Homero Javier Oria Aguilera - DSpace@UCLV

Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingenierı́a Eléctrica Departamento de Automática y Sistemas Computacionales TRABAJO DE DIPLOMA Modelo dinámico de un vehı́culo de superficie tipo catamarán. Tesis presentada en opción al grado de Ingeniero en Automática Autor: Homero Javier Oria Aguilera Tutor: Msc. Yunier Valeriano Medina Dr.C. Luis Hernández Santana Santa Clara 2014 “Año 56 de la Revolución” Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingenierı́a Eléctrica Departamento de Automática y Sistemas Computacionales TRABAJO DE DIPLOMA Modelo dinámico de un vehı́culo de superficie tipo catamarán. Tesis presentada en opción al grado de Ingeniero en Automática Autor: Homero Javier Oria Aguilera [email protected] Tutor: Msc. Yunier Valeriano Medina Prof. Asistente Dpto. de Automática, Facultad de Ing. Eléctrica, UCLV email: [email protected] Dr.C. Luis Hernández Santana Prof. Titular Dpto. de Automática, Facultad de Ing. Eléctrica, UCLV [email protected] Santa Clara 2014 “Año 56 de la Revolución” Hago constar que el presente Trabajo de Diploma fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios en Automática, autorizando a que el mismo sea utilizado por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización de la Universidad. Homero Javier Oria Aguilera Autor Fecha Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada. Homero Javier Oria Aguilera Autor Fecha Boris Luis Martı́nez Jiménez, Dr.C Jefe del Departamento Fecha Responsable ICT o J’ de Carrera, (Dr.C., M.Sc. o Ing.) Responsable de Información Cientı́fico-Técnica Fecha PENSAMIENTO “Solo un ser que ha aprehendido las más sublimes de las irrealidades, puede dar forma a la realidad más elevada.” Walter Gropius i DEDICATORIA A mis padres, por ser el soporte y el pilar de lo que soy. A mis hermanos, por los chistes, los buenos y malos momentos, por el cariño que me han dado. A toda mi familia y amistades, por apoyarme en todo momento. A la Revolución. A todos los profesores que han dejado en mı́ la estela del conocimiento. ii AGRADECIMIENTOS Esta tesis es el resultado de 3 años de trabajo en el Grupo de Automatización, Robótica y Percepción (GARP ), y el fin de la etapa de estudiante. Los conocimientos son adquiridos durante toda la vida, pero los que he recibido durante estos 5 años son irremplazables. Gracias al GARP , al Departamento de Automática, a la Facultad de Ingenierı́a Eléctrica y a la Universidad Central Marta Abreu de las Villas. Quisiera agradecer a toda mi familia y amigos, a los que están y a los que ya emprendieron el viaje sin retorno: A mami, por inculcarme lo que tengo de luchador; a papi, por ser irremplazable y estar siempre ahı́ para mi; a Rubi, por darme un cariño infinito y una compañı́a inigualable; a Jeiler, a quien trato de enseñar el sentido de la vida; a Maya y Yino, por ser los mejores perros del mundo. A mi familia habanera y santiaguera: a mi abuelita Ángela, Noelsis, Noemı́, Ever y todos los que me soportaron en las vacaciones de mi infancia. En especial, agradecer a mi tı́o Yury, por ser el cientı́fico que aspiro convertirme. A mi familia santaclareña: a Anaibys, Eduardo, Dania, Yoyı́n, Blondy y Mota. Gracias. Parte de mis victorias son gracias a sus atenciones y afectos. A mi tutor Yunier, por ser un ejemplo de investigador e entrañable amigo. Esta tesis es también tuya mi hermano. A los Corei: al Charlie, por su sonrisa fácil y alegre compañı́a; a Carreño, por enseñarme a ser un lı́der; a Samy, por demostrar que el esfuerzo lo puede todo; en especial, a Anailys por la compañera de lucha en todas las trincheras. Al Pity, por sacarme de cualquier apuro. A la gente del GARP : Pablo, Urquijo, Oscar, Diamir, Mariano, Richard, Delvis; por aquellos momentos inolvidables. A mis amigos del paperview que aguantaron todas mis peleaderas: a Jorge, Milena, Omarito, Sandoval, Yoanner, Yasmany, Yairo, La O, Lemus, Allen, Daily y otros que se colaron a jugar alguna vez. A mis compañeros de aula, los que serán los futuros automáticos de esta sociedad. iii A todos mis amigos, de aquı́ y de allá, de dentro y de fuera, de Criollos y Festivales, de la Primaria hasta el Preuniversitario. A los que no veré nunca más después de estos 5 años. Gracias a todos. Nunca los olvidaré. Santa Clara, Cuba, 2014 iv RESUMEN La necesidad de ampliar la explotación y preservación de los recursos marinos hace que el interés por los vehı́culos marinos de superficie aumente. Temáticas como el modelado, la simulación y el control constituyen en la actualidad lı́neas abiertas a la investigación. En este trabajo se determina un modelo dinámico no lineal de seis grados de libertad para el catamarán de SIMPRO, que representa las principales caracterı́sticas dinámicas e incluye el efecto de los factores medioambientales. A partir del modelo obtenido se pretende desarrollar un simulador de entrenamiento para esta embarcación. Como primer paso del modelado se definen las ecuaciones que representan la dinámica del vehı́culo, a partir de las cuáles se obtiene el modelo no lineal mediante la aplicación de un procedimiento analı́tico y semi empı́rico. La validez del modelo se constata mediante simulación, utilizando el criterio de experto, con lo cual se corrobora la efectividad del comportamiento de las representaciones matemáticas obtenidas. v TABLA DE CONTENIDO Página PENSAMIENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i DEDICATORIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii AGRADECIMIENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. 2. ESTUDIO SOBRE LA APLICACIÓN DE TÉCNICAS DE MODELADO EN VEHÍCULOS MARINOS DE SUPERFICIE . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Desarrollo de los vehı́culos de superficie no tripulados. . . . . . . . . 5 1.3. Evolución histórica de los simuladores. . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Descripción general del catamarán de SIMPRO. . . . . . . . . . . . 12 1.5. Procedimientos aplicados en el modelado de vehı́culos marinos . . . 13 1.6. Consideraciones finales del capı́tulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 MODELADO MATEMÁTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Sistemas de coordenadas y notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3. Ecuaciones cinemáticas y dinámicas del cuerpo rı́gido . . . . . . . . 19 2.4. Fuerzas y momentos aplicados al catamarán . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.1. Fuerzas y momentos hidrodinámicos . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4.2. Fuerzas gravitacionales e hidrostáticas . . . . . . . . . . . . . 36 2.4.3. Fuerzas generadas por el viento . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4.4. Generador de olas y corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Consideraciones finales del capı́tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5. vi 3. MODELO DINÁMICO PARA EL CATAMARÁN DE SIMPRO . . . . . . 44 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2. Parámetros del cuerpo rı́gido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3. Parámetros relacionados con las fuerzas y momentos aplicados al catamarán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.1. Fuerzas y momentos hidrodinámicos . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.2. Fuerzas y momentos gravitacionales . . . . . . . . . . . . . . 48 3.4. Comportamiento del modelo no lineal de 6 GDL sin perturbaciones 49 3.5. Fuerzas del viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.6. Parámetros del generador de olas y corrientes . . . . . . . . . . . . 52 3.7. Comportamiento del modelo no lineal de 6 GDL con perturbaciones. 53 3.8. Análisis económico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.9. Consideraciones finales del capı́tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 RECOMENDACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 A. TABLA DE COEFICIENTES AERODINÁMICOS PARA BARCOS MERCANTES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 B. PROCEDIMIENTO PARA EL CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES ADIMENSIONALES EN EL DESPLAZAMIENTO LATERAL Y LA GUIÑADA 69 C. RESISTENCIA DE CASCOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 C.1. Análisis teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 C.2. Métodos de estimación de resistencia de cascos . . . . . . . . . . . . 74 TABLA DE COEFICIENTES ADIMENSIONALES. . . . . . . . . . . . . 77 D. vii INTRODUCCIÓN El término vehı́culo de superficie engloba a barcos, embarcaciones de alta velocidad, ası́ como otros vehı́culos que posean una estructura vacı́a que flote sobre la superficie con propósitos de transporte y navegación (Fossen, 2011). Los catamaranes son embarcaciones de dos cascos, habitables o no, unidos entre sı́ por una estructura o plataforma (de Sousa, 2004). Las caracterı́sticas más reseñables son su estabilidad y la falta de lastre. Los catamaranes se utilizan en el estudio de distintas esferas como son los ecosistemas marinos, las propiedades del agua y su interacción con la atmósfera y la dinámica de las plataformas continentales. Además, participan en misiones de inspección de costas (Oleynikova, 2010), y de plataformas de extracción y tuberı́as de conducción, en la detección de residuos que amenazan al ambiente marino o de derramamientos de sustancias tóxicas, ası́ como en el apoyo a la industria pesquera (de Sousa, 2004). Los vehı́culos de superficie operan en un medio hostil, donde enfrentan peligros como fenómenos meteorológicos de gran envergadura, ası́ como cambios en las condiciones del mar, que pueden poner en riesgo la vida humana, e incluso la destrucción de la embarcación. La construcción de simuladores juega un papel fundamental en la preparación del personal especializado para evitar accidentes. Según la definición de la Real Academia Española1 , un simulador es un aparato que reproduce el comportamiento de un sistema en determinadas condiciones, utilizado generalmente en el entrenamiento de quienes deben manejar dicho sistema. Se trata de un sistema mecánico que permite la simulación de un proceso, donde se reproduce su comportamiento. Los simuladores reproducen sensaciones fı́sicas (velocidad, aceleración, percepción del entorno) o el comportamiento de los equipos de la máquina que se pretende simular (Carballo, 2011). Existen diferentes tipos, dependiendo del campo que se quiera abarcar, entre ellos se encuentran los de conducción (Sánchez, 2000), carreras (CKAS, 2011), vuelos (CAE, 2014), trenes (Grube, 2009), incluso algunos enfocados a la dinámica de procesos tan complejos como los negocios (Größler, 1999), la polı́tica (Bresinsky, 2003), la economı́a 1 http://www.rae.es/ 1 INTRODUCCIÓN 2 (Liu, 2011), la agricultura (Happe, 2006), los fenómenos medioambientales (Finney, 2004), entre otros. Todos tienen en común un elemento importante, la existencia de un ambiente virtual, seguro y totalmente controlado. En Cuba, el Centro de Investigación y Desarrollo de Simuladores (SIMPRO) es el encargado del desarrollo de simuladores con el objetivo de reducir importaciones y gastos. Esta entidad se ha propuesto desarrollar un simulador de entrenamiento para un vehı́culo de superficie tipo catamarán. La aplicación debe asegurar un adecuado entrenamiento del personal en el manejo del vehı́culo para distintos tipos de maniobras, donde las condiciones del viento, de las corrientes marinas y del oleaje pueden ser alteradas. Para poder llevar a cabo este proyecto resulta necesario modelar la dinámica de la embarcación, ası́ como de los factores medioambientales que lo afectan, para evaluar su desempeño en los seis grados de libertad (6 GDL). Esta tarea ha sido asumida por el Grupo de Automatización, Robótica y Percepción (GARP ), el cual cuenta con la experiencia de haber