FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 39 DINÁMICA (movimiento bajo la acción de fuerzas) Fuerza Vimos que para explicar los cambios en el estado de reposo o movimiento uniforme de la materia se utiliza en física el concepto de fuerza, del que nos da una medida intuitiva el esfuerzo muscular que hacemos para mover algo, o la sensación de presión cuando sostenemos algo pesado. También se dijo que las fuerzas siempre actúan de a pares, es decir que ante una acción (fuerza x tiempo) existe siempre la correspondiente reacción equilibrante. Masa Recordemos que masa es una propiedad de la materia representada por una cantidad escalar m cuya unidad es el Kg. Esta unidad corresponde muy aproximadamente a la masa de un litro de agua en condiciones normales de temperatura y presión . Cuando un cuerpo de masa unitaria invariable en el tiempo (1 Kg) sufre una aceleración unitaria (1 m/s2) es porque actúa en el sentido de ésta una fuerza unitaria igual al producto entre ambas, o sea 1 Kg.m/s2 = 1 N (se lee “un Newton”) Cantidad de movimiento Se llama cantidad de movimiento de un cuerpo material de masa m que se mueve a la velocidad v al vector resultante del producto m·v. Si la masa del cuerpo no varía en el tiempo, como ocurre en la mayoría de los casos, la variación de la cantidad de movimiento ∆(mv) en un lapso ∆t es igual a m·∆v y coincide siempre con la acción de una fuerza f durante el mismo lapso ∆ t tal que m ∆v=f.∆t . m2 Interacción de la materia m1 v2i m1.v1f v1i m1 x2 -x1 Ley de conservación de la cantidad de movimiento m1.v1i m2 m2.v2f m2.v2i O Q P INTERACCIÓN POR CHOQUE Cuando un conjunto de varios cuerpos interaccionan a través de acciones directas (choque) o fuerzas a distancia, la experiencia demuestra que a lo largo del tiempo se conserva siempre la cantidad de movimiento total, expresada como la suma FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 40 vectorial de la cantidad de movimiento individual de cada uno de los cuerpos del sistema. Este principio de conservación de la cantidad de movimiento es absolutamente general y no conoce excepciones. Interacción entre cuerpos La experiencia demuestra que cuando dos o más cuerpos chocan entre sí, la cantidad de movimiento total del sistema antes y después del choque se conserva, de acuerdo a lo dicho recién. De tal manera, si dos cuerpos de masa m1 y m2 que tienen velocidades iniciales v1i y v2i y al cabo de un lapso 1 durante el cual interactúan quedan con velocidades finales v1f y v2f, podemos plantear la igualdad vectorial siguiente: m1.v1i + m 2.v2i = m1.v1f + m2.v2f de donde m1.(v1i-v1f) = m2.(v2i-v2f) En el dibujo se representan las posiciones sucesivas y el diagrama vectorial con la ecuación de cantidades de movimiento. Centro de gravedad de un sistema de masas Se ve en la figura que es nula la proyección de la resultante de los vectores cantidad de movimiento sobre una perpendicular PQ a su dirección, lo que responde a la ecuación m1.(-x1)/t = m2.x2/t , tomando las distancias x con su signo de acuerdo al sentido del vector trazado desde el origen O De la anterior se deduce que para cualquier instante t es m1.x1+m2.x2=0 , igualdad que es útil interpretar reconociendo que en un sistema de masas existe en todo momento un punto O que se llama centro de masas, centro de gravedad o baricentro del sistema de masas, para el cual es nulo la suma del producto de las masas por las respectivas distancias a dicho punto. Esa suma de productos se llama “momento de primer orden” de la distribución de masas con respecto al punto de referencia. En el caso de que ese punto sea el centro de gravedad, el momento de primer orden es nulo. El movimiento del centro de masas de un sistema sobre el que no actúen acciones exteriores no se altera a lo largo del tiempo, cualquiera sea el tipo de interacción entre las masas del sistema. Se ve en la figura que O se desplaza con velocidad uniforme V correspondiente a un cuerpo de masa M=m1+m2 con cantidad de movimiento MV = m1.v1 + m 2.v2 tal que V= (m1.v1 + m2.v2) / (m1+m2) 1 La interacción puede ser choque o fuerzas a distancia, como la gravitación o la acción electrostática. Las teorías modernas tienden a reducir estas últimas a efectos estadísticos de infinidad de choques de partículas elementales, que se intercambiarían entre sí los cuerpos que se atraen o repelen a la distancia. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 41 Acciones de las fuerzas Fuerzas exteriores e interiores a un sistema de masas Podemos dividir a las fuerzas que actúan sobre un sistema de cuerpos en fuerzas exteriores e interiores. Las fuerzas exteriores son las responsables de la aceleración del centro de gravedad del sistema o conjunto de masas, y tienen su origen en interacciones con otros cuerpos no pertenecientes al sistema. Las interiores se generan por interacciones entre los elementos del sistema y tienen resultante nula, debido al principio de acción y reacción. Jugando al billar – Primera parte Entremos al salón “Bar-Billares” del barrio, donde encontramos una mesa de billar con 2 bolas iguales de masa m b =1 Kg colocadas a 0,5 m de distancia, quietas sobre el tapete. Consecuentemente su centro de gravedad, en el punto medio de la recta que une los centros de ambas bolas, a 0,25 m de cada una, también está inmóvil. o vbi a v2 v1 v Trayectoria del centro de gravedad del sistema o vo v1 v v2 Tomemos el taco (sistema exterior) y aplicamos un tacazo sobre la bola Nº1 de masa m b=1Kg , que adquiere una velocidad de traslación vb = 0,25 m/s dirigida hacia la bola Nº2 Esa primera bola (roja) avanza con aceleración negativa a (en sentido contrario a la velocidad), ya que el paño ejerce sobre ella una fuerza de rozamiento constante en contra del movimiento fr = 0,05N. Al cabo de recorrer 0,25 m choca contra la segunda bola (azul). v= o velocidad del centro de gravedad ¿A qué velocidad v hace impacto? Si fr=0,05 N es a = fr/m b = 0,05/1= 0,05 m/s2 y entonces vbfinal=vbinicial-a.t , recorriendo una distancia d= ½ a.t2 de donde t=(2d/a)½ con lo cual v=vbi-(2d.a)½ = 0,25-(2x0,25x0,05)½ = 0,092 m/s Supongamos ahora que esa primera bola a velocidad de 0,092 m/s impacta sobre la segunda bola. Como consecuencia del choque la segunda bola tomará una velocidad v2 y la primera pasará a v1. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 42 La reacción en el choque siempre se lleva a cabo en la dirección entre centros de esferas, donde está el centro O de gravedad del sistema. Si dicha dirección coincide con la de la velocidad inicial v de la bola, las reacciónes m1.v1 y m2.v2 están también sobre ese eje. Este fenómeno unidimensional se llama “choque recto” Si la dirección del eje que une centros de esferas no coincide con la velocidad, el fenómeno es un “choque oblicuo”, como el que se ha representado en los dibujos adjuntos. En él las velocidades v1 y v2 tienen diferentes direcciones La cantidad de movimiento del sistema antes del choque es m b.v , y es igual a la cantidad de movimiento del sistema después del choque m b.v1+mb.v2 . Cuando las dos bolas tienen la misma masa, resulta v =v1+v2 Hay infinitas maneras de equilibrar el vector velocidad v con v1 y v2. En el dibujo se ha elegido tentativamente un par de valores que satisfacen las leyes de la conservación del impulso, que no son necesariamente los que se dan experimentalmente. Para determinar las velocidades reales hace falta conocer lo que se explicará a continuación sobre trabajo y energía. Efectos de las fuerzas La acción de una fuerza sobre un cuerpo material se traduce en varios efectos, que pueden coexistir: a) Variación de la cantidad de movimiento b) Presión acompañada generalmente de contracción c) Tensión acompañada generalmente de dilatación Si el cuerpo no se mueve, o se mueve con aceleración menor que la que resulta del cociente fuerza/masa, es porque la acción está equilibrada total o parcialmente por una interacción con otro cuerpo o sistema. Si ese segundo cuerpo tiene una masa comparativamente mucho mayor que el estudiado, y la interacción se hace a través de un medio rígido (un tercer cuerpo o agente indeformable), no habrá movimiento del conjunto y se dice que el sistema está en equilibrio estático. Si el medio por el que se efectúa la interacción no es rígido, por ejemplo fluido, permitirá que la acción de la fuerza se manifieste en una variación de la cantidad de movimiento Por ejemplo, si aplicamos una fuerza F = 1 N a un carrito de masa m = 2 Kg apoyado sobre el suelo, éste se moverá con una aceleración a’ menor que la que corresponde 2 a una masa libre a = F/m = 0,5 m/s , por ejemplo a’ = 0,45 m/s2 . La diferencia de aceleraciones se debe a una fuerza que vale f = m. (a-a’) = 2x0,05 = 0,1 N FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 43 Estudiaremos luego que en los vehículos que ruedan , f tiene tres orígenes: • el rozamiento en ruedas y cojinetes, del que hablaremos más adelante. • la inercia a la aceleración angular de las ruedas • la resistencia del aire. Trabajo de una fuerza Cuando una fuerza se aplica a lo largo de una trayectoria se ejecuta un 2 trabajo Trabajo de una fuerza variable f a lo largo de una trayectoria AB T = Σ fi · dsi fn El trabajo de una fuerza que se desplaza por una trayectoria se mide por el producto escalar entre fi el vector representativo de la fuerf3 za y el vector representativo de la f2 f1 distancia recorrida. Si el camino es recto de longitud AB y la fuerza f es dsi constante en intensidad y dirección, el trabajo entre los puntos A y A B está representado por el producto escalar T = f·AB = f.AB.cos(α α), siendo α el ángulo formado por la dirección de f y la de AB B Si la trayectoria tiene forma cualquiera, para una fuerza constante o variable a lo largo de ella, el trabajo total entre sus extremos se calcula dividiendo el camino en pequeños trozos i numerados de 1 hasta n , de longitud elemental dsi suficientemente pequeños como para que se puedan considerar rectos y con una fuerza respectiva fi aplicada a lo largo de cada uno de ellos , de manera que el trabajo total sea la suma de n trabajos elementales. En ese caso es T = Σ (fi·dsi) para i=1,2...n Energía de un sistema El trabajo se mide en unidades de energía, función que representa la capacidad de ejecutar trabajo de un sistema. La unidad de energía está representada por el trabajo de una fuerza unitaria a lo largo de un camino recto de su misma dirección y de longitud también unitaria. En el sistema MKS la unidad es el Joule, en honor al físico inglés J.P.Joule (1818-1889). Así una fuerza unitaria de 1N a lo largo de una distancia de 1m ejecuta un trabajo de 1Nm=1J (se lee un Newton por un metro es igual a un Joule) 2 El concepto de trabajo recién enunciado, difiere del que se le da en lenguaje corriente, en el que está ligado a esfuerzo y dificultad antes que a un desplazamiento de una fuerza. Sostener un peso “da trabajo”. Sin embargo desde el punto de vista físico, no hay trabajo si no subimos o bajamos ese peso. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 44 Tipos de energía De lo visto se entiende que trabajo y energía son conceptos asociados a sistemas materiales. No se puede pensar en energía y trabajo ejecutado sin un soporte material desde dónde salga y otro soporte de destino hacia donde vaya. El soporte material aludido comprende materia y espacio que la rodea. Las propiedades del espacio, por ejemplo la de transmitir fuerzas a distancia, son producto de la materia próxima, como se verá al tratar la gravitación. Un sistema material puede poseer capacidad de ejecutar trabajo de varias formas, pero éste se manifestará siempre a través de una fuerza que se mueve a lo largo de un camino. El trabajo ejecutado por un sistema siempre se efectúa sobre otro u otros sistemas. El primero perderá energía y los segundos la recibirán, y desde ese punto de vista el trabajo puede considerarse como flujo de energía o energía en tránsito. El trabajo no es la única forma de energía en tránsito. Existe otra: el calor, que puede considerarse macroscópicamente como un fluído, o microscópicamente como una función estadística asociada a la energía de movimiento de las moléculas o partículas que componen la materia. Energía cinética - Teorema de la fuerza viva Vimos que una de las manifestaciones de una fuerza es la variación en el movimiento de la materia en la que se aplica. La fuerza aplicada desde otro sistema sobre una partícula material de masa m es igual a la variación de la cantidad de movimiento: f = d(mv)/dt , y si la masa m no varía con el tiempo será f = m.dv/dt = m.a También es m.dv=f.dt (acción o impulso) Si la acción se desarrolla a lo largo de un camino de longitud dx , el trabajo ejecutado por la fuerza sobre la masa m será f.dx=m.dv/dt.dx . Pero como v=dx/dt , la anterior queda en la forma f.dx=m.v.dv Eso nos dice que el en un pequeño recorrido dx la fuerza f sobre un sistema de masa m efectuará un trabajo f.dx que será igual al aumento de energía del sistema m.v.dv , siendo dv el aumento de velocidad en un pequeño intervalo de tiempo dt. En un mayor intervalo de tiempo ∆t = t2-t1 la fuerv1 za f recorrerá un camino ∆x = x2-x1 a una velocidad promedio igual a vm = (v2+v1)/2 para ∆v = v2v2 m v1 , y el trabajo de la fuerza f (que supondremos ∆x constante a lo largo del camino ∆x) será: m T = f.(x2-x1)= m.vm.∆v = ½ m (v22-v12) = 2 2 = [½ m.v2 – ½ m v1 ] FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 45 Es decir que el trabajo de la fuerza exterior aplicada a la partícula de masa m es una diferencia de términos iguales a la mitad del producto de la masa por la velocidad al cuadrado Ec = ½ m v2 . Esa cantidad Ec debe considerarse como la energía asociada a la velocidad v. Se llama a Ec energía 3 cinética o fuerza viva de una partícula de masa m en movimiento . Lo anterior nos dice el trabajo de una fuerza exterior sobre una partícula material es igual a la variación de su fuerza viva . Este enunciado se conoce como “Teorema de la fuerza viva” Cuando se habla de fuerzas exteriores, se entiende que son exteriores al sistema de referencia, y que provienen de otro u otros sistemas, que puede ser el resto del universo o una porción limitada de éste. Energía potencial Definida como la capacidad de un sistema de desarrollar trabajo, la energía puede estar almacenada en la forma o configuración del sistema. Un resorte comprimido y un sistema de dos masas alejadas son dos ejemplos de sistemas que poseen energía de forma que puede ser transformada en fuerza viva u otro tipo de energía, y que pueden ejercer trabajo sobre otro sistema. El resorte puede dar fuerza viva al percutor de un arma. Una pesa elevada a una altura conveniente mueve en su descenso a un molinete sumergido, elevando la temperatura de una masa de agua (experiencia de Joule en 1843 para encontrar el equivalente mecánico del calor). Sistemas de fuerzas conservativas Podemos imaginar que la energía de configuración de los sistemas descriptos proviene del almacenamiento del trabajo de una fuerza exterior que llevó el sistema desde una cierta configuración inicial a la configuración final. La fuerza o fuerzas exteriores pudieron haber hecho el trabajo de compresión del resorte o la subida del peso por varios caminos y en diversos tiempos. Sin embargo, la energía almacenada sólo depende del trabajo de una fuerza a la que es posible asignar un valor a cada posición posible del sistema, por ejemplo a la altura del peso, o a la longitud del resorte. En tales casos el sistema tiene asociado un conjunto de fuerzas dependiente de la posición o configuración, y la energía de configuración sólo es función de la posición inicial y final. Se designa a tal conjunto de fuerzas y su distribución en el espacio como “campo de fuerzas conservativo”, justificándose el adjetivo “conservativo” por 3 Nótese que el cuadrado del vector v es un escalar v 2 FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 46 las razones que explicaremos luego. Un campo de fuerzas conservativo admite un modelo de relieve topográfico que se desarrollará con todo detalle al estudiar la gravedad y el campo gravitatorio, y que ahora sólo esbozaremos. En este modelo las líneas de fuerza (envolventes de las direcciones de las fuerzas en el espacio) equivalen en un mapa de relieve a las líneas de máxima pendiente que nacen en las cumbres bajando perpendicularmente a las líneas de nivel o altura sobre el nivel del mar. El equivalente energético de esa altura es el potencial, cuyo gradiente o máxima pendiente en cada lugar es precisamente el valor del campo en ese punto, que representa a la fuerza de deformación en el caso del resorte o la de la gravedad en el caso del peso que se eleva. La diferencia de potencial entre dos puntos es el trabajo mínimo necesario para deformar o configurar el sistema yendo desde la primera posición a la segunda en una evolución en equilibrio. El valor de ese potencial (escalar) está en relación directa con la densidad de líneas de campo. Líneas divergentes corresponden a un campo que se va debilitando, y un campo de líneas convergentes indica que la fuerza crece hasta tener un valor infinito en el punto de convergencia. En ambos casos el potencial correspondiente recuerda a un monte con el pico en el punto de convergencia. Un campo de fuerzas de líneas paralelas corresponde a una fuerza constante en todo el espacio. El campo paralelo admite un potencial en forma de rampa rectilínea (caso de la fuerza de gravedad en un modelo que desprecia la curvatura de la tierra). Las líneas de fuerza brotan en las fuentes de campo y se sumen en los sumideros de campo. En el campo eléctrico las fuentes y sumideros son las cargas positivas y negativas respectivamente. El campo gravitatorio tiene sus sumideros de campo en las masa materiales , metidas en un mar infinito que no requiere fuentes. Fuera de las fuentes o sumideros, o sea en el es4 pacio vacío, se conserva el número de líneas de campo . De allí que a estos campos se los designe como conservativos y a las fuerzas correspondientes “fuerzas conservativas”. Sistemas de fuerzas NO conservativas Vimos que las fuerzas conservativas son desde el punto de vista matemático el gradiente vectorial de una función que asigna a cada punto del sistema un potencial escalar. Hay sistemas que no tienen una respuesta tal que las fuerzas puedan derivarse de un potencial con valor fijo para cada punto del espacio. 