leyes del movimiento de newton

Universidad de Oriente
Núcleo Bolívar
Curso Básico
Matemática IV
Sección: 01
LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON
Profesor:
Cristian Castillo
Bachilleres:
Javier Abreu C.I: 14.517.875
Jesús Sigala C.I: 17.045.285
Herick Suarez C.I: 18.476.557
Maikernys Rodríguez C.I:19.139.423
Ciudad Bolívar, 05 de marzo 2010
LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON
Las tres leyes del movimiento primeras desarrolladas por Newton son:
1. Primera ley inercia: Un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo,
mientras que un cuerpo en movimiento tiende a persistir en movimiento en
una línea recta con velocidad constante a menos que fuerzas externas actúen
sobre él.
2. Segunda ley Fundamental de la Dinámica: La tasa de cambio en movimiento
de un cuerpo en el tiempo es proporcional a la fuerza neta que actúa sobre el
cuerpo y tiene la misma dirección a la fuerza.
3. Tercera ley acción y reacción: A cada acción existe una reacción igual y
opuesta.
La segunda ley nos proporciona una relación importante conocida a los estudiantes de
física elemental y nos referiremos a ella brevemente como la ley de Newton. El
movimiento de un objeto se define como su masa
multiplicada por su velocidad .
La tasa de cambio en movimiento en el tiempo es así
. Si denotamos por
la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo la segunda ley dice que
(1)
Donde el símbolo
denota proporcionalidad. Introduciendo la constante de
Proporcionalidad , obtenemos
Si
es una constante,
Donde:
Y es la aceleración donde vemos que
(2)
El valor de , depende de las unidades que deseemos usar. Hasta el momento se usan
dos sistemas principales.
 El sistema C.G.S o sistema Centímetro, Gramo, Segando. En este sistema la
longitud se mide en centímetros
segundos
, la masa en gramos
. El valor más simple para
es
, y el tiempo en
, de modo que la ley (2)
es:
(3)
Si una cierta fuerza produce una aceleración de un centímetro por segundo por
segundo
en una masa de
, entonces de (3)
Llamamos tal fuerza una dina. El sistema c.g.s también se llama sistema métrico.
 El sistema PLS, o sistema Pie, Libra, Segundo. En este sistema también
podemos usar
, de modo que la ley es
. Si una cierta fuerza
produce una aceleración de un pie por segundo por segundo
una masa de una libra
en
llamamos esta fuerza un poundal. Así, de
tenemos
.
Otra manera de expresar la ley de Newton es usar el peso en vez de la masa del
objeto. Mientras que la masa de un objeto es la misma en toda parte de la tierra (o
realmente en cualquier parte del universo) el peso cambia de lugar a 1ugar. Se
observará que para que un cuerpo actúe sólo por su peso
correspondiente es aquella debida a la gravedad
. La fuerza es
, la aceleración
, y la ley de
Newton es
(4)
Dividiendo la ecuación (3) por la ecuación (4), tenemos
(5)
Podemos usar la ecuación (5) ya sea con unidades c.g.s o p.l.s. En tal caso es claro
que F y W tienen las mismas unidades si
y
las tienen.
Con unidades C.G.S: Si W está en gramos peso,
en gramos peso. Si W está en dinas,
la superficie de la Tierra
y
y
en
en
Entonces F está
, entonces F está en dinas. En
, aproximadamente.
Con unidades PLS: Si W está en libras peso,
y
en
, entonces
F está en libras peso. En la superficie de la Tierra
,
aproximadamente.
En ciertos campos es costumbre usar el sistema C.G.S junto con la ley
usar el sistema P.L.S junto con la ley
en términos de
,y
Algunas veces se hace uso de masa
.
Ejercicio 1
Una masa de m gramos cae verticalmente hacia abajo, bajo la influencia de la
gravedad partiendo del reposo. Asumiendo despreciable la resistencia del aire
establezca la ecuación diferencial y las condiciones asociadas que describen el
movimiento y resuélvala.
