Matrices y determinantes
Anuncio
Matemáticas CCSS II 1 Matrices Matrices y determinantes CTS05 1 0 0 1 − 1 − 1 , B = y C = . Halla la matriz 1. Sean las matrices A = − 1 0 1 − 1 1 1 X = A · (B − C). Solución: 2 1 0 0 1 − 1 − 1 1 0 1 2 1 · − = · = X = − 1 0 1 − 1 1 1 − 1 0 0 − 2 − 1 − 2 José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net) Matemáticas CCSS II 2 Matrices CLS05 − 4 5 y que 2. Calcula dos matrices cuadradas A y B sabiendo que 2 A + 3B = − 2 − 1 3 0 . A − B = − 1 2 Solución: Es un sistema lineal. − 4 5 2 A + 3B = − 2 − 1 3 0 . A − B = − 1 2 Multiplicando por 3 la segunda ecuación y sumando miembro a miembro ambas ecuaciones, se tiene: − 4 5 3 0 5 5 1 1 + 3 = ⇒ A = 5A = − 2 − 1 − 1 2 − 5 5 − 1 1 Sustituyendo y despejando en la segunda ecuación: 3 0 1 1 3 0 − 2 1 = − ⇒ B = B = A − − 1 2 − 1 1 − 1 2 0 − 1 José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net) Matemáticas CCSS II 3 Matrices EXS05 3. Dadas las matrices: − 2 − 1 1 0 5 2 A = B = C = 1 1 2 − 3 3 1 determinar la matriz X que verifica la ecuación A· X = B·C . Justificar la respuesta. Solución: a b , debe cumplirse que: Si X = c d − 2 − 1 a b 1 0 5 2 − 2a − c − 2b − d 5 2 = ⇒ = ⇒ 1 c d 2 − 3 3 1 b + d 1 1 1 a+c − 2a − c = 5 a = −6 a + c =1 c=7 ⇒ ⇒ − 2b − d = 2 b = −3 b + d = 1 d = 4 − 6 − 3 . La matriz X = 4 7 José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net) Matemáticas CCSS II 4 Matrices ANJ05 1 − 1 − 2 − 1 1 y B = 2 4. Sean las matrices A = 0 . − 1 0 1 − 2 1 a) Calcule la matriz C = B · A − At · Bt. 4 b) Halle la matriz X que verifique A·B· X = . 2 Solución: 1 − 1 − 2 − 2 − 1 1 − − 1 a) C = 2 0 − 1 0 1 1 − 2 1 −1 −1 0 −1 − 4 = − 4 − 2 2 − −1 − 2 3 2 2 − 1 0 − 1 1 2 − 2 = 0 1 0 1 − 1 3 0 3 − 3 2 = − 3 0 0 − 1 3 0 0 b) Para que pueda hacerse la multiplicación ABX, la matriz X debe ser de dimensión 2 × 1. a Sea X = , entonces: b 1 − 1 a 4 − 6 3 a 4 4 − 2 − 1 1 2 = ⇒ 0 = ⇒ A·B· X = ⇔ − 3 2 b 2 2 − 1 0 1 − 2 1 b 2 − 6a + 3b = 4 − 6a + 3b 4 = ⇒ ⇒ a = −2/3, b = 0 ⇒ − 3a + 2b = 2 − 3a + 2b 2 − 2 / 3 La matriz es X = 0 José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net) Matemáticas CCSS II 5 Matrices CLJ05 0 1 . 5. Sea A = − 1 0 a) Calcula A2 y expresa el resultado en función de la matriz identidad. b) Utiliza la relación hallada con la matriz identidad para calcular A 2005 . Solución: 0 1 0 1 − 1 0 1 0 = = − = − I a) A 2 = − 1 0 − 1 0 0 − 1 0 1 b) Puede observarse que: A=A A2 = −I A3 = A2 · A = −I · A = −A A4 = A3 · A = −A · A = −A2 = I A5 = A4 · A = I · A = A A6 = A5 · A = A · A = A2 = −I … … Los posibles resultados son: A4n = I A4n + 1 = A A4n + 2 = −I A4n + 3 = −A En consecuencia, como A2005 = A4·501 + 1 = A. José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net) Matemáticas CCSS II 6 Matrices PAJ05 y 6 − ay x y a , B = , C = , D = 6. Sean las matrices A = ay 1− a 0 y 1 (a) Si AB − C = D, plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (representadas por x e y) en función de a. (b) ¿Para qué valores de a el sistema tiene solución?; ¿es siempre única? Encuentra