obtenido un modelo no lineal de 6 GDL para el vehı́culo autónomo subacuático HRC-AUV (Valeriano-Medina, 2013b,a). Por lo que con esta investigación se pretende obtener el modelo de 6 GDL para el vehı́culo de superficie tipo catamarán de SIMPRO, con vistas a utilizarlo en la implementación de un simulador de entrenamiento. Los modelos se utilizan para la predicción y simulación en tiempo real, y para el diseño de observadores y controladores. Atendiendo a su complejidad y al número de ecuaciones diferenciales que utilizan, pueden distinguirse tres tipos de modelos (Fossen, 2011): modelo de simulación, modelo para el diseño del control y modelo para el diseño del observador. En la literatura se reportan numerosos ejemplos de investigaciones que se realizan con el propósito de obtener modelos dinámicos de vehı́culos marinos, que pueden ser útiles en la simulación, ası́ como en el diseño de los controladores y observadores (Fossen, 2006; daSilva, 2007; Garcia-Garcia, 2012; Valeriano-Medina, 2013a). En el desarrollo e implementación de simuladores de cualquier tipo, se utiliza un modelo dinámico de simulación para recrear el comportamiento del vehı́culo. Este modelo, por lo general de 6 GDL, incluye la dinámica y el sistema de propulsión de la embarcación, el sistema de medición y las fuerzas medioambientales producidas por el viento, las olas y las corrientes marinas. Además, se tienen en cuenta otras caracterı́sticas que no se utilizan en el diseño del control y del observador, pero que influyen en la exactitud del modelo. El modelo de simulación debe ser capaz de reconstruir las respuestas del sistema en tiempo real y activar modos de fallos para simular eventos como accidentes y señales erróneas (Valeriano-Medina, 2013a). Atendiendo a lo anteriormente expresado, se plantea el siguiente problema cientı́fico: INTRODUCCIÓN 3 Problema cientı́fico: No se dispone de un modelo matemático, que represente la dinámica del vehı́culo de superficie tipo catamarán de SIMPRO y las afectaciones que sobre el mismo provocan las fuerzas medioambientales, y que pueda utilizarse para el desarrollo de un simulador de entrenamiento. Una vez realizada la revisión bibliográfica, cuyos resultados se presentan en el Capı́tulo I, se plantea la siguiente hipótesis: Hipótesis: Un modelo dinámico no lineal de seis grados de libertad para el vehı́culo de superficie tipo catamarán de SIMPRO, que incluya el efecto de las perturbaciones marinas, puede determinarse mediante la aplicación de un procedimiento de modelado analı́tico y semi empı́rico, a partir del cual se garantizarı́a la simulación de los movimientos del vehı́culo. Con esta investigación se pretende cumplir los siguientes objetivos: Objetivo general: Determinar un modelo dinámico no lineal de seis grados de libertad, que represente las principales caracterı́sticas dinámicas del vehı́culo de superficie tipo catamarán de SIMPRO e incluya el efecto de los factores medioambientales, con el cual se pueda desarrollar un simulador de entrenamiento para esta embarcación. Objetivos especı́ficos: 1. Analizar los aspectos teóricos relacionados con el modelado de vehı́culos marinos que aparecen reportados en la literatura. 2. Establecer el procedimiento a seguir para la obtención del modelo dinámico no lineal de 6 GDL del catamarán, incluyendo el efecto que provocan las perturbaciones marinas. 3. Calcular los términos del modelo dinámico no lineal de seis grados de libertad del catamarán. 4. Evaluar mediante simulación el comportamiento del modelo dinámico no lineal del catamarán durante el desarrollo de distintas maniobras. Para cumplir con los objetivos del trabajo, se consideran las siguientes tareas investigativas: Estudio en la literatura especializada de los aspectos teóricos relacionados con el modelado de vehı́culos marinos. Análisis de los diferentes procedimientos de modelado que se aplican para obtener el modelo dinámico de 6 GDL. Selección del procedimiento de modelado a aplicar para la obtención del modelo dinámico de 6 GDL del catamarán de SIMPRO. Cálculo de las matrices del cuerpo rı́gido a partir de los parámetros geométricos del vehı́culo. INTRODUCCIÓN 4 Cálculo de los términos hidrodinámicos, dimensionales y no dimensionales del vehı́culo, utilizando expresiones analı́ticas y aproximaciones geométricas. Representación del efecto que provocan las olas, las corrientes y el viento en la dinámica del vehı́culo. Implementación del modelo dinámico de 6 GDL del catamarán de SIMPRO en el software Matlab. Simulación de distintas maniobras que permitan analizar el comportamiento del modelo obtenido. La importancia de esta investigación radica en haber obtenido un modelo no lineal de 6 GDL, analı́tico y semi empı́rico, para el vehı́culo tipo catamarán de SIMPRO, aplicando un procedimiento que tiene en cuenta los datos geométricos del vehı́culo, sus caracterı́sticas fı́sicas y los efectos que provocan las perturbaciones marinas. La investigación incluye tres capı́tulos, además de las conclusiones, recomendaciones, referencias bibliográficas y anexos correspondientes. Los temas que se abordan en cada capı́tulo se encuentran estructurados de la forma siguiente: Capı́tulo I: se abordan las principales caracterı́sticas constructivas, geométricas y fı́sicas que distinguen al vehı́culo catamarán de SIMPRO. Se efectúa un análisis de los principales aspectos relacionados con el modelado de los vehı́culos marinos. El capı́tulo concluye con una valoración crı́tica de los procedimientos de modelado aplicados en vehı́culos marinos. Capı́tulo II: en este capı́tulo se realiza una descripción detallada del modelado no lineal de un vehı́culo de superficie tipo catamarán en los seis grados de libertad. Se define la nomenclatura, sistemas de coordenadas y variables a emplear. Las ecuaciones no lineales se presentan en forma compacta, para ser utilizadas luego en simulación. Se aborda en detalle los procedimientos para modelar los términos del cuerpo rı́gido, hidrodinámicos e hidrostáticos. Además, se incluye el modelado de las olas, las corrientes marinas y el viento. Capı́tulo III: se presentan los resultados de los términos del modelo no lineal de 6 GDL para el catamarán de SIMPRO, calculados en base a los datos geométricos y fı́sicos del vehı́culo. El comportamiento del modelo se evalúa mediante la simulación de distintas maniobras que aparecen reportadas en la literatura. Además, se presenta el análisis económico de la investigación. . CAPÍTULO 1 ESTUDIO SOBRE LA APLICACIÓN DE TÉCNICAS DE MODELADO EN VEHÍCULOS MARINOS DE SUPERFICIE 1.1. Introducción. En este capı́tulo se tratan los aspectos fundamentales relacionados con el modelado de vehı́culos marinos. Se incursiona en las principales caracterı́sticas que presentan los vehı́culos de superficie no tripulados y los simuladores marinos, debido a que en estas aplicaciones resulta necesario determinar un modelo dinámico. Adicionalmente, se realiza una descripción fı́sica del vehı́culo catamarán de SIMPRO, el cual constituye el objeto de estudio de esta investigación. Por último, se evalúan crı́ticamente los procedimientos de modelado que se aplican en vehı́culos marinos, a partir de lo cual se plantea la hipótesis de esta tesis. 1.2. Desarrollo de los vehı́culos de superficie no tripulados. Los vehı́culos de superficie no tripulados (USVs, unmanned surfaces vehicles) incluye a aquellas embarcaciones marinas que son operadas remotamente y a las que por su alto grado de autonomı́a no necesitan de contacto con operador humano alguno, durante la ejecución de una misión (Manley, 2008). Como los sistemas de posicionamiento globales se han vuelto más compactos, efectivos y accesibles, el uso de este tipo de vehı́culos se ha extendido (Caccia, 2005; Naeem, 2006; Ferreira, 2006; Curcio, 2008). El largo alcance y el gran ancho de banda presente en los sistemas de datos inalámbricos, han sido la llave del incremento del uso de estos vehı́culos en distintos tipos de aplicaciones. Hoy en dı́a, los USV han sido desarrollados e implementados por laboratorios pertenecientes a instituciones académicas, corporaciones empresariales y centros gubernamentales (Caccia, 2005; Pascoal, 2000). Las misiones que realizan estos vehı́culos abarcan las ciencias marinas (Pascoal, 2000; Curcio, 2008), la batimetrı́a (Manley, 1997), la defensa (Navy, 2007) e investigaciones en el campo de la robótica en general (Elkaim, 2006). A pesar de la proliferación de varios prototipos de USV, existen pocos en el mercado, en 5 ESTUDIO SOBRE LA APLICACIÓN DE TÉCNICAS DE MODELADO EN VEHÍCULOS MARINOS DE SUPERFICIE 6 comparación con los vehı́culos subacuáticos no tripulados (UUV, unmanned underwater vehicles). Si bien el vehı́culo catamarán de SIMPRO no tiene caracterı́sticas autónomas, resulta oportuno presentar un pequeño resumen de como han evolucionado a lo largo de la historia los USV, debido a que durante el desarrollo de este tipo de aplicaciones se han obtenido importantes resultados en el área del modelado. Durante la Segunda Guerra Mundial, los USV fueron desarrollados para la detección de minas y la estimación del daño en una batalla. Por ejemplo, en 1946, durante la Operación Crossroads, botes tele-operados se usaron para obtener muestras de agua radiactiva después de cada una de las explosiones nucleares en Hiroshima y Nagasaki (Navy, 2007). En la década del pasado siglo, embarcaciones operadas remotamente, con casco de fibra de vidrio de 23 f t, y motores V − 8, fueron utilizados en Nha Be, en el sur de Saigon, para la detección de minas durante la guerra de Vietnam. Tres décadas después, el prototipo operacional remoto para cazar minas RMOP, fue empleado por USS Cushing durante 12 dı́as en el Golfo Pérsico (Navy, 2007). Las inspecciones marinas han propiciado el surgimiento de variedades de formas en estos vehı́culos. La estabilidad, la capacidad de carga útil y las facilidades en el acceso a cubierta hacen a los catamaranes una opción convincente para investigaciones académicas y militares. Un programa para el desarrollo de vehı́culos autónomos de superficie se ejecutó por parte del Programa Marino de Becas del MIT 1 , desde 1993 a 2000 (Caccia, 2005). El objetivo consistı́a en desarrollar un vehı́culo autónomo ligero para propósitos educacionales, inspecciones precisas, ası́ como lograr enlaces de comunicación y navegación con los vehı́culos autónomos subacuáticos. El primer prototipo desarrollado se nombró ARTEMIS (Caccia, 2005). Este vehı́culo se concibió como una réplica en escala de un barco de pesca usado como plataforma para probar el rendimiento de la navegación y los sistemas de control. El ARTEMIS se utilizó para recolectar datos en el rı́o Charles en Boston, Massachusetts (Manley, 1997). Debido al pequeño tamaño que poseı́a el ARTEMIS, se adaptó un prototipo con kayaks de mayores dimensiones. 