4 En una superficie cerrada que no contenga fuentes ni sumideros en su interior entran y salen el mismo número de líneas de campo. Matemáticamente hablando, es nulo el flujo de campo en una superficie cerrada (Véase luego “Ley de Gauss”) FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 47 Si en vez de un resorte elástico que recupera su forma al soltarlo, comprimimos una bola se goma cruda (masa semiplástica), la deformación no estará acompañada de un esfuerzo proporcional a la misma y según el sentido y la velocidad de la deformación impuesta, variará la fuerza en cada punto de la trayectoria de deformación. Por lo tanto tampoco se recuperará todo el trabajo de deformación. Se dice que estos materiales poseen memoria de forma, ya que conservan más o menos en su forma actual la deformación impuesta en el pasado. Otros ejemplos típicos de fuerzas no conservativas son las resistencias al deslizamiento y la rodadura entre sólidos, la resistencia viscosa que presentan los fluídos al movimiento de sólidos en su seno y las fricciones internas a nivel molecular en el interior de los sólidos. El rozamiento o fricción es un fenómeno que se explica a nivel microscópico por la interferencia de las rugosidades superficiales de cuerpos en contacto con movimiento relativo. En gran medida la fuerza tangencial resistente que produce este efecto depende de la presión entre superficies y el estado de éstas. Este fenómeno será estudiado con más detalle al tratar el tema de la estabilidad de sistemas. La resistencia viscosa es proporcional a la velocidad relativa entre sólido y líquido está ligada a la propiedad de los fluídos de trasmitir fuerza tangencial con el movimiento de sus partículas, y que será estudiada al tratar la estructura y propiedades mecánicas de los fluídos. Sistemas que evolucionan con desarrollo de fuerzas resistentes no conservativas transforman el trabajo de dichas fuerzas en energía térmica, que se manifiesta por el aumento de la temperatura de la materia de los sistemas involucrados. En los títulos siguientes ampliaremos este tema. Principio de conservación de la energía - Calor y Termodinámica La transferencia de energía entre sistemas se realiza mediante evoluciones (cambios sucesivos) que afectan a los sistemas dador y receptor. Por ejemplo, al comprimir un resorte con nuestra fuerza muscular, ejercemos una acción sobre el objeto, entregando energía. Ella se transfiere en parte a través del trabajo de la fuerza aplicada al resorte, que se deforma. El fenómeno descripto se realiza en el tiempo y en el espacio, afectando no sólo la forma sino también el estado de los sistemas: nuestros músculos que se mueven a costa de quemar reservas de glucosa, grasas, etc, Estas oxidaciones producen energía muscular que se transfiere y energía térmica que termina disipándose en el ambiente. Mientras tanto el resorte cambia de forma cuando la fuerza ejercida por nuestro brazo lo comprime, reteniendo así energía de configuración. Dependiendo de la mayor o menor velocidad en esta compresión y de la estructura del material, una mayor o FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 48 menor parte de el trabajo entregado se transformará también en calor dentro del resorte, elevando su temperatura. Esa energía térmica generada por fricción molecular en el acero, no contribuye a la deformación y no estará dentro de la energía que el resorte está en condiciones de devolver al distenderse a posiciones anteriores, cuando la fuerza de compresión disminuya. Es un hecho ampliamente comprobado que la energía total al principio durante y al final de la evolución entre dos o más sistemas que intercambian energía se mantiene sin pérdida, aunque puede cambiar de tipo dentro de cada sistema durante la transformación. Consideremos por ejemplo un sistema formado por una gran cantidad de partículas que interactúan entre sí. Si bien en teoría podríamos considerar a cada partícula como un cuerpo independiente, y estudiar su evolución a partir de sus posiciones y velocidades a partir de un cierto instante, en la práctica es ventajoso estudiar al conjunto asignándole propiedades globales y reemplazar las propiedades particulares de cada elemento por promedios estadísticos. Así entonces: La energía potencial V del sistema está dada por el trabajo para llevar el sistema de masa total M a la altura h de su centro de gravedad sobre el plano de referencia (el nivel del mar, por ejemplo, al que se asigna altura cero) V=M.g.h La energía cinética Ec será igual al trabajo de las fuerzas exteriores sobre el conjunto del sistema, que lo acelera desde el reposo hasta la velocidad v (es la velocidad del centro de gravedad) Ec = ½M.v2 La energía interna U de un sistema formado por i partículas de masa m i a velocidades relativas al centro de gravedad vi es la suma de la energía cinética de todos ellos U = ½Σ Σmi.vi2 , y es diferente de Ec = ½M.v2 que es la energía cinética o fuerza viva del conjunto de masa M = Σ mi cuyo centro de gravedad se mueve con velocidad v Se puede plantear entonces así la siguiente ecuación: Energía potencial + Energía cinética + Energía interna = constante V + Ec + U = cte Este principio, de conservación de la energía, junto con el de conservación de la masa se han fusionado en el principio único de conservación de la masa-energía, en virtud de la incorporación de conceptos de electromagnetismo a la mecánica clásica ocurridos a fines del siglo pasado. De este tema ya se ha hablado en este libro y se lo trata extensamente en el libro de óptica. La diferencia entre aplicar el principio integrado de conservación de masa-energía o aplicar los principios de conservación de la masa y de la energía separadamente por el otro, tiene sólamente importancia cuando están en juego grandes velocidades, que no es el caso de los ejemplos de esta sección de la obra. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 49 Cuando se aplica a un sistema que intercambia energía con otro u otros, se puede plantear que la energía perdida por el primero es ganada por el o los otros a través de una transferencia de energía en forma de trabajo L y en forma de flujo calórico o sencillamente calor ∆Q: ∆V + ∆Ec + ∆U = L + ∆Q Queda así definido el calor por exclusión, como una forma de energía en tránsito que NO es trabajo. Esta conclusión del principio de conservación de la energía es el punto de arranque o “primer principio” de la Termodinámica, ciencia que incorpora en las ecuaciones y balances energéticos esta nueva forma de energía en tránsito, el calor. Calor y trabajo tienen unidades de energía. Se puede transformar trabajo en calor, entregando el primero a un sistema no conservativo. El estudio del aprovechamiento del flujo de calor para obtener trabajo llevó al ingeniero militar francés Sadi Carnot en 1820 a plantear por primera vez y cuantificar esta ley inexorable de la Naturaleza: la transformación de calor en trabajo requiere dos sistemas de diferente temperatura o “nivel térmico”: una fuente caliente y una fuente fría. 5 Esa diferencia de nivel junto con el valor absoluto de la temperatura más baja limita el rendimiento de dicha transformación. La incorporación de los principios de termodinámica en todos los capítulos de la física es una necesidad de la que esta obra se hace cargo, para comprender mejor una gran cantidad de temas, especialmente los que se refieren a transferencia de energía e información. Se estará en condiciones de entender mejor el significado del segundo principio después de estudiar sistemas gaseosos y sus leyes. Jugando al billar – Segunda parte Estamos nuevamente en nuestro “Bar–Billares” del barrio, resueltos a estudiar a fondo las leyes físicas del juego. Recordemos que con la igualdad vectorial que se deduce del principio de conservación del impulso m b.v = m b.v1+mb.v2 , no es posible determinar el par de valores que realmente se da en la realidad, entre las infinitas combinaciones de velocidades v1 y v2 cuya suma vale v , . En ese cometido, apliquemos el principio de conservación de la energía 5 La temperatura absoluta es una medida de la energía interna de un cuerpo. Su significado preciso se dará al estudiar sistemas gaseosos. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 50 además del de la conservación del impulso al sistema material que sufre el choque. Choque elástico y plástico Según reconoció Newton en el siglo XVII al estudiar el choque de cuerpos, éstos se deforman durante el impacto. Depende de la elasticidad de los cuerpos involucrados que la energía potencial de deformación sea devuelta totalmente, parcialmente o no se devuelva en absoluto al sistema . Estas tres posibilidades distinguen tres tipos de choque: el elástico, el semi-elástico y el plástico. Coeficiente de restitución La energía que puede obtenerse desde adentro de un sistema de dos masas m1 y m2 a velocidades diferentes v1 y v2 es en general menor que la suma de las energías cinéticas de cada una de las masas, que es la que presenta el sistema para un observador en reposo exterior al mismo. Esto es así ya que acciones desde el interior del sistema no pueden afectar el movimiento del centro de gravedad, que como vimos siempre se mantiene a velocidad constante v0= (m1.v1 + m2.v2) / (m1+m2) (antes, durante y después de la interacción) mientras no actúen fuerzas exteriores. De tal manera, colocándonos en el centro de gravedad del sistema formado por las masas m1 y m2 , cuyas velocidades relativas con respecto a ese punto son (v1-v0) y (v2-v0) respectivamente, podremos extraer una energía interna Ei tal que 2 2 2 2 Ei = ½ m1(v1-v0) + ½ m2(v2-v0) = ½ m1.v1 + ½ m2.v2 - ½ (m1+m2) v0 2 Se ve que la energía aprovechable desde el interior del propio sistema es la suma de las energías cinéticas individuales de cada una de las masas, menos un término (el tercero) que corresponde a la energía retenida por el sistema de masa total M=m1+m2 , que se mueve a la velocidad v0 que posee el centro de gravedad en todo momento. La energía interna Ei puede transformarse en deformación elástica, semi-elástica o plástica. La relación entre Ei después y antes del choque es un número llamado “coeficiente de restitución, que toma valores entre cero y uno: cr= Ei’/Ei para 0<=cr<=1 El coeficiente de restitución cr es nulo cuando Ei’ también lo es, o sea 6 cuando el sistema retiene toda la energía de deformación en su interior . 6 Generalmente en este caso los cuerpos se deforman permanentemente, aumentando su temperatura: se transforma así energía mecánica en calor, que es un tipo de energía interna que no puede volverse totalmente a la mecánica, de acuerdo a lo que enseña en Segundo principio de la Termodinámica. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 51 En este caso el choque es plástico o inelástico. Es el caso de una bola de masilla que queda aplastada al estrellarse contra el suelo. Un coeficiente de restitución unitario corresponde al caso en que la energía Ei’ restituída después del choque sea igual a la inicial Ei. Es el caso del choque elástico. Moléculas gaseosas y otras micropartículas que por su tamaño y naturaleza no pueden retener energía calórica, de rotación o de vibración, interaccionan con choque elástico. Entre estos casos límites, se encuentran los choques en los que la energía restituída es parcial, llamados “semi-elásticos” o “semi-plásticos” , según se ubiquen hacia uno u otro extremo del intervalo. Ejemplo Abandonemos por un tiempo el billar y dediquémonos a otro noble juego: las bolitas. Tomemos una bolita de vidrio de masa m=10 g y soltémosla desde una altura h1=1 m , Veremos que después del rebote en el piso de baldosas no recupera más que una altura h2=80 cm . Explicación: Una energía correspondiente a m.g.(h1-h2) = 0,20 m x 0,010 Kg x 9,8 7 2 m/s = 0,02 J queda atrapada en el sistema bolita/piso en forma de calor . Podemos hacer el siguiente análisis dinámico y energético del fenómeno: La energía del sistema bolita/suelo antes del choque corresponde al trabajo que hicimos para elevar la bolita desde el suelo a un metro de altura, esto es su peso 2 multiplicado por la altura de elevación. Esa energía vale Ei = 0,01 Kg x 1 m x 9,8 m/s = 0,1 J (es energía potencial, o sea de configuración). La bolita llega al suelo con una fuerza viva igual a la energía potencial, o sea 2 ½ ½ Ei = ½ m v = , de donde v = (2.Ei/m) = (2.x0,1/0,01) = 4,47 m/s 2 El tiempo t que tarda en llegar al suelo cumple la relación h1= ½ g . t , de donde ½ ½ t = (2.h1/g) = (2/9,8) = 0,45 s Energía retenida después del choque Er= 0,02J Energía del sistema después del choque Ei’ = Ei-Er = 0,08 J 2 Velocidad inmediatamente después del choque v’ tal que E’i = ½ m v’ , de tal manera ½ ½ v’ = (2. E’i / m) = (2 x 0,08 / 0,01) = 4 m/s Coeficiente de restitución cr= (Ei-Er)/Ei = Ei’/Ei = 0,8 (80%) Choque elástico 7 v1 v2 v1 v m1=m2 (m2/m1)½ .v2 De la bolita pasamos otra vez al billar. Para simplificar el estudio despreciemos la pérdida de energía en el choque, considerando uno elástico, de acuerdo a lo cual la energía cinética de la bola roja en el momento del choque m2/m1.v2 v m1>m2 Una delicada medición acusará un pequeño aumento de temperatura en la bolita y en la zona del piso dónde cayó. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 52 debe ser igual a la suma de las energías cinéticas del conjunto rojo y azul inmediata8 2 2 2 mente después del choque, es decir que ½ mb v = ½ mb v1 + ½ mb v2 , o sea que debe ser v2 = v12 + v22 . Esto significa que el vector v es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos v1 y v2 . En este caso, esos catetos no están determinados, pues su vértice común puede ser cualquiera de los puntos de una circunferencia de diámetro igual a dicha hipotenusa y con centro en su punto medio (ver figura) Si las bolas tuvieran masa diferente m 1 y m2, (que no es el caso del billar), la ley de conservación del impulso nos daría: m1.v=m 1.v1+ m2.v2 [1] que puede escribirse v=v1+ (m 2/m1).v2 [2] En el dibujo de la derecha se toma en cuenta este caso, con m 1>m2 La ley de conservación de la energía aplicada al caso de masas desiguales resulta: ½ m1.v2 = ½ m1.v12 + ½ m2.v22 [3] que puede ponerse en la forma v2 = v12 + [(m2/m 1)½v2]2 [4] según está representado por la figura de la derecha. Choque oblicuo Ahora bien, teniendo en cuenta el principio de conservación del centro de gravedad, equivalente al de conservación de la cantidad de movimiento, Newton redujo el problema del choque oblicuo al del choque recto, tomando como origen de coordenadas el centro de gravedad del sistema, en general en movimiento uniforme, o en particular en reposo. El choque recto se puede referir al eje que une los centros de las masas (que pasa por el centro de gravedad de ambas), transformando el fenómeno plano en unidimensional. Así, las ecuaciones vectoriales se transforman en ecuaciones escalares, reemplazando las velocidades por sus respectivas proyecciones sobre dicho eje. El fenómeno del choque oblicuo para dos masas m1 y m2 que tienen las proyecciones de sus velocidades iniciales v1 y v2 y toman velocidades después del choque de v’1 y v’2 (también tomando sus proyecciones sobre el eje que une las masas) está contenido en las siguientes ecuaciones escala9 res: 8 La igualdad se cumple inmediatamente después del choque, antes de que tenga lugar la acción de las fuerzas de rozamiento de las bolas contra el paño del tapete, de lo contrario deberá agregarse en el segundo miembro la energía correspondiente al trabajo de dichas fuerzas. 9 Nótese que en las fórmulas siguientes no se usa la cursiva para representar las FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 53 m1.v1 + m2.v2 = m1.v’ 1 + m2.v’ 2 , que también puede escribirse m1.(v1 - v’ 1 ) + m2.(v2-v’2 ) = 0 m1 = m2.(v’ 2-v2 ) /(v1 - v’ 1 ) y además, para choque elástico es (m 1.v12+m2.v22) = m1.v’ 12 + m2.v’ 22 [5] La anterior se puede poner en la forma: m1.(v12 - v’12 ) + m2.(v22-v’ 22 ) = m1.(v1 - v’ 1 )(v1 + v’1 ) + m2.