Solución:
P = m.ag
A
X
Tierra
Diagrama de fuerza
Donde la fuerza del peso es:
Puesto que la masa cae desde el reposo vemos que
palabras
cuando
, ó en otras
. Nuestra formulación matemática es el problema de valor inicial
Aquí tenemos una ecuación de primer orden y su condición requerida. Otra manera
de formular el problema es escribir
En tal caso tenemos una ecuación de segundo orden en las variables x y t, y
necesitamos dos condiciones para determinar x. Una de ellas es
en
. La segunda puede obtenerse al notar que
ó
en
(puesto que
escogimos el origen de nuestro sistema de coordenadas en. La formulación
matemática es
Resolviendo la ecuación demencial
Puesto que
, esto es
cuando
por variables separables tendremos:
,
, otra integración produce:
lo cual quedaría:
Como que
cuando
,
lo cual quedaría:
Como una aplicación, supóngase que deseamos conocer dónde está el objeto después
de
. Entonces, por el sistema C.G.S
.
Por el sistema P.L.S.
.
Para encontrar la velocidad después de
escribimos (en el sistema P.L.S).
Ejercicio 2
Una bola se lanza hacia arriba con una velocidad de
velocidad después de
. ¿Cuál es su
? ¿Cuándo regresará a su posición de partida?
¿Cuál es la máxima altura que alcanza antes de regresar?
Solución:
-P = m.ag
X
Tierra
Diagrama de fuerza
es su peso y debemos considerar por tanto que es –
(el signo menos
significa abajo). La ecuación diferencial para el movimiento es
Se necesitan dos condiciones para determinar . Una se obtiene del hecho de
que
en
. La otra se obtiene del hecho de que la velocidad inicial es
. Esta velocidad está en la dirección hacia arriba y por tanto es positiva.
Así
La formulación matemática completa es
La integración de la ecuación diferencial
Donde:
Lo que implica que
,
entonce:
produce:
Otra integración:
Y puesto que
donde
Velocidad después de
Haciendo
,
. De donde,
. Tenemos para la velocidad en tiempo
, encontramos
elevando a la tasa de
, lo que significa que la bola se está
. Haciendo
, encontramos
, lo que
significa que la bola se ha detenido. Haciendo
, encontramos
, lo
que significa que la bola se ha devuelto y baja a la tasa de
.
Tiempo para el retorno. La bola está en la posición A, el punto de partida,
cuando
.
Esto
ocurre
. El valor
en
. El otro valor
cuando
indica que la bola regresa después de 8seg.
, lo cual equivale a hallarlo cuando
.
esto
es trivial, puesto que ya sabemos que
Máxima altura de elevación. El valor máximo de
Donde:
,
puede hallarse haciendo
. Tenemos:
es,
Puesto que
es negativa,
para
es
es realmente un máximo para
. El valor de
. De donde, la altura máxima que alcanza la bola es
.
Ejercicio 3
Una masa de
cae desde el reposo bajo la influencia de la gravedad. (a)
Establezca una ecuación diferencial y condiciones para el movimiento. (b) Encuentre
la distancia viajada y la velocidad conseguida a los
después de empezar su
movimiento. (c) ¿Cuánta distancia recorre la masa entre el
? ¿Entre
?
Solución:
P = m.ag
X
Tierra
diagrama fuerza
Como se deja caer la masa se considera la dirección del peso positivo es decir hacia
abajo, la ecuación diferencial seria:
Como la partícula parte del reposo entonces
ó
con
Luego
Tenemos otra ecuación diferencial de segundo orden de variables
anterior a diferencia que es de primer orden.
y al igual que la
Como tenemos
necesitamos dos condiciones para hallar a . Una de ellas es
ó
en
con
la segunda condición puede obtenerse al nota que
La forma matemática es
Resolviendo por integración
Condiciones:
en
entonces
Integrando la velocidad tendremos
luego
ó que es lo mismo
que no es más que la distancia
Es la ecuación general de la distancia, aplicando las condiciones la ecuación quedaría
Cuando
cuando
(b) la distancia viajada y la velocidad conseguida a los
movimiento se obtiene sustituyendo el tiempo en:
1. velocidad
después de empezar su
2. distancia
Distancia recorre la masa entre el
Distancia recorre la masa entre el