1 Massachusetts Institute Technology ESTUDIO SOBRE LA APLICACIÓN DE TÉCNICAS DE MODELADO EN VEHÍCULOS MARINOS DE SUPERFICIE 7 Durante 1996 y 1997, se desarrolló el UVS ACES (Autonomous Coastal Exploration System) (Manley, 1997). Utilizando las experiencias del ARTEMIS, esta implementación tenı́a la perspectiva de concebir un sistema versátil y de fácil mantenimiento. Después de completar una serie de misiones de inspección hidrográfica, satisfactoriamente en el puerto de Boston (Manley, 2008), el ACES se sometió a mejoras mecánicas y fue rebautizado con el nombre de AutoCat en el 2000 (Manley, 2008). La desclasificación del Plan Maestro, documento de la Marina de los Estados Unidos donde se aborda la utilización de los USVs en operaciones militares, abre las investigaciones en un nuevo camino: la cooperación entre USV (Manley, 2008). La evolución inmediata sobrevino con la incorporación de nodos de redes de comunicación en aplicaciones navales. El MIT ha implementado experimentos de cooperación entre varios kayaks a lo largo del rı́o Charles (Manley, 2008). En el perı́odo 1997 a 2000, la Unión Europea funda el proyecto ASIMOV2 para el desarrollo, entre otras cosas, de un enlace de comunicación rápido y fiable con un vehı́culo autónomo subacuático (Pascoal, 2000). Desde 1998 al 2000, el Ministerio Federal de Educación, Investigación y Tecnologı́a de Alemania auspició el Proyecto MESSIN, para el desarrollo y prueba del prototipo USV Measuring Dolphin, que se utilizarı́a en el posicionamiento de alta precisión, guiado y carga de dispositivos de medición en aguas poco profundas (Caccia, 2006). Este vehı́culo tipo catamarán, con cascos de material de fibra de vidrio, se diseñó para que fuese capaz de navegar con una capacidad de carga óptima y minimizar el movimiento en superficies marinas agitadas. En 2004, cuatro USV llamados SCOUT (Surface Craft for Oceanographic and Undersea Testing), fueron construidos por el Departamento de Ingenierı́a Oceanográfica del MIT, para desarrollar un software de control robusto para la cooperación con vehı́culos autónomos subacuáticos. El principal objetivo de la aplicación consistı́a en lograr la navegación de manera autónoma (Curcio, 2005). El USV del Instituto Superior Técnico de Lisboa (IST), desarrolla el DELFIM (Figura 1–1 (a)), persiguiendo las mismas metas que el proyecto ASIMOV (Pascoal, 2006). Este vehı́culo, de 3 m longitud y con una masa de 320 kg, es capaz de navegar autónomamente 2 Advanced System Integration for Managing the coordinated operation of robotic Ocean Vehicles ESTUDIO SOBRE LA APLICACIÓN DE TÉCNICAS DE MODELADO EN VEHÍCULOS MARINOS DE SUPERFICIE 8 y desarrollar un seguimiento de camino preciso (Alves, 2006). Este proyecto se toma como referente en esta investigación. Además del DELFIM, el IST desarrolla el CARABELA, un vehı́culo de largo alcance, para la prueba de conceptos avanzados del control del vehı́culo y la evasión de obstáculos por medio del radar (Caccia, 2006; Pascoal, 2006). El Instituto Superior de Ingenierı́a de Porto (ISEP), Portugal, implementa de igual manera los USV ROAZ (Figura 1–1 (b)) y ROAZ II (Sonnenburg, 2012). Además de recolectar automáticamente datos oceanográficos, el ROAZ II puede ser usado en misiones de búsqueda y rescate, pues porta dispositivos de captación de video (Ferreira, 2006). En 2004, un USV tipo catamarán nombrado Charlie, fue usado en una expedición italiana a la Antártida (Caccia, 2006). En el marco del Programa Nacional Italiano de Investigación a la Antártida (PNRA), colaboradores de distintos grupos cientı́ficos lograron realizar distintas investigaciones oceanográficas y estudiar las interacciones aire-mar (Caccia, 2005). El grupo de investigación MIDAS (Marine and Industrial Dynamic Analysis) de la Universidad de Plymouth, en el Reino Unido, desarrolló el USV Springer, cuya imagen se puede apreciar en la Figura 1–1 (c) (Caccia, 2006). Su misión principal consistı́a en detectar el grado de contaminación de las aguas marinas, a partir de la lectura de varios parámetros medioambientales (Sonnenburg, 2012). Como se puede apreciar, el desarrollo de esta tecnologı́a ha sido acelerado en paı́ses del primer mundo. En Cuba, hasta el momento, no se reporta ningún ejemplo. Sin embargo, la implementación de un simulador de entrenamiento para un catamarán, a partir del modelo dinámico de la embarcación, pudiera ser la base para un posterior desarrollo de este tipo de aplicación en el paı́s. 1.3. Evolución histórica de los simuladores. Un simulador es un sistema mecánico que permite la simulación de un proceso, donde se reproduce su comportamiento. Los simuladores reproducen sensaciones fı́sicas (velocidad, aceleración, percepción del entorno) o el comportamiento de los equipos de la máquina que se pretende simular. Para simular las sensaciones fı́sicas se puede recurrir a complejos mecanismos hidráulicos comandados por computadoras que, mediante modelos matemáticos, consiguen reproducir sensaciones de velocidad y aceleración (Vargas, 2010). Los simuladores son construidos usando tecnologı́as de punta, y proporcionan una experiencia virtual, intensa e inmersiva, caracterizada por una alta precisión en la réplica del ESTUDIO SOBRE LA APLICACIÓN DE TÉCNICAS DE MODELADO EN VEHÍCULOS MARINOS DE SUPERFICIE (a) DELFIM. 9 (b) ROAZ. (c) Springer Figura 1–1: Vehı́culos de superficie tipo catamarán desarrollados a nivel mundial. comportamiento del equipo real, una visualización avanzada y la integración completa de los sistemas de hardware (eTech Simulation, 2014). En la década del 40, aparecen los primeros antecedentes de lo que hoy se conoce como simuladores. Durante la Segunda Guerra Mundial, se construyeron miles de entrenadores de navegación y otros para preparar a las tripulaciones de bombarderos. Además, se reporta la implementación de un domo para aviones, provisto con ventanillas que recreaba la visualización de la lı́nea del mar durante la noche. Entre los objetivos principales que perseguı́an estos prototipos, se encuentra la reducción de los costos operacionales, ası́ como el logro de una alta fidelidad y efectividad en el entrenamiento (Blana, 1996). Desde 1903, hasta la década de los 80, un gran número de teorı́as fueron desarrolladas sobre la transferibilidad de las habilidades aprendidas en un simulador a la vida real, pero ninguna de ellas pudo demostrar ser la mejor (Blana, 1996). ESTUDIO SOBRE LA APLICACIÓN DE TÉCNICAS DE MODELADO EN VEHÍCULOS MARINOS DE SUPERFICIE 10 Todos los dispositivos eléctricos e hidráulicos podı́an ser simulados, pero no fue hasta la introducción de las computadoras analógicas, que se pudo integrar las ecuaciones matemáticas que describen el funcionamiento de estos dispositivos, a los diversos sistemas mecánicos. Como un paso de avance en el desarrollo de la tecnologı́a de los simuladores, se considera el surgimiento del primer simulador de vehı́culo aéreo Boeing 377. Esta aplicación fue desarrollada por la aerolı́nea PanAm en 1948. Sin embargo, las propias computadoras analógicas produjeron un cuello de botella, al aumentar la complejidad de los modelos con la incorporación de los datos de vuelo. La demanda del aumento en la fidelidad, motivó la introducción de las computadoras digitales en los simuladores de la época. Por su parte, simuladores de autopistas para la investigación se desarrollaron entre los años 50 y 60 del pasado siglo (Blana, 1996). Sin embargo, hubo una caı́da en el uso de estos simuladores a causa de la insuficiente representación visual, que la tecnologı́a de esta época podı́a brindar. En 1959, el primer simulador de movimiento fue construido por la Administración Nacional de la Aeronáutica y del Espacio (NASA), auspiciado por el programa espacial que desarrolla esta entidad. Los análisis de pérdida de control en operaciones extremas, motivaron el desarrollo de los simuladores centrı́fugos (Koekebakker, 2001). Hacia el año 1967, Klaus L. Cappel, desarrolla un simulador de movimiento que fue empleado como simulador de helicópteros (Izaguirre, 2012). Tres años más tarde, la necesidad de conseguir un entrenamiento más económico para los pilotos de aviación que la realización de vuelos reales, hizo que se desarrollasen una gran cantidad de simuladores de vuelo (Zabalda, 2007). En 1977, estaba disponible comercialmente un sistema de movimiento de 6 grados de libertad para vehı́culos aéreos (Blana, 1996). Entre los años 80 y 90, los principales avances de esta tecnologı́a consistieron en el desarrollo de los elementos visuales y computacionales. En estas décadas, lo que más interesaba eran los sistemas visuales, las mejoras en cuanto a desempeño y el alto valor comercial. Varios simuladores de conducción se implementaron en los Estados Unidos, empleando al menos, 16 técnicas diferentes para la generación del campo visual. Debido al rápido desarrollo tecnológico, han surgido simuladores para gran cantidad de aplicaciones, como los de conducción (Blana, 1996), otros que recrean el efecto del viento sobre distintos vehı́culos (Campos, 2008), además de aquellos que se utilizan en los deportes (Macko, 2008) y la rehabilitación médica (Sielhorst, 2004). Además, se reportan novedosos simuladores de vuelo para el entrenamiento de pilotos, entre los ESTUDIO SOBRE LA APLICACIÓN DE TÉCNICAS DE MODELADO EN VEHÍCULOS MARINOS DE SUPERFICIE 11 que destacan, los construidos por la NASA, (Norlin, 1995) y el simulador NADS de la Universidad de Iowa (Chen, 2001). Los progresos en la industria electrónica ha influenciado fuertemente el desarrollo y aplicación de simuladores marinos orientados al entrenamiento. Diversos tipos de simuladores de esta ı́ndole, se encuentran disponibles para cumplir los requerimientos de una enseñanza con calidad. El proceso de simulación permite evitar pérdidas de recursos materiales y peligros para la vida humana, siguiendo una determinada serie de ejercicios y procedimientos. La Organización Marı́tima Internacional (IMO) y el ISW G3 establecieron que la simulación es una imitación realista, en tiempo real, de cualquier maniobra, radar, navegación, propulsión, carga/lastre u otro subsistema de una embarcación que incorpore una interfaz amigable para los operadores internos y externos al ambiente de trabajo y cumplimentando con los estándares de la ST CW 4 (Cross, 2011). El entrenamiento en simuladores marı́timos comienza con los radares y simulación de maniobra del buque debido a la complejidad de los nuevos equipos de radar y luego la necesidad de investigar los movimientos del buque y reacciones de una manera más económica que por viajes de prueba extensos. Cualquier dinámica o proceso marı́timo complejo que tiene que ser dominado, sobre todo aquellos que son invisibles, como el bombeo de carga o lastre. Los simuladores marinos son diseñados desde el principio como sistemas modulares, permitiendo a los usuarios aumentar de forma dinámica el alcance y el tamaño de los equipos con el tiempo. El diseño de los sistemas está en continua evolución, siguiendo las sugerencias y necesidades de los usuarios, el asesoramiento de expertos y la evolución de la tecnologı́a (eTech Simulation, 2014). Los simuladores de radar y maniobra del buque son la extensión más conocida y amplia, pero es usual ver que otro tipo de actividades y equipos se han convertido en modelos para un sistema de simulador de formación marı́tima. Hasta la fecha, se han desarrollado e instalado simuladores para la preparación del personal en distintas ramas, entre las cuales se encuentran (Cross, 2011): - Entrenador para los equipos de navegación. - Entrenador para los procedimientos de comunicación 3 Intersessional Simulator Working Group 4 Standards of Training, Certification and Watchkeeping for Seafarers ESTUDIO SOBRE LA APLICACIÓN DE TÉCNICAS DE MODELADO EN VEHÍCULOS MARINOS DE SUPERFICIE - 12 Simulador de pesca. Simulador de posicionamiento dinámico. Manejo de Grúas. Entrenador para plantas de generación eléctrica. Simulador de gestión de tráfico marı́timo. Entrenador para operaciones de búsqueda y rescate. Instructor de planta de refrigeración. Simulador de maniobras en alta mar De igual manera, los simuladores han influido en la docencia que se imparten en las escuelas de preparación de navegantes y operadores de todo tipo. La mayorı́a de estos centros, poseen grandes laboratorios e instalaciones que recrean todos los aspectos técnicos y estructurales de las embarcaciones. En el ámbito educacional, algunos ejemplos son los simuladores de navegación y maniobras pertenecientes a la Escuela Superior de la Prefectura Naval Argentina (Alonso, 2010), el conjunto de simuladores de la Universidad Marı́tima Internacional de Panamá (UMIP, 2014), entre otros. Desde el punto de vista profesional, empresas como KONGSBERG (AS, 2012) y e-Tech Simulation (eTech Simulation, 2014), han lanzado al mercado paquetes de simuladores marinos para la preparación del personal, tanto especializado como estudiantil. En Cuba, SIMPRO es la entidad encargada de producir y comercializar simuladores para diversas aplicaciones. Entre los productos más destacados, se encuentran los de conducción de vehı́culos terrestres, las plataformas para juegos virtuales y los utilizados en aplicaciones militares. En este último caso, el GARP ha colaborado en la parte del modelado y control (Rubio, 2008; Izaguirre, 2012). 