(v2-v’2 )(v2+v’2 ) = 0 [6] De [5] y [6], resulta que debe ser (v1 + v’1 ) = (v’2+v2 ) y por lo tanto v1-v2=-(v’1-v’ 2) [7] La [3] significa que las velocidades relativas entre las masas mantienen su valor absoluto y cambian de signo en un choque elástico. Choque plástico Después de un choque perfectamente plástico, es nula la energía residual interna E’i del sistema, o sea: 2 2 Ei’ = ½ m1(v’1-v0) + ½ m2(v’2-v0) = 0 Como las masas y las velocidades al cuadrado son cantidades positivas, que la suma de los dos términos anteriores sea nula implica: (v’1-v0) = 0 y también (v’2-v0) = 0 Estas dos fórmulas requieren que sea v’1 = v’2 = v0 , lo que significa que después de un choque plástico, las masas siguen “pegadas” o fusionadas en una sola con igual velocidad v0 que la del centro de gravedad del sistema. Mecánica de los cuerpos rígidos Concepto de cuerpo rígido Los cuerpos extensos, a diferencia de las masas concentradas en partículas sin dimensión, ocupan un volumen en el espacio y por lo tanto poseen masa distribuída caracterizada por su densidad, o sea por el cociente entre masa y volumen ocupado. Los cuerpos sólidos extensos son en la práctica más o menos deformables por acciones externas. Se entiende por cuerpo rígido a un sólido indevelocidades, ya que éstas son proyecciones escalares de los vectores respectivos sobre el eje que une los centros de las dos masas FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 54 formable, caracterizado por su forma y por la distribución de su densidad, que puede no ser constante (cuerpo de masa no homogénea) . El cuerpo rígido es una concepción ideal a la que pueden asimilarse con mucha aproximación cuerpos sólidos reales muy poco deformables. El cuerpo rígido puede considerarse formado por una aglomeración de gran cantidad de partículas materiales cuyas distancias relativas permanecen invariables ante cualquier acción exterior o interior. Esta concepción “granular” responde en cierta manera a la estructura molecular de la materia. También puede imaginarse un cuerpo rígido como formado por gran cantidad de volúmenes elementales de materia continua de densidad homogénea o no. Llamando mi a las masas elementales y vi a los pequeños volúmenes elementales de densidad δi de los que puede considerarse formado un cuerpo, resulta que la masa total M del cuerpo es la suma de todas las masas elementales mi , de tal manera que : M = Σι= 01...n mi, o también M = Σ vi.δ δ i. mi M = Σ mi Pi-O Pi O Centro de gravedad Origen de referencia Centro de masa de los cuerpos rígidos. En ciertas condiciones, un cuerpo rígido puede reemplazarse por una masa de igual valor que la su masa total, concentrada en un punto llamado centro de masa o de 10 gravedad del cuerpo . Como ya dijimos, el centro de gravedad es un punto de posición O tal que la suma de las distancias (vectores) Pi-O de todos los i=1,2,3...n elementos del cuerpo de masa m i y posición Pi cumplen la igualdad vectorial: Σ mi.(Pi-O) = m1.(P1-O) + m2.(P2-O) + m3.(P3-O) +...+ mi.(Pi-O) +...+ mn.(Pn-O) = 0 De tal manera es, desarrollando lo anterior sale, m1.P1 + m 2.P2 + m3.P3 +...+ mi.Pi +...+ m n.Pn= O. (m1+m2+...+m n) = O . M , de donde O = Σ mi.Pi / M El vector posición O del centro de masas o baricentro de un cuerpo rígido con respecto a un origen de referencia es igual al momento total de primer 10 Por ejemplo cuando se lo considera formando parte de un sistema con otros cuerpos separados entre sí por distancias mucho mayores que las dimensiones respectivas. Así los planetas del sistema solar podrían en ciertos análisis considerarse como masas concentradas en sus respectivos centros de gravedad. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 55 orden Σmi.Pi del cuerpo con respecto a ese origen, dividido por la masa total M. Lo anterior justifica que el baricentro pueda considerarse en una primera aproximación como el lugar representativo de la posición de un cuerpo extenso, ya que si concentráramos toda la masa allí, obtendríamos un sistema de momento de primer orden equivalente al del cuerpo en cuestión. Fuerza viva de los cuerpos rígidos Consideremos un cuerpo rígido animado de un movimiento general cualquiera, que, como vimos oportunamente, puede descomponerse en una traslación y una rotación sucesivas. En base a ello, la velocidad, tomada como cociente entre movimiento y tiempo, podrá también considerarse descompuesta en una velocidad v de traslación y otra de rotación ω alrededor de un eje. Se demuestra fácilmente que la fuerza viva de traslación del cuerpo rígido de masa M como suma de las energías cinéticas individuales de mi masas a la misma velocidad v, es equivalente a la de la masa M concentrada en su centro de gravedad a la velocidad v , o sea Σ ½ mi v2 = ½ M v2 La fuerza viva de rotación es la suma de la fuerza viva de cada uno de los elementos en los que podemos considerar dividido al cuerpo, de masas m i y que están a distancias di al eje de rotación . Cada uno de ellos posee una velocidad tangencial vti=ω ω∧ di y fuerza viva ei = ½ mi .vti2 = ½ m i.(ω ω∧ di)2 = ½ 2 2 ω . m i.di Momento de inercia La fuerza viva total del cuerpo en rotación a la velocidad angular ω resulta pués: 2 2 2 2 Σ ei = Σ ½ ω . mi.di = ½ ω [Σ Σ mi.di ] La sumatoria entre corchetes representa el momento de un momento, es decir un momento de segundo orden: Como está vinculado a la energía almacenada en cuerpos en rotación alrededor de un eje, se lo llama “momento de inercia axial” Momento de inercia con respecto al eje X Jx = Σ mi.di2 Para calcular el momento de inercia es necesario hacer una suma de gran cantidad de términos a través de una operación llamada Integración, en alguna medida contraria o inversa a la diferenciación. A continuación damos un ejemplo, para los que conocen algo de cálculo. Los que todavía no ma- FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 56 nejan las operaciones de diferenciación e integración, deben creer en el resultado, o mejor ponerse a estudiar cálculo diferencial para juzgar por sí mismos. Cálculo del momento de inercia de un cilindro de radio R y altura L con respecto a su eje dri ri R L Lo consideraremos formado por capas cilíndricas de igual pequeño espesor dri , cada una de ellas de masa mi =δ δ vi = δ.2π π L ri dr Cada una de estas capas elementales está a una distancia ri del eje del cilindro, siendo entonces J = Σ mi.ri2 = 2πδL ∫r=0 r=R ri 3 dr = 2.π.δ.L.R4/4 = ½ π.δ.L.R4 , pero π.δ.L.R2 = M , de donde J = ½ M.R2 Las unidades en que se mide el momento de inercia son Kg/m3.m.m4 = Kg.m2 Crónicas del CNBA Corre una tarde de junio del año 1952. El célebre profesor Adolfo Cattáneo prende su infaltable cigarrillo negro y lanzando bocanadas de humo, propone a sus alumnos de tercer año nacional el siguiente.... Problema Supongamos que el alumno Rey se larga con un carrito de 4 ruedas por la barranca de la calle Urquiza, en Vicente López, que tiene h=15 m de altura. El carrito pesa 20 Kg sin las ruedas, que son unos discos macizos de acero de R=10 cm de diámetro y L=5 cm de espesor montados sobre cojinetes a bolilla. El vehículo fué construido en los talleres del padre de vuestro condiscípulo Manhard (Carlos Manhard se revuelve incómodo en su asiento, pensando en que puede ser llamado al frente para resolver el problema) La pregunta es: ¿A qué velocidad cruzan la bocacalle 15 m más abajo? Despreciar pérdidas de energía por rozamiento en cojinetes, pérdidas por resistencia a la rodadura y resistencia del aire. Datos adicionales: Masa del alumno Carlos Rey = 52 Kg 3 Densidad del acero δ =7900 Kg/m 4 Momento de inercia del cilindro de radio R y altura L respecto a su eje J = ½ π.δ.L.R π.δ Solución - A ver Usted, mi estimado alumno Fernández, que fué el que animó a Rey a emprender este arriesgado viaje, pase y resuelva el problema – dijo A.C. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 57 Roberto Fernández Prini, desarrolla el problema diciendo: La energía potencial del sistema carrito/ocupante de masa M se transforma al bajar una altura h en energía cinética de traslación a velocidad v más energía de rotación de las 4 ruedas de momento de inercia total JT = 4J que girarán a una velocidad angular ω = v/R (suponiendo que se adhieren perfectamente al pavimento, es decir que no patinan) 2 2 2 Así podemos poner M.g.h = ½ M v + ½ JT v /R de donde v ( ½ M + ½ JT / R ) = M.g.h , o también v = √ 2.g.h / ( 1 + JT / M / R ) 2 2 2 Masa de cada rueda: volumen por densidad : π .R .L.δ δ = 3,14 x (0,1) x 0,05 x 7900 = 12 Kg Masa total del vehículo más ocupante M = 4x12 + 20 + 52 = 120 Kg 3 Momento de inercia de una rueda de acero (δ δ =7900 Kg/m ), de radio R=0,1 m y espesor L=0,05 m, con respecto a su eje de rotación. 4 2 J = π x 7900/2 x 0,05 x (0,1) = 0,062 Kg.m Momento de inercia de las cuatro ruedas (¿Se pueden sumar los momentos de inercia? – La respuesta es SI, pero dejamos a los alumnos el porque) 2 JT = 4.J = 0,248 Kg.m 2 2 ½ 2 ½ Reemplazando en la fórmula anterior resulta v = (2.g.h) / (1+JT/M/R ) = √ 300 / √ (1+0,25/120/0,01) = 17,32 /1,1 = 15,76 m/s = 56,7 Km/h = Aquí el profesor A.C. hace notar: - Si Rey se asusta y bloquea las ruedas con el freno, podría ocurrir que el carrito patinara en vez de rodar. Como el tiempo está helado, puede que las ruedas se deslicen sobre la escarcha de la calle sin rodar y sin rozamiento apreciable, como en el caso de un patín de hielo. Así no hay energía almacenada en el giro de las ruedas... En vez de terminar a la velocidad recién calculada por Fernández,... terminará más ligero, a la velocidad de caída libre v = √ (2.g.h) = 62,3 Km/h -¿Qué haría para ganarle a Rey, alumno Buntinx?- Preguntó A.C. Carlos Buntinx, contesta de inmediato: 2 2 - Fabricaría un carrito diseñado para minimizar JT/M/R = 2 π.δ.L.R π.δ / M , es decir con ruedas más livianas (de aluminio, con δ = 2500), 2500 de pequeño radio y menor espesor. -Ajá – dijo A.C. - ¿Y no le conviene aumentar M? - ¡Seguro!- dijo Buntinx - Lo pongo al Sr. Silvetti de piloto. (El querido “Gordo” Silvetti, profesor de geografía, pesaba por entonces bastante más de 100 Kg) Cuerpos rígidos sometidos a fuerzas Vimos que un cuerpo extenso (de masa distribuida en un volumen) puede considerarse como de estructura granular o discreta, formado por un gran número de partículas. Este modelo coincide con la hipótesis molecular. El grado de cohesión entre partículas determinará su estado (gaseoso, líquido o sólido, de menor a mayor) También puede considerarse un cuerpo extenso como de estructura conti- FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 58 nua, con masa distribuída y densidad constante o variable punto a punto. Un cuerpo extenso en el que la distancia entre puntos, elementos o partículas que lo forman permanece invariable frente a cualquier acción es un cuerpo rígido, aproximación aplicable a cuerpos reales poco compresibles y de gran cohesión interna. A diferencia de lo que ocurre con las partículas materiales, sobre las que sólamente tiene sentido imaginar fuerzas aplicadas en su punto de ubicación, sobre un cuerpo extenso pueden imaginarse fuerzas ya sea concentradas en cualquier punto de su masa, ya sea distribuídas en una línea o superficie perteneciente al volumen del cuerpo. Interesa siempre definir el lugar de aplicación de las fuerzas que pueden actuar sobre cuerpos extensos en general y sobre cuerpos rígidos en particular, porque los efectos dependen del lugar en cuestión. Resultante de un conjunto de fuerzas aplicadas a un cuerpo rígido Para poder resolver los problemas en los que existen diversas fuerzas aplicadas a un cuerpo extenso, se debe tener presente que dichas fuerzas son magnitudes vectoriales definidas por su intensidad, dirección y sentido, y además por el punto de aplicación. Como el cuerpo rígido es indeformable por esfuerzos internos, cualquier fuerza aplicada puede trasladarse a lo largo de su recta de acción sin que su efecto varíe, ya que la eventual compresión o tracción derivada del des11 plazamiento no se traduce en ninguna deformación . En cambio, aún en cuerpos rígidos, no se puede trasladar paralelamente la recta de acción de una fuerza sin alterar el sistema, el cual rotaría por efectos de esa traslación lateral a menos que se compensara el efecto mediante un par de fuerzas, o cupla, como luego se verá. Problema general en el espacio Fuerzas en el espacio 11 El estudio de cuerpos sometidos a fuerzas en el espacio de tres dimensiones puede reducirse en general problemas en dos dimensiones, proyectando el sistema de cuerpo y fuerzas sobre planos representativos. Por ejemplo, de una estructura espacial como una torre, pueden hacerse tres estudios a través de sendas proyecciones, Si el cuerpo es “duro” (un automóvil) da lo mismo tirar que empujar, en cambio si es “blando” (un colchón) la tracción lo estira y la compresión lo aplasta. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 59 dos en planos verticales (ancho y profundidad) y una tercera en planta. Los resultados se integran luego a tres dimensiones. Problema en el plano Por ahora consideremos un cuerpo sometido a un conjunto de fuerzas coplanares (que están todas en el mismo plano), que pueden tener cualquier dirección y sentido, tal cual se representa en la figura. La intensidad y la dirección de la resultante R de las cuatro fuerzas F1, F2, F3 y F4 se obtiene sumando sus vectores representativos colocándolos uno a continuación del otro. Sin embargo, la recta de acción sobre la que debe estar esa resultante para que su acción sea equivalente a la de las cuatro fuerzas en conjunto, no queda determinada con este procedimiento de suma vectorial. Método del paralelogramo Isaac Newton dió la pauta de cómo ubicar la resultante de dos fuerzas concurrentes en un punto a través de la regla del paralelogramo, que dice: “La resultante es la diagonal del paralelogramo cuyos P lados son las fuerzas respectivas”. Esta regla S es consecuencia de imaginar las acciones de F1 f0 F1 cada fuerza repartidas en F2 pequeños efectos que se R12 F3 adicionan alternativaf1 mente uno después de F3 F 2 f2 otro, según el principio f3 F4 Q de superposición. R R34 O f4 En la figura se ven las resultantes parciales de F1 y F2 en R12 , y la de F3 y F4 en R34 . Nótese que para aplicar la regla del paralelogramo es necesario llevar a concurrencia en un punto cada fuerza del par mediante sendas traslaciones de sus puntos de aplicación sobre las respectivas rectas de acción. Polígono Funicular R F4 Sumadas a su vez las resultantes parciales R12 y R34 aplicando la regla del paralelogramo, se obtiene la resultante total R aplicada en el punto P. El hecho de que P esté fuera del cuerpo no tiene importancia por tratarse de un cuerpo rígido, en el que es equivalente aplicar la fuerza en cualquier punto de su recta de acción PQ (por ejemplo en S) Método del polígono funicular En la figura se ve además otro procedimiento para obtener la resultante de un sistema de fuerzas coplanares que pueden ser concurrentes o no, es FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 60 decir que algunas o todas pueden ser paralelas entre sí. No es éste el caso del método del paralelogramo, sólo aplicable al caso de fuerzas no paralelas en el plano, esto es concurrentes en un punto. El método, llamado del “polígono funicular” por lo que explicaremos luego, consiste en trabajar sobre el polígono de fuerzas, eligiendo un punto O (llamado polo) desde el que se trazan rectas hasta los extremos de los vectores representativos de las fuerzas aplicadas al cuerpo rígido. Quedan así formados una serie de triángulos cuyos lados con vértice en O representan dos componentes cuya suma es el vector representado por el tercer lado. Por ejemplo F1 queda descompuesta en las componentes f0 y f1. La fuerza F2 queda descompuesta en –f1 (ojo al signo) y f2. De tal manera F2=f2-f1. Y así sucesivamente hasta llegar a la última fuerza, en este caso F4, descompuesta en –f3 y f4. Resulta claro que f0 + f4 es la resultante R del sistema Conociendo su dirección y la de las cinco fuerzas auxiliares f0, f1, f2, f3 y f4 por medio de la construcción anterior, se hace corresponder al polígono de fuerzas una línea quebrada (poligonal) cuyos lados son respectivamente paralelos a las fuerzas auxiliares. Esta poligonal se traza sobre las rectas de acción de las fuerzas en el plano. La prolongación del primero y último lado de la misma se cortan en un punto Q de la recta de acción de la resultante. ESQUEMA DE UN DINAMÓMETRO DE RESORTE Justificación del método del polígono funicular Dinamómetro Un resorte alojado en un tubo, con un estilo solidario que pueda marcar su alargamiento sobre un escala lineal es un instrumento apto para medir fuerzas. Es un dinamómetro de resorte. Se lo gradúa en Newton o en Kg, colgándole pesos conocidos. F F 10 9 8 7 6 5 4 3 1 0 Newton Experiencia: Con varios de estos instrumentos y un hilo resistente se puede armar un conjunto como el de la figura. Allí se ve que el hilo adopta F1 A la forma del polígono funicuf0 F2 B f1 lar. Precisamente, funicular f2 R deriva del latín funiculum: F 3 O f0 cuerda o cable. Es que un f3 cable o cuerda se tensa por F4 f4 f4 la fuerza a la que está somef1 f2 tido, indicando por lo tanto su F1 f3 dirección. F4 F2 Si los dinamómetros están bien calibrados, marcarán fuerzas proporcionales a los vectores dibujados en el F3 R FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 61 polígono de fuerzas. Moviendo los puntos A y B de amarre del hilo al cuerpo, cambiarán las direcciones de f0 y f4 y el polígono funicular se corresponderá con un dibujo con el polo O en otro lugar. Momento de una fuerza con respecto a un punto Se llama momento de una fuerza F con respecto a un punto O del espacio, al producto vectorial M = F∧ ∧ d entre el vector representativo de la fuerza y el de la distancia entre el punto de aplicación de la misma y el punto de