Capıtulo 2 GEOMETRÍA DE MASAS

Capı́tulo 2
GEOMETRÍA DE MASAS
2.1 Centro de un sistema de vectores paralelos
Sea un sistema de vectores paralelos ~a1 , ~a2 , ~a3 , . . . , ~ai , . . . , ~an , aplicados repectivamente en
los puntos P1 , P2 , P3 , . . . , Pi , . . . , Pn . Dado que son todos ellos paralelos, cualquiera podrı́a
ser expresado como: ~ai = mi · ~a ; siendo ~a un vector que tiene la dirección común del
sistema.
El momento de uno cualquiera de los vectores respecto a un punto del espacio A , será:
Z
ai = mi a
Pi
ri
A
rA
0
Y
X
Figura 2.1: Momento de un vector respecto de un punto A
−
→
−→
M Ai = AP i ∧ mi ~a
−→
Como AP i = ~ri − ~rA En donde:
~ri es el vector de posición del punto genérico Pi
~rA es el vector de posición del punto A
−
→
M Ai = (~ri − ~rA ) ∧ mi ~a = (mi ~ri − mi ~rA ) ∧ ~a
45
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
46
Hallando los momentos correspondientes a cada vector ~ai con respecto de A y sumándoles,
obtendrı́amos el momento resultante en A de todo el sistema:
i=n
i=n
i=n
X
X
X
−
→
MA =
(mi ~ri − mi ~rA ) ∧ ~a =
mi ~ri − ~rA
mi ∧ ~a
i=1
i=1
i=1
−
→
Bajo el supuesto de que el punto A sea un punto del eje central, el momento M A = ~0 ; por
tratarse de un sistema de vectores paralelos:
i=n
X
mi ~ri − ~rA
i=1
i=n
X
mi ∧ ~a = ~0
i=1
Si el vector ~a puede tomar cualquir dirección; es decir el sistema de vectores paralelos puede
estar dirigido en cualquier orientación del espacio; podemos establecer la siguiente condición
de nulidad del producto vectorial:
i=n
X
mi ~ri − ~rG
i=1
i=n
X
mi = ~0
i=1
Llamando ahora al punto A, punto G; el cual serı́a el punto común a todos los ejes centrales
del sistema para todas las posibles direcciones del vector ~a en el espacio:
~rG =
i=n
X
mi ~ri
i=1
i=n
X
mi
i=1
Expresión que nos permite determinar el punto G, el cual como hemos visto:
• Es la intersección de todos los ejes centrales del sistema para todas las posibles direcciones del vector ~a .
• Es un punto para el cual, por tanto, el momento resultante es nulo para todas las posibles direcciones del vector ~a .
Dicho punto G es el denominado centro del sistema.
2.2 Sistemas materiales. Centro de Masas
La geometria de masas estudia la distribución espacial de la masa en los sistema materiales.
Dichos sistemas materiales podrán ser:
• Discretos: Constituidos por partı́culas materiales aisladas.
• Continuos: Sin solución de continuidad en la distribución de la masa. En ellos podremos introducir el concepto de densidad.
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
47
La densidad de un sistema continuo la definimos como el lı́mite del cociente entre la masa
existente en un cierto recinto volumétrico y el volumen de dicho recinto:
dm
4m
=
4V →0 4V
dV
δ = lim
Para sistemas continuos de tipo superficial podrı́amos hablar de una densidad superficial:
dm
dS
σ=
Y para sistemas continuos monodimensionales podrı́amos referirnos a una densidad lineal:
dm
dl
λ=
La densidad es en general, una función escalar de punto
δ = δ(x, y, z)
Los sistemas continuos homogéneos se caracterizan por tener su densidad constante.
Para un sistema material el centro de masas viene definido por la expresión que determina el centro de un sistema de vectores paralelos, en la que ahora m i representa la masa de las
partı́culas que integran dicho sistema material.
~rG =
i=n
X
mi ~ri
i=1
i=n
X
mi
i=1
Esta expresión es aplicable evidentemente, a los sistemas discretos. En el caso de los sistemas continuos habrı́a que tener en cuenta que dm = δ dV , y en este caso los sumatorios
habrán pasado a ser integrales:
Sistema volumétrico:
Sistema superficial:
Sistema lineal:
ZZZ
V
~rG = ZZZ
ZZ
S
~rG = ZZ
Z
~r · dm
V
dm
~r · dm
S
dm
ZZZ
V
= ZZZ
ZZ
S
= ZZ
Z
~r · dV · δ
V
dV · δ
~r · dS · σ
S
dS · σ
~r · dm
~r · dl · λ
~rG = lZ
= lZ
dm
dl · λ
l
l
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
48
Si el sistema es homogéneo δ, σ o λ serán constantes y podrán salir fuera de las integrales simplificandose. La determinación del centro de masas en este caso será entonces un
problema meramente geométrico, y a dicho centro de masas se le denomina centroide.
Si se considera un sistema de vectores paralelos aplicados en los distintos puntos del sistema material, y cuyos módulos sean proporcionales a la masa de cada punto, tales que:
→
−
P i = mi ~g
Y considerando que las dimensiones del sistema material son tales que en su interior el vector
~g pueda suponerse constante, el centro de este sistema de vectores paralelos será el denominado centro de gravedad, en el cual el momento resultante de las fuerzas gravitatorias es nulo.
Caso de que las dimensiones sean tales que ~g no pueda considerarse constante, no existirá
centro de gravedad, pero el centro de masas existirá siempre.
2.3 Momentos estáticos o momentos de primer orden
En la geometrı́a de masas aparecen sumas (o integrales) del tipo:
i=n
X
mi fi (x1 , x2 , x3 )
i=1
Según el grado de la expresión fi (x1 , x2 , x3 ) podremos hablar de momentos primer o de segundo orden.
Los momentos de primer orden vendrán expresados como:
M=
i=n
X
mi ε i
M=
o
i=1
Z
ε dm
Donde ε representa la distancia a un punto, a una recta, o a un plano, con lo que habları́amos
de momentos de primer orden, o estáticos, polares, axiales o planarios.
Los momentos estáticos más utilizados son los que se refieren a planos; en este caso ε i
define la distancia de cada masa mi a un plano.
Si descomponemos la expresión vectorial:
~rG =
i=n
X
mi ~ri
i=1
i=n
X
i=1
mi
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
49
En sus componentes escalares:
XG =
i=n
X
m i xi
=
i=n
X
mi y i
=
i=n
X
mi z i
=
i=n
X
m i xi
i=1
i=n
X
mi
i=1
mT
=
Mx
mT
;
M x = m T XG
=
My
mT
;
M y = m T YG
=
Mz
mT
;
Mz = m T ZG
i=1
YG =
i=n
X
mi y i
i=1
i=n
X
mi
i=1
mT
i=1
ZG =
i=n
X
mi z i
i=1
i=n
X
mi
i=1
mT
i=1
Donde mT representa evidentemente la masa total del sistema.
Para cualquier otro plano π que no fuese uno de los de referencia también se cumplirı́a:
ε Gπ =
Mπ
mT
;
M π = m T ε Gπ
El momento estático de un sistema material con respecto a un plano π resulta ser el producto
de la masa total del sistema por la distancia del centro de masas al plano π.
Si el centro de masas estuviese contenido en el plano, entonces ε G = 0 y por tanto M = 0.
Es decir: El momento estático de un sistema respecto de un plano que contiene a su centro
de masas es nulo.
2.3.1 Influencia de las simetrı́as en los momentos estáticos
El momento estático de un sistema material respecto a uno de sus planos de simetrı́a es nulo.
En efecto:
M =
i=n
X
mi εi ; pero cada término “mi εi ” se anula con su simétrico “mi (−εi )” ; luego
i=1
por tanto M = 0.1
1
Debe entenderse para la completa veracidad de este razonamiento que la simetrı́a debe ser tanto geométrica
como material, es decir que caso de tratarse de un sistema no homogéneo, la densidad debe estar simetricamente
dispuesta con respecto al plano considerado.
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
50
Plano de simetría
G
− mi ε i
mi ε i
Figura 2.2: Plano de simetrı́a en un sistema material
Consecuentemente, si el momento estático con respecto a ese plano es nulo, ε G = 0 y el
centro de masas del sistema se encontrará en dicho plano. Si un sistema tiene un plano de
simetrı́a, en él se encuentra localizado su centro de masas.
Por estas razones si un sistema posee dos planos de simetrı́a el centro de masas deberá estar
localizado en la intersección de ambos; es decir, en el eje de simetrı́a.
2.3.2 Propiedades de los momentos estáticos
Si un sistema material se descompone en partes, el momento estático del sistema será igual
a la suma de los momentos estáticos de las partes.
Z
GA
rGA
G
rG
rGC
rGB
GB
GC
0
Y
X
Figura 2.3: Descomposición de un sistema material en partes
M=
X
T
mi ε i =
X
A
mi ε i +
X
B
mi ε i +
X
C
mi ε i
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
51
Si los momentos estáticos de las partes son expresados en función de la localización de sus
respectivos centros de masas:
mT εG = mA εGA + mB εGB + mC εGC
Y teniendo en cuenta que:
mT = m A + m B + m C
Podremos despejar la distancia εG a un cierto plano del centro de masas de la totalidad del
sistema:
εG =
mA εGA + mB εGB + mC εGC
mA + m B + m C
Si en vez de referirnos a un plano cualquiera, lo hicieramos al plano de referencia X = 0 :
XG =
mA xGA + mB xGB + mC xGC
mA + m B + m C
Y repitiendo lo mismo para los planos Y = 0 y Z = 0 :
YG =
mA yGA + mB yGB + mC yGC
mA + m B + m C
ZG =
mA zGA + mB zGB + mC zGC
mA + m B + m C