1.4. Descripción general del catamarán de SIMPRO. El vehı́culo de superficie tipo catamarán, para el cual la empresa SIMPRO tiene previsto desarrollar un simulador, está compuesto por 2 flotadores, paralelos entre sı́ y unidos por estructuras delgadas ubicadas en popa y proa. Estos elementos sujetan, de igual manera, a un cuerpo cilı́ndrico de 1966 kg, que puede ser liberado cuando se desee. Estos cascos poseen forma cilı́ndrica y terminaciones oblicuas en proa. El sistema de actuadores del catamarán está compuesto por dos hélices propulsadas por motores Yamaha E40XMH, de 40 hp cada uno. Estos motores incluyen una pequeña superficie vertical, que origina un ángulo de deflexión en los mismos. Los motores tienen dos modos de trabajo: - Modo común, cuando las velocidades de giro de los motores son iguales. - Modo diferencial, cuando las velocidades de giro de los motores son diferentes. ESTUDIO SOBRE LA APLICACIÓN DE TÉCNICAS DE MODELADO EN VEHÍCULOS MARINOS DE SUPERFICIE 13 Los modos de trabajo de los motores permiten controlar la velocidad y orientación del vehı́culo. Si el catamarán sigue una lı́nea recta, es debido a que los motores se encuentran trabajando en modo común y no existe ángulo de deflexión alguno. Si por el contrario, las maniobras presentan giros, es porque los motores se encuentran operando en modo diferencial y/o existe un valor de ángulo de deflexión. Las especificaciones geométricas e inerciales del vehı́culo son mostradas en la Tabla 1–1. Tabla 1–1: Caracterı́sticas del catamaran de SIMPRO. Parámetros m u0 n L B Dc T D δr Ixx Iyy Izz Ixz Descripción Valor Masa del catamarán 4266 kg Velocidad crucero 4.5 m/s Revoluciones de los motores 91 rps Largo 10 m Ancho 2.82 m Diámetro de un flotador 0.94 m Calado 0.7 m Diámetro de las hélices 0.23 m Ángulo de deflexión de los ±45o motores Momento de inercia 2820 kgm2 Momento de inercia 1450 kgm2 Momento de inercia 1040 kgm2 Momento de inercia 680 kgm2 Como cada uno de los componentes de la estructura del catamarán, generan fuerzas y momentos independientes, para el cálculo de las mismas resulta necesario conocer la ubicación de estos con respecto al centro de gravedad del vehı́culo. Estos datos se reflejan en la Tabla 1–2. Tabla 1–2: Distancias de cada elemento con respecto al centro de gravedad del catamarán. Casco 1 Casco 2 Hélice 1 Hélice 2 x 0 0 -3.88 m -3.88 m y -0.94 m 0.94 m -0.94 m 0.94 m z 0 0 0 0 1.5. Procedimientos aplicados en el modelado de vehı́culos marinos Debido a que la mayorı́a de los simuladores y sistemas de control que se emplean en vehı́culos marinos se diseñan en base a un modelo dinámico, la obtención de este modelo ESTUDIO SOBRE LA APLICACIÓN DE TÉCNICAS DE MODELADO EN VEHÍCULOS MARINOS DE SUPERFICIE 14 constituye una tarea fundamental. Una detallada descripción de la dinámica del sistema contribuye a un comportamiento acertado durante el desarrollo de cualquier tipo de maniobras. Además de la dinámica del vehı́culo, se debe tener en cuenta las afectaciones de los factores medioambientales, como las olas, las corrientes marinas y el viento (Fossen, 1994). Estos elementos originan efectos hidrostáticos e hidrodinámicas que agregan una complejidad superior al modelo y le aportan mayor exactitud(Cruz, 2012). La determinación de los coeficientes hidrodinámicos y de masas añadidas, que evidencian la interacción de las fuerzas y momentos aplicados al vehı́culo de superficie, es necesaria para el correcto funcionamiento del modelo. Los modelos dependen fuertemente del tipo de vehı́culo y de las maniobras para las que se diseña el control (Cruz, 2012). La (IMO) define un conjunto de maniobras para clasificar las caracterı́sticas de maniobrabilidad de una embarcación. Estas maniobras se utilizan para identificar modelos que describan dichos comportamientos y para diseñar vehı́culos que las cumplan, también para diseñar controladores que permitan manejar el barco de forma automática teniendo en cuenta sus caracterı́sticas (Cruz, 2012). Las maniobras caracterı́sticas son: giro en cı́rculo, maniobra de zig-zag, capacidad de parada, maniobra de pull-out, maniobra en espiral directa o espiral de Dieudonné y maniobra en espiral reversa o espiral de Bech (Fossen, 2011). Existen distintos procedimientos para determinar los parámetros de los modelos de los vehı́culos marinos y todos suponen la existencia de un modelo matemático del vehı́culo (Cruz, 2012): - Experimentación con modelos a escala. Métodos analı́ticos y semi empı́ricos. Métodos numéricos de dinámica de fluidos (CFD). Métodos de identificación. Estos métodos no son excluyentes entre sı́ y pueden utilizarse de forma combinada para determinar todos los parámetros del modelo. La experimentación con embarcaciones a escala, se puede realizar con o sin restricciones en sus movimientos. En el primer caso se realizan en instalaciones apropiadas construidas para dicho fin (Skjetne, 2004), donde el vehı́culo es arrastrado y se miden las fuerzas, velocidades y aceleraciones resultantes. A partir de dichas medidas, mediante análisis de regresión o identificación paramétrica, se determinan los parámetros caracterı́sticos del movimiento del vehı́culo. En las pruebas sin restricciones existe más libertad en los movimientos a los que se puede someter al vehı́culo y se utilizan técnicas ESTUDIO SOBRE LA APLICACIÓN DE TÉCNICAS DE MODELADO EN VEHÍCULOS MARINOS DE SUPERFICIE 15 de identificación de sistemas para determinar aquellos parámetros que mejor ajustan el modelo a las maniobras realizadas (Fossen, 1996; Polo, 2001). Estos experimentos se realizan en estanques artificiales, o en entornos naturales como lagos, pantanos, mar y otros. Los métodos analı́ticos y semi empı́ricos (Fossen, 1994, 2002, 2011) se basan en modelos analı́ticos obtenidos mediante principios fı́sicos junto con valores numéricos determinados mediante experimentos o cálculo numérico. Estos métodos son sólo aplicables en aquellos casos en que el elemento a modelar es similar a aquel que se toma como referencia (Cruz, 2012). Con el objetivo de aprovechar al máximo las propiedades fı́sicas del vehı́culo, el profesor e investigador noruego Thor I. Fossen recomienda utilizar las ecuaciones clásicas que definen la dinámica de un robot, para obtener un modelo compacto de 6 GDL en forma vectorial, que represente los movimientos de las embarcaciones marinas (Fossen, 1994, 2002, 2011). No siempre todos los coeficientes pueden determinarse por vı́a analı́tica, es por ello, que los métodos de modelado semi empı́ricos, en muchas ocasiones, son combinados con otras técnicas para poder encontrar los valores numéricos de esos parámetros (Sonnenburg, 2012; Fossen, 2008). Los métodos CFD (Kim, 2003; Stern, 2013), o métodos basados en aproximaciones numéricas de la dinámica de fluidos, están teniendo un gran auge debido a la mejora en los algoritmos y la potencia de cálculo de las computadoras. El procedimiento consiste en determinar el campo de flujo del fluido en los movimientos del vehı́culo y a partir de este, se deducen las presiones que el fluido ejerce sobre la parte sumergida del cuerpo, ası́ como las fuerzas y los momentos que de ellas se derivan. La identificación de sistemas para simulación, o para el diseño de controladores de vehı́culos marinos, se inicia en los años 70, y desde entonces viene siendo un tema de investigación activo (Cruz, 2012). Varias son las estructuras que se obtienen mediante identificación experimental, para luego utilizarse en el posicionamiento dinámico de un barco (Fossen, 1996; Blanke, 2006). Otros autores utilizan técnicas avanzadas de identificación, como conjuntos difusos y redes neuronales (Chang, 2003; Hassanein, 2011), para encontrar modelos que puedan ser útiles en el diseño de controladores. Lo cierto es que las técnicas de identificación experimental son empleadas en la mayorı́a de los procesos de modelado que se realizan en vehı́culos marinos. Para determinar el modelo dinámico no lineal del catamarán de SIMPRO se propone utilizar un procedimiento analı́tico y semi empı́rico. Este procedimiento utiliza varios de los postulados teóricos propuestos por varios investigadores (Fossen, 1991, 1994, 2002; de Sousa, 2004; Fossen, 2011). ESTUDIO SOBRE LA APLICACIÓN DE TÉCNICAS DE MODELADO EN VEHÍCULOS MARINOS DE SUPERFICIE 1.6. 16 Consideraciones finales del capı́tulo. Luego de un análisis crı́tico de la bibliografı́a consultada, se arriban a las siguientes consideraciones. A pesar de la evolución y desarrollo que han experimentado los vehı́culos marinos de superficie no tripulados y los simuladores, que le han permitido abarcar un número importante de aplicaciones, su estudio en la actualidad impone enfrentarse a disı́miles desafı́os. Entre estos retos destaca la necesidad de contar con un modelo matemático, que tenga en cuenta la dinámica no lineal, las exigencias relativas a la simulación y las dificultades que se presentan durante el cálculo de los coeficientes del modelo. La utilización de un procedimiento de modelado analı́tico y semi empı́rico, posibilita la obtención de representaciones dinámicas que describan el comportamiento del vehı́culo, con vistas a utilizarse en la implementación de un simulador. Es posible obtener para el vehı́culo de superficie tipo catamarán de SIMPRO, un modelo dinámico no lineal de seis grados de libertad, que incluya el efecto de las perturbaciones marinas, determinado mediante la aplicación de un procedimiento de modelado analı́tico y semi empı́rico. Este modelo debe ser capaz de garantizar la simulación de los movimientos del vehı́culo para que pueda ser utilizado en el desarrollo de un simulador de entrenamiento. . CAPÍTULO 2 MODELADO MATEMÁTICO 2.1. Introducción. El modelado de vehı́culos marinos involucra el estudio de la estática y la dinámica. La estática tiene que ver con el estado de equilibrio de los cuerpos cuando están en reposo, o se mueven a velocidad constante. Por su parte, la dinámica se encarga del comportamiento de los cuerpos cuando su movimiento es acelerado producto al efecto de perturbaciones y/o fuerzas de control (Duc, 2009). Los estudios de la estática se remontan a las contribuciones realizadas por Arquı́mides, quien postuló la ley de la flotabilidad. Esta ley constituye la base de cualquier análisis que se realice sobre la estabilidad de las embarcaciones marinas. Las investigaciones sobre la dinámica comenzaron mucho después, la base cientı́fica que sustenta a la dinámica aparece con la publicación de las leyes de Newton en el año 1687 (Fossen, 2002). En este capı́tulo se presenta la estructura matemática del modelo no lineal de 6 GDL para un vehı́culo de superficie tipo catamarán. Este modelo es el resultado de aplicar las leyes fı́sicas que rigen la dinámica de un cuerpo rı́gido que opera en un ambiente lı́quido. Durante el proceso de modelado, resulta necesario determinar los distintos componentes del modelo, como son: los términos del cuerpo rı́gido, el generador de olas y corrientes, las fuerzas y momentos hidrostáticas e hidrodinámicas resultados de la interacción del cuerpo con el fluido circundante, ası́ como las fuerzas y momentos que provoca el viento sobre el vehı́culo. Para obtener el modelo del vehı́culo se aplica un procedimiento analı́tico y semi empı́rico, que se basa en varios de los postulados que proponen reconocidos investigadores (de Sousa, 2004; Fossen, 1991, 1994, 2002, 2011), adaptados a las caracterı́sticas constructivas y de operación del catamarán de SIMPRO. 