1. POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS En este capı́tulo vamos a tratar de exponer distintas técnicas para hallar las potencias naturales de matrices cuadradas. Esta cuestión es de gran importancia y tiene muchas aplicaciones prácticas. Como vamos a poder observar el cálculo de potencias de matrices cuadradas lleva consigo un número muy elevado de operaciones. Es conveniente encontrar estrategias adecuadas que nos permitan calcular de modo eficiente las potencias naturales de matrices cuadradas. Empezamos con este primer ejemplo en el que utilizaremos el método de inducción. 1.1. El método de inducción Sea la matriz: Calcular An 1 0 1 A=0 1 0 1 0 1 ∀ n ∈ N. Solución.– En cualquier problema de este tipo es conveniente empezar calculando las sucesivas potencias de la matriz cuadrada A. En este caso vamos a observar que estas potencias parecen obedecer a un cierto patrón, lo que nos permite la posibilidad de lanzar una hipótesis sobre el valor de An que luego habrá que demostrar por inducción. ¿En que consiste el método de inducción? El método de demostración conocido como inducción simple (o método de inducción, sin más) se suele utilizar para demostrar que una cierta proposición P (n), que se refiere a los números naturales n, es cierta para cada n. Este método procede ası́: 1.– Demuestra que P (1) es cierta. 2.– Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta. Ası́ queda claro que P (n) es cierta para cualquier n ∈ N. Se puede entender este proceso de demostración pensando en una fila de fichas de dominó puestas de pie de tal modo que si se cae una se cae la siguiente de la fila. Si te aseguras de este hecho y tiras la primera, está claro que se caerán todas. En este método de demostración la fase 2.– corresponde a asegurarse de que si se cae una ficha se cae la siguiente, y la fase 1.– corresponde a cerciorarse de que la primera ficha se cae. Como ya hemos mencionado, empezamos calculando las sucesivas potencias de la matriz cuadrada A: 1 A= 1 0 1 0 1 0 ! 1 0 1 ; 2 A = 2 0 2 0 1 0 2 0 2 ! ; 4 0 4 3 A = 0 1 0 4 0 4 ! ; A = Estas potencias de la matriz A las podemos escribir de otro modo: ! ! ! 1 1 2 2 A= 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 ; A = 2 0 21 0 1 0 2 0 21 3 ; A = Esto nos lleva a proponer como candidata la n−1 2 An = 0 2n−1 2 0 22 expresión: 0 2n−1 1 0 n−1 0 2 0 1 0 2 0 22 8 0 8 4 4 ; A = 23 0 23 0 1 0 0 1 0 ! 8 0 8 23 0 23 ! ∀n ∈ N Todavı́a no hemos demostrado nada. Tenemos que comprobar por el método de inducción que esta fórmula es cierta: 1. Comprobemos que es cierta para n = 2, n = 3, por ejemplo. Ésto es algo que ya lo hemos hecho previamente y no es necesario repetirlo. 2. Supongamos que la fórmula es cierta para un h y h + 1. por hipótesis de inducción 1 ↓ h+1 h 0 A = A·A = 1 2h 0 2h = 0 1 0 = Ah+1 2h 0 2h vamos a ver que también es cierta para h−1 2 0 2h−1 0 1 1 0 = 1 0 · 0 h−1 h−1 0 1 2 0 2 c.q.d. De este modo ha quedado demostrado por inducción que: n−1 2 0 2n−1 1 0 An = 0 n−1 n−1 2 0 2 1.2. Otro ejemplo con el método de inducción Sea la matriz: 0 1 0 A=1 0 1 0 1 0 2 ∀n ∈ N Calcular An ∀ n ∈ N. Solución.– Procedemos del mismo modo que en de la matriz A. 0 1 A= 0 el caso anterior, calculando las primeras potencias naturales 1 0 0 1 1 0 0 2 0 A3 = 2 0 2 = 2 · A 0 2 0 1 0 1 A2 = 0 2 0 1 0 1 ; 2 0 2 A4 = 0 4 0 = 2 · A2 2 0 2 ; Este caso es un poco más complicado que el anterior pues las potencias de la matriz A siguen dos reglas diferentes dependiendo de que la potencia sea par o impar. Viendo las primeras potencias de A podemos suponer que: A2n−1 = 2n−1 · A ∀n ∈ N A2n = 2n−1 · A2 Al igual que en el ejemplo anterior hay que demostrarlo por inducción. 