Y teniendo en cuenta que un vector de posición ~r con origen en el centro de coordenadas
tiene como componentes las coordenadas de su extremo, llegaremos a la expresión:
~rG = XG ~i + YG ~j + ZG ~k
=⇒
~rG =
mA ~rGA + mB ~rGB + mC ~rGC
mA + m B + m C
En consecuencia, para cálculos de centros de masas y de momentos de primer orden de un
sistema material, se pueden considerar las partes en que podemos dividir a dichos sistemas
concentradas en sus centros de masas respectivos. Esta consideración no es válida para los
momentos de segundo orden.
Esta forma de pensar es válida incluso para sistemas materiales que presentan zonas huecas en su interior. En ellos designaremos mL : masa de la parte llena ( la masa realmente
existente ) ; mT : masa total ( incluido el hueco tecnicamente dotado de masa ) ; mH : masa
del hueco pero con caracter negativo.
mL = m T − m H
X
L
mi ε i =
X
T
mi ε i −
X
H
mi ε i
Es decir:
M L = MT − MH
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
52
El momento estático de la parte llena se obtiene restando el de la parte hueca al que tendrı́a
todo el sistema si estuviese tecnicamente dotado de masa en su totalidad.
Expresando los momentos estáticos como:
mL εGL = mT εGT − mH εGH
Despejando el valor de εGL :
εGL =
mT εGT − mH εGH
mT − m H
~rGL =
mT ~rGT − mH ~rGH
mT − m H
Y con carácter vectorial:
Expresión que permite determinar la localización de centros de masas para sistemas materiales que presentan en su interior partes huecas.
Z
GL
GT
rGL
0
GH
rGT
rGH
Y
X
Figura 2.4: Sistema material con hueco en su interior
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
53
2.4 Teoremas de Pappus-Guldin
Dichos teoremas se refieren a cuerpos homogéneos y de revolución, y su utilización permite tanto la determinación de volúmenes y superficies laterales de estos cuerpos, como la
localización de sus centros de masas.
2.4.1 Primer teorema de Pappus-Guldin
El área engendrada por una lı́nea plana al girar en torno a un eje coplanario con ella, y
que no la corta, es igual al producto de la longitud de la lı́nea dada por la longitud de la
circunferencia descrita por el centro de masas de la misma en ese movimiento de rotación.
dl
Y
G
yG
y
X
Figura 2.5: Primer teorema de Pappus-Guldin
La ordenada del centro de masas de la lı́nea será:
yG =
Z
Zl
y dm
=
l
dm
Z
Zl
y dl
=⇒
l
dl
yG · l =
Z
l
y dl
En el giro el elemento diferencial de lı́nea “dl” genera un diferencial de superficie “dS” cuyo
valor es:
dS = 2 π y dl ; Integrando:
S =2π
Z
l
y dl, y sustituyendo la integral por el valor anteriormente obtenido:
S = 2 π yG l
Quedando ası́ demostrado el teorema enunciado.
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
54
2.4.2 Segundo teorema de Pappus-Guldin
El volumen engendrado por una sección plana al girar en torno a un eje coplanario con
ella, y que no la corta, es igual al producto del area de dicha sección por la longitud de la
circunferencia descrita por el centro de masas de la misma en ese movimiento de rotación.
Y
S
G
dS
yG
y
X
Figura 2.6: Segundo teorema de Pappus-Guldin
La ordenada del centro de masas de la sección será:
yG =
ZZ
ZZS
y dm
S
=
dm
ZZ
ZZS
y dS
S
=⇒
dS
yG · S =
ZZ
S
y dS
El giro del elemento diferencial de superficie “dS” genera un diferencial de volumen “dV ”
cuyo valor es:
dV = 2 π y dS ; Integrando:
V =2π
ZZ
S
y dS, y sustiyuyendo la integral por el valor anteriormente obtenido:
V = 2 π yG S
Quedando ası́ demostrado el teorema enunciado.
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
55
2.5 Momentos de inercia o de segundo orden
Son sumas de productos de masas por cuadrados de distancias a una determinada referencia
( punto, recta o plano ), o bien sumas de productos de masas por productos de distancias a
dos elementos de referencia.
2.5.1 Momentos de inercia planarios
Son productos de masas por distancia al cuadrado a un plano dado.
Jπ =
Jπ =
i=n
X
mi ε2i
Para sistemas discretos
ε2 dm
Para sistemas continuos
i=1
Z
Si en vez de considerar un cierto plano cualquiera nos referimos a los planos del sistema
de referencia de coordenadas:
X3
x1
x2
dm
x3
0
X2
X1
Figura 2.7: Momentos de inercia con respecto a los planos de referencia
J1 =
J2 =
J3 =
Z
Z
Z
x21 dm
( Para el plano X1 = 0 )
x22 dm
( Para el plano X2 = 0 )
x23 dm
( Para el plano X3 = 0 )
2.5.2 Productos de inercia
Son sumas de productos de masas por productos de distancias a dos planos dados:
Pεη =
Z
ε η dm
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
56
Si los planos utilizados son los planos coordenados tendremos:
X3
x2
dm
x3
0
X2
X1
Figura 2.8: Producto de inercia para los planos X2 = 0 y X3 = 0
P23 =
P31 =
P12 =
Z
Z
Z
x2 x3 dm
( Para los planos X2 = 0 y X3 = 0 )
x3 x1 dm
( Para los planos X3 = 0 y X1 = 0 )
x1 x2 dm
( Para los planos X1 = 0 y X2 = 0 )
2.5.3 Momentos de inercia respecto de un eje
Son sumas de productos de masas por distancias al cuadrado al eje.
X3
x2
q1
dm
x3
0
X2
X1
Figura 2.9: Momento de inercia con respecto al eje X1
Iξ =
Z
q 2 dm ;
donde q es la distancia al eje ξ
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
57
Si los ejes a los que nos referimos son los ejes coordenados X1 , X2 y X3 , tendremos:
I11 =
I22 =
I33 =
Z
Z
Z
q12
dm =
q22 dm =
q32 dm =
Z
Z
Z
(x22 + x23 ) dm
( Para el eje de referencia X1 )
(x23 + x21 ) dm
( Para el eje de referencia X2 )
(x21 + x22 ) dm
( Para el eje de referencia X3 )
Radio de giro respecto de un eje
Definimos radio de giro de un sistema material con respecto de un eje, a la distancia a que
deberı́a situarse del eje la masa concentrada del sistema para que presente con respecto a
dicho eje, el mismo momento de inercia que el sistema material dado.
ξ
m
ρξ
Figura 2.10: Radio de giro de un sistema con rspecto al eje ξ
Sea Iξ el momento de inercia del sistema con respecto al eje ξ.
Siendo m la masa total del sistema, supuesta concentrada en un punto situado a una distancia ρξ del eje ξ , su momento de inercia con respecto a dicho eje será: m ρ 2ξ ; por tratarse
de un sistema discreto compuesto por una única partı́cula.
Atendiendo a la definición dada: Iξ = m ρ2ξ , y por tanto : ρ2ξ = Iξ /m ; de donde obtendremos:
s
Iξ
ρξ =
m
El radio de giro tiene evidentemente dimensiones de longitud.
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
58
2.5.4 Momentos de inercia con respecto a un punto ( polares )
Son sumas de productos de masas por cuadrados de distancias a dicho punto.
JP =
Z
t2 dm ; Siendo t la distancia de cada masa al punto P .
X3
dm
t
x3
0
x1
X2
x2
X1
Figura 2.11: Momento de inercia polar con respecto al origen O
Si el punto considerado es el origen de coodenadas O :
JO =
Z
2
t dm =
Z
(x21 + x22 + x23 ) dm
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
59
2.6 Relaciones entre los momentos de segundo orden
2.6.1 Relación primera
Partiendo de la igualdad:
x21 + x22 = (x21 + x22 )
Multiplicando en ambos miembros por “dm” e integrando para todo el sistema:
Z
x21 dm +
Z
x22 dm =
Z
(x21 + x22 ) dm
Y de acuerdo con las definiciones dadas:
J1 + J2 = I33
Conclusión que es igualmente válida para los otros planos de referencia:
J2 + J3 = I11
J3 + J1 = I22
Expresiones que podrı́an enunciarse como: La suma de los momentos de inercia planarios
con respecto a dos planos de referencia es igual al momento de inercia respecto del eje que
es intersección de ambos planos.
En general: La suma de los momentos de inercia planarios respecto de dos planos ortogonales entre sı́ es igual al momento de inercia respecto de la recta intersección de ambos.
2.6.2 Relación segunda
Partimos ahora de la identidad:
x21 + x22 + x23 = (x21 + x22 + x23 )
Multiplicando por “dm” en ambos miembros, e integrando para todo el sistema:
Z
x21
dm +
Z
x22
dm +
Z
x23
dm =
Z
(x21 + x22 + x23 ) dm
Lo cual significa que:
J1 + J 2 + J 3 = J O
Expresión que podrı́a enunciarse como: La suma de los momentos de inercia planarios con
respecto a los tres planos de coordenadas es igual al momento de inercia polar con respecto
del origen.
En general: La suma de los momentos de inercia planarios con respecto de tres planos que
conforman un triedro trirrectángulo es igual al momento de inercia polar con respecto del
vértice de triedro.
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
60
2.6.3 Relación tercera
Partiendo de la identidad:
(x22 + x23 ) + (x23 + x21 ) + (x21 + x22 ) = 2 (x21 + x22 + x23 )
Multiplicando por “dm” e integrando para todo el sistema:
Z
(x22 + x23 ) dm +
Z
(x23 + x21 ) dm +
Z
Z
(x21 + x22 ) dm = 2 (x21 + x22 + x23 ) dm
Lo que podemos expresar como:
I11 + I22 + I33 = 2 JO
La suma de los momentos de inercia respecto de los tres ejes de referencia es igual a dos
