del reloj, desde el eje positivo de las abscisas hasta la recta.
La pendiente (o coeficiente angular) de una recta es la tangente de su
ángulo de inclinación, y comúnmente, se denota con la letra
. Para hallar
la pendiente de una recta se nos presentan algunos casos distintos:
a) Cuando se conoce la inclinación
de la recta, la pendiente se calcula
como:
b) Cuando se conocen dos puntos diferentes de la recta
En donde,
es decir,
y
y
, la pendiente se calcula como:
no están alineados verticalmente.
c) Cuando se conoce la ecuación general de la recta (véase en la página 7), escrita como
,
la pendiente se calcula como:
Notas aclaratorias:

La inclinación de una recta es un ángulo que se encuentra entre
de una recta, su inclinación

y
. Cuando se conoce la pendiente
queda determinada como:
Toda línea recta tiene un ángulo de inclinación, pero no todas poseen pendiente. Las rectas que son
verticales carecen de ella. Convendremos que una recta de este tipo posee pendiente infinita, para lo cual
escribiremos
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.
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Ejercicios propuestos
1. Encierra la opción que responda correctamente las cuestiones planteadas:
i.
¿Cómo es la línea recta que tiene pendiente nula o cero?
a) Inclinada
ii.
b) Horizontal
¿Cómo es la línea recta que no tiene pendiente, o bien, su pendiente es infinita?
a) Inclinada
iii.
b) Horizontal
c) Vertical
Si la pendiente de una recta es positiva, ¿cómo es su ángulo de inclinación?
a) Nulo
iv.
c) Vertical
b) Agudo
c) Obtuso
Si la pendiente de una recta es negativa, ¿cómo es su ángulo de inclinación?
a) Nulo
b) Agudo
c) Obtuso
2. ¿Cuál es la inclinación y la pendiente de una recta que pasa por los puntos:
a)
b)
?
d)
y
e)
3. Mediante las pendientes, explicar por qué los puntos
y
4. Una recta de pendiente
y
y
son colineales. Y averigüe si
también lo son.
pasa por el punto
. La abscisa de otro punto de la recta es
Determinar su
ordenada.
5. Si la pendiente de una recta es
ordenada
y un punto de ella es
, halla el punto de la recta que tiene
.
6. Determinar cuál es el signo de las pendientes de las rectas representadas en los gráficos siguientes:
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3.2 Rectas paralelas y perpendiculares
Dadas dos rectas con pendientes
y
, respectivamente, ocurre que:

Si son paralelas, entonces sus pendientes son iguales, es decir:

Si son perpendiculares, entonces su pendientes son negativamente inversas, es decir:
, o bien,
3.3 Modelos analíticos y gráficos de las ecuaciones de la recta
 Ecuación Punto-Pendiente:
La ecuación de la recta que pasa por el punto
y con pendiente
es:
 Ecuación General:
Toda recta en el plano cartesiano puede representarse con una ecuación de primer grado en las variables
e
como:
En donde
y , son números reales arbitrarios conocidos como los coeficientes de la ecuación, y en donde
representa la pendiente de la recta, siempre que
.
 Ecuación Pendiente-Ordenada al origen:
La ecuación de la recta que corta al eje
en
y con pendiente
es:
3.4 Distancia de un punto a una recta
La distancia de un punto
viene descrita por
|
a una recta cuya ecuación
, se calcula como:
|
√
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Ejercicios propuestos
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1. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos:
a)
c)
b)
d)
2. Los vértices de un cuadrilátero son los puntos
y
. Halla las ecuaciones de
sus diagonales.
3. Lo vértices de un triángulo son
y
. Obtener las ecuaciones de las rectas que
contienen las medianas del triángulo.
4. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos
, sabiendo que su ecuación
general es de la forma
5. Cuál es la pendiente de una recta si su ecuación es representada como sigue:
a)
e)
i)
m)
q)
b)
f)
j)
n)
r)
c)
g)
k)
o)
s)
d)
h)
l)
p)
t)
6. ¿Cuáles son las intersecciones de las rectas dadas con los ejes coordenados?
a)
c)
b)
d)
7. Investiga si la recta que pasa por los puntos
y
y
es paralela o perpendicular a la que pasa por
.
