APARATO DE OSCILACIÓN GIRATORIA Cálculo de

Laboratorio de Física
APARATO DE OSCILACIÓN GIRATORIA
Cálculo de Momentos de Inercia
1. OBJETIVO
Estudio de las vibraciones de torsión aplicadas a la determinación cuantitativa de
momentos de inercia de distintos cuerpos. Comprobación experimental del teorema de Steiner.
2. FUNDAMENTO TEÓRICO
La dinámica de la rotación nos indica que la variación temporal del momento angular, Lo,
de un sistema de partículas es igual al momento de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema,
Mo, siendo “o” el centro de masas del sistema ó un punto fijo:
dL o
= Mo
dt
(1)
Para un sólido rígido que gire con una velocidad ω alrededor de uno de los ejes principales
de inercia:
Lo = Io·ω
(2)
siendo Io el momento de inercia del sólido respecto de dicho eje, y por lo tanto:
Mo =
dL o d(I o ω)
dω
d2 Φ
=
= Io
= Io 2
dt
dt
dt
dt
(3)
siendo Φ el ángulo de rotación.
Para un muelle de torsión que se comporte de acuerdo a la ley de Hooke, el momento
producido por el muelle será proporcional al ángulo de separación respecto a su posición de
equilibrio:
(4)
Mo = -K .Φ
donde K es la constante de recuperación del muelle.
La ecuación del movimiento resulta ser entonces:
d²Φ/dt² + (K/Io) Φ = 0
(5)
que corresponde a un movimiento armónico simple con un período:
T² = 4π²(Io/K)
Momentos de Inercia
(6)
1
Laboratorio de Física
ecuación que nos permitirá determinar Io si conocemos K y medimos T.
Si el sólido gira respecto a un eje paralelo al que pasa por su centro de masas situado a una distancia
d, el momento de inercia, según el teorema de Steiner, será:
I = Io + m d²
(7)
siendo m la masa del cuerpo.
En esta situación el período vendrá dado por la expresión:
T² = (4π²/K) (Io + m d²)
(8)
3. MATERIAL UTILIZADO
•
•
•
•
•
•
•
•
Eje de rotación
Esfera de 14 cm de diámetro, con espiga tensora para su sujeción al eje de rotación.
Cilindro hueco metálico de 10 cm de diámetro exterior y 0.4 cm de grosor de pared. El
cilindro lleva en el centro una espiga tensora para la sujeción en el eje de rotación.
Cilindro macizo con distribución homogénea de la masa y diámetro 10 cm. Una espiga
tensora sirve para fijarlo directamente al eje de rotación.
Barra con masas móviles, siendo la longitud de la barra de 60 cm. Las masas son iguales y
se fijan a la varilla mediante tornillos aprisionadores.
Disco con perforaciones diametrales. Dispone de una pieza tensora con espiga para la
sujeción al eje de rotación.
Barrera Fotoeléctrica con contador para medida del periodo.
Dinamómetro para medida de la fuerza.
4. EXPERIMENTACIÓN
4.1.- Determinación de la constante de recuperación K del muelle de torsión
Se coloca el disco con perforaciones diametrales centrado sobre el eje de torsión, tal y
como muestra la figura 1.
Con un dinamómetro colocado sobre uno de los agujeros del disco, se determina la fuerza
necesaria para girar el conjunto un ángulo determinado. Se mantendrá siempre el dinamómetro
perpendicular al radio del disco para que el producto de la fuerza por la distancia, desde el punto
de aplicación al centro del disco, dé directamente el momento de la fuerza, M. Se toma el valor de
la fuerza para varios ángulos, utilizando los diferentes agujeros del disco.
Momentos de Inercia
2
Laboratorio de Física
Figura 1. Dispositivo experimental
Angulo Φ (rad)
Distancia d (m)
Fuerza F (N)
Momento M=F·d
Representen gráficamente el momento, M, en función del ángulo, Φ. Ajusten los datos a una
recta por el método de mínimos cuadrados y, a partir de la pendiente calculen la constante de
recuperación del muelle K, según se deduce de la expresión (4).
4.2.- Comprobación experimental del teorema de Steiner
Se mide el período de oscilación del disco, T, en los diferentes agujeros que se encuentran a
una distancia d del centro de masas.
Para la medida de los períodos de oscilación se utiliza un contador de tiempos, ver figura 2.
Asegúrense que está seleccionada la posición
y sigan los siguientes pasos:
- Coloquen el dispositivo experimental (muelle de torsión +disco) de tal forma que la guía
que sobresale del disco quede situada sobre el sensor del contador.
- Giren el disco 90o.
Momentos de Inercia
3
Laboratorio de Física
-
Presionen el set de la barrera fotoeléctrica y suelten el
disco.
El contador nos da directamente el valor de la mitad
del periodo.
Realicen varias medidas (3 por ejemplo) de cada período
a determinar, tomando como valor final la media de
ellas.
Figura 1. Barrera Fotoeléctrica con Contador
Distancia d (m)
Periodo T (s)
d2
T2
De acuerdo con la expresión (8), al representar gráficamente el periodo al cuadrado, T2, frente a la
distancia al cuadrado, d2, debe obtenerse una línea recta.
A partir del valor de la ordenada en el origen podrá determinarse el momento de inercia del disco
Io.
Calculen el error relativo cometido, comparando el valor del momento de inercia así calculado con
el real, calculado en base a su forma geométrica..
4.3.- Determinación del momento de inercia de otros cuerpos
Determinen, a partir de la expresión (6), los momentos de inercia del cilindro hueco,
cilindro macizo y esfera.
Midan para cada uno de los elementos los periodos de oscilación, T, de forma análoga a la
realizada en el apartado anterior.
Calculen, en cada caso, el error relativo cometido, comparando el valor del momento de inercia así
calculado con el real, calculado en base a su forma geométrica.
Momentos de Inercia
4
Laboratorio de Física
T (s)
Io(experimental) (kgm2)
Io(real) (kgm2)
%ε
Cilindro
Hueco
Cilindro
Macizo
Esfera
Para el caso particular de la barra con masas (ver figura 3), se realizarán medidas para varias
posiciones de separación entre las dos masas sobre la barra.
Figura 3. Barra con masas móviles
Al ser los momentos de inercia aditivos, para hallar el momento de inercia del conjunto se
sumará el momento de inercia de la barra más el momento de inercia de las dos masas, es decir:
Iconjunto = Ibarra + 2 Imasa = Ibarra + 2 m d2
(9)
Representen Iconjunto, calculado a partir de la expresión (6), en función de d2. Realicen un ajuste
por mínimos cuadrados y determinen, a partir de la ordenada en el origen, el momento de inercia
de la barra.
Comparen el valor así obtenido con el valor teórico en base a su forma geométrica. Indiquen el
porcentaje de error cometido.
Momentos de Inercia
5
Laboratorio de Física
T (s)
d (m)
Iconjunto (kgm2)
d2 (m2)
Al terminar la práctica, entreguen una copia de los datos experimentales obtenidos indicando
el título de la práctica, sus nombres y apellidos, grupo de teoría al que pertenecen y fecha de
realización.
En el Informe a entregar, se deben incluir todas las tablas de datos, las gráficas y ajustes
realizados, los valores calculados y su comparación con los valores reales, comentando los
posibles errores cometidos, y las conclusiones obtenidas.
Momentos de Inercia
6