veces el momento de inercia polar con respecto al origen de coordenadas.
En general: La suma de los momentos de inercia con respecto a las tres aristas de un triedro
trirrectángulo es igual al doble del momento de inercia polar con respecto del vértice del
triedro.
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
61
2.7 Teoremas de Steiner
2.7.1 Teorema de Steiner para momentos de inercia respecto de ejes
Veamos cual es la relación entre momentos de inercia respecto de ejes paralelos, si uno de
ellos contiene al centro de masas del sistema.
Sin restar generalidad al problema consideremos que el eje de referencia X 3 contiene al
centro de masas G del sistema material, y que el otro eje ξ paralelo a X 3 corta a X2 , encontrándose separado de X3 una distancia t.
ξ
X3
G
t
0
x2 - t
X2
x1
dm
x2
X1
Figura 2.12: Teorema de Steiner para momentos de inercia axiales
Por las definiciones ya conocidas, y atendiendo a la geometrı́a del problema:
I33 =
Iξ =
Z
Z
q32 dm =
q 2 dm =
Z h
Z
(x21 + x22 ) dm
i
x21 + (x2 − t)2 dm
Desarrollando:
Iξ =
Z
(x21 + x22 + t2 − 2 x2 t) dm =
Z
(x21 + x22 ) dm + t2
R
Z
dm − 2 t
Z
x2 dm
Teniendo en cuenta que x2 dm = M2 = 0 por tratarse del momento estático planario con
respecto al plano X2 = 0 y contener éste al centro de masas G del sistema material, nos
quedarı́a:
Iξ = I33 + t2 · m
Y en general:
Iξ = I G + t 2 · m
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
62
Relación que expresa el denominado teorema de Steiner para momentos de inercia axiales o
con respecto a ejes, el cual se enuncia de la siguiente forma: El momento de inercia de un
sistema material con respecto a un eje es igual al momento de inercia con respecto de un eje
paralelo al anterior que contiene el centro de masas del sistema, más el producto de la masa
total del sistema por el cuadrado de la distancia que separa a ambos ejes.
Dado que el sumando “t2 · m” es siempre positivo, de todo un conjunto de ejes paralelos
que podamos considerar, el de menor momento de inercia será aquél que pasa por G, en
tanto que los de mayor momento de inercia serán los más alejados de G.
Planteémonos ahora la siguiente cuestión: ¿Es válido el teorema de Steiner si ninguno de
los ejes contiene al punto G?
R
La respuesta inmediata es que no; pues para su deducción se exige que x2 dm = 0. Sin
embargo hay casos en que ésto se puede cumplir sin que G esté contenido en el eje X 3 .
En efecto, bastarı́a con que G estuviese en el plano conformado por los ejes X 1 y X3 , es
decir, el plano X2 = 0. Si G se encuentra en un plano ortogonal al plano definido por X 3 y
por ξ, el cual contenga a X3 , serı́a apicable Steiner aunque G no estuviese en X3 .
2.7.2 Teorema de Steiner para radios de giro
Teniendo en cuenta la definición de radio de giro:
Iξ = m ρ2ξ
Y sustituyendo en el teorema de Steiner para momentos de inercia axiales ya demostrado:
m ρ2ξ = m ρ2G + m · t2
ρ2ξ = ρ2G + t2
=⇒
El cuadrado del radio de giro de un sistema material respecto de un eje, es igual al cuadrado
del radio de giro de dicho sistema respecto a un eje paralelo a él, y que contenga al centro de
masas del sistema, más el cuadrado de la distancia que separa a ambos ejes.
2.7.3 Teorema de Steiner para momentos de inercia planarios
Sean dos planos paralelos π y α, conteniendo este último al centro de masas G del sistema
material, y separados entre sı́ una distancia t.
Los momentos de inercia planarios del sistema material con respecto a estos planos π y
α son respectivamente:
Jπ =
Z
ε2π
dm
Jα =
Z
ε2α dm
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
63
Sustituyendo en Jπ el valor de επ por (εα − t), según observamos en la geometrı́a del problema:
Jπ =
Z
ε2π
dm =
En el desarrollo aparece
R
Z
2
(εα − t) dm =
Z
ε2α
dm + t
2
Z
dm − 2 t
Z
εα dm
εα dm que como sabemos es el momento estático o de primer
εα
επ
t
dm
G
α
π
Figura 2.13: Teorema de Steiner para momentos de inercia planarios
orden planario del sistema con respecto al plano α , y dado que dicho plano contiene a G ,
deberá ser nulo, es decir:
Z
εα dm = Mα = 0
Ypor tanto:
Jπ = J α + t 2 · m
Expresión que se corresponde al teorema de Steiner para momentos de inercia planarios,
teorema que podemos enunciar de la siguiente forma: El momento de inercia de un sistema
material respecto de un plano es igual al momento de inercia con respecto a otro plano
paralelo a él y que contenga el centro de masas del sistema, más el producto de la masa del
sistema por el cuadrado de la distancia que separa a ambos planos.
2.7.4 Teorema de Steiner para productos de inercia
Consideremos los planos ortogonales de referencia X1 = 0 y X2 = 0, y supongamos que el
centro de masas del sistema G se encuentra en la recta de intersección de ambos planos; es
decir en el eje X3 .
Sean por otra parte los planos π y α respectivamente paralelos a los anteriores.
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
64
El producto de inercia del sistema material respecto de los planos coordenados X 1 = 0 y
X2 = 0 será:
P12 =
Z
x1 x2 dm
Por otra parte, el producto de inercia con respecto a los planos π y α será:
Pπα =
Z
(x1 − t1 ) (x2 − t2 ) dm
Desarrollando:
X3
G
π
α
dm
0
X2
t1
t2
x1
x1 - t1
x2 - t2
x2
X1
Figura 2.14: Teorema de Steiner para productos de inercia
Pπα =
=
Z
Z
(x1 x2 + t1 t2 − x1 t2 − x2 t1 ) dm =
x1 x2 dm + t1 t2
R
Z
dm − t2
Z
x1 dm − t1
R
Z
x2 dm
Teniendo en cuenta que x1 dm = M1 = 0 y que x2 dm = M2 = 0, por ser momentos
estáticos con respecto a planos que contienen a G, ya que como hemos enunciado, éste se
encuentra en el eje X3 , que es la intersección de ambos planos, nos quedará:
Pπα =
Z
x1 x2 dm + t1 t2
Es decir:
Pπα = P12 + t1 t2 m
Y en general:
Pπα = PG + t1 t2 m
Z
dm
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
65
Lo que podrı́amos enunciar como: El producto de inercia de un sistema material con respecto de dos planos ortogonales entr sı́, es igual al producto de inercia de dicho sistema con
respecto a otros dos planos paralelos a los anteriores, y en cuya intersección se encuentra
el centro de masas del sistema, más el producto de la masa del sistema por las respectivas
distancias mutuas entre planos.
Si multiplicamos ambos miembros de la expresión anterior por (−1):
−Pπα = −PG − t1 t2 m
Y denominando ahora:
Iπα = −Pπα
;
IG = −PG
Nos queda la siguiente expresión:
Iπα = IG − t1 t2 m
Que como veremos posteriormente tienene importancia al ser los productos de inercia cambiados de signo, términos del denominado tensor de inercia.
2.7.5 Teorema de Steiner para momentos de inercia polares
Veamos cuál es la relación existente entre el momento de inercia polar de un sistema material
con respecto de un punto, y el momento de inercia polar de dicho sistema respecto de otro
punto que sea además el centro de masas del sistema.
Para ello, y sin restringir la generalidad del problema, supondremos que el centro de masas G se encuentra en el origen del sistema de referencia. El otro punto será el punto H
cuyas coordenadas en la referencia elegida serán (t1 , t2 , t3 ).
El momento de inercia polar con respecto al origen de coordenadas ( y centro de masas
del sistema ) será:
JG =
Z
(x21 + x22 + x23 ) dm
El momento de inercia polar con respecto al punto H de coordenadas (t 1 , t2 , t3 ) será:
JH =
=
Z
Z h
i
(x1 − t1 )2 + (x2 − t2 )2 + (x3 − t3 )2 dm =
(x21 + x22 + x23 + t21 + t22 + t23 − 2 t1 x1 − 2 t2 x2 − 2 t3 x3 ) dm
Denominaremos t21 + t22 + t23 = t2 , siendo t la distancia que separa G de H.
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
66
R
Por otra parte sabemos que xi dm = Mi = 0 por estar G contenido en cualquiera de
los planos de referencia X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0. Por lo tanto:
JH = J G + t 2 m
Lo que resulta ser la expresión del teorema de Steiner para momentos de inercia polares, que
enunciamos de la siguiente forma: El momento de inercia polar de un sistema material con
respecto de un punto es igual al momento de inercia polar de dicho sistema con respecto del
centro de masas del mismo, más el producto de la masa del sistema por el cuadrado de la
distancia que separa a ambos puntos.
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
67
2.8 Tensor de inercia
Sea un determinado sistema material en el que la posición de sus partı́culas están referidas a
unos ejes coordenados arbitrarios X1 , X2 , X3 .
Definimos el tensor de inercia del sistema material para el punto que es nuestro origen de
coordenadas como un operador vectorial que viene dado por la matriz:


I11 I12 I13


{I} =  I21 I22 I23 
I31 I32 I33
En la que los elementos de la diagonal principal I11 , I22 y I33 son los momentos de inercia
axiales del sistema con respecto de los ejes X1 , X2 y X3 ; y los elementos situados fuera de
la diagonal principal: I12 , I13 y I23 , son los producto de inercia del sistema cambiados de
signo, respecto de las correspondientes parejas de planos coordenados.
I12 = −P12
;
I13 = −P13
;
I23 = −P23
Observemos que se trata de una matriz diagonal, pues: I12 = I21 , I13 = I31 y I23 = I32 .
I11 =
I22 =
I33 =
Z
Z
Z
(x22 + x23 ) dm =
(x23 + x21 ) dm =
(x21
+
x22 )
I12 = −P12 = −
I13 = −P13 = −
I23 = −P23 = −
Z
Z
Z
dm =
Z
Z
Z
(x21 + x22 + x23 − x21 ) dm
(x21 + x22 + x23 − x22 ) dm
(x21 + x22 + x23 − x23 ) dm
x1 x2 dm = −
x1 x3 dm = −
x2 x3 dm = −
Z
Z
Z
x2 x1 dm = −P21 = I21
x3 x1 dm = −P31 = I31
x3 x2 dm = −P32 = I32
Siendo ~r, de componentes x1 , x2 , x3 , el vector de posición de cada partı́cula del sistema
material.
De acuerdo con lo expuesto, cada elemento de la matriz del tensor de inercia podrá expresarse de la siguiente forma:
Iij =
Z h k=3
X
k=1
i
x2k δij − xi xj dm
En donde “δij ” es un escalar que adopta los siguientes valores:
δij = 1
si
i=j
δij = 0
si
i 6= j
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
68
Hagamos ahora un pequeño inciso para comentar los siguientes conceptos tensoriales:
Tensor u operador vectorial diádico
Sean dos vectores ~a y ~b. Se denomina operador vectorial diádico {~a · ~b} o diada
{~a · ~b} a aquél operador vectorial tal que aplicado sobre cualquir vector ~u lo
transforma en ~a · (~b · ~u); es decir:
{~a · ~b} ~u = ~a · (~b · ~u)
En donde (~b · ~u) es el producto escalar de los vectores ~b y ~u.
Evidentemente, la aplicación de una diada sobre un vector, lo transforma en
otro vector que resulta ser colineal con el primer vector de la diada.
Veamos cuál es la matriz asociada al operador diádico. Sean los vectores ~a,
~b y ~u, cuya expresión en una cierta referencia será:
~a = a1 ~i + a2 ~j + a3 ~k
~b = b1 ~i + b2 ~j + b3 ~k
~u = u1 ~i + u2 ~j + u3 ~k
Efectuando las operaciones que hemos definido:
{~a · ~b} ~u = ~a · (~b · ~u) = (a1 ~i + a2 ~j + a3 ~k) · (b1 u1 + b2 u2 + b3 u3 ) =
(b1 u1 + b2 u2 + b3 u3 ) · a1 ~i + (b1 u1 + b2 u2 + b3 u3 ) · a2 ~j+
(b1 u1 + b2 u2 + b3 u3 ) · a3 ~k = (a1 b1 u1 + a1 b2 u2 + a1 b3 u3 ) · ~i+
(a2 b1 u1 + a2 b2 u2 + a2 b3 u3 ) · ~j + (a3 b1 u1 + a3 b2 u2 + a3 b3 u3 ) · ~k
Resultado que edmite la siguiente representación en forma de producto de matrices:

 

a 1 b1 a 1 b2 a 1 b3
u1

 

{~a · ~b} ~u =  a2 b1 a2 b2 a2 b3  ·  u2 
a 3 b1 a 3 b2 a 3 b3
u3
Caso de tratarse del operador diádico {~r · ~r}; en donde ~r es el vector de posición de una de las partı́culas materiales, siendo las componentes de este vector
(x1 , x2 , x3 ), la matriz de dicho operador será:
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
69


x21 x1 x2 x1 x3

x22 x2 x3 
 x2 x1

x3 x1 x3 x2 x23
La cual como observamos, es una matriz diagonal.
Tensor u operador vectorial δ de Krönecker
Definimos este tensor como aquel operador vectorial que aplicado sobre un vector lo deja invariado. Es decir:
{δ} ~u = ~u
Evidentemente la matriz asociada a este tensor es la matriz unidad:

 



u1
1 0 0
u1

 


{δ} ~u =  0 1 0  ·  u2  =  u2 

u3
u3
0 0 1
Los elementos de esta matriz serán:
δij = 1
si
i=j
δij = 0
si
i 6= j
Tras estas dos consideraciones el tensor de inercia {I} podrá ser expresado como:
{I} =
En donde:
Z h
i
r 2 {δ} − {~r · ~r} dm
r 2 : Módulo del vector de posición elevado al cuadrado (nor ~r)
{δ}: Tensor δ de Krönecker
{~r · ~r}: Operador diádico de los vectores ~r y ~r
El tensor de inercia resulta ser evidentemente un tensor simétrico.
El tensor de inercia es una función tensorial de punto; es decir, adquiere diferentes valores según cual halla sido el origen de coordenadas elegido; fijémonos simplemente que viene
expresado en función del vector de posición ~r
Si se elige como origen de coordenadas concretamente el punto G, centro de masas del
sistema, el tensor en ese punto se denomina tensor central de inercia.
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
70
2.8.1 Aplicación del tensor de inercia en la dinámica
Planteémonos el siguiente problema dinámico: Se trata de determinar el momento angular
~ O de un sistema material sólido rı́gido que tiene un punto fijo O, y que en un
o cinético L
instante dado presenta una velocidad angular instantanea w.
~
El momento angular de una de las partı́culas de dicho sistema con respecto a O será:
~ O = ~r ∧ ~v m
L
Es decir, el momento de la cantidad de movimiento con respecto a ese punto. El momento
angular de la totalidad del sistema material será:
~O =
L
Z
~r ∧ ~v dm
Estando esta integral extendida a la totalidad del sistema. En esta expresión:
~r: Vector de posición de cada partı́cula desde nuestro origen O.
~v : Velocidad instantanea de cada partı́cula.
dm: Diferencial de masa en el entorno de cada partı́cula.
Teniendo en cuenta la conocida relación cinemática de las velocidades entre puntos de un
sólido rı́gido ( Y en el supuesto que nuestro origen es inmóvil ):
~v = w
~ ∧ ~r
Substituyendo en la expresión del momento angular:
Z
~O =
L
~r ∧ (w
~ ∧ ~r) dm
Y haciendo ahora uso de de la relación de Lagrange para el doble producto vectorial:
~r ∧ (w
~ ∧ ~r) = (~r · ~r) · w
~ − ~r · (~r · w)
~ = r2 · w
~ − {~r · ~r} · w
~
En donde ahora, y según la definición dada {~r · ~r} representa el operador diádico de los
vectores ~r y ~r. Sacando factor común w:
~
r2 · w
~ − {~r · ~r} · w
~ = r 2 {δ} − {~r · ~r} w
~
Con lo que substituyendo en la expresión del momento angular obtendremos:
~O =
L
hZ i
r 2 {δ} − {~r · ~r} dm w
~
Evidentemente el término entre corchetes no es otra cosa sino sino el tensor de inercia anteriormente deducido en el punto O. Por tanto:
~ O = {IO } w
L
~
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
71
El momento angular o cinético de un sistema material sólido rı́gido que presenta un punto
fijo y dotado de una velocidad angular instantanea w,
~ respecto de dicho punto, es igual al
producto matricial del tensor de inercia calculado para dicho punto, por el vector velocidad
angular w.
~
~ yw
Por tanto, y en general, los vectores L
~ no serán colineales.
2.8.2 Momentos de inercia principales y direcciones principales
~ = {I} w
~y
Hemos obtenido para un punto fijo del sistema material la relación L
~ en donde L
w
~ no son en general vectores colineales.
~ yw
Cabrı́a prguntarse: ¿Existe alguna dirección para el vector w
~ en la cual L
~ si fueran
~ = {I} w
colineales?; es decir, una dirección en la que L
~ = λ w,
~ en donde λ es un valor
escalar.
En ese caso:
{I} w
~ −λw
~ = ~0
{I} − λ {δ} w
~ = ~0
=⇒
Si suponemos que |w|
~ = 1, la expresión de este vector será:
w
~ = cos α ~i + cos β ~j + cos γ ~k
En donde cos α, cos β y cos γ son los cosenos directores de esa dirección incognita.
~ y w:
Aplicando la expresión de la condición de colinealidad entre L
~