1. Ya hemos visto que la fórmula es cierta para n = 1, n = 2. 2. Supongamos que la fórmula es cierta para un h y vamos a ver que también es cierta para h + 1. por hipótesis de inducción A2(h+1) = A2h · A2 ↓ (2h−1 · A2 ) · A2 = = = 2h−1 · (A2 · A2 ) = 2h−1 · A4 = 2h−1 · (2 · A2 ) = 2h · A2 c.q.d. por hipótesis de inducción A2(h+1)−1 = A2h−1 · ↓ A2 (2h−1 · A) · A2 = = = 2h−1 · (A · A2 ) = 2h−1 · A3 = 2h−1 · (2 · A) = 2h · A Hemos demostrado por inducción: A2n−1 = 2n−1 · A A2n = 2n−1 · A2 3 ∀n ∈ N c.q.d. 1.3. Matrices periódicas, idempotentes, nilpotentes e involutivas Si una matriz cuadrada A es periódica, idempotente, nilpotente o involutiva resulta también muy sencillo calcular las potencias naturales de la matriz A. Vamos a recordar las definiciones de matrices periódicas, idempotentes, nilpotentes e involutivas. I Una matriz cuadrada A es periódica si existe p ∈ N tal que Ap+1 = A. Además si p es el menor número natural que cumple Ap+1 = A se dice que A es periódica de perı́odo p. Es inmediato comprobar que si A es periódica de perı́odo p se cumple que: A , A 2 , A3 , · · · , Ap , Ap+1 = A , Ap+2 = A2 , Ap+3 = A3 , · · · I Una matriz cuadrada A es idempotente si: A2 = A Esto implica que: An = A ción. ∀ n ∈ N. Vamos a comprobarlo también por el método de induc- 1. Comprobemos que la fórmula es cierta para n = 2 , n = 3: Por definición de matriz idempotente, tenemos que: A2 = A A2 = A A2 = A ↓ ↓ A3 = A2 · A = A · A = A 2. Vamos a demostrar que si la fórmula es cierta para una h ∈ N, entonces también es cierta para h + 1. Por hipótesis de inducción: Ah = A A2 = A ↓ ↓ Ah+1 = Ah · A = A·A = A c.q.d. I Una matriz cuadrada A ∈ Mn×n (R) se dice nilpotente si existe p ∈ N tal que Ap = (0)n×n . Al menor número natural p que cumple Ap = (0)n×n se le llama ı́ndice de nilpotencia de la matriz A. Se cumple que: A nilpotente de ı́ndice p =⇒ Am = (0)n×n ∀m ≥ p I Una matriz cuadrada A de orden n se dice involutiva o unipotente si A2 = In . Se tiene que: A2m = In ∀ m ∈ N A involutiva =⇒ A2m+1 = A ∀ m ∈ N Resulta por tanto inmediato calcular potencias naturales de matrices que sean o bien periódicas o nilpotentes o idempotentes o involutivas. A continuación veremos cómo calcular de una manera sencilla potencias de matrices cuadradas A que pueden escribirse de la forma A = k1 · I + k2 B con k1 , k2 ∈ R y B una matriz periódica, idempotente, nilpotente o involutiva. Los casos más simples son con k1 = ±1 y k2 = ±1 y B nilpotente o idempotente. 4 1.4. Matrices relacionadas con matrices periódicas, idempotentes, nilpotentes o involutivas Sea la matriz 3 −1 1 A = −2 4 −2 −4 4 −2 a.– Comprobar que la matriz B = A − I es idempotente. Solución.– Para demostrar que la matriz B = A−I es idempotente, según la definición, tendremos que calcular B2. 2 −1 1 3 −2 B = −2 −4 4 −3 2 −1 1 2 −1 1 2 −1 1 3 −2 · −2 3 −2 = −2 3 −2 = B B 2 = B · B = −2 −4 4 −3 −4 4 −3 −4 4 −3 Hemos comprobado que B = A − I es idempotente como habı́amos propuesto. b.– Teniendo en cuenta que A = B + I, calcular An ∀ n ∈ N. Solución.– Si una matriz cuadrada A se puede escribir como I + B , I − B , B − I o una expresión parecida con B matriz nilpotente, idempotente o involutiva, suele resultar relativamente sencillo escribir la potencia n–ésima de A en función de la matriz B y de algunas de sus potencias naturales. Observación.