2.2. Sistemas de coordenadas y notación Para describir la trayectoria de un vehı́culo marino, es conveniente introducir dos sistemas de referencia: uno inercial con respecto a tierra {U} y otro respecto al propio vehı́culo {C} (de Sousa, 2004). Las posiciones relativas de {U} respecto a tierra, o de 17 18 MODELADO MATEMÁTICO {C} respecto al catamarán, pueden ser arbitrarias. No obstante, un análisis adecuado a partir de la Figura 2–1, permite simplificar considerablemente el modelo, asumiendo que: Sistema de referencia con respecto a tierra {U}: - El plano xu yu coincide con el plano de superficie del agua. - El eje zu se ubica en el sentido del campo gravitacional local. Sistema de referencia con respecto al vehı́culo {C}: - El origen OC coincide con el centro de gravedad del catamarán. - El plano xy es paralelo al catamarán. - El eje z apunta en el sentido del campo gravitacional local. yu q, M y, v, Y q OC {C} r, N {U} p, K y f xu x, u, X zu z, w, Z Figura 2–1: Sistemas de referencias {U} y {C}. La selección del sentido de los ejes de coordenadas se justifica, debido a que facilita el cálculo de las ecuaciones dinámicas del catamarán. Para establecer relaciones más simples de las fuerzas y momentos aplicados al catamarán, es conveniente expresar los vectores de posición η1 , orientación η2 y velocidades ν1 y ν2 , en {U} y {C}, respectivamente. La Tabla 2–1 resume la nomenclatura estándar empleada para describir el movimiento de vehı́culos marinos (SNAME, 1950). Para poder comprender mejor la notación del modelo, se definen los siguientes elementos: - Posición generalizada η = [ηη1 , η2 ]T = [x, y, z, φ, θ, ψ]T , que contiene la posición y orientación del catamarán. - Velocidad generalizada ν = [νν1 , ν2 ]T = [u, v, w, p, q, r]T , que contiene las velocidades de traslación y rotación del catamarán. - Fuerza generalizada τ = [ττ1 , τ2 ]T = [X, Y, Z, K, M, N]T , que contiene las fuerzas y momentos aplicados al catamarán. 19 MODELADO MATEMÁTICO Tabla 2–1: Notación utilizada para vehı́culos marinos. Traslación Fuerza Avance X Desplazamiento lateral Y Arfada Z Rotación Momento Balanceo K Cabeceo M Guiñada N Velocidad lineal Posición u x v y w z Velocidad angular Ángulo p φ q θ r ψ Los seis grados de libertad del catamarán pueden ser divididos en dos grupos: - Plano horizontal, formado por los movimientos de avance, desplazamiento lateral y guiñada. La posición, velocidad y fuerzas generalizadas en el plano horizontal, está dada por: η1 = [x, y, ψ]T , ν1 = [u, v, r]T , (2.1) T τ1 = [X, Y, N] . - Plano vertical, formado por los movimientos de arfada, balanceo y cabeceo. La posición, velocidad y fuerza generalizada en el plano vertical, están dados por: η2 = [z, φ, θ]T , ν2 = [w, p, q]T (2.2) τ2 = [Z, K, M]T . En los vehı́culos de superficie, el plano horizontal constituye el principal espacio de movimiento. 2.3. Ecuaciones cinemáticas y dinámicas del cuerpo rı́gido Las ecuaciones cinemáticas son aquellas expresiones que relacionan la derivada temporal de la posición y la velocidad de un cuerpo rı́gido. En cambio, las ecuaciones dinámicas relacionan la derivada temporal de la velocidad del cuerpo con la fuerza total aplicada (de Sousa, 2004). Para deducir las ecuaciones cinemáticas, es conveniente analizar por separado los movimientos de traslación y rotación. De esta manera, se relacionan primero la derivada temporal de η1 con ν1 , y luego la derivada temporal de η2 con ν2 . 20 MODELADO MATEMÁTICO La ecuación cinemática para los movimientos de traslación está dada por: ∂ηη1 = J1(η2)ν1 dt (2.3) El término J1 (η2 ) constituye la matriz de rotación del sistema de referencia {C} al sistema de referencia {U}, en función de los ángulos de balanceo, cabeceo y guiñada, y se encuentra definida por:   cψcθ −sψcφ + cψsθsφ sψsφ + cψsθcφ   J1 (η2 ) =  sψcθ cψcφ + sψsθsφ −cψsφ + sψsθcφ  (2.4) −sθ cθsφ cθcφ Para obtener las ecuaciones cinemáticas para los movimientos de rotación, basta relacionar la derivada en el tiempo de η2 con ν2 , obteniéndose: ∂ηη2 = J2 (η2 )ν2 dt donde:  1 −sφtθ cφtθ   J2 (η2 ) =  0 cφ −sφ  0 sφ/cθ cφ/cθ  (2.5) (2.6) Es válido notar que c∗ = cos(∗), s∗ = sen(∗) y t∗ = tan(∗). Agrupando las ecuaciones 2.3 y 2.5, y utilizando la posición y velocidad generalizada, se obtiene la ecuación cinemática para los movimientos en los 6 GDL: η̇ = J(η)ν (2.7) donde J(η) es la matriz de transformación de ángulos de Euler con la siguiente estructura: " # J1 (η2 ) 03x3 J(η) = (2.8) 03x3 J2 (η2 ) Las ecuaciones dinámicas se obtienen aplicando las leyes de Newton que determinan el movimiento del vehı́culo en el mar (Fossen, 2002). Para ello es necesario asumir: (1) el vehı́culo es un cuerpo rı́gido y (2) el sistema de referencia fijado en tierra es inercial. La primera suposición permite no tener en cuenta a las fuerzas que actúan de manera especı́fica entre los elementos de masa, mientras que la segunda elimina las fuerzas causadas por el movimiento relativo de la Tierra en el espacio (Fossen, 1991). 21 MODELADO MATEMÁTICO Las ecuaciones para cada uno de los ejes usando la notación establecida son: X = m[u̇ − vr + wq − xG (q 2 + r 2 ) + yG (pq − ṙ) + zG (pr + q̇)] Y = m[v̇ − wp + ur − yG (r 2 + p2 ) + zG (qr − ṗ) + xG (qp + ṙ)] Z = m[ẇ − uq + vp − zG (p2 + q 2 ) + xG (rp − q̇) + yG (rp + ṗ)] K = Ix ṗ + (Iz − Iy )qr − (ṙ + pq)Ixz + (r 2 − q 2 )Iyz + (pr − q̇)Ixy + (2.9) m[yG (ẇ − uq + vp) − zG (v̇ − wp + ur)] M = Iy q̇ + (Ix − Iz )rp − (ṗ + qr)Ixy + (p2 − r 2 )Izx + (qp − ṙ)Iyz + m[zG (u̇ − vr + wp) − xG (ẇ − uq + vp)] N = Iz ṙ + (Iy − Ix )pq − (q̇ + rp)Iyz + (q 2 − p2 )Ixy + (rq − ṗ)Ixz + m[xG (v̇ − wp + ur) − yG (u̇ − vr + wp)] Agrupando las ecuaciones 2.9 en una sola expresión, se obtiene la ecuación que caracteriza la dinámica de un cuerpo rı́gido que se mueve en un medio lı́quido: MC ν̇ + CC (ν)ν = τ (2.10) En la expresión 2.10, MC representa a la matriz de masa del cuerpo rı́gido (de Sousa, 2004) y se define como:  MC = " S(rG) mII3x3 −mS(r S(rG ) mS(r IO #      =      m 0 0 0 mzG −myG  0 m 0 −mzG 0 mxG    0 0 m myG −mxG 0   0 −mzG myG Ix −Ixy −Ixz   mzG 0 −mxG −Ixy Iy −Iyz   −myG mxG 0 −Ixz −Iyz Iz (2.11) Por su parte, el término CC constituye la matriz que agrupa los términos de fuerzas centrı́petas y de Coriolis, y se define como (Fossen, 2006): 0  mr   −mq  = −m(yG q + zG r)   mxG q mxG r  CC −mr 0 mp myG p −m(zG r + xG p) myG r mq −mp 0 mzG p mzG q −m(xG p + yG p) m(yG q + zG r) −myG p −mzG p 0 Iyz q + Ixz p − Iz r −Iyz r − Ixy p − Iy q mxG q m(zG r + xG p) −mzG q −Iyz q − Ixz p + Iz r 0 Ixz r + Ixy q − Ix p  −mxG r  −myG r  m(xG p + yG q)    Iyz r + Ixy p − Iy q   −Ixz r − Ixy q + Ix p 0 (2.12) Las matrices MC y CC están en función de coeficientes que pueden ser determinados a partir de las propiedades de gravedad e inercia del vehı́culo (Gorset, 2007), especı́ficamente de los siguientes elementos: - Masa total del catamarán m. 22 MODELADO MATEMÁTICO - Posición del centro de gravedad rG = [xG , yG , zG ]T respecto al origen OC . - Matriz de inercia IO . Escogiendo conveniente la localización del sistema de referencia relativo al catamarán, es posible simplificar la estructura de las matrices MC y CC . Debido a que el origen del sistema de referencia relativa al vehı́culo coincide con el centro de masa, entonces el plano xz es un plano de simetrı́a. De esta manera, xG = yG = zG = 0 y Ixy = Iyz = 0. Las matrices de cuerpo rı́gido y de Coriolis se reducen a:   m 0 0 0 0 0   0 0 0   0 m 0    0 0 m 0 0 0    MC =  (2.13)  0 0 0 I 0 −I x xz      0 0 0 0 Iy 0  0 0 0 −Ixz 0 −Iz      CC =      2.4. 0 −mr mq 0 0 0 mr 0 −mp 0 0 0 −mq mp 0 0 0 0 0 0 0 0 −Ixz p + Iz r −Iy q 0 0 0 Ixz p − Iz r 0 −Ixz r + Ix p 0 0 0 Iy q Ixz r − Ix p 0           (2.14) Fuerzas y momentos aplicados al catamarán El catamarán, como cualquier vehı́culo marino, se encuentra sujeto a la acción del mar, la atmósfera y el campo gravitacional de la Tierra. La fuerza generalizada aplicada a la embarcación está dada por (de Sousa, 2004): τ = τH − g(η) + τW (2.15) donde: - τH constituye la fuerza generalizada resultante de la interacción con un fluido. - g(η) representa la fuerza resultante del campo gravitacional terrestre y las presiones hidrostáticas. Es relativamente fácil de calcular y depende de una forma estática de la posición η . - τW es la fuerza resultante de la interacción con el viento. Se calcula a partir de la posición y la velocidad del catamarán. MODELADO MATEMÁTICO 23 Las fuerzas representadas por el término τH son extremadamente complejas de determinar debido a la estrecha relación que existe entre el catamarán y el fluido circundante. Por lo que a ellas se le dedica la mayor parte del esfuerzo durante el proceso de modelado. De esta manera, τH depende de la posición η , de la velocidad ν y la aceleración ν̇ . Dada la complejidad de las fuerzas y momentos relacionadas con la interacción del fluido, resulta necesario tener en cuenta algunas consideraciones a fin de simplificar el modelo. Se asume que la frecuencia de los movimientos del vehı́culo es baja, que la capa lı́mite del catamarán es pequeña y su grosor es despreciable, o sea, que las fuerzas y momentos aplicados al catamarán pueden ser expresados en función de los valores instantáneos de posición, velocidad y aceleración de la embarcación y la velocidad y aceleración local del fluido. En la Figura 2–2, se presenta el diagrama general que representa la dinámica del catamarán, el cual está formado por cinco bloques principales: - Cuerpo Rı́gido. Es un bloque dinámico, donde las entradas son las fuerzas aplicados al catamarán. Las salidas están dadas por la posición y orientación η , la velocidad ν y la aceleración ν̇ . - Generador de Olas y Corrientes. Es un bloque estático que computa la velocidad del fluido νF , su derivada en el tiempo ν˙F , ası́ como la aceleración del fluido χF en función de la posición η y la velocidad ν del catamarán. - Fuerzas Hidrodinámicas. Consiste en un bloque estático que calcula las fuerzas hidrodinámicas generalizadas τH aplicadas al catamarán, basadas en las velocidades y aceleraciones del catamarán y del fluido, los modos de funcionamiento común y diferencial de los motores (nc y nd ), ası́ como del ángulo de deflexión δr de los mismos. - Fuerzas del Viento. Es un bloque estático que computa las fuerzas del viento generalizadas τW aplicadas al catamarán, basadas en la posición y velocidad generalizada del vehı́culo. - Fuerzas de restablecimiento. Es un bloque estático que calcula las fuerzas gravitacionales y presiones hidrostáticas g(η) g(η), a partir de la posición generalizada η del catamarán. 