 


I11 − λ
I12
I13
cos α
0



 
I12
I22 − λ
I23  ·  cos β  =  0 


cos γ
0
I13
I23
I33 − λ
La cual desarrollada resulta ser el siguiente sistema lineal homogéneo:
(I11 − λ) cos α + I12 cos β + I13 cos γ = 0
I12 cos α + (I22 − λ) cos β + I23 cos γ = 0
I13 cos α + I22 cos β + (I33 − λ) cos γ = 0
Cuya condición de compatibilidad viene dada por:
I11 − λ
I12
I13
I12
I22 − λ
I23
I13
I23
I33 − λ
=0
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
72
El desarrollo de este determinante da lugar a una ecuación en grado cubo, denominada secular o caracterı́stica, cuyas raı́ces serán:
λ1 = I 1
;
λ2 = I 2
;
λ3 = I 3
Valores que representan los denominados valores propios de la matriz del tensor; y que son
los momentos principales de inercia.
Para obtener la dirección principal correspondiente a cada momento de inercia principal,
bastará resolver para cada valor de λ el sistema homogéneo planteado. Dado que un sistema
lineal homogéneo si es compatible es indeterminado, romperemos esa indeterminación con
la ecuación que nos expresa el supuesto de módulo unidad que hemos hecho para el vector
w,
~ es decir con:
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
Se puede demostrar que las tres direcciones principales obtenidas forman entre sı́ un triedro
trirrectángulo, y que de los tres momentos de inercia principales obtenidos, uno de ellos es
el mayor de los posibles, en tanto que otro es el menor de los posibles.
Si ahora tomásemos como sistema de referencia el de las direcciones principales obtenidas;
la matriz del tensor adoptarı́a la forma:


I1 0 0


{I} =  0 I2 0 
0 0 I3
En la que como observamos, en la diagonal principal se encuentran situados los momentos
de inercia principales, y fuera de la diagonal principal, todos los términos son nulos.
Si ahora el sistema rotase con una w
~ en la dirección de una dirección principal, por ejemplo
de la 1, tendriamos:

 



w · I1
I1 0 0
w




 
~
L =  0 I2 0  ·  0  =  0 
0 0 I3
0
0
~ = w · I1 · u~1 + 0 · u~2 + 0 · u~3 .
Es decir: L
~ yw
Lo que nos indica que en este caso L
~ si son vectores colineales.
2.8.3 Momento de inercia en una dirección dada
Se trata de determinar el momento de inercia de un sistema material con respecto a un eje
cualquiera ξ que pase por el origen O, y cuya dirección viene definida por un vector unitario
u~ξ = γ1 ~i + γ2 ~j + γ3 ~k; donde evidentemente γ1 , γ2 y γ3 son los cosenos directores de la
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
73
X3
ξ
s
uξ
dm
r
0
X2
X1
Figura 2.15: Momento de inercia en la dirección del eje ξ
dirección del eje ξ.
Dicho momento de inercia vendrá expresado como:
Iξ =
Z
s2 dm
En donde s es la distancia de cada partı́cula del sistema al eje ξ, estando la integral extendida
a la totalidad del sistema material.
Atendiendo a la geometrı́a:
s = |u~ξ ∧ ~r| =
~i ~j ~k γ
γ 2 γ 3 ~ γ 3 γ 1 ~
1 γ2 ~ i+
j+
k =
γ1 γ2 γ3 = x3 x1 x1 x2 x2 x3 x1 x2 x3
=
v
u
u
t
2
2
2
γ
γ
γ2 γ3 3 γ1 1 γ2 +
+
x3 x1 x1 x2 x2 x3 Y elevando al cuadrado y desarrollando:
2
2
2
γ
γ
γ2 γ3 3 γ1 1 γ2 s =
+
+
=
x3 x1 x1 x2 x2 x3 2
= (x22 + x23 ) γ12 + (x23 + x21 ) γ22 + (x21 + x22 ) γ32 − 2 x2 x3 γ2 γ3 − 2 x3 x1 γ3 γ1 − 2 x1 x2 γ1 γ2
Expresión que substituida en la integral, y teniendo en cuenta las definiciones de producto y
momento de inercia:
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
74
Iξ = I11 γ12 + I22 γ22 + I33 γ32 − 2 P23 γ2 γ3 − 2 P31 γ3 γ1 − 2 P12 γ1 γ2
Y teniendo en cuenta que Iij = −Pij para i 6= j :
Iξ = I11 γ12 + I22 γ22 + I33 γ32 + 2 I23 γ2 γ3 + 2 I31 γ3 γ1 + 2 I12 γ1 γ2
Expresión del momento de inercia en una dirección en forma de desarrollo de una forma
cuadrática, de la que se puede hacer la siguiente interpretación gráfica: El momento de
inercia con respecto de un eje es la proyección sobre dicho eje del vector transformado del
unitario que define al eje por la matriz del tensor de inercia. En efecto:
Transformamos el vector unitario en la dirección de ξ con la matriz del tensor:

 



I11 I12 I13
γ1
I11 γ1 + I12 γ2 + I13 γ3

 



{I} · ~uξ =  I12 I22 I23  ·  γ2  =  I12 γ1 + I22 γ2 + I23 γ3 
I13 I23 I33
γ3
I13 γ1 + I23 γ2 + I33 γ3
Ahora, a este vector transformado, lo proyectamos sobre la dirección del eje ξ, para lo cual
basta con multiplicarlo escalarmente por el vector unitario en dicha dirección:
Iξ = P royu~ξ {I} ~uξ = u~ξ · {I} ~uξ =
γ1 γ2 γ3


I11 γ1 + I12 γ2 + I13 γ3

·
 I12 γ1 + I22 γ2 + I23 γ3 
I13 γ1 + I23 γ2 + I33 γ3
Iξ = I11 γ12 + I22 γ22 + I33 γ32 + 2 I12 γ1 γ2 + 2 I23 γ2 γ3 + 2 I13 γ1 γ3
El resultado se corresponde con el desarrollo anteriormente obtenido.
Si se hubiese utilizado como sistema de referencia el de las direcciones principales, la expresión nos quedarı́a notablemente reducida. En efecto:
Repitiendo el proceso de transformación y proyección, pero teniendo en cuenta que la matriz
del tensor adopta la forma ya vista cuando se encuentra referida a la direcciones principales:

 