una solución para a = 1 con y ≠ 1. Solución: x (a) AB − C = D ⇔ 0 y a y 6 − ay ax + − = ⇔ y 1 ay 1 − a y y y 6 − ay − = ay 1 − a ax 6 − ay ax = 6 − ay ax + ay = 6 = ⇔ ⇔ ⇔ y − ay 1 − a (1 − a) y = 1 − a (1 − a) y = 1 − a (b) Si observamos la primera ecuación, vemos que cuando a = 0 queda 0 = 6, lo que indica que el sistema será incompatible. Igualmente, la segunda ecuación, cuando a = 1, queda 0 = 0, lo que indica que el sistema será compatible indeterminado. Por tanto: • Si a = 0 el sistema es incompatible. • Si a = 1, el sistema es compatible indeterminado: con infinitas soluciones. • Si a ≠ 0 y 1, el sistema es compatible determinado. En cada caso tendrá una única solución. x + y = 6 x=t Para a = 1 el sistema queda: ⇔ (y = 6 − x) ⇔ 0=0 y = 6 − t Algunas soluciones son: x = 0, y = 6; x = 3, y = 3; … La única que excluimos ene este caso es: x = 5, y = 1. José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net) Matemáticas CCSS II 7 Matrices LRJ05 7. ¿Es posible que una matriz de tamaño 3 × 2 coincida con su traspuesta? ¿Y con su inversa? Solución: • Una matriz rectangular nunca puede coincidir con su traspuesta. 1 8 1 0 4 . Evidentemente Por ejemplo, si la matriz A = 0 3 , su traspuesta es At = 8 3 − 2 4 − 2 no coinciden. • Una matriz rectangular no tiene inversa. José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net) Matemáticas CCSS II 8 Matrices NAJ05 2 2 4 6 , B = 8. Encontrar una matriz X que verifique la igualdad: AX = B, con A = 4 − 2 2 4 ¿Verifica también la matriz X la igualdad XA = B? Solución: a b la matriz buscada. Sea X = c d Si 4a + 6c 4b + 6d 2 2 4 6 a b 2 2 = ⇒ = ⇒ 2a + 4c 2b + 4d 4 − 2 2 4 c d 4 − 2 4 a + 6c = 2 2 a + 4c = 4 ⇒ a = −4; c = 3; b = 5; d = −3 4b + 6d = 2 2b + 4d = −2 − 4 5 La matriz es: X = 3 − 3 Normalmente no se verifica que XA = B, pues el producto de matrices no es conmutativo; no obstante, en este caso, basta con multiplicar para comprobarlo. − 4 5 4 6 − 6 − 4 = ≠B Efectivamente, 6 3 − 3 2 4 6 José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net) Matemáticas CCSS II 9 Matrices ARS06 4 20 2 1 y B = 9. Se consideran las matrices A = 16 5 3 − 1 a) Calcule A2 y (A2)-1 b) Despeje X de la ecuación matricial A2 X = B c) Calcule X Solución: 2 1 2 1 7 1 = a) A 2 = 3 − 1 3 − 1 3 4 7 1 a b 1 0 = ⇔ 3 4 c d 0 1 7a + c = 1 3a + 4c = 0 7 a + c 7b + d 1 0 = ⇒ ⇔ ⇒ 3a + 4c 3b + 4d 0 1 7b + d = 0 3b + 4d = 1 ( ) Si A 2 −1 a b , se verifica: = c d ( ) Luego, A 2 −1 a = 4 / 25 b = −1 / 25 c = −3 / 25 d = 7 / 25 4 / 25 − 1 / 25 = − 3 / 25 7 / 25 b) A2 X = B ⇒ X = (A 2 ) B −1 4 / 25 − 1 / 25 4 20 0 3 −1 = c) X = (A 2 ) B ⇒ X = − 3 / 25 7 / 25 16 5 4 − 1 José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net) Matemáticas CCSS II 10 Matrices CVS06 3 − 1 y Bt 10. Determina la matriz A que verifica la ecuación AB + A = 2 B t , donde B = 0 2 representa la matriz transpuesta de B. Solución: AB + A = 2 B t ⇔ A( B + I ) = 2 B t a b se tendrá: Si la matriz A = c d a b 3 − 1 1 0 3 0 a b 4 − 1 6 0 + ⇔ = = 2 c d 0 2 0 1 −1 2 c d 0 3 − 2 4 Multiplicando