– Vamos a recordar la expresión del desarrollo del binomio de Newton y la definición de números combinatorios y el factorial de un número natural: n 0 n n 1 n−1 n 2 n−2 n n n 0 n−1 n (x + y) = x y + x y + x y + ··· + x y+ x y = 0 1 2 n−1 n = n X n i=0 i xi · y n−i i factores n =1 0 ; z }| { n n! n · (n − 1) · · · · · (n − i + 1) = = i i! · (n − i)! i! 0! = 1 ; i! = 1 · 2 · · · · · (i − 1) · i 5 Hay propiedades de los números combinatorios que pueden ser interesantes de conocer, aunque no es imprescindible para poder utilizar correctamente el desarrollo del binomio de Newton. Estas propiedades aparecen reflejadas claramente en la construcción del denominado triángulo de Tartaglia. n n = i n−i ; n n−1 n−1 = + i i−1 i 1 =1 0 1 =1 1 H HH j 2 =1 0 H HH j 3 =1 0 H 4 =1 0 HH j 4 1 2 =2 1 H HH j 3 =3 1 H HH j =4 2 =1 2 3 =3 2 H 3 =1 3 HH j 4 =6 2 4 3 4 =1 4 =4 Volviendo a nuestro ejercicio, tenemos que: An = (B + I)n ∀n ∈ N Sabemos que el producto de matrices no es necesariamente conmutativo, de modo que, en general, no podemos aplicar el desarrollo del binomio de Newton para matrices, salvo que las matrices conmuten. En nuestro caso, como B e I conmutan, podremos aplicar el desarrollo del binomio de Newton. An = (B + I)n I·B=B·I ↓ = n X n i=0 i · B i · I n−i = n n n n 0 n 1 n−1 2 n−2 = ·B ·I + ·B ·I + ·B ·I + ··· + · Bn · I 0 0 1 2 n B n =B n n n n = ·I + ·B+ · B + ··· + ·B = 0 1 2 n n n n = I+ + + ··· + ·B = 1 2 n n n n n n = I+ + + + ··· + − ·B = 0 1 2 n 0 n n = I + (1 + 1) − · B = I + [(1 + 1)n − 1] · B = I + (2n − 1) · B = An 0 6 ∀n∈N ↓ = Si la matriz B hubiera sido nilpotente (como en uno de los ejercicios resueltos en el aula) utilizarı́amos el hecho de que B n = (0) ∀ n ∈ N con n ≥ p siendo p el ı́ndice de nilpotencia de la matriz B. Si la matriz B hubiera sido involutiva B 2 = I tendrı́amos que: B 2n = I B 2n−1 = B ; ∀n ∈ N Las técnicas empleadas hasta ahora pueden resultar inadecuadas en muchas situaciones. En la unidad temática 7 (Valores y vectores propios. Diagonalización de matrices cuadradas) se explican nuevas ideas y conceptos que nos pueden ser muy útiles para calcular potencias naturales de matrices cuadradas y potencias enteras de matrices invertibles. La primera de estas técnicas consiste en utilizar el teorema de Cayley–Hamilton y la segunda se puede emplear si la matriz es diagonalizable. 1.5. El teorema de Cayley–Hamilton Sea la matriz 1 0 0 A = 1 −2 1 0 0 −2 Calcular An ∀ n ∈ N. Solución.– Vamos a empezar calculando las sucesivas potencias de A: ! ! A= 1 1 0 0 −2 0 0 1 −2 2 ; A = 1 −1 0 0 4 0 0 −4 4 3 ; A = 1 3 0 0 −8 0 0 12 −8 ! 4 ; A = 1 −5 0 0 16 0 0 −32 16 ! A simple vista no parece sencillo encontrar un patrón para An . Además la matriz no es ni periódica, ni idempotente, ni nilpotente ni involutiva. Y parece poco probable que algún matriz sencilla relacionada con A (del tipo I3 ± A) sea periódica o idempotente o involutiva o nilpotente. Hay que buscar otras alternativas que se van a proponer en la unidad temática 7. Comencemos con la primera que consiste en la utilización del teorema de Cayley–Hamilton. El teorema de Cayley–Hamilton1 dice que toda matriz cuadrada A satisface su ecuación caracterı́stica p(λ) = 0, donde p(λ) es el denominado polinomio caracterı́stico de la matriz cuadrada A y se define del modo siguiente: p(λ) = det (A − λIn ) 1 El teorema de Cayley–Hamilton lleva los nombres de los matemáticos Arthur Cayley y William Hamilton. Arthur Cayley (1821–1895) Matemático británico. Es uno de los fundadores de la escuela británica moderna de matemáticas puras. William Hamilton (1805–1865) Matemático, fı́sico, y astrónomo irlandés. Hizo importantes contribuciones al desarrollo de la óptica, la dinámica, y el álgebra. 