2.4.1. Fuerzas y momentos hidrodinámicos Las fuerzas hidrodinámicas generalizadas τH aplicadas a la embarcación están dadas por: τH = τHN W (ννr , ν̇r , nc , nd , δr) + τF K (χF ) (2.16) 24 MODELADO MATEMÁTICO Cuerpo Rígido Dinámica CC _ Cinemática . h J -1 MC h n . n Fuerzas Hidrodinámicas _ _ tFNW nc nd dr tH nF . nF cF Generador de Olas y Corrientes _ tFK Fuerzas del viento tW tW Fuerzas de restablecimiento g(h) g(h) Figura 2–2: Diagrama general para el modelo dinámico del catamarán. donde: - νr y ν̇r corresponden a la velocidad del catamarán respecto al fluido y su derivada en el tiempo, dadas por: νr = ν − νF = (u − uF , v − vF , w, q, r)T ν̇r = ν̇ − ν̇F = (u̇ − u̇F , v̇ − v̇F , ẇ, q̇, ṙ)T (2.17) Como el fluido es considerado irrotacional, las velocidades w, q y r son iguales a sus respectivas velocidades relativas. De igual manera ocurre con sus derivadas en el tiempo. - τHN W representa las fuerzas hidrodinámicas generalizadas aplicadas al catamarán en ausencia de olas. Estas fuerzas dependen de νr y ν̇r . - τF K representa la fuerza generalizada de Froude-Krylov, generado por el campo de presión de las olas. Se denomina fuerza de Froude-Krylov, a la fuerza necesaria para acelerar la masa de fluido que ocuparı́a el interior del cuerpo rı́gido (de Sousa, 2004). Utilizando la notación vectorial, queda expresada de la siguiente forma: τF K = MF χF (2.18) 25 MODELADO MATEMÁTICO donde: - MF es la matriz de masa del fluido que ocuparı́a el volumen del cuerpo, según 2.19. - χF representa la aceleración del fluido medida en {U} y expresada en {C}. Teniendo en cuenta que el fluido es irrotacional, la matriz de utilizando la siguiente ecuación:  mF 0 0 0 0 0  0 mF 0 0 0 0    0 0 mF 0 0 0 MF =   0 −mF zB mF yB 0 0 0    mF zB 0 −mF xB 0 0 0 −mF yB mF xB 0 0 0 0 masa MF se calcula           (2.19) siendo xB , yB y zB las componentes del vector rB = [xB , yB , zB ]T , que define la distancia del centro de flotabilidad del vehı́culo con respecto al origen de coordenadas OC . Para calcular las fuerzas y momentos totales de origen hidrodinámico aplicados al catamarán τHN W , es necesario analizar por separado las fuerzas y momentos en cada uno de los elementos estructurales que forman parte de la embarcación e interactúan con el mar. Fuerzas y momentos de los flotadores Desde el punto de vista hidrodinámico, un casco o flotador, puede ser visto como un ala de baja elongación sumergida verticalmente. Por lo que es posible estimar las fuerzas y momentos que se producen en los cascos cuando el vehı́culo se mueve con un determinado ángulo de ataque, ası́ como aquellas originadas por las aceleraciones y rotaciones debido al movimiento en un fluido irrotacional (de Sousa, 2004). Inoue (Inoue, 1981), propone una descripción no lineal de las fuerzas y momentos hidrodinámicos de los cascos para distintos tipos de vehı́culos marinos. De esta manera, las fuerzas y momentos hidrodinámicos del casco del catamarán pueden ser expresados como: c 2 vc Xc = −Ac11 u̇c + Ac22 vc rc − Ac33 wc qc − R(uc ) + Xvv 1 ′ ′ ′c ′c Yc = −Ac22 v̇c − Ac11 uc rc + Ac33 wc qc + ρLT Vc2 [Yv c vc′ + Yr c rc′ Yv|v| vc′ |vc′ | + Yv|r| vc′ |rc′ | 2 ′c +Yr|r| rc′ |rc′ |] Zc = −Ac33 ẇc − Ac22 vc pc + Ac11 uc qc Kc = −Ac44 ṗc − Ac33 vc wc + Ac22 vc wc − Ac66 qc rc + Ac55 qc rc (2.20) 26 MODELADO MATEMÁTICO Mc = −Ac55 q̇c + Ac33 uc wc − Ac11 uc wc + Ac66 pc rc − Ac44 pc rc 1 ′ ′ Nc = −Ac66 ṙc − Ac22 uc vc + Ac11 uc vc − Ac55 pc qc + Ac44 pc qc + ρLT Vc2 [Nvc vc′ + Nrc rc′ 2 ′c ′2 ′ ′c ′2 ′c ′ ′ +Nvvr vc vc + Nvrr vc vc + Nr|r| rc |rc | donde: lo. ρ es la densidad del fluido. Ac11 , Ac22 , . . . , Ac66 son las masas añadidas asociados al casco. R(uc ) representa la resistencia de los cascos a un valor de velocidad uc . p Vc = uc2 + vc2 + wc2 es la velocidad total respecto al centro de masa del vehı́cu- - u′c , vc′ ,. . . , ṙc′ son las velocidades y aceleraciones adimensionales resultantes de un proceso de normalización por factores, según estándares de la SNAME (SNAME, 1950). La relación entre estos parámetros se encuentra en la Tabla 2–2. ′ ′ ′c - Yv c , Yr c , . . ., Nr|r| son coeficientes adimensionales de fuerza y momento. Tabla 2–2: Relación entre parámetros adimensionales y dimensionales. Velocidades ν1′ c = ν1cc Vc−1 ν2′ c = ν2cc LVc−1 Aceleraciones ν̇1′ c = ν̇1c LVc−2 ν̇2′ c = ν̇2cc L2 Vc−2 En el caso de los términos hidrodinámicos correspondientes a los movimientos de arfada, balanceo y cabeceo, solo se obtuvieron los términos de masas añadidas correspondientes a los flotadores, debido a que los restantes tienen que determinarse considerando al vehı́culo como un cuerpo rı́gido. Estos coeficientes, resultados de la interacción del vehı́culo con el fluido circundante, se calculan a partir de aproximaciones geométricas que se realizan con respecto a otros vehı́culos (Aage, 1994; Perez, 2002). Las masas añadidas se definen como las fuerzas y momentos inducidos por la presión debido a un movimiento armónico forzado del cuerpo. Estas fuerzas y momentos son proporcionales a la aceleración del vehı́culo (Ferreira, 2002). Los coeficientes de masas añadidas se pueden obtener aproximando cada flotador a un semielipsoide con dimensiones aumentadas en un 20 %, cuyos semiejes ǫx , ǫy y ǫz se calculan a partir de las caracterı́sticas fı́sicas de la embarcación. L 2 B ǫy = 1,2 2 ǫz = 1,2T ǫx = 1,2 (2.21) 27 MODELADO MATEMÁTICO La razón para utilizar este factor de multiplicación, viene dada por el hecho de que con el mismo, pueden obtenerse valores más exactos para los términos Ac22 y Ac66 . Los términos de masas añadidas de los flotadores del catamarán son obtenidos de la siguiente manera: α 4 πǫx ǫy ǫz ρ 2−α3 β 4 = πǫx ǫy ǫz ρ 2−β3 Aelip 11 = Aelip 22 elip Aelip 33 = A22 Aelip 44 = 0 (2.22) Aelip 55 Aelip 66 = Aelip 66 (ǫ2x − ǫ2y )2 (β − α) 4 1 πǫx ǫy ǫz ρ = 2 2 2 2 5 2(ǫx − ǫy ) + (ǫx + ǫy )(α − β) 3 Los términos α y β son calculados a partir de la excentricidad del elipsoide. ǫz 2 ) ǫx 2(1 − e2 ) 1 1 + e α= ( ln − e) e3 2 1−e 1 − e2 1 + e 1 − ln β= 2 e 2e3 1−e e= 1−( (2.23) (2.24) (2.25) De esta manera, quedan completamente obtenidos los términos de masas añadidas. Haciendo un cambio de notación para su posterior utilización en las ecuaciones del modelo, estos términos se pueden escribir como: elip Aelip 11 = −Xu̇ A44 = −Kṗ Aelip Aelip 22 = −Yv̇ 55 = −Mq̇ elip A33 = −Zẇ Aelip 66 = −Nṙ (2.26) La fuerza generalizada de las masas añadidas se encuentra dada por las ecuaciones de energı́a cinética planteadas por Krichhoff (Fossen, 1994). Esta fuerza se define como: τA = −MA ν̇ − CA ν donde MA representa la matriz de masas añadidas del cuerpo rı́gido: (2.27) 28 MODELADO MATEMÁTICO      MA =      0 0 0 0 0 Aelip 11 elip 0 A22 0 0 0 0 elip 0 0 0 0 0 A33 elip 0 0 0 A44 0 0 elip 0 0 0 0 A55 0 0 0 0 0 0 Aelip 66           y la matriz CA queda de la forma:   0 0 0 0 Aelip −Aelip 33 w 22 v   0 0 0 −Aelip 0 Aelip  33 w 11 u      0 −Aelip 0 0 0 Aelip 11 u 22 v   CA =  elip  elip elip q r −A w −A elip v 0 A 0 A  22  55 66 33   elip elip elip elip  −A33 v 0 A44 p  A66 r 0 A11 u Aelip −Aelip 0 Aelip −Aelip 0 22 v 11 u 55 q 44 p (2.28) (2.29) Existen varios métodos para estimar la resistencia de los cascos, entre los que se puede mencionar, técnicas experimentales con modelos a escala reducida, diagramas de resistencia, fórmulas estadı́sticas y métodos numéricos complejos basados en las ecuaciones de Navier-Stokes. En el caso concreto del catamarán, el cálculo se realiza utilizando los diagramas de Harvald (de Sousa, 2004). La curva de resistencia en función de la velocidad es obtenida por esta vı́a, ajustando un polinomio de tercer orden a la curva, se obtiene la siguiente expresión: R(uc ) ≈ Ruc 3 u3c + Ruc uc (2.30) donde Ruc 3 y Ruc representan los coeficientes de tercer orden y lineal de resistencia. Sustituyendo en las expresiones 2.20, los términos de masas añadidas, resistencia de cascos y las velocidades adimensionales por las dimensionales, de acuerdo con la Tabla 2–2, se obtienen las siguientes expresiones: c 2 c c vc Xc = Xu̇c u̇c + Xvr vc rc + Xwq wc qc + Xuc uc + Xuc3 u3c + Xvv c c c c c c Yc = Yv̇c v̇c + Ywq wc qc + Yur uc rc + Yuv uc vc + Yv|v| vc |vc | + Yv|r| vc |rc | + Yr|r| rc |rc | c c Zc = Zẇc ẇc + Zvp vc pc + Zuq uc qc (2.31) c c Kp = Kẇc ẇc + Kvw vc wc + Kqr qc rc c c Mc = Mq̇c q̇c + Muw uc wc + Mpr pc rc c c c c 2 c Nc = Nṙc ṙc + Nuv uc vc + Npq pc qc + Nur uc rc + Nvc2 r/u vc2 rc + Nvr 2 /u vc rc + Nr|r| rc |rc | 29 MODELADO MATEMÁTICO c c donde los coeficientes dimensionales Xu̇c , Xvr , . . ., Nr|r| están dados por: Xu̇c = −Ac11 c Xvr = Ac22 c Xwq = −Ac33 Xuc = −Ruc Xuc3 = −Ruc 3 ′ c Xvv = 21 ρL2 Xvv Yv̇c = −Ac22 c Ywq = Ac33 ′ c Yur = −Ac11 + 12 ρL2 T Yr c ′ c Yuv = 21 ρLT Yv c c c Yv|v| = 21 ρLT Yv|v| ′c c Yv|r| = 12 ρLT 2 Yv|r| ′c c Yr|r| = 12 ρLT 3 Yr|r| Zẇc = −Ac33 Zvp = −Ac22 Zuq = Ac11 Kṗc = −Ac44 c Kvw = Ac22 − Ac33 c Kqr = Ac55 − Ac66 Mq̇c = −Ac55 ′ c Muw = Ac33 − Ac11 c Mpr = Ac66 − Ac44 Nṙc = −Ac66 ′ c Nuv = Ac11 − Ac22 + 21 ρL2 T Nvc c Npq = Ac44 − Ac55 ′ c Nur = 21 ρL3 T Nrc ′c Nvc2 r/u = 21 ρL3 T Nvvr ′c c Nr|r| = 21 ρLT 4 Nr|r| (2.32) Fuerzas y momentos de los motores Los apéndices de los vehı́culos de superficie afectan los movimientos en varios grados de libertad, es por ello, que resulta necesario predecir su influencia en los 6 GDL (Lin, 2007). El cálculo de las fuerzas y momentos derivados de los motores, se realiza a partir de identificar el tipo de hélices que utiliza la embarcación. Las hélices del catamarán pertenecen a la serie B de Wageningen, las cuales agrupan un conjunto de cerca de 120 hélices, todas con un diámetro aproximado de 250 mm, perfil en forma de ala y dislocamiento axial. Los parámetros importantes a reconocer para el cálculo de las fuerzas y momentos son (de Sousa, 2004): - Z representa el número de aspas de las hélices, puede variar entre 2 y 7. - EAR o razón de área expandida. Este parámetro cuantifica el área de las aspas y determinan su longitud, puede variar entre 0.3 y 1.05. - P/D define la razón paso-diámetro de las hélices. Este parámetro cuantifica el ángulo de inclinación de las aspas, puede variar entre 0.6 y 1.4. Las fuerzas hidrodinámicas y momentos, son expresados en relación al sistema de referencia de las hélices H, cuyo eje x coincide con el centro de las hélices. Para el análisis de las mismas se consideran los siguientes elementos: - Se desprecia el efecto de la superficie en el funcionamiento de las hélices, o sea, estarán sumergidas completamente en un fluido de dimensiones ilimitadas. - Las velocidades de avance en x y de giro de las hélices, uh y n respectivamente, se consideran positivas y en el sentido del movimiento de la embarcación. Sus valores son grandes comparadas con las velocidades vh y rh . 30 MODELADO MATEMÁTICO Cuando una hélice rota a una velocidad n y se traslada con velocidad uh , se origina una fuerza T , denominada impulso que es la responsable del avance. No obstante, contrario al movimiento de rotación de las aspas, surge una fuerza binaria Q. Ambas fuerzas son obtenidas por: T = ρn2 D 4 KT (J, Rn ) (2.33) Q = ρn2 D 5 KQ (J, Rn ) donde: - ρ es la densidad del fluido circundante. - n es la velocidad de rotación de las hélices. - D es el diámetro de las hélices. - KT y KQ son los coeficientes de impulso y binario que dependen del número de uh avance J = nD y el número de Reynolds Rn = 0,75πnDc , donde c representa la cuerda κ de las aspas a 0.75 de radio y κ es la viscosidad cinemática del fluido. Los coeficientes de impulso y binario de la serie B de Wageningen, han sido medidos experimentalmente y expresados de forma polinomial, a partir de los principales parámetros geométricos con un número de Reynolds constante e igual a Rn = 2x106 (Carlton, 2007): KT = fT (J, P/D, EAR, Z) (2.34) KQ = fQ (J, P/D, EAR, Z) Con base en las expresiones 2.34, se calculan las curvas KT y KQ en función de J para los parámetros geométricos correspondientes a las hélices del catamarán. Las curvas KT y KQ obtenidas se aproximan a una parábola de la forma: KT = a2 J 2 + a1 J + a0 KQ = b2 J 2 + b1 J + b0 (2.35) Las fuerzas y momentos originados por las hélices se calculan en base a las expresiones 2.35 y de los parámetros estructurales fundamentales de las hélices (de Sousa, 2004). De esta manera las ecuaciones son: h 2 h h 2 Xh = Xuu uh + Xun uh n + Xnn n h h Yh = Yuv uh vh + Yvn vh n h h Nh = Nur uh rh + Nrn rh n donde los coeficientes adimensionales son: (2.36) 31 MODELADO MATEMÁTICO 4 ρD b1 h h Xuu = ρD 2 a2 Yuv = − 4π(0,7R) 2 5 h Nur = −(0,7R)2 ρD 2 a2 ρD b0 h h h Xun = ρD 3 a1 Yvn = − 2π(0,7R) Nrn = −(0,7R)2 ρD 3 a1 2 (2.37) h Xnn = ρD 4 a0 Los motores definen las fuerzas y momentos de control. Todo motor fuera de borda tı́pico incluye una pequeña superficie vertical, que genera una fuerza lateral que provee estabilidad y control (Sonnenburg, 2012). Los motores con estas caracterı́sticas, se utilizan fundamentalmente en aquellos vehı́culos que operan