I1 0 0
γ1
I1 γ 1
 




{I} · ~uξ =  0 I2 0  ·  γ2  =  I2 γ2 
0 0 I3
γ3
I3 γ 3
Iξ =
γ1 γ2 γ3


I1 γ 1


·  I2 γ2  = I1 γ12 + I2 γ22 + I3 γ32
I3 γ 3
Que es la denominada fórmula de Poinsot que nos permite determinar el momento de inercia
de un sistema material con respecto a un eje dado, si conocemos los momentos principales
de inercia de dicho sistema en un punto por el que pasa ese eje.
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
75
2.8.4 Elipsoide de inercia
Definimos el elipsoide de inercia en un punto, como el lugar geométrico de los extremos de
los vectores h~ξ , los cuales tienen su origen en dicho punto, estando estos vectores definidos
por la expresión:
~uξ
h~ξ = q
Iξ
Expresando el vector unitario ~uξ en función de sus cosenos directores:
γ1 ~i + γ2 ~j + γ3 ~k
q
h~ξ =
Iξ
Con lo que las componentes del vector h~ξ , y por tanto las coordenadas de su extremo serán:
γ1
x1 = q
Iξ
;
γ2
x2 = q
Iξ
γ3
x3 = q
Iξ
;
Despejando los cosenos directores:
γ1 = x1
q
Iξ
;
γ2 = x2
q
Iξ
;
γ3 = x3
q
Iξ
Y eliminando los cosenos directores γ1 , γ2 , γ3 entre estas tres ecuaciones, y la expresión
general del momento de inercia según una dirección cualquiera:
Iξ = I11 γ12 + I22 γ22 + I33 γ32 + 2 I12 γ1 γ2 + 2 I23 γ2 γ3 + 2 I13 γ1 γ3
Nos quedarı́a:
Iξ = I11 x21 Iξ + I22 x22 Iξ + I33 x23 Iξ + 2 I12 x1 x2 Iξ + 2 I23 x2 x3 Iξ + 2 I13 x1 x3 Iξ
Y dividiendo en ambos términos de la igualdad por Iξ :
I11 x21 + I22 x22 + I33 x23 + 2 I12 x1 x2 + 2 I23 x2 x3 + 2 I13 x1 x3 = 1
Que es la expresión del lugar geométrico buscado; esto es, el denominado elipsoide de inercia.
Dicha expresión se podrı́a representar en forma sintética como:
i,j=3
X
i,j=1
Iij xi xj = 1
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
76
Si se hubiera utilizado como sistema referencial el de las direcciones principales, se habrı́a
obtenido:
I1 x21 + I2 x22 + I3 x23 = 1
Ecuación que se corresponde a la de un elipsoide, centrado en los ejes, y cuyos semidiámetros principales son:
1
a= q
I1
;
1
b= q
I2
;
1
c= q
I3
Como propiedades del elipsoide de inercia destacaremos las siguientes:
• Considerando el elipsoide de inercia en un punto, cuanto mayor sea su semidiámetro en
una dirección dada, menor será el correspondiente momento de inercia en esa dirección
del sistema. El eje mayor del elipsoide corresponde a la dirección de menor momento
de inercia, y el eje menor a la dirección de mayor momento de inercia. Estas dos son
las direcciones principales, y la tercera será la normal a las dos anteriores.
• Si dos de los momentos de inercia principales son iguales, el elipsoide será de revolución en torno al eje singular, y si los tres son iguales, el elipsoide adoptará una forma
esférica.
• La suma de los tres elementos diagonales del tensor en cualquier referencia es constante e igual a la suma de los tres momentos principales de inercia. ( primer invariante
del tensor )
I11 + I22 + I33 = I1 + I2 + I3
• Si ninguno de los ejes de referencia es dirección principal, el elipsoide viene dado por
la ecuación general de seis términos.
• Si uno de los ejes coordenados es principal, desaparecen dos términos de la ecuación
general del elipsoide.
Suponiendo que la dirección X1 es principal, la ecuación del elipsoide será:
I11 x21 + I22 x22 + I33 x23 + 2 I23 x2 x3 = 1
Siendo nulos: P12 = 0 y P13 = 0 ; o lo que es lo mismo: I12 = 0 y I13 = 0.
Es decir, cuando un eje de referencia es principal de inercia, son nulos los
productos de inercia en los que interviene.
• Si dos ejes de referencia son principales, forzosamente lo será también el tercero, y la
ecuación del elipsoide será la de tres términos.
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
77
2.8.5 Elipsoide central de inercia
El elipsoide central de inercia es el elipsoide de inercia definido en el centro de masas del
sistema. El elipsoide central tiene un tamaño superior a cualquier otro elipsoide de inercia
que esté definido en otro punto del sistema.
X3
X'3
h'22 =h22
h33
G
0 h'33
h22
h'11
h11
X1
X2 = X'2
X'1
Figura 2.16: Elipsoide central de inercia
En efecto: Consideramos el elipsoide central de inercia definido en G y referido a unas direcciones X1 , X2 , X3 . Consideramos ası́ mismo el elipsoide de inercia en el punto O ( situado
en este caso sobre el eje X2 ) y referido ahora a unas direcciones X10 , X20 , X30 paralelas a las
anteriores. La distancia entre G y O es t. Aplicando el teorema de Steiner para momentos
de inercia axiales:
0
I33
= I33 + m t2
0
⇒ I33
> I33
⇒ h033 < h33
0
I11
= I11 + m t2
0
⇒ I11
> I11
⇒ h011 < h11
0
I22
= I22
⇒
h022 = h22
Observamos entonces que al alejarse el punto O del centro de masas del sistema, el elipsoide
va disminuyendo transversalmente de tamaño.
La orientación de los ejes principales del elipsoide también va variando al pasar de un punto
a otro.
Sin embargo las direcciones principales del elipsoide central tienen una propiedad a este
respecto: Al pasar de un punto a otro a lo largo de una de las direcciones principales del
elipsoide central, el elipsoide sigue conservando la orientación.
En efecto, consideremos el elipsoide central de inercia, centrado por lo tanto en G, referido a unos ejes que son ahora sus direcciones principales X1 , X2 y X3 .
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
78
Los productos de inercia respecto a los planos coordenados serán entonces nulos:
P23 =
Z
x2 x3 dm = 0
;
P31 =
Z
x3 x1 dm = 0
;
P12 =
Z
x1 x2 dm = 0
Elegimos ahora un punto arbitrario O de coordenadas (t1 , t2 , t3 ), y tomándolo como nuevo
origen consideramos los ejes X10 , X20 y X30 paralelos a los del elipsoide central. Los productos de inercia con respecto a los nuevos planos coordenados serán, según el teorema de
Steiner para productos de inercia:
X'3
X3
0 ( t1 t2 t3 )
X'2
G
X2
X'1
X1
Figura 2.17: Cambio de orientación en los ejes principales de inercia
0
P23
= P23 + m t2 t3 = m t2 t3
0
P31
= P31 + m t3 t1 = m t3 t1
0
P12
= P12 + m t1 t2 = m t1 t2
Estos valores, en general, no serán nulos, por lo que los nuevos ejes X 10 , X20 y X30 no serán
principales de inercia en ese punto O del sistema. Es decir, en ese punto las direcciones de
los ejes principales del elipsoide, y con ellas las direcciones de los momentos principales de
inercia del sistema, habrán cambiado de orientación.
Pero si el punto O se encuentra en uno de los ejes X1 , X2 o X3 , los productos de inercia
sı́ se anulan.
En efecto, supongamos que O se ecuentra en el eje X1 ; por tanto t2 = 0 y t3 = 0;
con lo que se harán nulos todos los nuevos productos de inercia. Ello indica que
en este caso el nuevo elipsoide sı́ presenta sus nuevas direcciones principales
paralelas a las direcciones principales del elipsoide central.
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
79
2.9 Teorema de Steiner generalizado
Se trata de determinar el tensor de inercia en un punto cualquiera del sistema material, en el
supuesto de que conocemos el tensor central de inercia. La matriz asociada al tensor central
de inercia , es decir en el punto G, y referida a unos ejes arbitrarios X 1 , X2 , X3 será:


I11 I12 I13


{IG } =  I12 I22 I23 
I13 I23 I33
En el punto O de coordenadas (t1 , t2 , t3 ) plantearemos unos ejes X10 , X20 , X30 paralelos a los
anteriores. Trataremos de determinar los momentos y los productos de inercia en el punto O
en función de los momentos y los productos de inercia en G.
X'3
X3
x'3
dm
x3
0 ( t1 t2 t3 )
X'2
x'1
G
X2
x'2
x1
X'1
x2
X1
Figura 2.18: Teorema de Steiner generalizado
La relación entre las coordenadas en uno y otro sistema referencial de un elemento de masa
dm del sistema material será:
x01 = x1 − t1
x02 = x2 − t2
;
x03 = x3 − t3
;
Calculamos los elementos diagonales del tensor en el punto O; por ejemplo el momento de
0
inercia axial con respecto al eje X10 , es decir I11
.
0
I11
=
0
I11
=
R
R
02
(x02
2 + x3 ) dm =
(x22
+
x23 )
dm +
Z h
(t22
i
(x2 − t2 )2 + (x3 − t3 )2 dm
+
t23 )
Z
dm − 2 t2
Z
x2 dm − 2 t3
Z
x3 dm
La primera integral representa el momento de inercia del sistema material respecto del eje
X1 , es decir I11 .
En el segundo término hacemos t22 + t23 = s21 , siendo s21 el cuadrado de la distancia entre los ejes X1 y X10 .
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
80
La otras dos integrales son nulas por representar momentos estáticos con respecto de planos que contienen al centro de masas G del sistema material.
Luego nos queda:
0
I11
= I11 + m s21
Procediendo de forma análoga con los otros dos ejes X20 y X30 :
0
I22
= I22 + m s22
0
I33
= I33 + m s23
De los elementos no diagonales elegimos por ejemplo el I12 .
0
P12
=
0
P12
=
R
R
x01 x02 dm =
Z
(x1 − t1 ) (x2 − t2 ) dm
x1 x2 dm + t1 t2
Z
dm − t1
Z
x2 dm − t2
Z
x1 dm
La primera integral representa el producto de inercia P12 y las dos últimas son nulas por
representar momentos estáticos respecto de planos que contienen a G.
0
P12
= P12 + t1 t2 m
Los elementos no diagonales de la matriz asociada al tensor de inercia son los productos de
inercia cambiados de signo; por lo tanto:
0
I12
= I12 − t1 t2 m
Análogamente:
0
I13
= I13 − t1 t3 m
0
I23
= I23 − t2 t3 m
En resumen, la matriz asociada al tensor de inercia en el punto O será:


I11 + m s21 I12 − t1 t2 m I13 − t1 t3 m
{IO } = 
I22 + m s22 I23 − t2 t3 m 
 I12 − t1 t2 m

2
I13 − t1 t3 m I23 − t2 t3 m I33 + m s3
Expresión que nos permite determinar la matriz asociada al tensor de inercia en un punto
cualquiera O, conociendo la matriz del tensor central, es decir, en el centro de masas del
sistema. Esta expresión del teorema de Steiner generalizado resulta ser una combinación
de los teoremas de Steiner para momentos de inercia axiales y los teorema de Steiner para
productos de inercia ya vistos con anterioridad.
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
81
Si hubiésemos partido de la matriz del tensor de inercia diagonalizada, es decir, ya referida
a las direcciones principales:


I1 0 0


{IG } =  0 I2 0 
0 0 I3
La matriz del tensor en un punto O resultarı́a ser:


I1 + m s21 −t1 t2 m −t1 t3 m


{IO } =  −t1 t2 m I2 + m s22 −t2 t3 m 
−t1 t3 m −t2 t3 m I3 + m s23
La cual en general, no tendrá un carácter diagonal; es decir: las direcciones principales en
este punto, no coinciden con las direcciones principales del tensor central.
Pero si el punto O estuviese en uno de los ejes principales, entonces serı́an nulas dos de
las coordenadas (t1 , t2 , t3 ), y la matriz {IO } sı́ que serı́a diagonal, lo cual redunda en lo ya
demostrado en el apartado anterior.
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
82
2.10 Diagramas o cı́rculos de Möhr
Como ya hemos visto ( § 2.8.3 ), la proyección sobre un eje ξ del vector transformado por el
tensor de inercia del vector unitario ~uξ en la dirección del eje, da lugar al momento de inercia
axial Iξ del sistema material, con respecto a dicho eje ξ.
Pues bien, la componente del vector transformado y proyectado sobre un plano ortogonal
al eje ξ es el denominado momento centrı́fugo del sistema Pξ con respecto a dicho eje.
ξ
{I }.uξ
Iξ
uξ
Pξ
Figura 2.19: Representación del momento de inercia y del momento centrı́fugo
Suponiendo que el sistema referencial empleado es el correspondiente a las direcciones principales, la matriz del tensor de inercia será:


I1 0 0


{I} =  0 I2 0 
0 0 I3
Y el vector transformado por el tensor del vector unitario u~ξ = γ1 u~1 + γ2 u~2 + γ3 u~3 :

 



I1 0 0
γ1
I1 γ 1

 


{I} · u~ξ =  0 I2 0  ·  γ2  =  I2 γ2 

0 0 I3
γ3
I3 γ 3
Teniendo en cuenta la representación gráfica del momento de inercia y del momento centrı́fugo,
( Fig 2. 19 ), podremos expresar que el módulo del vector {I} · u~ξ elevado al cuadrado es
igual a la suma de los cuadrados de Iξ y Pξ :
I12 γ12 + I22 γ22 + I32 γ32 = Iξ2 + Pξ2
Por otra parte, nos es conocida ( § 2.8.3 ) la relación de Poinsot:
I1 γ12 + I2 γ22 + I3 γ32 = Iξ
Y teniendo en cuenta que u~ξ es un vector unitario, y que sus componentes son los cosenos
directores de la dirección del eje ξ:
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
83
γ12 + γ22 + γ32 = 1
De esta forma, hemos conseguido conformar el siguiente sistema de tres ecuaciones que nos
permite estudiar la variación del momento de inercia y del momento centrı́fugo del sistema
material para cualquier orientación del eje ξ, es decir, para cualquier valor admisible para los
cosenos directores γ1 , γ2 , γ3 .








I12 γ12 + I22 γ22 + I32 γ32 = Iξ2 + Pξ2
I1 γ12 + I2 γ22 + I3 γ32 = Iξ







γ12 + γ22 + γ32 = 1
En efecto, supongamos ahora que hacemos γ1 = kte, lo que equivale a hacer variar al eje ξ
según las generatrices de un cono, cuyo eje de simetrı́a es el eje de referencia 1. Podremos
entonces pasar a los segundos miembros los términos en los que nos aparece γ 1 , al ser este
valor considerado ahora como constante. Nos quedará entonces este sistema de ecuaciones:








I22 γ22 + I32 γ32 = Iξ2 + Pξ2 − I12 γ12
I2 γ22 + I3 γ32 = Iξ − I1 γ12







γ22 + γ32 = 1 − γ12
Del cual podremos eliminar γ2 y γ3 sin más que aplicar el criterio de compatibilidad del
mismo:
Matriz de los coeficientes:
Matriz ampliada:


I22 I32


 I2 I3 
1 1

Rango = 2

Iξ2 + Pξ2 − I12 γ12 I22 I32


Iξ − I1 γ12
I2 I3 

1 − γ12
1 1
Si queremos que el rango de la matriz ampliada sea también 2, el único adjunto de orden 3x3
que se puede formar en la misma, debe ser de determinante nulo, es decir:
Iξ2 + Pξ2 − I12 γ12 I22 I32 Iξ − I1 γ12
I2 I3 = 0
1 − γ12
1 1 Desarrollando este determinante por los elementos de la primera columna, y dividiendo por
(I2 − I3 ) se obtiene:
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
84
Iξ2 + Pξ2 − Iξ (I2 + I3 ) + I2 I3 + γ12 (I3 − I1 ) (I1 − I2 ) = 0
Ecuación que representa a una familia de circunferencias c1 , que siendo representadas en
unos ejes cartesianos Iξ , Pξ se encuentran todas ellas centradas en el punto:
(
I2 + I 3
, 0)
2
Haciendo ahora γ1 = 0, lo cual implica que el eje ξ evoluciona ahora sobre el plano 2-3, se
obtiene la siguiente ecuación:
Iξ2 + Pξ2 − Iξ (I2 + I3 ) + I2 I3 = 0
(C1 )
La cual, en el sistema de ejes cartesianos Iξ , Pξ anteriormente mencionado, representa a una
circunferencia C1 , cuyo centro es el mismo de antes, y que corta al eje Iξ en dos puntos de
abcisas I2 e I3 .
Procediendo de forma análoga en el sistema de ecuaciones original, podemos considerar
ahora γ2 = kte y eliminar γ1 y γ3 mediante la correspondiente condición de compatibilidad.
Obtendremos entonces la siguiente familia de circunferencias c 2 :
Iξ2 + Pξ2 − Iξ (I1 + I3 ) + I1 I3 + γ22 (I1 − I2 ) (I2 − I3 ) = 0
Circunferencias que se encuentran todas ellas centradas en el punto:
(
I1 + I 3
, 0)
2
Y haciendo γ2 = 0; lo que implica que el eje ξ se encuentra sobre el plano 1-3:
Iξ2 + Pξ2 − Iξ (I1 + I3 ) + I1 I3 = 0
(C2 )
Que es la ecuación de la circunferencia C2 que corta al eje Iξ en los puntos I1 e I3 .
Finalmente, para γ3 = kte, eliminando γ1 y γ2 en forma semejante a los procesos realizados anteriormente, se obtiene la familia de circunferencias c3 :
Iξ2 + Pξ2 − Iξ (I1 + I2 ) + I1 I2 + γ32 (I2 − I3 ) (I3 − I1 ) = 0
Las cuales están todas ellas centradas en:
(
I1 + I 2
, 0)
2
Y haciendo γ3 = 0, lo que significa que el eje ξ evoluciona de forma que está siempre
contenido en el plano 1-2 , la familia c3 se reduce a una única circunferencia C3 :
Iξ2 + Pξ2 − Iξ (I1 + I2 ) + I1 I2 = 0
(C3 )
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
85
La cual corta al eje Iξ en los puntos I1 e I2 .
Suponiendo que I1 > I2 > I3 , lo que no resta generalidad a nuestro estudio, podemos
representar sobre unos ejes Iξ , Pξ las tres circunferencias obtenidas, lo que constituye el diagrama de Möhr. ( Fig 2. 20 )
Veremos que en esta representación gráfica, un punto M cuyas coordenadas (I ξ , Pξ ) rePξ
C2
M ( I ξ , Pξ )
C3
C1
Iξ
I3
I2
I1
Figura 2.20: Diagrama de Möhr. Circunferencias C1 , C2 y C3
presentan el momento de inercia y el momento centrı́fugo para una orientación dada ξ, se
tiene que encontrar forzosamente dentro de la región sombreada.
En efecto, la familia de circunferencias c1 se puede expresar como:
γ12 (I3 − I1 ) (I1 − I2 ) = − Iξ −
I − I 2
I2 + I3 2
2
3
+ Pξ2 −
2
2
En donde lo contenido en el interior del corchete expresa la diferencia entre el cuadrado de
la distancia del punto M al centro de C1 y el cuadrado del radio de la circunferencia C1 ;
es decir, la Potencia del punto M con respecto a la circunferencia C 1 . El término que se
encuentra entonces al lado izquierdo de la igualdad es la Potencia de M con respecto a C 1
cambiada de signo.
γ12 (I3 − I1 ) (I1 − I2 ) = −P otC1 M
Dado que estamos trabajando bajo el supuesto de que I1 > I2 > I3 , nos quedará que:
P otC1 M > 0
⇒
Luego M es exterior a C1
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
86
Procediendo de forma análoga con la circunferencia C2 :
γ22 (I1 − I2 ) (I2 − I3 ) = −P otC2 M
P otC2 M < 0
⇒
Luego M es interior a C2
Y similarmente con la circunferencia C3 :
γ32 (I2 − I3 ) (I3 − I1 ) = −P otC3 M
P otC3 M > 0
⇒
Luego M es exterior a C3
Queda por tanto demostrado que cualquier punto M en el diagrama que sea representativo de una dirección ξ debe estar situado forzosamente en la zona comprendida entre los tres
cı́rculos, es decir, en la región sombreada.
Si conocemos la ubicación del punto M representativo de una dirección ξ en el diagrama
de Möhr quedan determinados por sus coordenadas el momento de inercia y el momento
centrı́fugo del sistema material en esa dirección. Cabe preguntarse ahora ¿cuál es la relación
entre los parámetros que definen la posición de un eje y la posición del punto representativo
M en el diagrama?
Para responder a esta cuestión efectuaremos el siguiente planteamiento geométrico ayudados
en la Fig 2. 21.
Pξ
C2
K
L
M
H
J
I
N
β
α̂
D
E
F
Iξ
C1
I3
C3
I2
I1
Figura 2.21: Diagrama de Möhr
Consideremos el punto H de intersección de la circunferencia de la familia c 1 que pasa por
M con la circunferencia C2 . Este punto H tiene la misma potencia que M con respecto de
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
87
la circunferencia C1 , por estar ambos situados en una circunferencia concéntrica con ella.
Podremos plantear:
P otC1 M = P otC1 H = −γ12 (I3 − I1 ) (I1 − I2 ) = γ12 (I1 − I3 ) (I1 − I2 )
Por otra parte, esta misma potencia podrá expresarse como:
P otC1 M = P otC1 H = HN · HF = IE · HF = (I1 − I2 ) cos α̂ · (I1 − I3 ) cos α̂
Es decir:
P otC1 M = P otC1 H = cos2 α̂ (I1 − I3 ) (I1 − I2 )
Comparando esta expresión de la potencia de M con respecto a C 1 obtenida por consideraciones geométricas sobre el propio diagrama de Möhr con la obtenida por el planteamiento
analı́tico al pertenecer M a una de las circunferencias de la familia c1 , llegamos a la siguiente
conclusión:
cos α̂ = γ1
Consideremos ahora el punto K de intersección de la circunferencia de la familia c 3 que pasa
por M con la circunferencia C2 . La potencia con respecto a C3 de K y M es la misma, y su
valor es:
P otC3 M = P otC3 K = −γ32 (I2 − I3 ) (I3 − I1 ) = γ32 (I2 − I3 ) (I1 − I3 )
Y considerando la geometrı́a en el diagrama de Möhr:
P otC3 M = P otC3 K = KL · KD = JE · KD = (I2 − I3 ) cos β̂ · (I1 − I3 ) cos β̂
Es decir:
P otC3 M = P otC3 K = cos2 β̂ (I2 − I3 ) (I1 − I3 )
Comparando las dos expresiones de la P otC3 M obtenidas, podremos concluir que :
cos β̂ = γ3
Con lo cual, construido el diagrama de Möhr, podemos determinar para una dirección cualquiera ξ definida por su vector unitario u~ξ = γ1 u~1 + γ2 u~2 + γ3 u~3 el punto M representativo
de la misma a través de γ1 y γ3 , y por tanto los valores del momento de inercia Iξ y del
momento centrı́fugo Pξ en esa dirección.
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
88
2.10.1 Cı́rculo de Möhr para ejes contenidos en los planos principales
Sea un sistema material en el cual tenemos definido en el punto O su tensor de inercia, siendo
las dircciones X1 , X2 , X3 direcciones principales.
X2
ξ
uξ
θ
0
X1
X3
Figura 2.22: Eje ξ en el plano principal X1 X2
La matriz asociada a ese tensor en el punto O, y referida a las direcciones principales será:


I1 0 0


 0 I2 0 
0 0 I3
Vamos a determinar el momento de inercia Iξ y el momento centrı́fugo Pξ del sistema con
respecto a un eje que pase por O y que se encuentre contenido en un plano principal, por
ejemplo el 1-2. Suponiendo que dicho eje forma un ángulo θ con el eje X 1 , la expresión de
su vector unitario será:
u~ξ = cos θ ~i + sen θ ~j
La transformación de este vector unitario por el tensor de inercia:

 



I1 0 0
cos θ
I1 cos θ

 



{I} · u~ξ =  0 I2 0  ·  sen θ  =  I2 sen θ  = I1 cos θ ~i + I2 sen θ ~j
0 0 I3
0
0
Siendo su módulo:
|{I} · u~ξ | =
q
(I1 cos θ)2 + (I2 sen θ)2
El momento de inercia del sistema material con respecto al eje ξ lo obtenemos proyectando
dicho vector transformado sobre el propio eje:
Iξ = P royξ {I} · u~ξ = u~ξ · {I} · u~ξ
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
Iξ =
cos θ sen θ 0
89


I1 cos θ

2
2
·  I2 sen θ 
 = I1 cos θ + I2 sen θ
0
Teniendo en cuenta las conocidas relaciones trigonométricas:
cos θ =
s
1 + cos 2θ
2
;
sen θ =
s
1 − cos 2θ
2
El momento de inercia del sistema material con respecto al eje ξ resulta ser :
Iξ = I 1
1 + cos 2θ
1 − cos 2θ
I1 + I 2 I1 − I 2
+ I2
=
+
cos 2θ
2
2
2
2
Iξ =
I1 + I 2 I1 − I 2
+
cos 2θ
2
2
Por otra parte determinaremos el momento centrı́fugo Pξ en la dirección del eje ξ mediante
( Ver la figura 2.19 en § 2.10 ) :
q
Pξ =
|{I}~uξ |2 − Iξ 2
Que en nuestro caso:
Pξ =
r
(I1 cos θ)2 + (I2 senθ)2 − I1 cos2 θ + I2 sen2 θ
2
Desarrollando:
Pξ =
Pξ =
Pξ =
Pξ =
q
I12 cos2 θ + I22 sen2 θ − I12 cos4 θ − I22 sen4 θ − 2 I1 I2 cos2 θ sen2 θ
q
I12 cos2 θ (1 − cos2 θ) + I22 sen2 θ (1 − sen2 θ) − 2 I1 I2 cos2 θ sen2 θ
q
I12 cos2 θ sen2 θ + I22 sen2 θ cos2 θ − 2 I1 I2 cos2 θ sen2 θ
q
cos2 θ sen2 θ (I12 + I22 − 2 I1 I2 ) =
Pξ = (I1 − I2 ) cos θ sen θ =
q
cos2 θ sen2 θ (I1 − I2 )2
I1 − I 2
2
I1 − I 2
2 cos θ sen θ =
sen 2θ
2
Con lo que el momento centrı́fugo resulta ser:
I1 − I 2
Pξ =
sen 2θ
2
CAPÍTULO 2. GEOMETRÍA DE MASAS
90
Pξ
M
I1 − I 2
2
Pξ
2θ
I2
Iξ
I1 + I 2
2
Iξ
I1
Figura 2.23: Cı́rculo de Möhr para ejes ξ contenidos en el plano principal X 1 X2
Los resultados que hemos obtenido para el momento de inercia I ξ y para el momento centrı́fugo
Pξ conforman la ecuación paramétrica con parámetro 2θ de una circunferencia cuyo centro
está en el punto:
I + I
1
2
,O
2
Y cuyo radio es:
I − I 1
2
2
Observese ( Fig 2.23 ) que esta circunferencia es en realidad la C 3 del caso general tridimensional visto con anterioridad.
El punto M representativo de la dirección ξ, siempre que ésta se encuentre situada en el
plano principal 1-2, se encuentra ubicado sobre el propio cı́rculo de Möhr y con una posición angular doble ( 2θ ) con respecto a I1 que el ángulo θ que presenta el eje ξ con respecto
a X1 .
Resulta evidente, con la simple observación del diagrama, que para los ejes ξ contenidos
en el plano principal 1-2 existe un punto M representativo con valor máximo del momento
centrı́fugo. Este momento centrı́fugo máximo valdrı́a:
− I2 2
Y corresponderá a un eje ξ contenido en 1-2 y que forma π/4 con la dirección X 1 .
Pξ =
I
1
Para este eje, el momento de inercia tendrá como valor :
Iξ =
I
1
+ I2 2