Problema disco con barra

O4. Un péndulo físico consta de un disco
uniforme de 10.3 cm de radio y 488 g de masa,
y de una barra, unida solidariamente a él, de
52.4 cm. de longitud y con masa de 273 g. El
sistema puede rotar alrededor de un pivote P
(ver figura). Si el conjunto se hace oscilar bajo
ángulos pequeños, calcule su periodo de
rotación.
(Halliday-Resnick-Krane, ed.,
)
Datos:
Mdisco = 488*10-3 Kg
-2
Rdisco = 10.3*10 m
Mbarra = 273*10-3 Kg
Lbarra = 52.4*10-3 m
52.4 cm
10.3 cm
CLAVE: Se trata de aplicar adecuadamente la
conocida fórmula para el período de un péndulo
físico: 1) considerar teorema de ejes paralelos
para los momentos de inercia y, 2) obtener el
centro de masas del conjunto disco-barra.
Pivote: P
Obtención del período
La conocida fórmula es:
L
𝑇 = 2𝜋 (√
𝑀𝑔𝑑(𝑐𝑚→𝑝)
𝐼𝑝
−1
)
R
 Momento de inercia del conjunto barra-disco
𝑡𝑜𝑡
𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜
𝐼(𝑝)
= 𝐼(𝑝)
+ 𝐼(𝑝)
o
1
𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
Momento de inercia de la barra ( 𝐼𝐶𝑀
= 12 𝑀𝐿2 y teor. de ejes paralelos)
dist(CM-P) = L/2
CM
cmbarra
barra
𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
𝐼(𝑝)
=
P (pivote)
1
𝑀𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝐿2 ∗ 𝑀𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑑(𝑐𝑚𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 → 𝑃)2
12
Así que con los datos del problema:
1
𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
𝐼(𝑝)
= [12 (0.273 ∗ 0.5242 ) + 0.273 ∗ 0.2622 ] = 0.02499 Kg.m2
o
1
𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜
Momento de inercia de la barra ( 𝐼𝐶𝑀
= 12 𝑀𝐿2 y teor. de ejes paralelos)
CMdisco
P
(pivote)
dist (cmdisco-pivote) = R + L
𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜
𝐼(𝑝)
=
1
𝑀
𝑅 2 ∗ 𝑀𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 𝑑(𝑐𝑚𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 → 𝑃)2
2 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜
1
𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜
𝐼(𝑝)
= [2 (0.488 ∗ 0.1032 ) + 0.488(0.524 + 0.103)2 ] = 0.1944 Kg.m2
o
Momento de inercia total
 Centro de masas del
conjunto barra-disco
Hemos de recordar que si
un objeto sólido se divide
artificial o realmente en
partes podemos aplicar,
para el cálculo del centro de
masas, una fórmula similar
a la del centro de masas de
un conjunto de masas
puntuales (supòngamos que
lo dividimos en 4 partes):
𝑡𝑜𝑡
𝐼(𝑝)
= 0.2194 𝐾𝑔𝑚2
CMparte1
CMparte2
𝑟⃗ 𝑐𝑚1
CMparte3
𝑟⃗ 𝑐𝑚2
𝑟⃗ 𝑐𝑚3
𝑟⃗ 𝑐𝑚3
CMparte4
𝑟⃗ 𝑐𝑚4
𝑟𝑐𝑚 =
𝑟𝑐𝑚1 𝑀1 + 𝑟𝑐𝑚2 𝑀2 + 𝑟𝑐𝑚3 𝑀3 + 𝑟𝑐𝑚4 𝑀4
𝑀1 + 𝑀2 +𝑀3 + 𝑀4
Dividimos entonces nuestro
cuerpo dos partes, las dos
naturales del mismo (y ello,
porque de cada una conocemos
la ubicación de su centro de
masas). Para facilitar el trabajo
algebraico, colocamos nuestro
sistema de coordenadas en el centro del disco, tal como muestra la figura. Entonces
la fórmula que se adapta nuestro caso evidentemente será:
𝑟𝑐𝑚
(𝑑)
(𝑏)
0 ∗ 𝑀𝑑 + (𝐿⁄2 + 𝑅)𝑀𝑏
𝑟𝑐𝑚 𝑀𝑑 + 𝑟𝑐𝑚 𝑀𝑏
=
=
𝑀𝑑 + 𝑀𝑏
𝑀𝑑 + 𝑀𝑏
𝑟𝑐𝑚 =
(0.262 + 0.103) ∗ 0.273
= 0.1312𝑚
0.723 + 0.488
 Finalmente, el valor del perìodo
o 𝑀𝑡𝑜𝑡 = 𝑀𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 + 𝑀𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 = 0.488 + 0.273 = 0.761 𝐾𝑔
o d(CM → P) = L + R − 𝑟𝐶𝑀 = (0.540 + 0.103) − 0.1312 = 0.4960
𝑡𝑜𝑡
o 𝐼(𝑝)
= 0.2194 𝐾𝑔𝑚2 (antes calculado)
Entonces:
𝐓 = 2π (√
0.761∗9.8∗0.4960
0.2194
−1
) = 1.53 s