8. ¿Cuáles son los vértices que forman un paralelogramo y cuáles un trapecio?
a)
c)
b)
d)
9. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto
y es perpendicular a la recta
. Bosquejar la gráfica de la recta.
10. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto
y es paralela a la recta
.
Bosquejar la gráfica de la recta.
11. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento delimitado por
y
.
12. Determina la ecuación de la recta que es mediatriz del segmento con extremos en
13. Calcular el área del triángulo que forma la recta
y
.
con los ejes coordenados.
14. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que los ejes coordenados determinan en la recta
.
15. Determinar la ecuación de la recta con pendiente igual a –
–
y
.
16. Establecer la ecuación de la recta que pasa por el punto
y
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y que pasa por la intersección de las rectas
y por la intersección de las rectas
.
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4. SECCIONES CÓNICAS
Llámense secciones cónicas a aquellos
lugares geométricos que se generan al
cortar dos conos “huecos” sobrepuestos
con un plano. Estas secciones se
forman dependiendo de la inclinación
del plano al momento de cortar los
conos.
4.1 Circunferencia
Definición: Lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que se conserva siempre a una
distancia constante de un punto fijo de ese plano.
El punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama radio. Si una circunferencia está
centrada en el punto
y la longitud de su radio es , entonces su ecuación viene representada por:
La cual es conocida como la ecuación ordinaria o canónica de la circunferencia. Tras desarrollar las operaciones
indicadas en dicha ecuación, se obtiene una expresión como la siguiente:
La cual es conocida como la ecuación general de la circunferencia.
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Ejercicios propuestos:
1. Especifica cuál de las siguientes ecuaciones representa a una circunferencia real, imaginaria o reducida a
un punto:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
2. Encontrar la ecuación de una circunferencia tal que:
a) Su centro es el origen y pasa por
.
b) Su centro es
y pasa por el origen.
c) Su centro es
y pasa por
.
d) Su centro es
y pasa por
.
e) Su centro es
y es tangente al eje Y.
f) Su centro es
y es tangente al eje X.
g) Su centro es
y es tangente a los dos ejes coordenados.
h) Su centro es
y es tangente a los dos ejes coordenados.
i) Su radio mide 1 y es tangente a los dos ejes coordenados en el primer cuadrante.
j) Su radio mide 4 y es tangente a los dos ejes coordenados en el cuarto cuadrante.
3. Determina la ecuación de la circunferencia si los extremos de uno de sus diámetros son:
a)
y
.
b)
y
c)
y
.
d)
y
.
e)
y
.
4. Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre:
a) El eje X y pasa por los puntos
y
.
b) El eje Y y pasa por los punto
y
.
c) El eje X y pasa por los puntos
y
.
d) El eje Y y pasa por los puntos
y
.
e) La parte positiva del eje X, pasa por y tiene radio 2.
f) La parte negativa del eje Y, pasa por y tiene radio 3.
g) La recta
, y es tangente al eje Y en el punto
.
h) La recta
, y es tangente al eje X en el punto
.
i) La recta
, y es tangente al eje X.
j) La recta
, y es tangente al eje Y.
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5. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (-1, -4), (2, –1) y cuyo centro está
sobre la recta 4 x + 7 y + 5 = 0 .
6. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 3 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas
y
.
7. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas
y
.
8. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto
y cuyo centro es el punto de
intersección de las rectas
y
.
9. Una circunferencia tiene centro en
. ¿Cuál es su ecuación?
y pasa por la intersección de
y
10. Hallar la ecuación de la recta que es tangente a la circunferencia dada en el punto dado.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
11. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (5, 9) y que es tangente a la recta
x + 2 y - 3 = 0 en el punto (1,1).
12. Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuación es
. Calcula
también el área del círculo limitado por esta curva.
13. Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuación es
. Calcula
también el área del círculo limitado por esta curva.
14. Demostrar que las circunferencias
y
son concéntricas (tienen mismo centro).