referencia d = OF-O , punto que no tiene necesariamente que pertenecer al cuerpo sobre el que la fuerza está aplicada. El momento de una fuerza es una entidad creada y usada para representar el efecto de la fuerza sobre un punto del cuerpo. En el párrafo siguiente se verá su importancia al considerar la traslación de la recta de acción de una fuerza. El momento de una fuerza depende, de acuerdo a su definición, de la fuerza y la distancia al punto de referencia. Averiguar el momento de una fuerza con respecto a un punto (tomar momentos, como se dice en la jerga de los especialistas) supone considerar el efecto de esa fuerza sobre el cuerpo en la que está aplicada como si éste tuviera libertad de movimiento alrededor de aquél. Casos en que el momento de una fuerza con respecto a un punto es nulo M| sen (F^d) (F^d) Es importante tener en cuenta cuándo es nulo |M|=F.d. . el momento, porque indica alguna de las conF diciones siguientes: M • El momento de una fuerza con respecto a d cualquiera de los puntos de su recta de acción es nulo. Esta propiedad es eviO dente, ya que en ese caso el factor disd’ = d. sen(F^d) tancia d es nulo. M OMENTO DE UNA FUERZA F CON RESPECTO • También es nulo el momento cuando la PUNTO O resultante es nula (o sea el otro factor del AL . producto vectorial). No tiene sentido estudiar el caso de que ambos sean nulos, ya que si no hay resultante, no puede plantearse la distancia de su recta de acción • De acuerdo a lo que sabemos de producto vectorial, podría ser nulo cuando los vectores son paralelos. Se ve en la figura que los vectores d y F están “enganchados” uno a continuación del otro. Así que la única manera de que sean paralelos es que coincidan sus rectas de acción, lo que reduce este caso al primero. Momento y Trabajo El momento es una magnitud vectorial, cuya unidad es fuerza por distancia. Por definición de producto vectorial su módulo resulta ^ ^ |M M | = | F ∧ d | = F.d sen (F d) = F.d’ , para d’ = d.sen (F d) , que es la distancia de la recta de acción de la fuerza al punto O, con respecto al cual se FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 62 considera el momento El momento de una fuerza no debe confundirse con trabajo T de una fuerza, ^ que como ya viéramos es un escalar definido por T = F.d = F.d cos (F d) Trabajo tiene unidades de energía, y es sólo parecido desde el punto de vista dimensional al momento. La distancia en aquél es el camino recorrido por la fuerza, mientras que en el caso del momento es la distancia fija al punto de referencia. Momento de un sistema de fuerzas Por ser el momento una cantidad vectorial, el momento total de un sistema de fuerzas es la suma de los momentos de cada una de las fuerzas con respecto al punto considerado. Si tenemos en cuenta que la resultante R de un sistema debe ser equivalente a todas las fuerzas, su momento M R con respecto a cualquier punto debe ser igual a la suma de momentos de cada una, o sea al momento total. Es decir: M i = Fi ∧ di Momento de una fuerza Fi Momento de todas las fuerzas M T= Σ M i = Σ Fi ∧ di Momento de la resultante M R = M T = Σ Fi ∧ di = R.∧dR La distancia vectorial dR representa la posición o punto de aplicación de la resultante R, y como ésta es la suma de las fuerzas R = Σ Fi , de la tercera ecuación sale: Σ Fi ∧ di = (Σ Fi ) ∧ dR La igualdad anterior puede escribirse tomando módulos de los vectores en ambos miembros. Se debe recordar que los momentos de fuerzas coplanares son paralelos, ya que todos son perpendiculares al plano, por lo que el módulo de su resultante es la suma de los módulos de cada uno de los momentos. Además téngase presente que la distancia de la recta de acción de la fuerza ^ al punto considerado vale d’=d.sen(F d) (ver figura de la página anterior) Así resulta que |Σ Σ Fi ∧ di | = |(Σ Fi ) ∧ dR | y también Σ Fi .d’i = d’R . Σ Fi de donde d’R = Σ Fi .d’i / | Σ Fi | Es decir que la distancia de la recta de acción de la resultante al punto con- FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 63 siderado es igual al momento de primer orden de todas las fuerzas dividido la resultante de todas ellas. Por supuesto que si el punto desde el cual se toman momentos pertenece a la recta de acción de la resultante es d’R = Σ Fi .d’i =0 Traslación de la recta de acción de una fuerza - Cupla Vimos que el punto de aplicación de una fuerza sobre un cuerpo rígido puede trasladarse a lo largo de su recta de acción sin que su efecto varíe. En cambio el desplazamiento paralelo d de una fuerza F fuera de su recta de acción cuando está aplicada sobre un cuerpo cualquiera, aunque sea rígido, no puede hacerse sin que cambie el efecto que inicialmente tenía sobre éste. Para entender el efecto de esa traslación, pueden considerarse aplicadas en el punto donde se quiere trasladar, dos fuerzas iguales y contrarias cada una del mismo valor a la considerada, que lógicamente tienen resultante nula. Este cambio, que no afecta al -F sistema siempre que se trate de A un cuerpo rígido, nos permite ver A que la traslación de una fuerza B F B requiere la aplicación adicional de F F un par de fuerzas de igual magnitud y sentido contrario cuyas rectas de acción están precisad mente a una distancia igual al desplazamiento d considerado. Momento de una cupla Un cuerpo rígido con una fuerza F aplicada en el punto A Un par de fuerzas o cupla puede es equivalente al mismo cuerpo con esa fuerza F caracterizarse por una magnitud trasladada al punto B más un par de fuerzas o cupla de ∧d F –F cuyo momento vale M = F∧ igual al producto vectorial de la traslación fuerza por la distancia, es decir M = F∧ ∧ d . Esta magnitud coincide con la suma de los momentos de primer orden de las dos fuerzas del par, tomadas con respecto a cualquier punto O del espacio, perteneciente o no al cuerpo. M =F.d1-F.d 2=F(d1-d2)=F.d O d2 F d2 M =F∧ ∧d d1 d1 d -F En la figura adjunta no se ha representado el vector momento M , que de acuerdo a la convención usada en esta obra para el producto vectorial, debería ser uno perpendicular al plano del dibujo. En cambio se ha indicado mediante una flecha curva el efecto de rotación que el par de fuerzas produciría en el cuerpo si se dejara librado a su acción. La fórmula escalar anotada en la figura |M M | =F.d es válida además de la expresión vectorial, FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 64 al ser en este caso particular los factores perpendiculares entre si. De lo anterior surge claramente que el momento de una cupla es igual en todos los puntos del plano. En cambio el momento de una fuerza varía con respecto al punto desde el cual se toma. Cuando un conjunto de fuerzas coplanares presenta un momento M invariable con respecto a cualquier punto, es porque no es reducible a una sola fuerza resultante. En cambio es equivalente a un par de ellas opuestas, iguales y paralelas, es decir una cupla, cuyo momento vale M Desde el punto de vista práctico, una fuerza muy pequeña (despreciable) con respecto a un punto muy alejado representa aproximadamente una cupla, ya que su resultante es aproximadamente nula mientras que su mo12 mento no lo es. Composición de fuerzas paralelas aplicadas al cuerpo rígido Con el método del polígono funicular, visto antes, se puede hallar la resultante cualquiera sea la disposición de las fuerzas en el plano y por lo tanto también para fuerzas paralelas. En este caso particular, como la resultante es equivalente a todas las fuerzas aplicadas una a continuación de la otra a lo largo de la recta de acción, si trasladamos paralelamente cada una de las fuerzas sobre dicha recta (puntos gruesos en la figura), deben anularse todos los momentos correspondientes a cada traslación. Esta condición es necesaria para obtener un sistema equivalente al primitivo, d d sin momento M . Refiriéndonos d a la figura, lo anterior se resume en la siguiente ecuación R vectorial: 1 2 3 Σ Fi ∧ di= 0 F [1] F F F F Donde los vectores d son las R distancias correspondientes de d d cada fuerza al punto de aplicaComposición de fuerzas paralelas ción de la resultante. Dado que las fuerzas son paralelas, la anterior se puede reemplazar por la ecuación escalar: 1 4 2 5 3 4 5 12 El producto de una cantidad infinitamente pequeña por otra infinitamente grande no es nulo ni infinito: toma un valor que depende de cómo tienden a cero e infinito respectivamente sus factores. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 65 ΣFi.di= 0 [1 bis] en la que los signos de las distancias escalares d entre recta de acción de la fuerza y la resultante, son positivos o negativos según se midan hacia la derecha o hacia la izquierda de la fuerza. También puede considerarse que Fi.di es positivo o negativo según tienda a hacer girar el sistema en contra o a favor del reloj. Así, en la figura F5.d5 es positivo, mientras que F1.d1 es negativo Por otra parte, el valor de la resultante R debe ser igual a la suma vectorial de todas las fuerzas, es decir: Σ Fi = F1+F2+F3+F4+F5 = R [2] Por ser fuerzas paralelas, la anterior se reduce a la igualdad escalar: Σ Fi = F1+F2+F3+F4+F5 = R [2 bis] La [1 bis] y la [2 bis] significan que se puede reemplazar un conjunto de fuerzas paralelas que actúen sobre un cuerpo rígido, con una resultante cuya intensidad sea igual a la suma aritmética de las intensidades de todas las fuerzas, colocada sobre una recta paralela con respecto a la cual será nulo el momento de primer orden Σ Fl .dl Fuerzas concentradas y distribuídas Hasta ahora hemos considerado fuerzas aplicadas en un punto de un cuerpo rígido, pensando en una fuerza concentrada sobre una partícula material. Por más que las acciones sobre cuerpos extensos se pueden pensar como fuerzas concentradas sobre ciertas partículas constitutivas del mismo, también es útil considerar a veces otro modelo en el que las acciones se representan por fuerzas distribuídas en una zona extensa (línea o superficie) del cuerpo. Por ejemplo, en primera aproximación el peso del programador sobre el asiento puede considerarse que se ejerce a través de una PRESIÓN DEL PROGRAMADOR SOBRE fuerza concentrada en el medio de la tabla del EL ASIENTO Y SOBRE EL PISO banco. Es más ajustado pensar en dos fuerzas paralelas en cada glúteo, o mejor aún una presión distribuída sobre la superficie de contacto del cuerpo sobre el asiento y los pies en el suelo. En el dibujo, las zonas más oscuras corresponden a mayor presión. La presión del viento sobre un cartel publicitario, la fuerza de la explosión en un cilindro de un motor sobre el pistón y aún el peso de el cuerpo sobre un patín de hielo se representan mejor con fuerzas distribuídas sobre las superficies o líneas en las que actúan. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 66 Esta mejor aproximación, no indispensable en cuerpos rígidos, es de rigor cuando se consideran los efectos de las acciones sobre cuerpos deformables, ya que en éstos la presión produce una deformación local proporcional a la misma, como veremos al tratar la mecánica de los cuerpos sólidos elásticos. El concepto de fuerza, masa o en general cualquier magnitud distribuída en un cuerpo, se entiende pensando primeramente en la magnitud concentrada en un punto representativo de todo el cuerpo, y luego considerando al cuerpo formado por un conglomerado de pequeñas partículas a las que se aplica el mismo criterio. Llevando al límite ese proceso mental, se puede llegar a pensar que la magnitud concentrada es tan chica que lo que interesa es el cociente entre el valor pequeñísimo de esa magnitud y el valor también minúsculo de la región del cuerpo a la que pertenece. Por ejemplo, la densidad en un punto de un cuerpo es el límite del cociente entre la masa y el volumen cuando consideramos a éste infinitamente pequeño en una región que contiene al punto considerado. Una presión resulta igualmente de considerar el cociente entre fuerza y superficie, cuando ésta tiende a cero. La fuerza por unidad de longitud que ejerce el filo de un patín sobre el hielo es igual al peso del patinador divido la longitud de la arista del patín. Densidad, presión y peso por unidad de longitud son magnitudes distribuídas aplicables cuando se considera a la materia formada por una sustancia continua, sin granos o discontinuidades. Cuando se adopta el modelo de cuerpo continuo, la fuerza concentrada es una aproximación para representar una gran presión ejercida en una superficie muy pequeña, como la que ejercen las finas patas del banco donde está sentado el programador. La adopción de modelos distribuídos o concentrados está en general aconsejada por la escala o grado de detalle que pretendemos dar a la descripción y estudio de los fenómenos. Por ejemplo. una cadena colgada de los extremos puede estudiarse como tal, con eslabones independientes sobre los que actúa un peso concentrado, o como una cuerda o cable de masa distri13 buída en una línea: la elección depende de la cantidad de eslabones . 13 Una cuerda o hilo puede considerarse a su vez como una cadena de infinidad de pequeños eslabones de fibras entrelazadas. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 67 Gravedad Hemos visto que la variación de la cantidad de movimiento de los cuerpos se asigna a la acción de fuerzas, aplicadas por contacto con otro cuerpo, como en el caso del choque, o por empuje o tracción desde otro sistema a través de un vínculo (la mano que empuja un objeto, el cable que tira del ascensor, etc.). Sin embargo, la fuerza más común que es el peso que experimentan los cuerpos, esa fuerza que los impulsa a caer contra la tierra, se ejerce sin la intervención de un vínculo o medio material intermedio entre objeto y tierra. Es una acción a distancia, aparentemente ejercida desde la tierra sobre toda la materia. Se la llama fuerza de gravedad. La gravedad o atracción gravitatoria se puede estudiar en escala terrestre como la fuerza que aparece sobre todos los objetos, dirigida verticalmente hacia abajo y que es proporcional a la masa a través de una constante que tiene lógicamente dimensiones de aceleración. Es la “aceleración de la gravedad”, representada por la letra g. La experiencia demuestra que g varía con la altura y con la posición en el planeta: no vale lo mismo en Buenos Aires que en Sucre. No vale lo mismo en los polos que en el ecuador, ni en la cima del Aconcagua que a nivel del mar. Pronto veremos por qué. Sin embargo, esas variaciones son prácticamente muy pequeñas a escala terrestre, y en todas las aplicaciones será una aproximación suficiente tomar a g = 9,8 m/s2 e incluso a veces redondear g = 10 m/s2 Peso Así, sobre un cuerpo de masa m está aplicada una fuerza, llamada peso, igual a P = m.g Si esa fuerza no se equilibra con una reacción contraria de algún objeto o vínculo unido a tierra (columna, soporte, viga, etc.) el cuerpo cae con una aceleración igual a P/m = g , llamada por eso “aceleración de la gravedad” Por efectos del peso, los cuerpos caen con movimiento acelerado exclusivamente de traslación, verticalmente hacia abajo. El peso puede ser considerado como resultante de fuerzas paralelas elementales proporcionales a su densidad aplicadas en cada porción o partícula constitutiva del cuerpo, o lo que es equivalente en el caso de cuerpos rígidos, una única fuerza proporcional a la masa total del cuerpo aplicada en un punto de la resultante de esas fuerzas paralelas, llamado “centro de masas, centro de gravedad o baricentro” FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 68 Centro de gravedad Llamado también centro de masas o baricentro, el centro de gravedad es el punto donde puede considerarse aplicado el peso de un cuerpo rígido para obtener una acción equivalente a la de la gravedad, o la masa para 14 obtener una acción equivalente a la fuerza de inercia. Se determina fácilmente el centro de gravedad de un cuerpo rígido suspendiéndolo de dos puntos diferentes: Las verticales trazadas desde los puntos de suspensión se cortan en el centro de gravedad. O DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE GRAVEDAD O BARICENTRO En efecto, cuando se suspende un cuerpo con libertad de rotación alrededor de un punto, la fuerza necesaria para sostenerlo forma con el peso una cupla hasta que las dos rectas de acción coinciden en la vertical. Repitiendo el procedimiento desde otro punto, la nueva vertical corta a la primera en el centro de masas o baricentro. En el dibujo se ve un cuerpo de dos dimensiones (una chapa) cuyo centro de masas está afuera del propio cuerpo. La determinación del centro de gravedad se puede resolver geométricamente si el cuerpo en cuestión tiene densidad constante en todo su volumen. En tal caso, cada volumen elemental en que puede ser descompuesto tendrá un peso proporcional a su extensión. Por ejemplo, el centro de gravedad de un arco de alambre homogéneo, se puede encontrar dividiéndolo en pequeños arcos iguales. Considerando que dos de ellos tienen un centro de gravedad situado en el punto medio de la recta que los une, se reemplaza el cuerpo por otro formado por la mitad de los elementos originales colocados en los centros de CENTROS DE MASAS DE ALAMBRES HOMOGÉNEOS gravedad de cada par. Así sucesivamente, se tiende a un único punto, que es el centro buscado. Ley de la gravedad Se dice que Sir Isaac Newton se inspiró en la caída de una manzana para plantear su famosa ley de gravitación. Es bien probable que así sea. Newton fué capaz de intuir que la caída de una manzana con el fondo de la luna llena que se pone en el horizonte matutino, representan dos efectos de una 14 Un cuerpo deformable tiene un centro de masas que cambia de posición en cuanto se lo somete a esfuerzos. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 69 misma causa. Manzana y luna caen atraídas por la tierra con velocidades paralelas. La primera choca con el suelo y la segunda no lo hace pués su trayectoria no corta a la superficie terrestre. Si pudiéramos lanzar la manzana con fuerza prodigiosa “afuera” de la tierra, caería como la luna, más allá del horizonte. La trayectoria cerrada u órbita de la luna alrededor de la tierra indica que existe un movimiento central (ver página 22), con aceleración dirigida hacia la tierra. La magnitud de esa aceleración se deduce de la trayectoria aproximadamente circular que describe nuestro satélite, de velocidad angular ω = 2π π/T con 15 T = 27,3 días = 2,36x106 s , de donde -6 ω = 2,66x10 rad/s El hecho de que la órbita sea estable, o Isaac Newton en la quinta de Lincolnshire, sea que la luna no escape o se precipite observando la caída de sobre nosotros, indica que existe una fuerla manzana za de atracción igual a la masa de la luna multiplicada por la aceleración centrífuga del movimiento. Por lo ya estudiado sabemos que la aceleración centrífuga vale ac = ω2.R , con R = 384x106 m (radio de la órbita de la luna), de donde ac = 2,72 x 10–3 m/s2 Este valor es la aceleración de la gravedad a la distancia que se encuentra la luna, o sea a 384000 Km. Es evidente que la aceleración disminuye con la distancia a la tierra, ya que aquí vale 9,8 y allá vale g/ac = 3596 veces menos. Para averiguar la relación entre gravedad y distancia, Newton comparó este número con la relación entre distancias respectivas. La aceleración g = 9,8 m/s2 se experimenta sobre la tierra, a una distancia igual al radio de nuestro planeta (6400 Km), tomada desde el origen del movimiento central, o sea desde el centro de gravedad de la tierra. En la luna, a 384000 Km de distancia (60 veces más) la gravedad es 3600 veces menor. La relación entre 60 y 3600 es clara: el segundo es el cuadrado del primero. Por lo tanto, la fuerza de gravedad disminuye con el cuadrado de la distancia. En general, a la distancia d del centro de la tierra (de radio R), la gravedad 2 2 vale g.R /d 15 Como se sabe, la luna completa su ciclo en aproximadamente cuatro semanas, tiempo en el que da una vuelta completa a la tierra. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 70 La fuerza sobre un cuerpo de masa m situado allí, valdrá F = m.g.R2/d2 Por el principio de acción y reacción, la fuerza que ejerce el cuerpo de masa m sobre la tierra valdrá igualmente F , igual al producto de la masa de la tierra M por la aceleración creada por el cuerpo de masa m, gravedad superficial g’ y radio r , de manera que F = M.g’.r2/d2 Comparando ambas fórmulas resulta que M g’ r2 = m.g.R2 , de donde g.R2/M = g’.r2/m Esta relación entre gravedad superficial multiplicada por radio del cuerpo al 16 cuadrado y dividido su masa es una constante independiente del cuerpo, llamada constante de gravitación universal kG. Reemplazando los valores para la tierra, de masa M = 5,98 10 24 Kg y radio R = 6400000 m resulta kG = 9,81 m/s2 . 64000002 m2/ 5,98.10 24 Kg = 6,72.10-11 m3/Kg/s2 Multiplicando y dividiendo por m la fórmula F = M.g’.r2/d queda F = M m. (g’.r2/m) / d2 = kG M.m/d2 En base a la fórmula anterior Newton enunció la ley de gravitación afirmando que “todo pasa como si los cuerpos se atrajeran con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa” Gravedad en la superficie de un cuerpo Para cuerpos esféricos de radio r y densidad constante δ resulta que su masa vale m = 4/3 π r3 δ , de donde kG = g’ r2/m = g’/(4/3 π r δ) = g’ 3/4/π π /(r.δ δ ) = 0,2387 g’/(r δ) Se deduce de la anterior que la gravedad superficial g’ es proporcional a la densidad y al radio del cuerpo. 17 Si la tierra fuera una esfera de radio R = 6378 Km y densidad constante igual a su masa dividida el volumen, resultaría: δ = M/(4/3 π R3) = 5.98.1024 kg / 1,09.1021 m3 = 5502 Kg/m3 16 Se supone un cuerpo esférico. Para una forma cualquiera habrá que usar el radio de la esfera de igual material e igual peso. 17 La tierra no es una esfera perfecta: es ligeramente achatada en los polos. Tampoco tiene densidad constante ni es homogénea: su núcleo es más denso que la corteza y superficialmente mares y continentes tienen diferente densidad. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 71 y para iguales dimensiones y peso, debería tener una gravedad superficial de g = 4.π/3.kG.R.d = 9,808 m/s2 Alcance de la ley de gravitación Vimos que en base a consideraciones astronómicas, Newton dedujo hace trescientos años la ley F = M m. (g’.r2/m) / d2 = kG M.m/d2, que expresa la fuerza de atracción que existe entre dos cuerpos de masa M y m separados por la distancia d ¿A qué distancia se refiere la fórmula?. En su deducción se tuvieron en cuenta masas muy alejadas (tierra y luna) comparadas con sus dimensiones. Esa relación pequeña entre tamaño y distancia (R/d=6400/384=1/60) hace poco relevante la forma de tomarla (entre centros de gravedad o entre zonas más próximas de los cuerpos). La idea es que la ley es aplicable a masas concentradas en pequeñas dimensiones comparadas con las distancias que las separan. Se demuestra que si las masas no son esféricas y homogéneas, y tienen una extensión importante respecto a la distancia que las separa, el efecto gravitatorio existe, pero la fórmula no es aplicable en forma estricta. En teoría se puede plantear el problema dividiendo a los cuerpos en pequeñas porciones y considerando la suma de las interacciones gravitatorias entre estas pequeñas masas elementales separadas por distancias comparativamente grandes. Este método fué desarrollado por Isaac Newton por medio de un procedimiento que dió origen al moderno cálculo infinitesimal. Fuerzas a distancia – Campo y potencial gravitatorio Las acciones gravitatorias se estudian con ventajas a partir de la teoría del campo y potencial, ya esbozada en la parte de esta obra que trata de la energía potencial, y que ahora ampliaremos. La gravedad, las fuerzas entre cuerpos electrizados y las atracciones y repulsiones magnéticas son las manifestaciones más comunes de fuerzas a distancia, es decir esas acciones que se manifiestan sin la intervención de un medio material que sirva para “empujar” o “tirar” de los cuerpos. Sin la intención de explicar el porqué de estos efectos a distancia, sino más bien con la idea de describir el “cómo” de la ocurrencia de estos fenómenos, es que se imagina a las masas en el caso de la gravitación, a los cuerpos cargados o recorridos por corrientes eléctricas en el caso de las fuerzas electrostáticas y magnéticas, como fuentes o sumideros de un fluído incorpó- FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 72 reo llamado “campo”. Campo gravitatorio Mientras el campo eléctrico parece salir de las cargas positivas y sumirse en las negativas y el campo magnético se parece a un fluído arremolinado en un vórtice, donde circula la corriente eléctrica que lo produce, el campo gravitatorio funciona como un fluído que entra en las masas y cuya fuente es el propio universo que las rodea. Esta concepción o modelo está autorizado por la ley de la inversa del cuadrado de la distancia, que es la misma que gobierna el flujo de agua que 18 entra en un desagüe colocado en el interior de una pileta muy grande. Supongamos en un punto dentro de una masa de agua se instala la boca de un caño que absorbe un flujo o “gasto” G Kg/s . Admitamos que la boca v está construida para que el agua entre por igual r en todas direcciones. Una esfera imaginaria de radio r con centro en la boca de salida, será atravesada en toda su superficie por el flujo constante G (m3 /s) G, de manera que la cantidad de agua por unidad de superficie y por unidad de tiempo a través de la esfera de radio r y superficie S = 4π r2 valdrá: G/S = G/(4.π.r2) [Kg/s/m2]. A esta cantidad G/S la llamaremos flujo específico o gasto específico. Como se ve en la fórmula, el flujo específico G/S es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente (la boca de salida del caño). La relación entre flujo específico, densidad δ y velocidad v del fluído en un punto es : G/(4.π.r2) = δ [Κg/m3].v [m/s] Los vectores v en la masa fluída se distribuyen marcando direcciones de “líneas de corriente”, que son las trayectorias que siguen las partículas del fluído. Las líneas de corriente entran radialmente si los sumideros son puntuales y siempre perpendicularmente a las superficies cuando los sumideros son extensos. Si el caño de salida tiene una hendidura en vez de una boca distribuidora esférica, entrarán las líneas de corriente a lo largo de esa hendidura. Si es un plano permeable, entrarán líneas perpendicularmente a ese plano, como se muestra en la figura. SUMIDERO PLANO 18 También es válido para un fluído que sale. Lo único que cambia es la dirección de la velocidad. El modelo para electrostática considera como fuente a las cargas positivas y sumideros a las negativas. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 73 La analogía fluída nos permite afirmar que en una masa M entra un fluído gravitatorio con una intensidad J = kG..M/r2 tal que produce sobre otra masa m una fuerza F=J.m cuya dirección es el de las líneas de corriente. Llamaremos a J “campo gravitatorio”. J tiene dimensiones de aceleración, y coincide con g cuando M =masa de la tierra y r = radio de la tierra. Teorema de Gauss Aplicado a la gravitación, el teorema dice que la cantidad de fluído gravitatorio que pasa hacia adentro por una superficie cerrada (por ejemplo una esfera) que contiene a las masas donde se sume, es proporcional a las mismas y vale J.4.π π.r2 = 4.π π. kG..m , de donde J.r2 =kG..m . Significa lo anterior que el flujo de gravedad que pasa por una superficie cerrada es proporcional a la masa total encerrada por esa superficie. Reconociendo estos principios de analogía podemos afirmar que no hay 19 campo gravitatorio dentro de una cáscara material cerrada , ya que adentro no hay fuentes que puedan proveer el fluído necesario para sumirse en la cáscara material. En cambio, afuera de la misma existe un mar de fluído ilimitado que puede proveerlo para que entre en la cáscara perpendicularmente a la superficie, como si las líneas de corriente se dirigieran al centro de la esfera. Representándose una esfera homogénea como formada por una sucesión de capas finas superpuestas (como en una cebolla), apoyándose en la consideración anteriormente expuesta es válido reemplazar cada capa por una masa equivalente en el centro. Repitiendo el proceso para todas ellas, queda reemplazada una esfera homogénea por una suma de masas puntuales igual a la masa total concentrada en su centro. Queda así perfectamente justificada la suposición de Newton de que la fuerza gravitatoria de la tierra sobre la manzana era equivalente a la acción de una masa M en el centro de la tierra, es decir a la distancia R (radio de la tierra) de la manzana. Gravedad en acción La gravedad tiene dos acciones principales que se observan permanentemente: la caída de los cuerpos y el peso de los objetos. 19 Newton demostró mediante el cálculus, que cada porción de la cáscara provoca una acción gravitatoria en su interior que está compensada por otra zona opuesta, de manera que la resultante es nula. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 74 Caída de los cuerpos – Masa inercial y gravitatoria Galileo y Newton observaron que los cuerpos pesados caen todos con la misma aceleración si evitamos la resistencia del aire. En un tubo sin aire monedas y plumas caen juntos, con aceleración constante igual a 9,8 m/s2. Esa constante vale, de acuerdo a la ley de gravitación universal g=kGMT/R2 (MT = masa de la tierra; R = radio de la tierra). Multiplicada g por la masa de un objeto m nos da la fuerza de gravitación sobre la superficie terrestre, a la distancia R del centro de la tierra. Esa fuerza se llama peso del cuerpo, proporcional a su masa. El principio de inercia dice que toda acción que tienda a modificar el estado de reposo o de movimiento uniforme de un cuerpo, produce una reacción igual y contraria proporcional a su masa y a esa acción perturbadora. La masa gobierna, pués, tanto la atracción gravitatoria como la fuerza de inercia. Tiene sentido pensar que ambos efectos deban tener un origen común, o visto desde otro ángulo, que la igualdad entre la masa de un objeto deducida de su inercia o de su peso sugiere una conexión entre la aceleración a y el campo gravitatorio g Ernst Mach, notable físico y filósofo alemán del siglo pasado, aventuró la idea de que la inercia era efecto de la masa de todo el universo, que se resistía a que un objeto se acelerara con respecto a todo ese resto de la materia. Desde este punto de vista, un objeto solitario en todo el universo no presentaría inercia, como que no tendría sentido hablar de su posición, velocidad y aceleración, que requieren algún punto de referencia. Tampoco estaría sujeto a fuerzas de gravitación de otros cuerpos, por otra parte inexistentes. Saliendo de estas disquisiciones metafísicas, nos encontramos en realidad con el hecho de que la masa es una propiedad de la materia que gobierna la gravitación y la dinámica, y puede manifestarse ya sea como acción gravitatoria recíproca con otro cuerpo o como resistencia al cambio con respecto a un sistema de referencia inercial. Péndulo Cualquier objeto rígido de masa m y peso P=m.g , suspendido en un punto O por encima de su centro de masa G y sometido a la gravedad g es un péndulo físico. En su posición de equilibrio un péndulo se mantiene de manera que el punto de suspensión O y su centro de gravedad G pertenecen a la recta de acción de la fuerza a que está sometido. Si ésta es la gravedad, la fuerza es el peso P = m.g y ese eje será vertical. Apartado de su posición de equilibrio en un ángulo αmáx y abandonado, un péndulo oscila, esto es, se mueve alrededor del punto de suspensión O FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 75 rotando hacia un lado y hacia el otro de su posición de equilibrio, realizando una ida y vuelta completa en un tiempo siempre igual T, llamado período de oscilación. La causa de esas oscilaciones es la transferencia de energía potencial máxima cuando está quieto en los puntos extremos, a cinética máxima cuando su eje es vertical. -P -P O La amplitud de esa oscilación, medida por el ángulo αmáx, va disminuyendo poco a poco debido a fuerzas de rozamiento en su punto de suspensión O y a la resistencia del aire sobre la superficie del cuerpo. -P O O G P EJE del péndulo l G G l.sen(αα) P II PÉNDULO FÍSICO A la distancia entre el punto de suspensión O y el centro de masa G se la llama longitud l del péndulo físico P +α Para girar un péndulo de la posición de equilibrio II un pequeño ángulo dα α es necesario aplicar un momento M = P.ll.sen(α α) (ver figura). Para ángulos pequeños en los que el seno y el arco son equivalentes, resulta que sen(α α) ≈α y entonces M =P.ll.α α I −α III El trabajo exterior que debemos efectuar contra el sistema para que el péndulo ejecute una pequeña rotación dα es dL= M .dα α = P.ll.α α.dα α , de manera que la energía necesaria para llevar al péndulo a su posición de máximo ángulo α máx resulta : 2 E =o∫α dL = ½ P.l. l.α αmáx Si despreciamos el rozamiento, la energía E suministrada al péndulo se mantendrá de aquí en más, transformándose de potencial en cinética y viceversa. Cuando el péndulo cae, va transformando parte de esa energía potencial en fuerza viva hasta llegar a su punto inferior, (α=0) en el que la energía total es toda cinética. Luego se remonta hacia el otro lado, ganando altura y perdiendo velocidad hasta llegar al ángulo –αmáx, situación en la que toda la energía es potencial. En una posición cualquiera medida por el ángulo α ≤ α máx , el péndulo tendrá una fuerza viva o energía cinética dada por la fórmula ya vista Ec = ½ J ω2 , donde J es el momento de inercia del sólido con respecto al eje de rotación y ω = dα α/dt es la velocidad angular instantánea, o sea el ángulo barrido en la unidad de tiempo por el eje del péndulo en el momento considerado. La energía potencial para esa posición genérica medida por el ángulo α resulta: FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 76 U = ½ P l α2 El principio de conservación de la energía exige que la fuerza viva más la energía potencial sea en cualquier momento igual a la energía total del sistema, o sea E = U+Ec , de donde E = ½ P l α2 + ½ J ω2 Tomando variaciones con respecto al tiempo en todos los miembros, nos queda: P.ll.α α.ω ω + J ω dω ω/dt = 0 y dividiendo ambos miembros por J ω y teniendo en cuenta que ω=dα α/dt y que dω ω/dt = d2α/dt2 resulta finalmente: P.ll/J α + d2α/dt2 = 0 La ecuación anterior en la que la derivada segunda del ángulo con respecto al tiempo, o sea la aceleración angular del movimiento, es proporcional y de signo contrario a dicho ángulo, se satisface con una solución oscilatoria periódica. Este hecho, por otra parte, está de acuerdo con la experiencia que muestra que un péndulo oscila. Entonces, ensayando como solución α = A sen (k.t) resulta dα α/dt = k. A. cos (k.t) d2α/dt 2 = -k2.A..sen (k.t) y además P.ll/J.A sen (k.t) - k2.A..sen (k.t) = 0 Esto implica que sea P.l .l/J - k2 = 0 y por lo tanto k=√ √( P.ll/J) Además, como el péndulo tiene velocidad cero para α = α máx y para el tiempo t = T/4 (es decir después de ejecutar un cuarto de período), resulta que A. cos (k.t) = 0 cuando k.t=π π/2 , de donde k.T/4 = π/2 o sea que el período de oscilación de un péndulo físico vale T = 2π π/k = 2.