7 Vamos a calcular el polinomio caracterı́stico de nuestra matriz A. De acuerdo con la definición que acabamos de proporcionar: 1−λ 0 0 = (λ + 2)2 · (1 − λ) −2 − λ 1 p(λ) = det (A − λIn ) = 1 0 0 −2 − λ Para estudiar si una matriz cuadrada A es diagonalizable2 o no es conveniente tener descompuesto en factores irreducibles en R su polinomio caracterı́stico, que es como lo tenemos escrito. Para nuestro problema resulta más conveniente escribirlo de otra forma: p(λ) = (λ + 2)2 · (1 − λ) = − (λ − 1) · (λ + 2)2 = − λ3 + 3λ2 − 4 Luego según el teorema de Cayley–Hamilton, la matriz A verifica que: A3 + 3A2 − 4I3 = (0)3×3 =⇒ A3 = 4I3 − 3A2 Por lo tanto vamos a poder calcular potencias “pequeñas” de la matriz A partiendo de esa identidad3 del modo siguiente: ! ! ! 1 1 0 A= 0 −2 0 0 1 −2 ; 1 −1 0 A2 = A4 = A3 · A = 4I3 − 3A A5 = A4 ·A= 9A2 2 0 4 0 0 −4 4 ; · A = 4A − + 4A − 12I3 · A = 9A3 + A3 = 4I3 − 3A2 = A3 =4I3 −3A2 ↓ 3A3 = 4A2 − 12A 1 3 0 0 −8 0 0 12 −8 9A2 + 4A − 12I3 A3 =4I3 −3A2 ↓ = −23A2 − 12A + 36I3 ......................................................................................... Como vemos podemos escribir las potencias de A en función de la matriz unidad I3 , de la propia matriz A y de A2 . Puede resultarnos cómodo para hallar potencias con exponente “pequeño”. 1.6. Matrices diagonalizables Como hemos visto este método nos puede resultar cómodo solamente en ciertas ocasiones y fundamentalmente para calcular potencias de una matriz cuadrada A con exponente “pequeño”. A continuación presentamos otro método que lo vamos a poder emplear para calcular potencias de matrices cuadradas diagonalizables. Para ello necesitamos conocer la definición de matriz diagonalizable ası́ como alguna caracterización de matrices diagonalizables que nos resulte cómoda de manejar. 2 Más adelante definimos y caracterizamos matrices diagonalizables. Observar que al tratarse A de una matriz regular, el teorema deCayley–Hamilton nos permite calcular de una manera muy simple la inversa de A: 3 A3 + 3A2 − 4I3 = (0)3×3 =⇒ 4I3 = A3 + 3A2 =⇒ 8 I3 = ´ 1` 2 A −A ·A 4 A regular ↓ =⇒ A−1 = ´ 1` 2 A −A 4 I Una matriz cuadrada A se dice diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal D. Es decir, si existen matrices D diagonal y P regular tales que D = P −1 · A · P Para dar una caracterización de matrices diagonalizable que nos resulte cómoda y eficiente de aplicar necesitamos nuevos conceptos: I Si A es una matriz cuadrada de orden n, se llama valor propio λ de A a cualquier escalar λ que cumple: ∃ x 6= 0 / A · x = λ · x Al vector x 6= 0 se le llama vector propio de A asociado al valor propio λ. La pregunta que nos surge de inmediato es: ¿cómo calculamos valores y vectores propios de una matriz cuadrada A? La clave está en la ecuación: A · x = λ · x con x 6= 0 Esta ecuación podemos escribirla de la forma: (A − λIn ) · x = 0 con x 6= 0 Esto significa que el sistema lineal homogéneo de n ecuaciones y n incógnitas cuya matriz de coeficientes es (A − λIn ) ha de ser compatible indeterminado, luego ha de cumplirse: det (A − λIn ) = 0 A partir de este punto es sencillo comprender cómo calcular los valores propios y los vectores propios de una matriz cuadrada A: I Los valores propios de una matriz cuadrada A son las raı́ces de su polinomio caracterı́stico: p(λ) = det (A − λIn ) = 0 I Para calcular los subespacios propios de A, es decir, el conjunto de todos los vectores de Rn que cumplan: A·x=λ·x donde λ es un valor propio de la matriz cuadrada A y que vamos a denotar por V (λ), hemos de resolver el sistema homogéneo compatible indeterminado: (A − λIn ) · x = 0 Es decir, si λ es un valor propio de A, entonces: V (λ) = {x ∈ R/A · x = λ · x} = x ∈ R/ (A − λIn ) · x = 0 (S.H.C.I.) 9 Partiendo de estas caracterizaciones estamos en condiciones de dar un método muy sencillo para decidir si una matriz cuadrada es diagonalizable, que además nos permite calcular, en el caso de que la matriz cuadrada A sea diagonalizable, la matriz D diagonal semejante a A y la matriz de paso P . Una matriz cuadrada A es diagonalizable si y sólo si se cumplen las dos condiciones siguientes: • • k1 + k2 + · · · + kr = n di = ki i = 1, 2, . . . , r Donde ki es la multiplicidad del valor propio λi como raı́z del polinomio caracterı́stico y di es la dimensión del subespacio propio asociado a λi , es decir: di = dim V (λi ). Pasamos a proponer otro ejercicio en el que nos será útil emplear que la matriz es diagonalizable para calcular sus potencias n–ésimas. Sea la matriz −1 3 −1 A = −3 5 −1 −3 3 1 Calcular An ∀ n ∈ N. Solución.– Vamos a descartar los métodos explicados anteriormente y vamos a centrarnos en el hecho que la matriz cuadrada A es diagonalizable. No nos vamos a detener en justificar cuáles son los valores propios y los subespacios propios de A pues lo haremos en un capı́tulo posterior. Realizando las cuentas necesarios llegamos a: λ1 = 1 ; k1 = 1 ; B1 = {u1 = (1, 1, 1)} λ2 = 2 ; k2 = 2 ; B2 = {u2 = (−1, 0, 3), u3 = (1, 1, 0)} donde Bi es una base del subespacio propio λi . Hemos comprobado que la matriz A es diagonalizable y además se puede escribir4 : 1 0 0 1 −1 1 0 1 D = 0 2 0 = P −1 · A · P con P = 1 0 0 2 1 3 0 4 Observar que los elementos de la diagonal principal de la matriz diagonal D son los valores propios de A. Si alguno de estos valores propios no es simple hay que escribirlo tantas veces como su multiplicidad como raı́z del polinomio caracterı́stico de A. La columna j–ésima de P se corresponde con uno de los vectores de la base del subespacio propio V (λ) que hemos hallado previamente. De modo que el vector de la columna j–ésima de P es un vector propio asociado al valor propio que está en la posición djj de la matriz D. Como vemos las columnas de P son todos los vectores de las dos bases B1 y B2 de los subespacios propios V (λ1 ) y V (λ2 ) que hemos hallado previamente. 10 Partiendo de la igualdad D = P −1 · A · P es muy sencillo calcular las potencias n–ésimas de la matriz A, razonando del modo siguiente: D = P −1 · A · P =⇒ A = P · D · P −1 =⇒ An = P · D · P −1 · P · D · P −1 · · · · · P · D · P −1 | {z } n factores Utilizando la propiedad asociativa del producto de matrices, se tiene que: An = P · Dn · P −1 Teniendo en cuenta que las potencias pues: d11 0 . . . 0 d22 . . . D= . .. . . .. . . 0 0 n–ésimas de una matriz diagonal D son triviales de calcular, 0 0 .. . =⇒ Dn = . . . dmm dn11 0 0 dn22 .. .. . . 0 0 ... ... .. . 