Momento de inercia de un disco hueco

aletos
MECÁNICA
MOMENTO
Física para Ciencias e Ingeniería
1
DE INERCIA
Calcúlese el momento de inercia de un disco homogéneo, plano y hueco, de masa M, cuyos radios interior y exterior son respectivamente, R1, y R2, respecto de un eje perpendicular a su plano y que pasa por
su centro geométrico.
SOLUCIÓN:
El momento de inercia de un sólido rígido es, por definición,
I=
R2
∫ r dm
2
donde la integral debe calcularse de forma que quede incluido todo el cuerpo.
En el integrando aparecen dos variables, r y dm, de modo que hay que
buscar una relación que permita sustituir una variable en función de la otra.
Cuando el cuerpo tiene una cierta simetría, como en este caso, es fácil
encontrar dicha relación. La elección del elemento de masa dm debe realizarse de forma que todos los puntos de dicho elemento se encuentren a la misma
distancia r del eje de giro.
R1
dr
r
Si elegimos una corona circular de anchura dr, todos sus puntos se encuentran a la misma distancia r del
eje.
Para simplificar vamos a suponer que la densidad del disco es
dm
dv
y si consideramos el volumen v de un cilindro genérico de radio r y altura e, y diferenciamos su expresión,
obtenemos,
ρ=
v = πr 2e
dv = 2πerdr
así que la masa dm es,
dm = ρdv = 2πρerdr
sustituyendo en la expresión del momento de inercia, e integrando entre R1 y R2,
R
I=
∫
R2
R1
r dm =
2
∫
R2
R1
2πρer dr = 2πρe ∫
3
R2
R1
R 4  2 1
r dr = 2πρe   = πρe(R24 − R14 )
 4 R 2
3
1
La expresión entre paréntesis del último miembro de la serie anterior de igualdades se puede escribir en la
forma
1
I = πρe (R22 )+(R12 )(R22 ) −(R12 )
2
y teniendo en cuenta que la masa M es
M = ρV = ρπ(R22 − R12 )e
sustituyendo, queda finalmente,
1
I = M(R22 + R12 )
2
A partir de esta expresión se puede deducir fácilmente, como puede comprobarse, que el momento de inercia de un disco macizo de radio R, respecto de un eje perpendicular a su plano que pasa por su centro geométrico, es
1
I = MR 2
2
y el de un disco de anchura radial muy pequeña, tal que R1 ≈ R2 = R, es
I = MR 2