Gráficas. E: Considere la función h : R → R definida por h(x) = x2 − 3

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Gráficas.
E: Considere la función h : R → R definida por
x2 − 3
.
x3
Halle el dominio y las raı́ces de la función. Las ası́ntotas verticales y las horizontales. Los puntos
crı́ticos. Los intervalos de concavidad. Haga un bosquejo de esa función.
h(x) =
D: H El dominio de la función: Dh = R − { 0 }.
La función es impar.
Las raı́ces de la función son aquellos valores que hacen cero el numerador (y no hacen cero el
denominador), entonces
√
√
√
x2 − 3 = 0 ⇔ x2 = 3 ⇔ | x | = 3 ⇔ x = − 3 o bien x = 3.
Ası́ntotas verticales: ceros del denominador que no son ceros del numerador. En este caso se ve
claramente que la única ası́ntota vertical es x = 0 y que lı́m f (x) = ∓∞.
x→±0
Ası́ntotas horizontales. Para esto calculamos
3
x2 − 3
1
lı́m h(x) = lı́m
−
= lı́m
= 0.
x→±∞
x→±∞
x→±∞
x3
x x3
Entonces la única ası́ntota horizontal es y = 0.
Calculamos la derivada de la función
x3 (2x) − (x2 − 3)(3x2 )
x2[x(2x) − (x2 − 3)(3)]
=
=
h 0 (x) =
x6
x6
2x2 − 3x2 + 9
⇒
=
x4
−x2 + 9
.
⇒ h 0 (x) =
x4
h 0 es par.
Para encontrar los puntos crı́ticos, igualamos a cero la primera derivada:
(A)
h 0 (x) = 0 ⇔ −x2 + 9 = 0 ⇔ x2 = 9 ⇔ | x | = 3 ⇔ x = 3 o bien x = −3.
Puesto que en x = 0 hay una ası́ntota vertical, consideramos como intervalos de prueba para el
signo de la primera derivada a (−∞, −3), (−3, 0), (0, 3) y (3, ∞).
Sólo consideramos el numerador, pues el denominador de la primera derivada siempre es positivo.
Ası́
[
x = ±4 ⇒ −x2 + 9 = −(±4)2 + 9 < 0 ⇒ h 0(±4) < 0 ⇒ h 0 (x) < 0 si x ∈ (−∞, −3) (3, +∞) ;
[
x = ±2 ⇒ −x2 + 9 = −(±2)2 + 9 > 0 ⇒ h 0(±2) > 0 ⇒ h 0 (x) > 0 para x ∈ (−3, 0) (0, 3) ;
Pues h 0(x) es continua en tales intervalos.
Concluimos entonces que:
La función h(x) es creciente en (−3, 0) y en (0, 3).
La función h(x) es decreciente en (−∞, −3) y en (3, +∞).
−2
Para x = −3 hay un mı́nimo local, h(−3) =
= −0.2, pues ahı́ la función pasa de ser decreciente
9
a ser creciente y para x = 3 hay un máximo local, h(3) = 0.2, pues ahı́, por lo contrario, pasa de
ser creciente a ser decreciente.
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canek.azc.uam.mx: 9/ 2/ 2007
1
2
Calculamos ahora la segunda derivada de la función, a partir de (A).
0
−2x5 − 4x3 (9 − x2 )
9 − x2
00
h (x) =
=
=
x4
x8
2x5 − 36x3
2x3 (x2 − 18)
2(x2 − 18)
−2x5 − 36x3 + 4x5
=
=
=
.
=
x8
x8
x8
x5
Si x > 0 el signo de la derivada nos lo da x2 − 18, entonces:
√
√
Para x > 0: h 00 (x) > 0 ⇔ x2 − 18 = (x + 3 2)(x − 3 2) > 0 ⇔
√
√
√
√
y x − 3 2 > 0 o bien x + 3 2 < 0
y x−3 2<0 ⇔
x+3 2>0
√
√
√
√
y x>3 2
o bien x < −3 2
y x<3 2 ⇔
⇔ x > −3 2
√
√ ⇔ x ∈ 3 2, +∞
o bien x ∈ −∞, −3 2 .
Entonces si x > 0:
√
h(x) es cóncava hacia arriba para x ∈ 3 2, +∞ .
√ h(x) es cóncava hacia abajo para x ∈ 0, 3 2 por ser el complemento.
Como h(x) es impar concluimos que: √ S √
h(x) es cóncava hacia arriba si x ∈ −3 2, 0
3 2, +∞ .
√ S
√ h(x) es cóncava hacia abajo si x ∈ −∞, −3 2
0, 3 2 .
√
√
−5
5
√
√
≈ (−4.243, −0.1964) y 3 2,
son de inflexión.
Luego los puntos −3 2,
18 × 2
18 × 2
f (x) de la gráfica de la función h(x):
Con todos estos datos, podemos hacer el bosquejo
1
√
−3− 3
b
b
0.2
b
b
√
−0.2
3
3
√
3 2
x
−1