15. Determina la ecuación de la circunferencia de radio 7 que sea concéntrica con la circunferencia
.
16. Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por
y que es concéntrica con
.
17. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos vértices son
a)
y
.
b)
⁄
y
.
c)
.
18. Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa por los tres puntos dados.
a)
b)
c)
d)
19. Determinar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos vértices están determinados
por las intersecciones de las rectas x - y + 2 = 0 , 2 x + 3 y - 1 = 0 y 4 x + y - 17 = 0 .
20. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son
Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita.
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y
.
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4.2 Parábola
Definición: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija del
mismo plano.
El punto fijo se llama foco de la parábola, y a la recta fija es su directriz. Si una parábola tiene su vértice en el
punto
y la distancia entre su vértice y su foco es , entonces su ecuación viene representada por:
, si es horizontal, o por
, si es vertical
La cual es conocida como la ecuación ordinaria o canónica de la parábola. Tras desarrollar las operaciones
indicadas en cada ecuación se obtiene la ecuación general de la parábola.
Si la parábola es horizontal su ecuación general es del tipo:
Si la parábola es vertical su ecuación general es del tipo:
La figura de abajo muestra una representación gráfica de la parábola, de acuerdo a ésta se identifica sus
elementos:
 Foco: Es el punto fijo F
 Eje Focal: Es la recta que pasa por el Foco y es
perpendicular a la Directriz. Representa el eje de
simetría de la parábola. También se conoce como el
eje de la parábola
 Directriz: Es la recta perpendicular al eje focal. Es la
recta fija D
 Vértice (V): Punto de intersección de la curva con su
eje focal
 Radio vector: segmento que une un punto cualquiera
de la parábola con el foco
 Parámetro: Es la distancia del vértice al foco de la
parábola, se designa por la letra p
 Lado recto: Es la secante que pasa por el foco y es
perpendicular al eje de la parábola. La longitud del
lado recto se designa como L.L.R = |4p|
 Excentricidad: e = 1
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Hacia la derecha
( y - k )2 = 4 p( x - h )
Foco: F(h+p, k)
Directriz: x = h-p
Horizontal
Hacia la izquierda
( y - k )2 = -4 p( x - h )
Foco: F(h-p, k)
Directriz: x = h+p
Parábola con
Vértice en (h, k)
Hacia arriba
( x - h )2 = 4 p( y - k )
Foco: F(h, k+p)
Directriz: y = k -p
Vertical
Hacia abajo
( x - h )2 = -4 p( y - k )
Foco: F(h, k-p)
Directriz: y = k+p
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Ejercicios propuestos:
1. Determinar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco el punto (3,0).
2. Determinar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y directriz la recta x + 5 = 0.
3. Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X pasa por el punto (-2,4).
Determinar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud
de su lado recto.
4. Determinar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (-4,3) y (-1,3), respectivamente.
Determinar también la ecuación de su directriz y su eje focal.
5. Determinar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (3,3) y (3,1), respectivamente.
6. La directriz de una parábola es la recta y – 1 = 0 y su foco es el punto
. Determinar la ecuación de
la parábola.
En los ejercicios 7 y 8, reducir la ecuación de la parábola a su forma ordinaria y determinar las coordenadas
del vértice y del foco, las ecuaciones de la directriz y del eje focal.
7. 4y2 – 48x – 20y = 71
8. 9x2 + 24x + 72y + 16 = 0
9. Determinar la ecuación de la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje X y pasa por los puntos (0,0), (8,4) y (3,1).
10. Determinar la ecuación de la parábola con vértice en (4,-1), eje focal sobre la recta
y que pasa
por el punto (3,-3).
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4.3. Elipse
Definición: Lugar geométrico de un punto que se mueve sobre un plano de manera que la suma de sus
distancias a dos puntos fijos es siempre constante. Los puntos fijos se llaman focos.