e igualando se tiene: 4a = 6 a = 3/ 2 c = −1 / 2 4a − a + 3b 6 0 4c = −2 = ⇒ ⇒ 4c − c + 3d − 2 4 − a + 3b = 0 b = 1/ 2 − c + 3d = 4 d = 7 / 6 3 / 2 1/ 2 La matriz A = − 1/ 2 7 / 6 José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net) Matemáticas CCSS II 11 Matrices CTJ06 2 3 1 3 y B = , averigua si existe una matriz C que 11. Dadas las matrices A = 1 2 2 6 cumpla B · C = A, y si es el caso, calcúlala. Solución: Si existiese la matriz C podría calcularse despejando. Esto es: B · C = A ⇒ C = B−1 · A. Como el determinante de B vale 0, no existe su matriz inversa. En consecuencia no existe la matriz C buscada. De otra forma: a b , debe cumplirse que: Si suponemos que existe C y que es igual a C = c d 1 3 a b 2 3 a + 3c b + 3d 2 3 = ⇔ = ⇒ 2 6 c d 1 2 2a + 6c 2b + 6d 1 2 a + 3c = 2 2a + 6c = 1 ⇒ , que como puede verse fácilmente se trata de dos sistemas b + 3d = 3 2b + 6b = 2 incompatibles. José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net) Matemáticas CCSS II 12 Matrices ANJ06 1 x 0 1 y B = . 12. Sean las matrices A = 1 x + 1 1 1 a) Encuentre el valor o valores de x de forma que B 2 = A . b) Igualmente para que A − I 2 = B −1 . c) Determine x para que A·B = I 2 Solución: 0 1 0 1 1 1 = a) B 2 = 1 1 1 1 1 2 Por tanto, 1 1 x = B 2 = A ⇔ 1 2 1 b) Hallamos B −1 = 1 ⇒ x = 1. x + 1 1 ( Bij ) t , siendo (Bij) la matriz de los adjuntos. B 1 − 1 −1 1 ⇒ B −1 = Como B = −1 y ( Bij ) = −1 0 1 0 Por tanto, 1 1 0 −1 1 x − = ⇒ x − 1 = −1 ⇒ x = 0 A − I 2 = B −1 ⇔ 1 x + 1 0 1 1 0 Nota: La matriz inversa se puede hallar por cualquier otro método. c) De A·B = I 2 ⇒ A = B −1 . Por tanto, 1 −1 1 x = ⇒ x = −1. 1 x + 1 1 0 José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net) Matemáticas CCSS II 13 Matrices NAS05 13. Obtener los valores de x, y, z que verifican la siguiente ecuación matricial: 2 2 2 2 y 2 x + 2 1 = 0 1 0 − 1 z 0 Solución: Operando con las matrices se tiene: 2 2 2 2 2 x + 2 y + 2 z = 2 y 2 x + 2 1 = 0 ⇔ 2 x + 2 y + z = 0 → (transformando por Gauss) 1 0 − 1 z 0 x−z =0 E1 − E 2 z=2 z=2 x=2 ⇒ 2 x + 2 y + z = 0 ⇒ 2 y = −2 x − z ⇒ y = −3 x−z =0 z=2 x=z José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net) Matemáticas CCSS II 14 Matrices ARS05 14. a) Mediante cálculo matricial, discuta y resuelva el sistema: 2 x − y + z = −3 2x + 3y − z = 1 2 x + 7 y − 3 z = 5 2 1 5 −1 4 = . b) Calcule la matriz X solución de la ecuación 2 X + − 3 2 4 1 Solución: a) La matriz de coeficientes y términos independientes asociada a este sistema es: 2 −1 1 − 3 1 2 3 −1 2 7 − 3 5 Aplicando transformaciones elementales: 2 −1 1 2 −1 1 − 3 1 → F 2 − F1 0 4 − 2 2 3 −1 2 7 − 3 5 F 3 − F1 0 8 − 4 − 3 4 8 Como las filas 2ª y 3ª son proporcionales, el sistema es compatible indeterminado equivalente a: 1 1 2 x − y + z = −3 2 x − y + z = −3 2x = y − z − 3 x = − − y ⇒ ⇒ ⇔ 2 2 2y − z = 2 4 y − 2z = 4 z = −2 + 2 y z = −2 + 2 y 1 1 x = − 2 − 2 t O bien: y=t z = −2 + 2t 2 1 5 −1 4 = ⇒ b) 2 X + − 3 2 4 1 2 −1 4 1 5 − 1 4 − 14 15 13 − 11 − = − = ⇒ ⇒ 2 X = 4 1 − 3 2 4 1 − 9 − 11 13 12 1 13 − 11 ⇒ X = 2 13 12 José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net) Matemáticas CCSS II 15 Matrices GAS05 15. Una empresa fabrica juguetes de tres tipos diferentes T1, T2 y T3. El precio de coste de cada juguete y los ingresos que obtiene la empresa por cada juguete vendido vienen dados por la siguiente tabla: Precio de coste Ingreso T1 4€ 10 € T2 6€ 16 € T3 9€ 24 € El número de ventas anuales es de 4500 juguetes T1, 3500 juguetes T2 y 1500 juguetes T3. Sabiendo que la matriz de costes (C) y la matriz de ingresos (I) son matrices diagonales y que la matriz de ventas anuales (V) es una matriz fila. a) Determina las matrices C, I y V. b) Obtén, utilizando las matrices anteriores, la matriz de costes anuales, la matriz de ingresos anuales, y la matriz de beneficios anuales, correspondientes a los tres tipos de juguetes. Solución: a) Matriz de ventas: V = (4500 3500 1500) 4 0 0 Matriz de costes: C = 0 6 0 0 0 9 10 0 0 Matriz de ingresos: I = 0 16 0 0 0 24 b) Costes anuales: 4 0 0 V ·C = (4500 3500 1500 ) 0 6 0 = 0 0 9 = (4·4500 6·3500 9·1500) = (18000 21000 13500) Ingresos anuales: 10 0 0 V ·I = (4500 3500 1500) 0 16 0 = 0 0 24 = (10·4500 16·3500 24·1500) = (45000 56000 36000) Beneficios anuales: VC − VI = (45000 56000 36000) − (18000 21000 = (27000 35000 22500) 13500) = Los beneficios anuales son de 27000 euros por la venta de los juguetes T1; 35000 euros por la venta de los juguetes T2 y 22500 euros por la venta de los juguetes T3. José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net) Matemáticas CCSS II 16 Matrices CTS05 16. Un almacén de ruedas de vehículos de diferentes tipos tiene en stock los componentes (en cientos de unidades) dados por la tabla siguiente: Utilitarios Berlinas Todo terreno Neumáticos 3,1 1,6 0,9 Embellecedores 0,3 1,1 0 Llantas 2,1 0,6 0,2 La cantidad de quilos de materia prima necesaria para cada componente es: Acero Neumáticos 0,1 Embellecedores 1 Llantas 5 Caucho 4,6 0,05 0 a) Calcula el total de acero acumulado en el almacén. b) Calcula la cantidad de caucho acumulado en el almacén. Solución: a) Cantidad de acero: (Unidades de vehículos × quilos de acero) Utilitarios: 310 · 0,1 + 30 · 1 + 210 · 5 = 1111 Berlinas: 160 · 0,1 + 110 · 1 + 60 · 5 = 426 Todo terreno: 90 · 0,1 + 0 · 1 + 20 · 5 = 109 Total: 1111 + 426 + 109 = 1646 kg b) Cantidad de caucho: (Unidades de vehículos × quilos de caucho) Utilitarios: 310 · 4,6 + 30 · 0,05 + 210 · 0 = 1427,5 Berlinas: 160 · 4,6 + 110 · 0,05 + 60 · 0 = 741,5 Todo terreno: 90 · 4,6 + 0 · 0,05 + 20 · 0 = 414 Total: 1427,5 + 741,5 + 416 = 2583 kg NOTA: Las cantidades anteriores pueden obtenerse mediante cálculo matricial así: 310 30 210 Matriz de vehículos: V = 160 110 60 90 0 20 0,1 4,6 Matriz de materias primas: M = 1 0,05 5 0 acero caucho 1111 1427,5 Matriz de cantidades de acero y caucho: V ·M = 426 741,5 109 414 Total 1646 2583 José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net) Matemáticas CCSS II 17 Matrices IBJ05 17. Tres familias van a una cafetería. La primera familia toma 2 cafés, 1 