a baja velocidad, pues producen fuerzas en diferentes direcciones que pueden conducir a un control sobreactuado (Fossen, 2008). El ángulo de deflexión δr, es el responsable de producir las componentes de fuerzas y momentos en el plano horizontal. Las fuerzas y momentos que se producen debido al ángulo de deflexión de los motores, pueden ser expresados mediante (Fossen, 2008): τδr = " f h ×f # donde:      =     Fx Fy Fz Fz yh − Fy zh Fx zh − Fz xh Fy xh − Fx yh           (2.38) - f denota el vector de fuerzas f = [Fx , Fy , Fz ]T . Estas fuerzas se encuentran definidas en función del ángulo de deflexión como: Fx = F cos(δr) Fy = F sin(δr) Fz = 0 - h define la distancia a la que se encuentra el actuador respecto al origen OC establecida como h = [xh , yh , zh ]T . De acuerdo con la Tabla 1–2, los componentes de momento angular del vector τδr quedan definidos para el catamarán de SIMPRO como: Fz yh − Fy zh = 0 Fx zh − Fz xh = 0 Fy xh − Fx yh = F sin(δr)xh − F cos(δr)yh 32 MODELADO MATEMÁTICO Al desarrollar la ecuación 2.38, de acuerdo con la observado en la literatura (de Sousa, 2004; Sonnenburg, 2012), se obtiene: δr 2 δr δr 2 Xδr = (Xuu uδr + Xun uδr n + Xnn n ) cos(δr) δr δr 2 Yδr = (Yun uδr n + Ynn n ) sin(δr) (2.39) Zδr = Kδr = Mδr = 0 δr δr 2 δr 2 δr δr 2 uδr + Nun uδr n + Nnn n ) cos(δr)yh Nδr = (Nun uδr n + Nnn n ) sin(δr)xh − (Nuu τ τ Los términos Xuu . . . Nnn se definen como: δr δr Xuu = Nuu = ρD 2 a2 δr δr δr Xun = Yun = Nun = ρD 3 a1 (2.40) δr δr δr Xnn = Ynn = Nnn = ρD 4 a0 Fuerzas y momentos hidrodinámicos totales En los subepı́grafes anteriores, se estiman las fuerzas y momentos que cada elemento aporta al catamarán al moverse en un fluido. Estas fuerzas y momentos están expresados a partir de una referencia en particular, del respectivo elemento, en función de las velocidades de traslación y rotación propios. No obstante, estas fuerzas y momentos deben expresarse según el sistema de referencia del catamarán. Para ello, es necesario establecer valores de desplazamiento en los distintos ejes. La Figura 2–3 muestra los sistemas de referencias particulares {C1}, {C2}, {H1} y {H2} y el general {C}. {H1} {C1} {C} {H2} {C2} Figura 2–3: Sistemas de referencias {C1}, {C2}, {H1} y {H2} y {C}. Las coordenadas de origen de las referencias de los elementos particulares, en relación a la referencia general representadas como xc1 , yc1 , . . ., xh2 , yh2 , se encuentra en la Tabla 2–3. Para trasladar las fuerzas y momentos de un sistema genérico {P }, a una referencia {C}, es necesario tener en cuenta la orientación y posiciones relativas de la referencia. En 33 MODELADO MATEMÁTICO Tabla 2–3: Coordenadas de origen de cada elemento con respecto a la referencia del catamarán. Casco 1 Casco 2 Hélice y timón 1 Hélice y timón 2 0 0 xh1 xh2 yc1 yc2 yh1 yh2 0 0 0 0 x y z la Figura 2–4 se muestra esquemáticamente la situación referida. Una vez que ambos sistemas tengan la misma orientación, las fuerzas se pueden trasladar de {P } hacia {C} sin alteración. No obstante, los momentos Mp y Np , son afectados por las fuerzas presentes en los desplazamientos, o sea: τ1 = τp1 τ2 = τp2 + (xp Yp )3x1 − (yp Xp )3x1 xP (2.41) xP X N u r Y v P yP NP XP yP P rP YP {C} {P} uP vP {C} (a) Fuerzas. {P} (b) Velocidades. Figura 2–4: Traslación entre sistemas de coordenadas. De esta manera, las fuerzas y momentos totales aplicados al catamarán están dados por: X = Xc1 + Xc2 + Xh1 + Xh2 Y = Yc1 + Yc2 + Yh1 + Yh2 Z = Zc1 + Zc2 K = Kc1 + xc1 Yc1 − yc1 Xc1 + Kc2 + xc2 Yc2 − yc2 Xc2 (2.42) M = Mc1 + xc1 Yc1 − yc1Xc1 + Mc2 + xc2 Yc2 − yc2Xc2 N = Nc1 + xc1 Yc1 − yc1 Xc1 + Nc2 + xc2 Yc2 − yc2 Xc2 + Nh1 + xh1 Yh1 −yh1 Xh1 + Nh2 + xh2 Yh2 − yh2 Xh2 donde las fuerzas y momentos Xc1 , Xc2 , . . ., Nh2 corresponden a cada uno de los componentes del catamarán y responden a las expresiones 2.31, 2.36 y 2.39. Estas ecuaciones, 34 MODELADO MATEMÁTICO no obstante, están escritas en función de las velocidades de sus respectivos sistemas de referencia. Como el catamarán es un cuerpo rı́gido, es posible escribir estas velocidades en función de las velocidades de la referencia {C}. En la Figura 2–4 se representan esquemáticamente las velocidades de una referencia genérica {P } con respecto a {C}. Una vez que {P } está trasladado a {C}, la velocidad de rotación es la misma pues el fluido es irrotacional, sin embargo, las velocidades en los ejes x y y se expresan según la Tabla 2–4. Tabla 2–4: Velocidades y aceleraciones en x y y. Velocidades up = u − r.yp vp = v + r.xp Aceleraciones u̇p = u̇ − ṙ.yp v̇p = v̇ + ṙ.xp Sustituyendo en 2.42 las velocidades de las referencias {C1}, {C2}, {H1} y {H2} por las velocidades de la referencia {C}, de acuerdo con la Tabla 2–4, se obtienen las siguientes fuerzas y momentos para el catamarán: XHN W = Xu̇ u̇ + Xwp wp + Xvr vr + Xu u + Xu2 u2 + Xu3 u3 + Xv2 v 2 + Xr2 r 2 + Xur2 ur 2 +Xunc unc + Xrnd rnd + Xnc nc n2c + Xnd nd n2d + Xu2 δr u2 cos(δr) + Xunc δr unc cos(δr) +Xund δr und cos(δr) + Xnc nc δr n2c cos(δr) + Xnd nd δr n2d cos(δr) YHN W = Yv̇ v̇ + Ywq wq + Yur ur + Yuv uv + Yur ur + Yv|r| v|r| + Yv|v| v|v| + Yr|r|r|r| +Yvnc vnc + Yrnc rnc + Yunc δr unc sin(δr) + Yund δr und sin(δr) + Ync nc δr n2c sin(δr) +Ynd nd δr n2d sin(δr) ZHN W = Zẇ ẇ + Zvp vp + Zuq uq + Zq q (2.43) KHN W = Kṗ ṗ + Kvw vw + Kpr pr + Kṙ ṙ + Kuv uv + Kvv v 2 + Kv|v| v|v| + Kv|r| v|r| vr 2 r3 v2r + Kr|r| r|r| + K r3 + K v2 r + Kr|v| r|v| + Kup up + Kp|p|p|p| +K vr2 u u u u u u p3 +K p3 + Kpu|pu|pu|pu| u u MHN W = Mq̇ q̇ + Mrp rp + Mṙ ṙ vr 2 v2r + Nvr2 /u + Nr r + Nu2 r u2 r NHN W = Nṙ ṙ + Npq pq + Nuv uv + Nur ur + Nv2 r/u u u +Nr3 r 3 + Nr|r| r|r| + Nvnc vnc + Nrnc rnc + Nund und + Nnc nd nc nd +Nunc δr unc sin(δr) + Nund δr und sin(δr) + Nnc nc δr n2c sin(δr) + Nnd nd δr n2d sin(δr) Para obtener las expresiones 2.43, se asume que u − r.yp ≈ √ u2 + v 2 + w 2 ≈ u. 35 MODELADO MATEMÁTICO Las velocidades de rotación de las hélices n1 y n2 se sustituyen por sus velocidades respectivas según sus modos de trabajo: n1 + n2 2 n1 − n2 nd = 2 nc = (2.44) Los coeficientes dimensionales de las expresiones 2.43 son: Xu̇ = 2Xu̇c c Xvr = 2Xvr c Xv2 = 2Xvv h Xunc = 2Xun dr Xund δr = 2Xund Xnd nd δr = 2Xndrd nd c Xwp = 2Xwp h Xu2 = 2Xuu h 2 yh Xr2 = 2Xuu h Xnc nc = 2Xnn dr Xu2 δr = 2Xuu h Xnd nd = 2Xnn Xu = 2Xuc Xu3 = 2Xuc3 Xur2 = 6Xuc3 yc2 Xnc nc δr = 2Xndrc nc dr Xunc δr = 2Xunc h Xrnd = −2Xun yh Yv̇ = 2Yv̇ c h Yur = 2Yur + 2Yuv xh c h Yuv = 2Yuv + 2Yuv dr Yunc δr = 2Yunc Ynd nd δr = 2Yndrd nd c Ywq = 2Ywq c Yv|r| = 2Yv|r| h Yvnc = 2Yvn dr Yund δr = 2Yund c Yv|v| = 2Yv|v| c Yr|r| = 2Yr|r| h xh Yrnc = 2Yvn Ync nc δr = 2Yndrc nc c Zvp = 2Zvp Zẇ = 2Zẇc c Zuq = 2Zuq Zq = 2ρL2 T Zqm Kṗ ṗ = 2Kṗc ′ Kuv = ρT L3 Kvco ′ co Kv|r| = ρT L4 Kv|r| c Kvw = 2Kvw ′ Kvv = ρT L3 Kvvco ′ co K vr2 = ρT L5 Kvrr c Kpr = 2Kpr ′ co Kv|v| = ρT L3 Kv|v| ′ co Kr|r| = ρT L5 Kr|r| ′ u ′ co K v2 r = ρT L4 Krvv ′ co Kp|p| = ρT L5 Kp|p| co K r3 = ρT L6 Krrr u ′ co Kr|v| = ρT L4 Kr|v| ′ co K p3 = ρT L6 Kppp u Kup = ρT L4 Kpco ′ ′ ′ u co Kpu|pu| = ρT L5 Kpu|pu| Kṙ = 2Xu̇c yc2 Mq̇ = 2Mq̇c c Mpr = 2Mpr Mṙ = 2Xu̇c yc2 Nṙ = 2Nṙc + 2Xu̇c yc2 c Npq = 2Npq c h Nuv = 2Nuv + 2Yuv xh h xh Nvnc = 2Yvn Nv2 r/u = 2Nvc2 r/u Nu2 r = 6Xuc3 yc2 c Nr|r| = 2Nr|r| h Nnc nd = −4Xnn yh c Nvr2 /u = 2Nvr 2 /u c 4 Nr3 = 2Xu3 yc Nr = 2Xuc yc2 Nnc nc δr = 2Nndrc nc xh 36 MODELADO MATEMÁTICO dr Nunc δr = 2Nunc xh h h 2 h 2 + 2Xun yh + 2Yvn xh Nrnc = 2Nrn h 2 c h h 2 yh Nur = 2Nur + 2Nur + 2Yuv xh + 4Xuu 2.4.2. dr Nund δr = 2Nund xh h Nund = −2Xun yh Nnd nd δr = 2Nndrd nd xh Fuerzas gravitacionales e hidrostáticas En la hidrodinámica, las fuerzas gravitacionales y de flotabilidad, o hidrostáticas, se conocen como fuerzas restauradoras (Fossen, 1994). Las fuerzas gravitacionales actúan en el centro de gravedad del vehı́culo, cuyas coordenadas están definidas por el vector rG = [xG , yG , xG ]T . Por su parte, en el centro de flotabilidad rB = [xB , yB , xB ]T , actúan las fuerzas de flotabilidad. En vehı́culos de superficie, las fuerzas restauradoras son usualmente asociadas a una estabilidad metacéntrica. El metacentro, que puede ser lateral ML y transversal MT , consiste en el punto teórico originado por la intersección, de una lı́nea vertical imaginaria que corta al centro de flotabilidad con otra lı́nea imaginaria que atraviesa al nuevo centro de flotabilidad que aparece cuando el vehı́culo es desplazado o inclinado. Un vehı́culo con estabilidad metacéntrica, se resistirá a las inclinaciones en su estado estable o punto de equilibrio en los movimientos de arfada, balanceo y cabeceo (Fossen, 2002). En tal sentido, el vector de fuerzas gravitacionales y de flotabilidad queda definido como (Fossen, 2002):   Rz −ρg 0 Awp (ζ)dζsθ Rz   −ρg 0 Awp (ζ)dζcθsφ   Rz     −ρg A (ζ)dζcθcφ wp 0  g(η) =  (2.45)   B GM sφcθcφ f T       Bf GM L sθcθcφ Bf (−GM L cθ + GM T )sφsθ donde: - Bf representa la fuerza de flotabilidad definida por: Bf = ρg∇ (2.46) siendo ∇ el volumen del vehı́culo sumergido y ρ es la densidad del agua. Rz - 0 Awp (ζ)dζ define los cambios en el fluido desplazado debido a las variaciones que se producen en z. La componente Awp (ζ) representa el área del plano del vehı́culo en la lı́nea de agua en función de la posición lineal en z. 37 MODELADO MATEMÁTICO - GM T y GM L representan las alturas metacéntricas transversal y longitudinal, las cuales definen la distancia entre el metacentro M y el centro de gravedad rG como se muestra en la Figura 2–5. y z MT GMT f GMT g rG mg f ρg∇ Bf rB K f Figura 2–5: Estabilidad metacéntrica transversal. La estabilidad metacéntrica lateral puede ilustrarse sustituyendo MT y φ por ML y θ. Las alturas metacéntricas pueden ser obtenidas a partir de lo que plantea la teorı́a de la hidrostática como: GM T = BM T − zB GM L = BM L − zB (2.47) Los términos BM T y BM L se definen en función de los momentos del área de los planos de la lı́nea de fluido IT y IL : IT ∇ IL BM L = ∇ BM T = (2.48) En vehı́culos convencionales, Awp puede ser considerado como un área rectangular que comprende al plano de fluido del vehı́culo. Por lo que los momentos de área se pueden calcular aproximadamente en función del ancho B y largo del vehı́culo L como: 38 MODELADO MATEMÁTICO L3 B 12 B3L IT < 12 IL < (2.49) Rz Considerando que 0 Awp (ζ)dζ ≈ Awp (0)z es constante para pequeñas perturbaciones en z y considerando además que φ, θ y z son pequeños, es posible escribir de manera simplificada la expresión 2.45 como:    g(η) =   2.4.3. 03x1 Bf GM T φ Bf GM L θ 0      (2.50) Fuerzas generadas por el viento Las fuerzas y momentos provocados por el viento y que afectan la dinámica del catamarán se modelan a partir de la siguiente ecuación:    τW =   XW YW 03x1 NW       =   1 ρ V 2 A C (γ ) 2 w R T X R 1 ρ V 2 A C (γR ) 2 w R L Y 03x1 1 ρ V 2 LCN (γR ) 2 w R      (2.51) donde: - ρw representa la densidad del aire. - AT , AL y L definen el área transversal y lateral, ası́ como la longitud del vehı́culo. - Vw y ψw representan la velocidad y la dirección del viento, definidas en la Figura 2–6. - VR y γR representan el módulo y dirección de la velocidad del viento relativa al vehı́culo, definidas en la Figura 2–6. - CX , CY y CN definen los coeficientes de torque y fuerzas aerodinámicas. Los términos del viento relativos al vehı́culo se calculan según: p 2 VR = u2rW + vrW γR = −atan2(vrW , urW ) = ψw − ψ (2.52) 39 MODELADO MATEMÁTICO Norte x Este y yw y Vw gr uc Figura 2–6: Definición de la velocidad del viento VR y su ángulo de incidencia γR . donde urW y vrW son las componentes de la velocidad del viento relativa al vehı́culo, y son calculados por: urW = VW cos γR − u (2.53) vrW = VW sin γR − v De acuerdo con datos de pruebas experimentales analizados mediante técnicas de regresión múltiple (Fossen, 2002), los coeficientes aerodinámicos pueden ser estimados por: 2AT L S C 2AL + A2 2 + A3 + A4 + A5 + A6 Mno 2 L B B L L 2AL 2AT L S C ASS CY = B0 + B1 2 + B2 2 + B3 + B4 + B5 + B6 L B B L L AL 2AL 2AT L S C CN = C0 + C1 2 + C2 2 + C3 + C4 + C5 L B B L L CX = A0 + A1 (2.54) donde: - L y B representa la longitud y el ancho de la embarcación. - AT y AL son el área transversal y lateral respectivamente. - ASS es el área lateral de la superestructura. - S representa la longitud del perı́metro de la proyección lateral del vehı́culo, excluyendo la lı́nea de flotación y cuerpos delgados como mástiles y ventiladores. - C es la longitud del arco del centroide del área lateral. - Mno define el número de los distintos grupos de mástiles u otros cuerpos que se aprecien en la proyección lateral. - Ai y Bi (i = 0 . . . 