0 0 .. . . . . dnmm sólo nos queda calcular la inversa de la matriz P para poder calcular An sin necesidad de mucho esfuerzo. Aunque se explicará en el capı́tulo siguiente con más detalle cómo calcular inversas de matrices regulares, procedemos a hallar la inversa de la matriz regular P realizando operaciones elementales de fila. A continuación se explica brevemente en qué consiste este método. Vamos a calcular la inversa de nuestra matriz P utilizando operaciones elementales de fila. Para ello construimos una matriz 3 × 6 de modo que las tres primeras columnas correspondan a la matriz P y las tres últimas columnas a la matriz unidad de orden 3 y separaremos las dos “matrices” con una lı́nea vertical. Se trata de ir realizando operaciones elementales de fila de modo que las tres primeras columnas se transformen en la matriz unidad; entonces las tres últimas columnas corresponden a la matriz inversa de P . En general, a la hora de seguir este procedimiento es conveniente seguir un cierto orden. Este orden se basa en observar las tres primeras columnas exclusivamente para ir realizando las operaciones elementales de fila adecuadas de modo que: 1. Conseguir ceros debajo de la diagonal principal. 2. Transformar la diagonal principal en unos. 3. Hacer ceros encima de la diagonal principal sin deshacer lo conseguido. 11 Veamos como procedemos 1 −1 (P | I3 ) = 1 0 1 3 con la matriz P : F2 −F1 1 −1 1 1 1 0 0 F3 −F1 ∼ 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 4 −1 1 −1 1 1 0 ∼ 0 0 0 −1 1 −1 1 0 0 3 −1 −F 0 1 1 0 ∼ 3 −4 1 0 0 1 0 1 1 −1 0 4 −4 1 1 0 0 F +F 1 0 1∼ 2 0 1 0 ∼ 0 1 0 −1 4 −1 0 0 1 0 0 1 −3 1 0 0 −1 1 0 F3 −4F ∼ 2 −1 0 1 1 0 0 F −F −1 1 0 1∼ 3 −3 4 −1 3 −3 1 −1 1 0 = (I3 | P −1 −3 4 −1 Para nuestra matriz A se tiene entonces que: 3 −3 1 1 0 0 1 −1 1 1 0 0 1 · 0 2n 0 · −1 An = P · Dn · P −1 = 1 n −3 4 −1 0 0 2 1 3 0 ∀n ∈ N Podemos dejar el resultado de esta forma o bien podemos realizar este producto y obtendremos una expresión explı́cita de las potencias n–ésimas de A: ! ! 3 − 2n+1 −3 − 2n + 2n+2 1 − 2n 1 −2n 2n 3 −3 1 1 0 2n 1 0 −3 + 2n+2 1 − 2n ∀n ∈ N An = · −1 = 3 − 3 · 2n n 1 3·2 0 −3 4 −1 3 − 3 · 2n −3 + 3 · 2n 1 1.7. Potencias de matrices cuadradas con Mathematica A continuación explicamos cómo podemos utilizar Mathematica para calcular potencias de matrices cuadradas. Una matriz en Mathematica se carga como una lista de listas, donde cada una de las listas son las distintas filas de la matriz A. La función que nos permite calcular potencias n–ésimas de matrices cuadradas es la función MatrixPower. a1 = 881, 0, 1<, 80, 1, 0<, 81, 0, 1<<; MatrixPower@a1, nD 0n 0n + 2-1+n , 01+n , + 2-1+n =, 2 2 01+n 01+n 0n 0n 9, 1 + 02+n , =, 9+ 2-1+n , 01+n , + 2-1+n == 2 2 2 2 99 Si queremos calcular por ejemplo A10 utilizamos el operador de sustitución (/.). 12 MatrixPower@a1, nD . 8n ® 10< 88512, 0, 512<, 80, 1, 0<, 8512, 0, 512<< Probemos con otro ejemplo: a2 = 881, 0, 0<, 81, -2, 1<, 80, 0, -2<<; MatrixPower@a2, nD 981, 0, 0<, 9 1.8. 1 H1 - H-2Ln L, H-2Ln , -H-1Ln 2-1+n n=, 80, 0, H-2Ln <= 3 Ejercicios propuestos 1. Sean las matrices: 0 −1 0 0 1 A= 1 0 −1 0 y −1 −1 −1 B = −1 −1 −1 −1 −1 −1 Calcular An y B n ∀ n ∈ N. 2. Comprueba que la matriz A es diagonalizable 1 A= 1 0 y calcula An ∀ n ∈ N, siendo 0 −1 2 1 0 3 3. Calcular las potencias n–ésimas de la matriz cuadrada 1 0 0 A= 1 1 0 0 2 1 Sugerencia.– Comprobar que la matriz A − I3 es nilpotente de ı́ndice 3. 4. Sea A la matriz: 0 1 −1 2 −1 A = −1 1 −1 2 Diagonalizar A y calcular An ∀ n ∈ N. 5. Sea: −2 −1 −1 0 1 A= 1 −1 −1 −1 13 a.– Comprobar que para la matriz B = A + I3 se cumple B 3 = (0)3×3 . b.– Calcular An ∀ n ∈ N. 6. Sea A la matriz: 0 2 −2 2 A = −1 −3 −1 −2 1 Si B = A + I3 , calcular B n y An ∀n ∈ N. 14