cortado y 2 descafeinados; la segunda familia toma 3 cafés y 2 cortados; y la tercera familia toma 1 café y 2 descafeinados. A la primera familia le cobran 5 €; a la segunda, 5,1 €; y a la tercera, 2,9 €. Se denota por x, y, z las incógnitas que representan respectivamente los precios de un café, de un cortado y de un descafeinado. a) Dar la matriz A que expresa el nombre de cafés, de cortados y de descafeinados que toma cada una de las familias, de manera que A · X = B x 5 donde X = y y B = 5,1 z 2,9 −1 b) Calcular A . c) Resolver la ecuación matricial A · X = B Solución: Si designamos por C, Co y D los cafés, los cortados y los descafeinados, respectivamente, la matriz A puede ser la siguiente: C 1ª familia 2 2 ª familia 3 3ª familia 1 Co D 2 1 2 1 2 . Esto es: A = 3 2 0 2 0 1 0 2 0 2 b) La matriz inversa es A −1 = ( Aij ) t A , siendo (Aij) la matriz de los adjuntos. 4 − 6 − 2 Como A = −2 y Aij = − 2 2 1 , se tiene: − 4 6 1 1 2 4 − 2 − 4 − 2 1 −1 A = 6 = 3 −1 −3 − 6 2 −2 1 1 − 1 / 2 − 1 / 2 − 2 1 ( ) c) AX = B ⇒ X = A−1B, luego: 1 2 5 0,90 x − 2 −1 − 3 · 5,1 = 1,20 y = 3 z 1 − 1 / 2 − 1 / 2 2,9 1 El precio de cada café es: Café: 0,90 euros; Cortado: 1,20 euros; Descafeinado: 1 euro. José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net) Matemáticas CCSS II 18 Matrices CBJ01 18. Un importador de globos los importa de dos colores: de color naranja (N) y de color fresa (F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que vende a los siguientes precios (en pesetas): 2 unidades 5 unidades 10 unidades Color N 4 8 12 Color F 3 5 8 Sabiendo que en un año se venden el siguiente número de paquetes, Color N Color F De 2 unidades 700000 50000 De 5 unidades 600000 40000 De 10 unidades 500000 500000 se pide: 1. Resumir la información anterior en dos matrices A y B: A será una matriz 2 × 3 que recoja las ventas en un año y B una matriz 3 × 2 que recoja los precios. 2. Calcular los elementos de la diagonal principal de la matriz A por B y dar su significado. 3. Calcular los elementos de la diagonal principal de la matriz B por A y dar su significado Solución: 700000 600000 500000 1. Matriz de ventas: A = 50000 40000 500000 4 3 Matriz de precios: B = 8 5 12 8 4 3 13600000 9100000 700000 600000 500000 8 5 = = C 2. AB = 50000 40000 500000 12 8 6520000 4350000 El elemento c11 = 13600000 da los ingresos por venta de los globos de color naranja. El elemento c22 = 4350000 da los ingresos por venta de los globos de color fresa. 4 3 2950000 2520000 3500000 700000 600000 500000 = 5850000 5000000 6500000 = D 3. BA = 8 5 12 8 50000 40000 500000 8800000 7520000 10000000 El elemento d11 = 2950000 da los ingresos por venta de los globos envasados de dos en dos (de ambos colores). El elemento d22 = 5000000 da los ingresos por venta de los paquetes de 5 unidades. El elemento d33 = 10000000 da los ingresos por venta de los paquetes de 10 unidades. Nota: Puede observarse que la suma de los elementos de ambas diagonales es la misma: 17950000 pta. José María Martínez Mediano (SM, www.profes.net)