La figura de abajo muestra una representación gráfica de la elipse, junto con sus elementos:




Longitud del eje mayor (V1V2) = 2a
Longitud del eje menor (B1B2) = 2b
Distancia entre los focos (F1F2) = 2c
Se cumple la siguiente relación entre los
parámetros a, b y c:
LR
c 2  a2  b2
2b 2
 Longitud del lado recto (L.R.) = a
 Excentricidad.
e
c
1
a
Si una elipse está centrada en el punto
, y las longitudes de su semieje mayor y semieje menor son
, respectivamente, su ecuación viene representada por:
, si es horizontal, o por
y
, si es vertical
La cual es conocida como la ecuación ordinaria o canónica de la elipse. Tras desarrollar las operaciones
indicadas en dicha ecuación, se obtiene una de la forma:
En donde
y
tienen mismo signo. Esta ecuación es conocida como la ecuación general de la elipse.
Horizontal
x  h2   y  k 2
1
Vertical
x  h2   y  k 2
1
a2
b2
Elipse con
centro en (h, k)
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b2
a2
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Ejercicios propuestos:
1. Calcular la longitud de los ejes (mayor, menor y focal), del lado recto, las coordenadas de los vértices, de
los focos, y la excentricidad de la elipse:
a)
c)
e)
g)
b)
d)
f)
h)
En los ejercicios 2-6 el centro de la elipse se encuentra en el origen:
2. Un foco de la elipse está en (0,4) y el eje mayor es el doble del eje menor. Determinar su ecuación y
calcular su excentricidad.
3. Una elipse horizontal pasa por el punto (2,3) y su excentricidad es
1
; determinar su ecuación.
2
4. Determinar la ecuación de la elipse horizontal que pasa por los puntos (4,3) y (6,2) .
5. Determinar la ecuación y la excentricidad de la elipse que tiene uno de sus vértices en (0,7) y que pasa
 14 

 3
por el punto  5,
6. Los focos de una elipse son los puntos (3,0), (3,0), y la longitud del lado recto es igual a 9. Determinar
la ecuación de la elipse.
7. Determinar la ecuación de la elipse si:
a.
Los focos son (3,8) y (3,2) , y la longitud del eje mayor es 10
b.
Los vértices son (3,1) y (5,1) , y su excentricidad es
c.
Los vértices sobre el eje menor son (2,6) y (2,2) , y la longitud del lado recto es 4.
8. Los vértices de una elipse son los puntos (1,1) y (7,1) y su excentricidad es
1
3
. Determinar la ecuación de
la elipse, su centro, las coordenadas de sus focos, las longitudes de su eje mayor y menor y la longitud de
su lado recto.
9. Los focos de una elipse son los puntos (3,8) y (3,2) , y la longitud de su eje menor es 8. Determinar la
ecuación de la elipse, su centro, las coordenadas de sus vértices y su excentricidad.
10. El centro de una elipse es el punto (2,1) y uno de sus vértices es el punto (5,1) . Si la longitud de cada
lado recto es 4, determinar la ecuación de la elipse, su excentricidad y las coordenadas de sus focos.
11. El centro de una elipse es el punto (2,4) y el vértice y el foco son los puntos
(2,4) y (1,4) respectivamente. Determinar la ecuación de la elipse, su excentricidad, la longitud de
su eje menor y la de cada lado recto.
12. Reducir las siguientes ecuaciones a su forma ordinaria y determinar las coordenadas del centro, vértices y
focos:
a)
Julio, 2015
b)
c)
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4.4. Hipérbola
Definición: Lugar geométrico del punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la
diferencia de sus distancias a dos puntos fijos de un plano, llamados focos, es siempre constante.
La figura de abajo muestra una representación gráfica de hipérbola, junto con sus elementos:
Si una hipérbola está centrada en el punto
, y las longitudes de su semieje transverso y semieje
conjugado son y , respectivamente, su ecuación viene representada por:
, si es horizontal, o por
, si es vertical
La cual es conocida como la ecuación ordinaria o canónica de la hipérbola. Tras desarrollar las
operaciones indicadas en dicha ecuación, se obtiene una de la forma:
En donde
y
tienen diferente signo. Esta ecuación es conocida como la ecuación general de la hipérbola.
x  h2   y  k 2
Horizontal
a2
b2
1
Asíntotas
Hipérbola con
centro en
 y  k 2  x  h2
Vertical
a2
b2
1
Asíntotas
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Ejercicios propuestos:
1. Determinar los elementos de las siguientes hipérbolas:
a)
9 x 2  4 y 2  36
b) 9 y  4 x  36
2
2
c)
3 x 2  y 2  30 x  78  0
d)
x2  4 y 2  2x  1  0
2. Los vértices de una hipérbola son V1(2,0), V2(-2,0), y sus focos los puntos F1 (3,0), F2(-3,0). Determinar
su ecuación y su excentricidad.