π π.√ √(J / P/ l) Reemplazando el momento de inercia J = m.i2 (i = radio de inercia) y P=m.g , la anterior queda: 2 T = 2.π π √i / l / g La constante A se deduce de la condición α máx = A sen (k.T/4) = A..sen(π π /2) de donde A=α α máx FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 77 Péndulo matemático Se llama así al formado por una masa puntual m suspendida por una varilla o hilo de longitud l sin peso. Para él es J = m.ll2 y entonces su período vale T = 2π π.√ √(J/m/g/ll) o sea T = 2π π√ .ll/g Se aproxima a un péndulo matemático una esfera muy densa suspendida de un hilo largo. lo l lml lv l Ejemplo Averiguar el período de oscilación de un péndulo formado por una varilla de madera de ancho a=2 cm por un espesor ev = 1cm y de longitud l m=1m, en cuyo extremo va un disco de cobre de radio R=10 cm y espesor e=1 cm. La densidad de la 3 madera es 1000 Kg/m y la del cobre vale 8000 3. Kg/m El sistema se suspende desde un punto O situado a lO=10 cm del extremo libre de la varilla. P O Gv Pv Pd Pv ld P G Pd Gd Solución: Aplicamos lo deducido para el péndulo físico, a saber: T= 2.π π .√ (J / P/ l ) donde: 2 M = Masa total ; M = Vdisco.δcu + Vvarilla.δmadera = πR e.δcu + a.ev .lv.δmadera= 2,51Kg + 0,2 Kg ; P=2,71 Kg. 9,8 m/s2 = 26,56 N l = distancia entre el centro de gravedad G del sistema y el punto de suspensión O En la figura se ha representado el polígono funicular para encontrar el punto de aplicación G de la resultante P , en caso de desear una resolución gráfica. Tomando momentos con respecto al punto de suspensión O podemos poner P.l = Pd.l d + Pv.lv De la figura resulta ld = l m-lo+r = 1-0,1+0,1=1m ; lv = l m/2-lo = 0,5-0,1 = 0,4 m De la expresión anterior sale que l = (Pd.ld + Pv.lv)/P = [2,52 Kg.x1m + 0,2 Kgx 0,4m].9,8 / 2,72 Kg/9,8 = 0,956 m J = Momento de inercia con respecto al punto de suspensión: es la suma de los momentos de inercia del disco y de la varilla. J = Jdisco + Jvarilla cada uno con respecto al punto de suspensión. eje y Estudiemos ahora dos posibles momentos de inercia baricéntricos del disco: e y dy α R x eje x La ecuación del círculo 2 2 2 x +y =R 2 2 ½ de donde x=(R -y ) es Momento de inercia de un cuarto de disco con respecto a un eje radial (que pasa por el centro de FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 78 gravedad), de acuerdo a la figura de la derecha 2 Jdxx/δCu/e/4 = y=0∫y=R x.y .dy Reemplazando y=R sen α , x= R.cos α resulta dy = R cos α dα , y entonces Jdxx/δCu/e = a=0∫a=π/2 R cos α .R sen α cos α da = 2 ∫a=π/2 a=0 4 =R 2 2 R (1-sen α) .R sen α dα = 2 ∫a=π/2 a=0 2 2 2 (sen α –sen α) dα = R .[π/4 - 3π/16] = πR .R .(1/16) 2 4 4 2 2 Entonces Jdxx = (.δCu.e πR ).R .4(1/16) = M R /4 , que es el momento de inercia del círculo con respecto a un eje baricéntrico radial. 2 2 2 Ya habíamos visto antes (cuando nos daba clases el Ing. Cattáneo) que el momento de inercia de un disco con respecto a un eje baricéntrico perpendicular al anterior, o 2 sea el eje z, era Jzz = ½ M.R (figura de la izquierda). Resulta así Jzz = 2 Jxx Teorema de Steiner Pero lo que necesitamos es el momento de inercia con respecto al eje de suspensión del péndulo paralelo al eje zz. A partir del momento de inercia baricéntrico (que pasa por el centro de masas o baricentro), se puede encontrar el momento de inercia que pasa por cualquier otro eje paralelo al primero, en base a la siguiente deducción debida a Jacobo Steiner, geómetra suizo que vivió en la primera mitad del siglo XIX: El momento de inercia de un sistema con respecto a un eje que dista d del baricentro puede ponerse como: 2 2 2 2 2 J = Σ mi.(di+d) = Σ mi (di +2di.d+d ) = Σ mi di + 2 d Σ mi.di + d Σ mi 2 El primer término Σ mi di es el momento de inercia baricéntrico, que llamaremos Jg En el segundo término, es nulo Σ mi.di , ya que es el momento de primer orden con respecto al baricentro. Además es Σ mi = M (masa total del cuerpo), así que 2 J = Jg + M d , lo que significa que el momento de inercia de un cuerpo con respecto a cualquier eje se puede obtener sumando al correspondiente momento de inercia baricéntrico un término igual a la masa por el cuadrado de la distancia entre ejes. Aplicando el teorema de Steiner resulta que el momento de inercia del disco con respecto a un eje paralelo al zz que pase por O es 2 2 2 Jd=J zz+Md.l d = Md ( ½ R + ld ) Reemplazando valores, se tiene Jd=2,52 Kg ( ½ 2 2 2 0,1 + 1 ) = 2,533 Kg m Momento de inercia de un prisma de base rectangular de dimensiones axe y altura l (una varilla) con respecto un eje baricéntrico. Según la figura, el valor de la integral doble es Jo = (1/12) 2 2 δ.e.a.l.[a .+l .] = 2 2 1/12 Mv [a .+l .] y l/2 dx dy (x 2 +y 2 ) -a/2 O a/2 x - l/2 a/2 Se puede considerar a la varilla formada por dos prismas de igual base y diferente altura: uno de e l/2 J o=δe∫ ∫[(x 2 +y 2 ) ½ ] 2 dx.dy x=-a/2 y=-l/2 FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 79 altura lo por sobre el eje de suspensión, y otro de altura (l m-lo) por debajo de éste. El momento de inercia total de la varilla con respecto al eje que pasa por el punto de suspensión O será de acuerdo al teorema de Steiner la suma de los respectivos momentos baricéntricos Jo1 y Jo2 más las sendas correcciones debidas al que el eje de inercia se corre desde los centros de masa hasta la base de los prismas, que valen 2 2 respectivamente M1 lo y M2.(l m-lo) : Entonces Jv =.M1.[1/12.(a .+lo ) + lo ] + M2.[1/12. (a +(l m-lo) ) + (l m-lo) ] para 3 M1 = δm.a.e.lo = 1000 Kg/m . 0,02m. 0,01m; 0,1 m = 0,02 Kg 3 M2 = δm.a.e.(l m-lo) = 1000 Kg/m . 0,02m. 0,01m; 0,9 m = 0,18 Kg Resulta entonces: 2 2 2 2 2 2 Jv = 0,02.[1/12 (0,02 +0,1 )+0,1 ] + 0,18 [1/12 (0,02 +0,9 ) + 0,9 ] = = 0,000217 + 0,157956 = 0,158173 Kg m2 2 2 2 2 2 2 El momento de inercia total del sistema disco-varilla con respecto al punto de suspen2 sión es entonces: J = Jd+Jv = 2,533+0,158 = 2,691 Kg.m El período del péndulo para g=9,8 m/s2 resulta T= 2.π π .√ (J / P/ l ) = 2,0454 s La longitud equivalente de un péndulo matemático sería l = (T/2/π) .g = 1,0397 m, es decir que si consideramos una masa concentrada cualquiera colgada de un hilo inextensible y sin peso de longitud 1,035 m tendría el mismo período que nuestro péndulo real de longitud total l T = ld + lo + r d = 1,2 m 2 Fenómenos Giroscópicos Un cuerpo rígido con simetría axial presenta fenómenos inerciales muy interesantes cuando gira sobre su eje. Todos experimentamos alguna vez con un trompo al que hacíamos girar rápidamente sobre su eje, y que nos deleitaba al mantenerse parado sobre el la punta de su eje mientras duraba la rotación. Cuando la velocidad menguaba, el trompo comenzaba a inclinarse y bailotear de manera muy característica. Al final caía y rodaba sobre el piso (generalmente a un sitio inaccesible, por ejemplo bajo el sofá). Un trompo más elaborado es el giróscopo: una rueda pesada con un eje sostenido por sus extremos en un bastidor. Un tirón al hilo arrollado sobre su eje le da rápido giro. Parado sobre su eje, se comporta como un trompo. El armazón permite que siga girando con el eje horizontal, sin que la rueda toque el piso. El conjunto se opone al cambio de dirección del eje, ejerciendo una reacción en sentido perpendicular a la acción. Lo mismo que el péndulo, el giróscopo mantiene el plano de rotación invariable con respecto a las estrellas fijas. Esta propiedad lo hace un buen sucedáneo de la brújula, que no es afectado FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 80 por campos magnéticos. Por qué tiende a mantener su eje vertical el trompo en rotación o el giróscopo tiende a oponerse al cambio de dirección con una insospechada reacción, son cuestiones que matemáticamente se resuelven y explican sin dificultad, pero que contrarían nuestra intuición mecánica. A continuación daremos una explicación más intuíble, atribuída a 20 Poggendorff . Para ello consideremos que el giróscopo en rotación de la figura tiende a ser volcado en el sentido de las flechas verdes (en sentido horario). Las porciones de la rueda que están en el plano del papel (R y S) experimentan traslaciones paralelas a su velocidad, no obrando sobre ellas fuerza de inercia alguna. En cambio las partes de la rueda que están adelante y atrás del plano de la rotación (P y Q) cambian por efecto de ésta la dirección de su velocidad tangencial (flecha blanca a flecha verde) y están sujetas a una aceleración que se ha representado por una flecha roja. Proporcionalmente a ella aparecerá una reacción sobre el conjunto que tiende a volcar el trompo hacia nosotros (flechas anaranjadas). Si el momento volcante está creado por el peso del aparato inclinado sobre su soporte, como se ve en la figura anterior, la reacción que aparece en un plano perpendicular se compone con aquél dando como resultante un movimiento llamado de precesión, en la que el eje del trompo describe un cono. Si el aparato recibe un momento volcante con aceleración, la reacción también será acelerada y el sistema oscilará alrededor de la curva de precePRECESIÓN Y NUTACIÓN sión, dando como resultado una superficie festoneada cuyo contorno es una cicloide. Este movimiento se llama de “nutación”. La explicación matemática de la reacción giroscópica se basa en el principio de inercia aplicado a cuerpos rotantes, equivalente al principio de Newton: así como la fuerza F es igual a la derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo, el momento (fuerza Ù distancia) es la derivada de el momento de la cantidad de movimiento D = m.vÙr y entonces resulta: F=d(m.v)/dt y M =FÙr de donde M =d(m.vÙr)/dt = dD/dt En un cuerpo rígido como el giróscopo, formado por masas elementales mi a distan2 cias ri del eje de giro que gira a velocidad angular ω =vi/ri es D=Σ Σ mi.viÙri = Σ ω .mi.ri 20 J.G.Poggendorff, físico, químico, filósofo y médico alemán (1793-1877), quién estudió diversas cuestiones de magnetismo, mecánica y química. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 81 =ω ω .J, para J=Σ Σ mi.r i (momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de giro). Entonces M = dD/dt = J.dω ω /dt , lo que indica que la variación del vector velocidad angular dω debe tener la misma dirección que el momento aplicado M . Si el momento aplicado M es perpendicular a ω, ésta tenderá a dω ω ω colocarse paralela a la primera, explicándose así matemáticamente el origen del movimiento de precesión ω+dω ω ω+ 2 Asimismo el momento de la cantidad de movimiento D es un vector de la dirección de la velocidad angular ω , la que por otra parte coincide con la dirección del eje de giro, así que el ángulo infinitesimal dD/D es el que gira en un tiempo dt el vector ω , o sea que es la velocidad angular del movimiento de M precesión del aparato. De tal manera dicha velocidad es dD/dt/D =dω ω /ω ω /dt = M /J/ω ω , lo que nos dice que la velocidad de precesión de un giróscopo es proporcional al momento aplicado e inversamente proporcional al momento de inercia y la velocidad de rotación del aparato. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 82 Balanza BALANZA DE PRECISIÓN Se construye una balanza de precisión suspendiendo una estructura rígida (tipo viga reticulada) exactamente en su punto medio, un poco por encima de su centro de masa. En sus extremos cuelgan sendos platillos iguales. En uno de ellos va el objeto a pesar y en el otro van las pesas calibradas. Los puntos de apoyo central de la viga y los de los extremos de los platillos son, en las balanzas de calidad, afiladas cuñas de acero duro que descansan casi sin rozamiento sobre cunas en “v” de cuarzo. El tipo de suspensión de los platillos mediante cuñas y cunas transmite a la viga solamente esfuerzos que pasan por esos apoyos, sin los momentos que podrían crear cargas descentradas sobre los platillos. Todo esto garantiza que cuando la balanza está en equilibrio las masas de los cuerpos en ambos platillos son iguales. L.cos α L.cos α O G P+∆P P α El aparato tiene normalmente una aguja solidaria a la viga (fiel), para indicar desviaciones del equilibrio sobre una escala. Esta indicación calibrada convenientemente se suma o resta de la masa de las pesas para ajustar a un peso más exacto. En la balanza de brazos iguales de longitud L, centro de suspensión en O , centro de masas de la cruz en G y masa M, con una pequeña sobrecarga DP en el platillo derecho, la posición de equilibrio se logra a costa de una inclinación del fiel un ángulo α de tal manera que los momentos de las fuerzas con respecto a O se equilibren: (P+∆P).L.cos(α) = P.L.cos (α) + M.g.GO.sen (α) , de donde ∆P.L = M.g.GO.tg (α) La razón tg (α α ) / ∆ p mide la desviación por unidad de peso de la balanza (sensibilidad) es directamente proporcional a la longitud de los brazos e inversamente proporcional a la masa de la cruz y a la distancia entre el centro de gravedad de la misma y el punto de suspensión. Una balanza equilibrada es un péndulo físico de gran momento de inercia y aunque tiene poca distancia entre centro de gravedad y punto de suspensión (para presentar buena sensibilidad) presenta un período relativamente elevado. Como tiene escasísimo rozamiento, sus oscilaciones se amortiguan lentamente. Para no esperar un tiempo demasiado largo a que el sistema se detenga y así conocer la posición de equilibrio FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 83 de la aguja sobre la escala, se obtiene ésta indirectamente promediando varias lecturas extremas sucesivas. Se distinguen en la balanza, como en cualquier instrumento de medida, las siguientes características: Exactitud, medida por la inversa del error absoluto de la medida, es decir la diferencia entre valor medido y valor verdadero. Depende de la bondad en la calibración de las pesas y de la igualdad y simetría entre brazos y platillos. Precisión, medida por la cantidad de cifras exactas con las que se puede expresar la medida. Depende de las dos siguientes cualidades. Umbral, que es la magnitud necesaria para que el instrumento acuse una medición no nula. Es proporcional al rozamiento en las articulaciones. Sensibilidad, que es la razón entre lectura (en divisiones) y magnitud correspondiente (masa). Ya vimos que es función de la geometría y peso de los elementos. La rigidez del sistema es condición para que la sensibilidad se mantenga con la carga. Con una balanza de laboratorio se pueden -7 comparar masas con una precisión de 10 Kg (una décima de miligramo), que equivale a detectar sobre uno de los platillos una gota de agua de tan sólo 0,6 mm de diámetro (como el punto de esta “i”) Existen balanzas de brazos desiguales, llamadas “romanas”. El brazo más largo tiene una escala y sobre él se desliza un BALANZA ROMANA peso, que debe estar sobre el cero de la EN EQUILIBRIO escala con la balanza en equilibrio cuando no hay carga sobre el platillo. Para pesar la merluza, se la coloca en el platillo y se desliza la pesa hacia la derecha hasta que el brazo esté horizontal. En tal caso el sistema de fuerzas paralelas formado por los pesos del pescado más el platillo, el brazo izquierdo, el brazo derecho y la pesa deslizable tiene resultante que pasa por el gancho de suspensión. La brazo del pescador que sostiene la balanza realiza una fuerza vertical igual a la resultante, llamada “equilibrante” del sistema. Experiencia para determinar kG Debajo de una balanza de platillos equilibrada con una masa de 1 Kg en cada platillo, se coloca una gran esfera de plomo de 2 m de diámetro. La distancia entre platillos es de 1 m y la bola está a 5 cm debajo del platillo izquierdo. ¿Cuánto acusará de desequilibrio la balanza? FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 84 En la figura se ve que a los pesos en equilibrio P que actúan debido a la gravedad de la tierra se le suman las 1m acciones atractivas de la bola de plomo sobre los platillos cargados izquierdo y derecho, que son respectivamente F1 y F2 P 1,05 m F1 P+F2 F2 P γ 1,45 m β 4,189 m 3 Resulta entonces: MPb = VPb.δPb = 4,189 m3 . 11300 Kg/m3 = 47333 Kg , por lo tanto: F1 = kG.MPb.1/d2 = -11 2 -6 = 6,72.10 . 47333/1,05 = 2,88.10 N 2. F2 = kG.MPb / 1,45 = -11 2 -6 = 6,72.10 . 47333/1,45 = 1,51.10 N Se ha exagerado la pequeña inclinación del platillo derecho, que forma un ángulo γ con la vertical, siendo tg β = 1/1,05 de donde β =43,6º Entonces: -6 -6 tg γ = F2.cos β / (P+ F2.sen β) = 1,51.10 .cos(43,6º)/(9,8+1,51.10 .sen(43,6º) -6 -6 tg γ = 1,093.10 /(9,8) , de donde γ = (6,39.10 ) grados De acuerdo al teorema del coseno es: 2 2 2 (P+F2) = P +F2 +2.P.F2.cos (β) = 2 -6 2 -6 = 9,8 + [1,51.10 ] +2.9,8.1,51.10 . cos(43,6º)= 96,040021 N de donde P+F2 = 9,800001094 N Como P y F1 están en la misma dirección es: -6 |P+F1|= P+F1 = 9,8+2,88.10 = 9,80000288 N lo δ O P+F2 G P+F1 En la figura se esquematiza la posición de equilibrio, cuando las fuerzas en los platillos y el peso de la balanza M.g aplicado en el centro de gravedad G dan una resultante R que pasa por el eje de giro de la balanza O l l γ R R M.g δ La balanza indicará aproximadamente la diferencia entre las dos fuerzas, ya que ellas están prácticamente en el misma dirección vertical, o sea: -6 -7 9,80000288 - 9,800000151 = 1,79.10 N = 1,82.10 Kg Esta diferencia de casi dos décimas de miligramo es bastante superior al umbral de la balanza y por lo tanto perfectamente apreciable. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 85 La experiencia se realiza en forma práctica equilibrando los dos platillos con masas iguales sin la presencia de la bola y observando la deflexión del fiel al deslizar aquélla debajo de uno de los platillos. Se comprende así que dicha deflexión sea causada por la diferencia entre F1= 2,88.10-6N y la proyección vertical de F2, que vale F2.cos (β) = 1,093.10-6 N , o sea ∆F = 1,79.10-6N La componente horizontal de F2 crea un momento que produce la imperceptible inclinación del platillo derecho en un ángulo γ con respecto a la vertical ya calculado antes. Este experimento fué realizado como se acaba de explicar, con una balanza común, por el físico inglés Poynting en 1913. De la medida de ∆F se deduce el valor de la constante kG Anteriormente otros dos ingleses, Cavendish a fines del siglo XVIII y Boys a fines EXPERIENCIA DE CAVENDISH α del XIX habían medido la atracción gravitatoria de dos grandes masas fijas sobre un par de masas más pequeñas colocando éstas sobre una varilla horizontal sostenida por un hilo de cuarzo, que resiste levemente a la torsión producida por el par de atracciones. Las pequeñas deflexiones del sistema se detectan con un rayo de luz reflejado en un espejito solidario a la varilla. El haz de luz reflejada gira el doble del ángulo barrido por la varilla con las dos masas y se proyecta sobre una pantalla alejada, amplificando así la desviación del sistema móvil. 2α α El problema del tiro Tiro en el vacío Ya se vió que la trayectoria de un proyectil en el vacío bajo un campo gravitatorio paralelo es una parábola. El estudio del problema puede encararse adecuadamente aplicando las leyes de la dinámica de Newton independientemente para la coordenada horizontal (x) y la coordenada vertical (y), y superponer los efectos en virtud del principio de superposición. Así resulta que para una partícula de masa m y aceleraciones 2 2 2 2 vertical y horizontal respectivamente iguales a d x/dt y d y/dt se pueden plantear las siguientes ecuaciones: 2 2 fx = m.d x/dt = 0 , ya que es nula la fuerza y horizontal aplicada sobre la partícula en movivo miento. αo v vy vx x De aquí se deduce que la velocidad horizontal es constante, o sea, Þ vx = dx/dt = constante = vox (velocidad horizontal inicial) = vo.cos (α). Integrando sale que: x-xo = vo.cos(α α ).t [1] FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 86 De la misma manera, igualando la masa por la aceleración vertical al peso de la partícula (única fuerza actuante) resulta: 2 2 fy = m.d y/dt =-m.g, Þ dy/dt = - g.t+C La constante de integración C resulta de considerar que v=v0 cuando t=0, e y=y0 C = dyo/dt = voy (velocidad vertical inicial)= vo.sen(αο) 2 y-y o = - ½ g.t + vo.sen(α αο ).t [2] Como se ve, [1] y [2] son las ecuaciones paramétricas de una parábola de eje vertical que pasa por el punto de disparo del proyectil, de coordenadas (x0, y0) Tiro en el seno de un fluído Cuando el proyectil se mueve en el seno de un fluído quieto, por ejemplo el aire calmo, el medio produce una resistencia o fuerza contraria a la velocidad de la partícula, como se explica luego en esta obra al tratar la mecánica de fluídos. La dependencia entre resistencia y velocidad es una combinación de dos efectos: el de rozamiento viscoso y el efecto inercial del desplazamiento del fluído creado por el paso del móvil. El primero es preponderante a velocidades bajas (régimen laminar) y el segundo es más importante a velocidades altas (régimen turbulento). Estudiaremos ambos por separado. Resistencia viscosa proporcional a la velocidad (modelo de Stokes) En este caso la fuerza de sentido contrario a la velocidad, viene dada por la fórmula de Stokes, tratada in extenso en este libro más adelante. fv = [4.π.η π.η.r].v = b.v , donde: 21 η=viscosidad ; r=radio del proyectil que se supone de forma esférica. Este modelo tiene sólamente en cuenta la resistencia viscosa y no la inercial. Para la componente horizontal vale el siguiente desarrollo: 2 2 2 2 fx = m.d x/dt + b.vx = 0 ; d x/dt = dvx/dt=-(b/m).vx, Þ ln(vx) = -(b/m).t + ln(vox) [-(b/m).t] vx = v.cos(α) = vox.e (que indica que la velocidad decrece exponencialmente con el tiempo) [-(b/m).t] [-(b/m).t] vox.e = dx/dt Þ x = ò vo.cos(αο).e dt + C = [-(b/m).t] = vo.cos(αο).(-m/b).e + C1 Þ C1 = xo + vo.cos(αο).m/b -(b/m).t x-xo = vo.cos(α αο ).(m/b).(1- e ) Considerando la acción vertical de la gravedad resulta: 2 2 2 2 fy = m.d y/dt + b.vy = - m.g ; d y/dt = dvy/dt = -(b/m).vy – g Sea u = (b/m).vy + g Þ du=-(b/m).dvy Þ dvy/dt = (-m/b).du/dt = u Þ du/u = (-b/m).dt (-b/m).t Integrando se obtiene ln(u)= (-b/m).t + ln(uo) Þ u=uo.e (-b/m).t (-b/m).t (b/m).vy + g = [(b/m).voy+ g]. e ; vy = (m/b).[(b/m).voy+ g]. e - (m/b).g = dy/dt Integrando nuevamente resulta: (-b/m).t y=(-m/b).(vo.sen(α).b/m+g).(m/b).e – g.m/b.t + C2 2 2 C2 = yo + m/b.vo.sen(αo) + g.m /b 2 2 -b/m.t y-y o = (vo.sen(α α o).m/b + g m /b )(1-e )-g.m/b.t 21 Como se explica al estudiar los fenómenos de movimiento interno en un fluído, la viscosidad mide la resistencia al deslizamiento entre capas próximas del mismo, y es proporcional a la velocidad relativa entre ellas. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 87 Resistencia inercial proporcional al cuadrado de la velocidad (modelo de Newton) Como se explica en esta obra al tratar sobre la resistencia de objetos en movimiento dentro de un fluído, se emplea la fórmula de Newton para la fuerza de resistencia cuando predomine el efecto inercial, que depende del peso específico y no de la viscosidad del fluído: 2 2 fv = [k.ρ ρ/2/g.S].v = b’.v (fórmula de Newton) k = coeficiente de forma (por ejemplo, para una esfera es k = 0,4) ρ = peso específico del fluído S = superficie de carena, o sea la proyección del cuerpo sobre un plano perpendicular a la velocidad. Horizontalmente sólo actúa la fuerza de resistencia: 2 2 2 2 2 2 fx = m.d x/dt + b’.vx = 0 ; d x/dt = dvx/dt=-(b/m).vx , Þ -1/vx = C3 –b’/m.t ; C3=-1/vox vx = 1/(b’/m.t+1/vox) =dx/dt = dx/dt ; dx = dt/(b’/m.t+1/vox) = (m/b’) d(b’/m.t+1/vox)/(b’/m.t1/vox) dx = (m/b’) d ln (b’/m.t+1/vox) Þ x = (m/b’) . ln (b’/m.t+1/vox) + C4 C4 = xo - (m/b’).ln (1/vox) x-xo = (m/b’) .[ln (b’/m.t+1/v ox) - ln (1/v ox)] Para la dirección vertical, interviene además la fuerza de gravedad m.g : 2 2 2 2 2 2 fy = m.d y/dt + b’.vy = -m,g ; d y/dt = dvy/dt=-(b/m).vy -g 2 ½ 2 2 ½ ½ 2 dt= -dvy/(g+vy .b’/m)= -dvy/[g(1+vy .b’/m/g)]= -(m/g/b’) .d[vy .(b’/m/g) ]/(1+[vy .(b’/m/g) ] ) Integrando resulta ½ ½ ½ – (g.b’/m) .t = arc tg [vy.(b’/m/g) ] -C5 Þ C5=arc tg [vo.sen(α α o).(b’/m/g) ] Sacando la tangente en ambos miembros queda: ½ ½ ½ ½ [vy.(b’/m/g) ] = tg {arc tg [vyo.(b’/m/g) ] – (g.b’/m) .t)} = tg [C5-(g.b’/m) .t)] ½ ½ vy = dy/dt = (m.g/b’) .tg [C5-(g.b’/m) .t)] ½ ½ ½ y = (m.g/b’) òtg [C5-(g.b’/m) .t)].dt + C6 = (m.g/b’) I + C6 ½ ½ ½ ½ I =òtg [C5-(g.b’/m) .t)].dt = -(m/g/b’) òtg [C5-(g.b’/m) .t)].d [C5-(g.b’/m) .t)] = ½ ½ = -(m/g/b’) {-ln cos [C5-(g.b’/m) .t)]} ½ y = (m/b’).ln cos [C5-(g.b’/m) .t)] + C6 C6 = yo - (m/b’).ln cos [C5] Tiro en medios fluídos Stokes Newton vacío 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 -0,05 0 -0,1 -0,15 -0,2 -0,25 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Se puede observar en la figura las trayectorias de tiro que surgen de representar gráficamente las ecuaciones según los modelos de Stokes y de Newton para una bolita de hierro de 1 cm de diámetro en un medio aceitoso, lanzada a una velocidad inicial de 3 m/s y con un ángulo de 45º. La trayectoria real se acerca más a la de Stokes, en este caso, por tratarse de un medio de alta viscosidad. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 88 En torno a la gravedad Las ecuaciones del movimiento de un proyectil en el vacío con campo gravitatorio constante dan una parábola. Sin embargo esto es sólo una aproximación aceptable para el caso de proyectiles de corto alcance, para los que la tierra es prácticamente plana. Como vimos cuando tratamos el modelo fluído, la gravedad creada por un plano material es de líneas de campo perpendiculares a la superficie y paralelas 22 entre sí . En cambio, en el caso que se muestra en la figura que acompaña debe tenerse en cuenta que la curvatura de la TRAYECTORIAS DE PROYECTILES BALÍSTICOS tierra impone al campo gravitatorio líneas radiales que se sumen en el centro de la esfera. La densidad de líneas de campo gravitatorio en una zona es 23 proporcional a su intensidad . Cuando los proyecB tiles son de largo alcance, su trayectoria se aleja lo suficiente como para que las líneas de campo sean sensiblemente menos densas. El campo gravitatorio A radial hace que la parábola, que es una curva abierta, se transforme en elipse, que es una curva cerrada. Uno de los focos de esa trayectoria elíptica es el centro de la tierra, como se vió al tratar movimiento central. En el dibujo adjunto se ve que a un campo paralelo (líneas verdes) producido por un cuerpo de superficie plana ilimitada (verde), le corresponde una trayectoria parabólica (roja). En cambio, a un cuerpo esférico (gris), con líneas de campo convergentes en el centro (negras) le corresponde una trayectoria elíptica (verde), que parte de A con la misma inclinación. Si la tierra fuera más chica con igual masa y manteniendo su centro, y pasara de la esfera gris a la interior rojo oscuro, se estaría ante una tierra más densa. En tal caso la trayectoria elíptica verde del proyectil se mantendría y no cortaría a la esfera reducida. Para que ello ocurriera y el proyectil se transformara en un satélite artificial, se lo debería lanzar con idéntica velocidad que antes desde el mismo punto A, que ahora quedaría fuera del planeta, a gran altura. 22 Un campo de líneas paralelas es constante en todos sus puntos La densidad de líneas en el caso de campo radial es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, lo cual autoriza precisamente a adoptar el modelo del “fluído gravitatorio” con sumidero en las masas. 23 FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 89 Precisamente, para poner en órbita un artefacto se lo eleva casi verticalmente con un cohete a altura conveniente. Desde allí, con otro cohete, se le imparte velocidad horizontal suficiente como para que siga libremente describiendo una trayectoria que no intercepte a la tierra, siguiendo una órbita de magnitud y excentricidad adecuadas al servicio que prestará el ingenio (comunicaciones, imágenes, espionaje, etc.) . En la jerga de cohetería espacial, se llama a esta velocidad “de inserción” en la órbita. En el caso de una órbita circular de radio R, el artefacto describe un movimiento circular uniforme de velocidad tangencial v tal que la fuerza centrífuga Fc = m.v2/R equilibre a la atracción gravitatoria Fg = kG.MT.m / R2 , es decir v = (kG.MT/R) ½ , o bien, considerando que g=kG.MT/RT2 , la anterior puede ponerse bajo la forma v = [(kG.MT/RT2).RT2/R] ½ = RT .g ½ / R ½ La velocidad angular será ω = v/R = RT .g ½ / R 3/2 Por ejemplo: Se desea poner en órbita un satélite ecuatorial que se mantenga fijo en el cielo. A qué velocidad horizontal y a qué altura debe lanzarse?. La condición de que se mantenga fijo en el cielo determina su velocidad angular, que debe ser igual a la de la tierra, es decir -5 ω = 2.π/24/3600 = 7,27.10 rad/s Además es R = (R T g / ω) = (6378000 m . 3,13 m .s / 7,27.10 s ) = 42238 Km , o sea que orbitará a una altura de 35860 Km ½ 2/3 ½ -1 -5 -1 2/3 = La velocidad de inserción horizontal que debe impartirle el segundo cohete vale v = ω.R= 7,27.10-5. 42238 Km = 3,1 Km/s = 11054 Km/h Transitando por la gravedad Para mover una masa a través de un camino en un campo como el gravitatorio, donde las líneas sólo mueren sumiéndose en la materia, hay que ejecutar un trabajo que es el resultado de sumar trabajos elementales (producto escalar de fuerza por elemento de camino o longitud ∆l): T= Σ F.∆ ∆ l , cuyo valor no depende más que del punto de partida y el punto de llegada, sin importar por dónde pasa el camino que recorre la fuerza. Esto es así, debido a que el campo (o aceleración gravitatoria) es la pendiente de una función del espacio llamada potencial, análoga al nivel de un terreno en el que la materia es una depresión. Así como el terreno alrededor de un hoyo tiene líneas de nivel y líneas de máxima pendiente, el espacio alrededor de una masa tiene superficies de igual potencial y líneas de campo. Éstas son las trayectorias que seguirían masas exploratorias abandonadas en diferentes puntos del espacio. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 90 Se puede construir fácilmente un símil topográfico de un sistema gravitatorio colocando una esfera pesada sobre un tejido elástico o membrana tirante. La depresión que provoca su peso sobre el tejido se propaga en el espacio como un campo gravitatorio. SÍMIL TOPOGRÁFICO DE LA GRAVEDAD Si se lanza convenientemente una bolita alrededor de la masa, girará alrededor de ella en forma muy parecida a un satélite alrededor del cuerpo que ejerce una 24 atracción gravitatoria , o eventualmente pasará de largo con una trayectoria hiperbólica si el impulso inicial es suficiente. líneas de nivel = líneas equipotenciales líneas de máxima pendiente = líneas de campo Como dijimos, el trabajo necesario para llevar un masa m desde un punto A a otro B dentro de un campo gravitatorio creado por una masa M está medido por la energía EAB = A∫BF.dll (integral de un producto vectorial) F=kG.M.m/r2 y siendo dll el desplazamiento elemental . 25 B A’ -6 -5 B’ -4 rA A -3 -2 -1 rB para Nótese que el campo se sume paralelamente a la superficie de la materia (en este caso de forma irregular) que lo produce. Sin embargo a una distancia grande comparada con las dimensiones del cuerpo, las líneas son sensiblemente radiales como si fueran a parar al centro de masas de aquél. Por supuesto que si el cuerpo atractor es esférico y homogéneo, el campo es siempre radial, a cualquier distancia de su centro de masas. En el dibujo, las líneas azules son las de campo (líneas de fuerza) y las anaranjadas son las líneas de igual potencial, que en realidad son las intersecciones con el plano del dibujo de las superfi24 La órbita de la bolita es una curva alabeada (no plana) a diferencia de la órbita gravitatoria y es comparable con ésta sólo su proyección vertical, que sería una elipse si no hubiera rozamiento. A causa de éste, es un espiral elíptica que termina al precipitarse en el hoyo, junto a la esfera mayor. 25 Esa integral de línea (a lo largo de un camino) de un vector se llama circulación entre los límites A y B. Cuando el vector es una fuerza, la circulación se llama trabajo. Cuando es un campo conservativo (sin fuentes ni sumideros a lo largo del camino), se llama diferencia de potencial. El gradiente del potencial es el campo en el punto considerado. La circulación en un camino cerrado es nula si el campo es conservativo. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 91 cies cerradas que rodean a la materia para las cuales el potencial es igual en todos sus puntos (superficies equipotenciales). El trabajo necesario para alejar una masa m entre A y B es el mismo recorriendo cualquier camino que una esos puntos, de la misma forma que para llevar un peso por la ladera de una montaña: lo que cuenta es la diferencia de nivel entre puntos inicial y final. Por ejemplo, por el camino directo (en negro) la integral vale lo mismo que por el rojo o por el verde. En estos últimos hay una parte en la que el trabajo es nulo, de A a A’ y de B’ a B. En estos tramos el producto vectorial se anula por ser F perpendicular a la trayectoria. Queda como trabajo el realizado entre A y B’ o lo que es igual, el realizado entre A’ y A, trayectorias ambas en las que la fuerza tiene la misma dirección de la trayectoria, y por lo tanto el producto escalar de los vectores fuerza y distancia se transforma en producto de los módulos de ambos vectores, es decir EAB = A∫B’F.dll = kG.M.m A∫B’ dr/r2 = kG.M.m [1/rA - 1/rB] = m.