3. El centro de una hipérbola está en el origen, y su eje transverso está sobre el eje Y. Si un foco es el punto
(0,5) y la excentricidad es igual a 3, determinar la ecuación de la hipérbola y la longitud de cada lado
recto.
4. Los extremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos (0,3) y (0,-3) y la longitud de cada lado
recto es 6. Determinar la ecuación de la hipérbola y las coordenadas de sus focos.
5. Una hipérbola tiene su centro en el origen y su eje transverso sobre el eje X. Determinar su ecuación
sabiendo que su excentricidad es
√
y que la curva pasa por el punto (2,1).
6. Una hipérbola tiene su centro en el origen y su eje conjugado está sobre el eje X. La longitud de cada lado
recto es 2/3, y la hipérbola pasa por el punto (-1,2). Determinar su ecuación.
7. Los vértices de una hipérbola son los puntos (-1,3) y (3,3) y su excentricidad = 3/2. Determinar la
ecuación de la hipérbola, las coordenadas de sus focos, y las longitudes de sus ejes transverso y
conjugado, así como de cada lado recto.
8. Los focos de una hipérbola son los puntos (4,-2) y (4,-8) y la longitud de su eje transverso es 4.
Determinar la ecuación de la hipérbola, la longitud de su lado recto y su excentricidad.
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Actividad final
1. Relaciona ambas columnas asociando cada ecuación con su lugar geométrico correcto.
(
)
A. Recta horizontal
(
(
)
)
B. Recta vertical
C. Recta con pendiente positiva
(
(
)
)
(
(
)
)
(
)
D.
E.
F.
G.
H.
(
(
(
)
)
)
(
(
)
)
Recta con pendiente negativa
Circunferencia real
Lugar Imaginario
Lugar reducido a un punto.
Parábola horizontal
I. Parábola vertical
J. Elipse horizontal
K. Elipse vertical
L. Hipérbola horizontal
M. Hipérbola vertical
2. Para cada una de las siguientes ecuaciones generales, determinar, por simple inspección, la curva que se
presenta: Recta, Circunferencia, Parábola, Elipse o Hipérbola.
a) 9 x  4 y  18x  16 y  43  0
2
2
b)
x2  x   y 2  y
c)
3x 2  3 y 2  4 x  1
d)
x  5y  3  0
e)
x2  y 2  2x  6 y  8
f)
3x 2  3 y 2  6 x  12 y  6  0
g)
y
h)
5x 2  2 y 2  10 x  4 y  7
i)
 3x 2  2 y 2  6 x  8 y  1
j)
y 2  2x  2 y  0
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1
3
x
2
4
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3. Para cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas generales, determinar si se trata de una
circunferencia, elipse o hipérbola con centro en el origen o fuera del origen, o una parábola con vértice en
el origen o fuera del origen.
a)
x 2  y 2  3x  y  2
b)
x 2  20 y
c)
4 x 2  25 y 2  100
d)
3x 2  5 y 2  2  x  8 y
e)
y 2  6 y  8x  17  0
f)
x2  2 y 2  4x  4 y  4  0
g)
x2  2 y2  2
h)
x2  y2  8  0
4. Para cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas generales, determinar si se trata de una parábola,
elipse o hipérbola, y si es horizontal o vertical.
a)
9 x 2  4 y 2  18x  16 y  43  0
b)
5x 2  2 y 2  10 x  4 y  7
c)
 3x 2  2 y 2  6 x  8 y  1
d)
9 y 2  16 x 2  144
e)
3x 2  5 y 2  2  x  8 y
f)
y 2  2x  2 y  0
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