(UA – UB) siendo U el potencial del punto respectivo El potencial varía inversamente a la distancia siempre que r sea grande comparada con las dimensiones de la masa, es decir que el campo pueda considerarse radial. Así es Ur = kG.M/r Como rA < rB el trabajo es positivo, es decir que hay que entregar trabajo para alejarse de la masa atractora. Se ve también que el potencial es nulo a gran distancia de la masa, o sea para r→ ∞ . El significado físico de esta consecuencia matemática es una fuente de gravedad muy lejos de las masas, desde donde provienen las líneas que se sumen en ellas. El símil topográfico de esta configuración de líneas y potenciales sería una planicie al nivel del mar afectada por un hundimiento localizado, o en el modelo hidráulico, una pileta enorme que nunca se vacía a pesar del agua que sale por un sumidero colocado en un nivel más bajo que la superficie. Escapando de la gravedad No todo lo que sube tiene que bajar forzosamente. Se puede impartir a un proyectil la energía necesaria para que venza la atracción gravitatoria, y aún la supere, yéndose definitivamente de nuestro lado para nunca más volver. Analicemos esta proposición con reminiscencias de tango desde el punto de vista físico: FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD La energía necesaria para escapar con un cuerpo de masa m de la gravedad generada por un cuerpo de masa M es: EA∞ = A∫ F.dll = ∞ 92 TIRO DE ARTILLERÍA Y VELOCIDAD DE ESCAPE v>vc : HIPÉRBOLA v=vc : PARÁBOLA v<vc : ELIPSE = kG.M.m A∫ dr/r2 = = kG.M.m [1/rA] = m.UA Si quisiéramos escapar con un artefacto de masa m de la gravedad de la tierra, de masa M y radio rT, deberíamos suministrarle un trabajo que es asíntotas de la hipérbola igual a la variación de fuerza viva: Ec = ½ m ve2 = kG.M.m [1/rT] de donde ve = (2.kG.M/rT) ½ , y dado que g=kGM.m/rT2 es entonces ve=(2.g.rT)½=(2.9,8.6378000)½= =11181 m/s ∞ A esta velocidad se la llama “velocidad de escape”, y es la que debe poseer como mínimo un proyectil en la superficie de la tierra para escapar a la gra26 vedad . Sale así de la trayectoria elíptica (cerrada) para pasar a una trayectoria abierta, que puede ser parabólica cuando la velocidad del proyectil es igual a la de escape e hiperbólica cuando es mayor que ésta. Se demuestra que en todos los casos las trayectorias cónicas citadas tienen sus focos en el centro de la tierra. El astrónomo alemán Karl Schwarzschild predijo en 1916 la existencia de cuerpos celestes que provenían de la evolución de estrellas que se comprimían bajo el efecto gravitatorio de su propia materia. Si el campo gravitatorio propio de estos cuerpos celestes es tan intenso que la velocidad de escape iguala a la de la luz, ésta, que tiene una masa asociada y por lo tanto es afectada por la gravedad como cualquier cuerpo, no podrá escapar fuera de la influencia del astro, y éste será invisible para los de otros ½ 8 mundos. Esto se cumple cuando ve = (2.kG.M/r T) = c (velocidad de la luz = 3.10 m/s) La relación masa/radio necesaria para que un cuerpo no pueda emitir luz por 2 16 -11 26 efecto gravitatorio es M/RSch = c /2/kG = 9.10 /2/(6.72.10 ) = 6,7.10 El radio correspondiente para un cuerpo esférico de masa M cuya velocidad de escape sea la de la luz se llama “radio de Schwarzschild”. Para el caso de al tierra vale: 24 26 RSch = 5,98 10 Kg / 6,7 10 = 8,9 mm (dimensiones de una bolita como la que se usa para jugar al “hoyo”) 26 La velocidad de escape es la que tendría un cuerpo en caída libre desde una altura igual al radio terrestre si su aceleración g se mantuviera constante, es decir si el campo fuera paralelo (cosa que en realidad no se cumple). FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 93 Energía asociada a la gravedad Un sistema de dos masas posee energía de forma (potencial) intrínseca, que proviene del trabajo realizado para colocarlas a cierta distancia. Si consideramos que “formamos” el sistema trayendo los cuerpos desde el infinito (o sea desde potencial cero) hasta la distancia r, habrá que ir aguantando la atracción gravitatoria durante el acercamiento, obteniendo así energía en vez de suministrarla. Es decir que la energía de configuración de dos masas a cierta distancia es negativa. Desde ese punto de vista, una masa concentrada en un volumen de dimensión R supone una energía negativa de formación, si consideramos que está formada por acreción (agregado) de partículas de masa elemental dm que descienden a un hoyo de potencial cada vez más profundo, proporcional a la masa acumulada y a la inversa del radio de acreción. Se puede entender este proceso gradual de formación comparándolo don el de la construcción de un pozo de profundidad R del que se extrae una cantidad total de tierra M con baldecitos que contienen una cantidad dm. Extraer el primero requiere un trabajo mínimo. A medida que el pozo se profundiza, cada balde se debe subir desde más abajo. Se demuestra que el trabajo total es la mitad del que supone subir toda la tierra desde el fondo M.g.R, es decir M.g.R/2. Del mismo modo, la energía para “armar” una masa M con elementos dm sobre una esfera de radio R es la mitad de la que se requiere para traer esa masa desde potencial cero hasta el potencial kG.M/R , es decir -½.kG.M 2/R (con signo 27 negativo). Para los que prefieren el cálculo infinitesimal a los razonamientos analógicos, el resultado anterior sale de integrar dos veces la fuerza elemental de segundo orden d2F = kG/r2.dm2 por la distancia dr , entre los límites m=0 a m=M , y entre r=∞ ∞ a r=R , es decir EG = kG ∫ ∫ ∫1/r2dm.dm.dr La energía de configuración asociada a una masa m es por lo tanto negativa, y se puede considerar que está distribuida en el campo gravitatorio cuyo valor en función de la distancia vale g(r)=kG.M/r2. Una esfera hueca de masa m y radio r produce un campo sobre su superficie que vale g(r)= kG.m/r2 (igual que una masa m concentrada en el centro). Si su radio se contrae en dr dejará libre un volumen dV = 4.π.r2.dr , ocupado con el campo gravitatorio, a costa de un trabajo negativo dE = m.g(r).dr = -kG.m2/r2.dr La energía por unidad de volumen de campo gravitatorio vale dE/dV = -kG/4/π π.m2/r4 = - 1/(4π πkG)g(r)2 27 Se demuestra que para acumular esa masa dentro de un volumen esférico en vez 2 de una cáscara de espesor infinitesimal, el trabajo es algo mayor que ½ kG.M /R FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD 94 Es decir que la densidad volumétrica de energía contenida en el espacio afectado por un campo gravitatorio es negativa y proporcional al cuadrado del valor de dicho campo. Vemos así que el campo gravitatorio, imaginado inicialmente como mera construcción físicomatemática para modelizar el mecanismo de la transmisión de fuerzas a distancia, adquiere ahora una nueva jerarquía, cercana a la de la materia que le da origen, con la propiedad de tener energía negativa 28 asociada . 28 El Ing. Rodríguez de Bello y otros han desarrollado una teoría que contempla los efectos gravitatorios al asignar un equivalente de masa negativa a la correspondiente energía negativa del campo gravitatorio. FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD a -o-o-o- FÍSICA GENERAL ÍNDICE TEMÁTICO DE LA SEGUNDA PARTE DINÁMICA Y GRAVEDAD DINÁMICA (movimiento bajo la acción de fuerzas)..............................39 Fuerza............................................................................................39 Masa..............................................................................................39 Cantidad de movimiento .................................................................39 Interacción de la materia........................................................................39 Ley de conservación de la cantidad de movimiento.............................39 Interacción entre cuerpos ...................................................................40 Centro de gravedad de un sistema de masas...............................40 Acciones de las fuerzas .........................................................................41 Fuerzas exteriores e interiores a un sistema de masas........................41 Jugando al billar – Primera parte.....................................................41 Efectos de las fuerzas ........................................................................42 Trabajo de una fuerza............................................................................43 Energía de un sistema...........................................................................43 Tipos de energía................................................................................44 Energía cinética - Teorema de la fuerza viva ...................................44 Energía potencial............................................................................45 Sistemas de fuerzas conservativas ..............................................45 Sistemas de fuerzas NO conservativas ........................................46 Principio de conservación de la energía - Calor y Termodinámica........47 Jugando al billar – Segunda parte.......................................................49 Choque elástico y plástico ..............................................................50 Coeficiente de restitución ............................................................50 Choque elástico ..........................................................................51 Choque oblicuo ...........................................................................52 Choque plástico ..........................................................................53 Mecánica de los cuerpos rígidos ............................................................53 Concepto de cuerpo rígido .................................................................53 Centro de masa de los cuerpos rígidos. ..............................................54 Fuerza viva de los cuerpos rígidos......................................................55 Momento de inercia ........................................................................55 Cálculo del momento de inercia de un cilindro de radio R y altura L con respecto a su eje ..................................................................56 Crónicas del CNBA..................................................................56 Cuerpos rígidos sometidos a fuerzas ..................................................57 Resultante de un conjunto de fuerzas aplicadas a un cuerpo rígido..58 Problema general en el espacio...................................................58 Problema en el plano ...............................................................59 Método del polígono funicular...................................................59 FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD b Justificación del método del polígono funicular ......................... 60 Momento de una fuerza con respecto a un punto ............................ 61 Casos en que el momento de una fuerza con respecto a un punto es nulo .............................................. 61 Momento y Trabajo.................................................................. 61 Momento de un sistema de fuerzas.......................................... 62 Momento de una cupla................................................................ 63 Composición de fuerzas paralelas aplicadas al cuerpo rígido........... 64 Fuerzas concentradas y distribuídas................................................... 65 Gravedad ................................................................................................. 67 Peso.................................................................................................. 67 Centro de gravedad ........................................................................... 68 Ley de la gravedad ............................................................................ 68 Gravedad en la superficie de un cuerpo .......................................... 70 Alcance de la ley de gravitación ......................................................... 71 Fuerzas a distancia – Campo y potencial gravitatorio ............................. 71 Campo gravitatorio ............................................................................ 72 Teorema de Gauss......................................................................... 73 Gravedad en acción........................................................................... 73 Caída de los cuerpos – Masa inercial y gravitatoria ......................... 74 Péndulo ......................................................................................... 74 Péndulo matemático ................................................................... 77 Fenómenos Giroscópicos................................................................... 79 Balanza.......................................................................................... 82 Experiencia para determinar kG ................................................... 83 El problema del tiro ........................................................................ 85 Tiro en el vacío ........................................................................... 85 Tiro en el seno de un fluído ......................................................... 86 En torno a la gravedad....................................................................... 88 Transitando por la gravedad............................................................... 89 Escapando de la gravedad................................................................. 91 Energía asociada a la gravedad ......................................................... 93 FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD c ÍNDICE ALFABÉTICO DE LA SEGUNDA PARTE acción a distancia, 67 aceleración centrífuga del movimiento, 69 aceleración de la gravedad, 67 Aconcagua, 67 acreción, 93 analogía fluída (gravitación), 73 arco de alambre, 68 atracción gravitatoria. Véase gravedad atracciones y repulsiones magnéticas, 71 balanza, 82 baricentro, 40, 55, 67 billar (jugando), 41, 49 bolitas (juego), 51 Boys (determinaciónde kG), 85 Buenos Aires, 67 caída de los cuerpos, 73 calor, 44, 47, 49 campo de fuerzas conservativo, 46 campo eléctrico, 72 campo gravitatorio, 72, 73 campo magnético, 72 cantidad de movimiento, 39 cantidad de movimiento (conservación), 39 carena (superficie de carena), 87 Carnot, 49 carrito, 42 Cavendish (determinación de kG), 85 centro de gravedad, 40, 67 centro de masa, 54 centro de masas, 40, 67 chapa, 68 choque elástico, 51 choque elástico y plástico, 50 choque oblicuo, 42, 52 choque plástico, 53 choque recto, 42 coeficiente de restitución, 50 cohete (satélite), 89 composición de fuerzas paralelas, 64 configuración del sistema (energía), 45 conservación de la energía, 47 crónicas del CNBA, 56 cuerpo rígido, 53 cupla, 63 densidad, 66 desagüe (flujo de agua), 72 determinación de kG, 83 diferencia de potencial, 46 dinámica, 39 dinamómetro, 60 ecuación del péndulo, 76 elipse, 88 energía (tipos), 44 energía cinética, 44, 45, 48 energía de configuración, 47 energía de un péndulo, 75 energía de un sistema, 43 energía interna, 48 energía muscular, 47 energía negativa (campo gravitatorio), 93 energía potencial, 45, 48 energía térmica, 47 esfuerzo muscular, 39 evoluciones, 47 exactitud (balanza), 83 experiencia de Joule, 45 fenómenos giroscópicos, 79 fuentes del campo, 46 fuentes y sumideros (gravedad), 71 fuerza, 39 fuerza de gravedad, 67 fuerza viva. Véase energía cinética fuerza viva (cuerpo rígido), 55 fuerza viva de rotación, 55 fuerza viva de traslación, 55 fuerzas (efectos), 42 fuerzas a distancia, 71 FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD fuerzas concentradas, 58 fuerzas concentradas y distribuídas, 65 fuerzas conservativas, 45 fuerzas coplanares, 59 fuerzas distribuídas, 58 fuerzas en el espacio, 58 fuerzas entre cuerpos electrizados, 71 fuerzas exteriores e interiores, 41 fuerzas no conservativas, 47 función potencial, 89 gasto, 72 Gauss (teorema), 73 giróscopo, 79 gravedad, 46, 67 gravedad (en torno a la), 88 gravedad (energía asociada a la), 93 gravedad (escapando de la), 91 gravedad (transitando por la), 89 gravedad en acción, 73 gravedad y distancia, 69 gravitación universal (constante de), 70 inercia, 43 interacción (materia), 39 Joule (unidad), 43 ley de gravitación, 68 ley de gravitación (alcance), 71 líneas de corriente, 72 líneas de fuerza (campo), 46 lugar de aplicación (fuerza), 58 luna, 68 manzana (Newton), 68 masa, 39 masa concentrada, 53 masa distribuída, 53 masa inercial y gravitatoria, 74 memoria de forma, 47 modelo topográfico (campo), 46 momento de inercia, 55 momento de inercia (péndulo), 76, 77, 79 momento de inercia de un cilindro, 56 d momento de inercia de un disco, 78 momento de inercia de un prisma de base rectangular, 78 momento de inercia del círculo, 78 momento de la cantidad de movimiento, 80 momento de primer orden, 65 momento de segundo orden. Véase momento de inercia momento de un sistema de fuerzas, 62 momento de una cupla, 63 momento de una fuerza, 61 momento y trabajo, 61 movimiento central, 69, 88 Newton, 68, 80 Newton (resistencia inercial), 87 Newton (unidad de fuerza), 39 nutación, 80 órbita (satélite), 89 órbita de la luna, 69 parábola, 88 parábola de tiro, 85 paralelogramo de fuerzas, 59 partículas materiales, 58 péndulo, 74 péndulo físico, 74 péndulo físico y balanza, 82 péndulo matemático, 77 período del péndulo, 75 peso, 67 peso de los objetos, 73 plomo, 83 Poggendorff (giróscopo), 80 polígono funicular, 59, 64 potencial, 46 potencial nulo, 91 Poynting (determinación de kG), 85 precesión, 80 precisión (balanza), 83 presión, 39, 66 presión del viento, 65 primer principio de la FÍSICA – DINÁMICA Y GRAVEDAD Termodinámica, 49 principio de conservación de la masa-energía, 48 principio de inercia, 74 propiedades del espacio, 44 proyectil (movimiento), 88 punto de aplicación, 58 reacción giroscópica, 80 recta de acción, 58 resistencia del aire, 43 resistencia viscosa, 47 resorte, 45 resorte (trabajo), 47 restitución (coeficiente), 50 resultante, 58 Rodríguez de Bello (gravitación), 94 romanas (balanza), 83 rozamiento, 43, 47 satélite artificial, 88 Schwarzschild (radio de), 92 sensibilidad (balanza), 83 e símil topográfico de la gravedad, 90 Steiner (teorema de), 78 Stokes (resistencia viscosa), 86 Sucre, 67 sumideros del campo, 46 tango, 91 termodinámica, 47 tierra, 69 tierra (curvatura), 88 tiro en el seno de un fluído, 86 tiro en el vacío, 85 trabajo de una fuerza, 43 trayectorias de tiro, 87 trompo, 79 umbral (balanza), 83 vector momento, 63 velocidad angular (péndulo), 75 velocidad de escape, 92 velocidad de inserción (satélite), 89 velocidad de precesión, 81