6) y Cj (j = 0 . . . 5) aparecen en las tablas del Anexo A en función de los valores que puede tomar γR . 40 MODELADO MATEMÁTICO 2.4.4. Generador de olas y corrientes Las olas del mar generan movimientos en barcos y otros vehı́culos de superficie (Pastoor, 2002). Las fuerzas y momentos hidrodinámicos aplicados al catamarán dependen de la velocidad relativa νr y su respectiva derivada en el tiempo ν̇r . Según la expresión 2.17, estos elementos dependen de las componentes uF y vF de la velocidad del fluido en ausencia del catamarán, ası́ como de sus respectivas derivadas. Estos términos son obtenidos por:  vxF   νF = J −1 (η)  vyF  04x1     ∂v ∂v x x 0 vxF ∂xu ∂yu    ∂vy ∂vy  ν̇F = J˙ −1(η)  vyF  + χF + J −1(η)P  ∂x 0  P T J(η)ν ∂yu u 04x1 0 0 0   axF   χF = J −1(η)  ayF  0 4x1  donde: (2.55) (2.56) (2.57) - vxF y vyF son las componentes de velocidad del fluido en ausencia del catamarán medidas en {U} y definidos por: vxF = VF cos ψc vyF = VF sin ψc siendo VF la velocidad de las corrientes y ψc el ángulo de dirección de las mismas. - axF y ayF son las componentes de aceleración del fluido en ausencia del catamarán medidas en {U}. - P es una matriz auxiliar utilizada en los cálculos matemáticos, definida como P = [II3x3 , 03x3 ]T . Las velocidades del fluido en ausencia del vehı́culo, son obtenidas a partir de la superposición de N ondas planas monocromáticas con una corriente uniforme y estacionaria. Las componentes horizontales de la velocidad y aceleración del fluido, ası́ como sus derivadas parciales están dadas por (de Sousa, 2004): 41 MODELADO MATEMÁTICO vxF (x, y, t) = vxC + vyF (x, y, t) = vyC + N X i=1 N X ωi Ai cos λi sin(ǫi ) ωi Ai sin λi sin(ǫi ) i=1 axF (x, y, t) = N X ωi2 Ai cos λi cos(ǫi ) i=1 ayF (x, y, t) = N X ωi2 Ai sin λi cos(ǫi ) (2.58) i=1 N X ωi3 ∂vxF (x, y, t) = − Ai cos2 λi cos(ǫi ) ∂xu g i=1 N X ∂vxF ωi3 (x, y, t) = − Ai cos λi sin λi cos(ǫi ) ∂yu g i=1 N X ωi3 ∂vxF (x, y, t) = − Ai cos λi sin λi cos(ǫi ) ∂yu g i=1 N X ωi3 ∂vyF (x, y, t) = − Ai sin2 λi cos(ǫi ) ∂yu g i=1 donde: - x y y son las coordenadas en {U} de la posición del catamarán. - vxC y vyC representan las velocidades constantes de la corriente medidas en {U}. - N define el número de ondas planas monocromáticas. - ωi , λi , Ai y ǫi representan la frecuencia, dirección, amplitud y fase instantánea de una onda i. La fase instantánea ǫi se encuentra por la expresión: ǫi = (ωi + ωi2 ω2 ω2 (cosλi vxC + sinλi vyC ))t − i xcosωi − i ysinωi + ǫ0i g g g (2.59) siendo ǫ0i la fase inicial de la onda. Los parámetros ωi , λi , Ai y ǫi , que caracterizan una onda plana monocromática, son obtenidos a partir de un espectro bidimensional de densidad espectral de energı́a S(ω, λ). Este espectro es discretizado en una N cantidad de puntos con un espaciamiento dω de 42 MODELADO MATEMÁTICO frecuencia y dλ de dirección. La amplitud de cada onda se calcula como: Ai = donde: p 2S(ωi , λi )dωdλ (2.60) S(ωi , λi ) = S(ωi )G(λi ) (2.61) siendo: - S(ωi ) la función densidad del espectro de las olas. Para determinar esta función se utiliza el espectro Joint North Sea Wave Project (JONSWAP), que se emplea para representar las olas generadas por el viento de mares poco desarrollados, donde se considera una profundidad finita y el área del mar limitada. La función densidad del espectro de JONSWAP se determina a partir de los valores de la velocidad del viento (VW ) a 10 m de altura sobre el nivel del mar y la distancia geográfica hasta la costa (l): g2 5 ω0 S(ω) = α 5 exp[− ( )4 ]Y (2.62) w 4 ω De la expresión anterior: α = 0, 076[ gl −0,22 ] VW2 ω0 es el pico de frecuencia de las olas o frecuencia fundamental ω0 = 2π3, 5 g gl −0,33 ( ) VW VW2 (2.63) g es la aceleración de la gravedad (9,81m/s2 ) y Y se define como: Y =γ exp[ −(ω−ω0 )2 ] 2(σω0 )2 considerando σ = 0, 09 y γ = 3, 3 como constantes. - G(λi ) una función de dispersión tipo coseno cuadrado, que determina la dispersión de energı́a en la dirección de propagación λ de las ondas. Se encuentra dada por: ( 1 m )π cos( (λ−λ ), |λ − λm | ≤ ∆λ ∆λ 2∆λ G(λi ) = (2.64) 0, |λ − λm | ≤ ∆λ siendo λm la dirección media de las ondas y ∆λ el ángulo de dispersión en dirección de las ondas relativa a la dirección media λm . MODELADO MATEMÁTICO 2.5. 43 Consideraciones finales del capı́tulo En este capı́tulo se han utilizado los postulados de Newton para derivar las ecuaciones dinámicas no lineales para el movimiento de un catamarán en los 6 GDL. Las ecuaciones cinemáticas se representan mediante los ángulos de Euler. Las ecuaciones no lineales de movimiento incluyen el efecto que provocan el viento y el mar durante la navegación. Los coeficientes de los que depende el modelo no lineal se pueden calcular de manera analı́tica, a partir de consideraciones realizadas que tienen en cuenta las caracterı́sticas fı́sicas y de operación del catamarán. El modelo no lineal de 6 GDL del catamarán de SIMPRO, cuya estructura ha sido presentada en este capı́tulo, debe contar con la suficiente exactitud para poder representar mediante simulación distintas maniobras que puedan contribuir al entrenamiento de la tripulación . CAPÍTULO 3 MODELO DINÁMICO PARA EL CATAMARÁN DE SIMPRO 3.1. Introducción En este capı́tulo se detallan los procedimientos aplicados para el cálculo de los parámetros que forman parte del modelo dinámico no lineal de 6 GDL del catamarán de SIMPRO. Los parámetros se calculan a partir de los datos geométricos e inerciales del vehı́culo, utilizando expresiones analı́ticas y aproximaciones geométricas con otros vehı́culos que tienen un marcado carácter semi-empı́rico. Para constatar la validez del modelo no lineal, se simulan un conjunto de maniobras tı́picas de vehı́culos marinos. El modelo debe ser capaz de simular adecuadamente los movimientos del vehı́culo, durante la realización de cualquier tipo de maniobra y recrear las condiciones medioambientales hasta mar fuerza II. 3.2. Parámetros del cuerpo rı́gido El modelo no lineal de 6 GDL constituye la representación más exacta que se puede obtener para el catamarán. En este modelo se incluyen todos los coeficientes relacionados con la dinámica del cuerpo rı́gido, las masas añadidas, el amortiguamiento, las fuerzas y momentos gravitacionales y de entradas de control, ası́ como el efecto que provocan el oleaje, las corrientes marinas y el viento sobre el vehı́culo. Los datos presentados en la Tabla 1–1 sirven de base para el cálculo de los elementos del cuerpo rı́gido. El origen de coordenadas OC coincide con el centro de gravedad del vehı́culo, por lo que rG = [0, 0, 0]T . Esto trae como consecuencia que las matrices de cuerpo rı́gido y Coriolis reduzcan significativamente su complejidad, resultando las expresiones 2.13 y 2.29. Para el catamarán de SIMPRO, las matrices de cuerpo rı́gido y de Coriolis quedan de la forma: 44 45 MODELO DINÁMICO PARA EL CATAMARÁN DE SIMPRO      MC =           CC =      3.3. 3.3.1. 4266 0 0 0 0 0 0 4266 0 0 0 0 0 0 4266 0 0 0 0 0 0 2820 0 −680 0 0 0 0 1450 0 0 0 0 −680 0 −1040           0 −4266r 4266q 0 0 0 4266r 0 −4266p 0 0 0 −4266q 4266p 0 0 0 0 0 0 0 0 1040r − 680p −1450q 0 0 0 680p − 1040r 0 2820p − 640r 0 0 0 1450q 640r − 2820p 0           Parámetros relacionados con las fuerzas y momentos aplicados al catamarán Fuerzas y momentos hidrodinámicos Un esfuerzo importante en el cálculo de los parámetros de las fuerzas y momentos actuantes sobre el catamarán, radica en la búsqueda de los coeficientes hidrodinámicos adimensionales. Estos pueden ser obtenidos a partir de pruebas experimentales (Aage, 1994), softwares de simulación de fluidos (Furrer, 2010) y mediante vı́a analı́tica (Inoue, 1981; Mainal, 1996). Para el caso del catamarán de SIMPRO han tenido que ser calculados por la vı́a analı́tica, utilizando las expresiones B.3 y B.5. Los resultados de los cálculo realizados se presentan en el Anexo D. Los coeficientes de masas añadidas del cuerpo rı́gido han sido calculados a partir de las expresiones 2.21, 2.22, 2.23 y 2.26, obteniéndose los siguientes valores: Xu̇ = −173,4 kg Kṗ = 0 Yv̇ = −4291,2 kg Mq̇ = −26834 kgm2 Zẇ = −4291,2 kg Mq̇ = Nṙ = −26834 kgm2 A partir de estos valores, las matrices de masas añadidas del cuerpo rı́gido y Coriolis quedan definidas, según 2.28 y 2.29, como: 46 MODELO DINÁMICO PARA EL CATAMARÁN DE SIMPRO      MA =           CA =      173,4 0 0 0 0 0 0 4291,2 0 0 0 0 0 0 4291,2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 26834 0 0 0 0 0 0 26834            0 0 0 0 4291,2w −4291,2v  0 0 0 −4291,2w 0 173,4u    0 0 0 4291,2v −173,4u 0  0 4291,2w −4291,2v 0 26834r −26834q     −4291,2v 0 173,4u 26834r 0 0 4291,2v −173,4u 0 26834q 0 0 (3.1) (3.2) En la obtención de los términos de resistencia de cascos del catamarán de SIMPRO, se recurre a los diagramas de resistencia del método Harvald. Los coeficientes planteados en la expresión 2.30 son hallados interpolando la curva mostrada en la Figura 3–1, después de aplicar el método que aparece expuesto en el Anexo C. 70 Harvald 60 R (N) 50 40 30 20 10 0 0 0.5 1 1.5 Vc (m/s) 2 2.5 3 Figura 3–1: Resistencia del catamarán en función de la velocidad de avance Vc . La expresión 2.30 queda: R(uc ) ≈ 3,80u3c + 0,24uc (3.3) Los coeficientes de impulso KT y binario KQ , de la serie B de Wageningen, pueden expresarse de forma polinomial para obtener las fuerzas y momentos de las hélices. Los 47 MODELO DINÁMICO PARA EL CATAMARÁN DE SIMPRO términos de los que depende KT y KQ , de acuerdo con las expresiones definidas en 2.35, se calculan utilizando las curvas que aparecen en la Figura 3–2. 0.20 0.15 KT 0.10 10KQ 0.05 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 J Figura 3–2: Coeficientes de impulso KT y binario KQ en función del número de avance J. Los valores de estos términos para las hélices del catamarán del SIMPRO se presentan en la Tabla 3–1. Tabla 3–1: Valores de los términos independientes, de primer y segundo orden de los que dependen KT y KQ . KT KQ a0 = 0,13 b0 = 0,0095 a1 = −0,218 b1 = −0,0093 a2 = −0,144 b2 = −0,0073 Sustituyendo los valores anteriores en 2.35, resulta: KT = −0,144J 2 − 0,218J + 0,13 KQ = −0,0073J 2 − 0,0093J + 0,0095 (3.4) Los valores numéricos de los coeficientes dimensionales, referidos a las fuerzas y momentos hidrodinámicos correspondientes al catamarán de SIMPRO, han sido calculados utilizando las expresiones 2.32, 2.37, 2.40 y 2.43. A continuación, se presenta una lista que contiene los valores numéricos de todos los coeficientes calculado para el catamarán de SIMP RO. Xu̇ = −346,7756 kg Xvr = −8442,4 kg Xv2 = −921,348 kgm−2 Xunc = −5,4427 kg Xrnd = 5,1162 kgm Xu2 δr = −15,6313 kgm−1 Xwp = −8582,4 kg Xu2 = −15,63 kgm−1 Xr2 = −13,8118 kgm Xnc nc = 0,7465 kgm Xnc nc δr = 0,7465 kgm Xunc δr = −5,4427 kg Xu = −0,48 kgm−1 Xu3 = −7,6 kgm−2 Xur2 = −20,1461 kgs Xnd nd = 0,7465 kgm Xund δr = −5,4427 kg Xnd nd δr = 0,7465 kgm 48 MODELO DINÁMICO PARA EL CATAMARÁN DE SIMPRO Yv̇ = −8582,4 kg Yur = 8233,0799 kg Yuv = −1324,4 kg Yunc δr = −5,4427 kg Ynd nd δr = 0,7465 kgm Ywq = 8582,4 kg Yv|r| = −7546,5 kg Yvnc = −0,3082 kg Yund δr = −5,4427 kg Yv|v| = −5171 kgm−1 Yr|r| = −4610,8 kgm Yrnc = 1,1956 kgm Ync nc δr = 0,7465 kgm Zẇ = −8582,4 kg Zq = 2143,8 kgms−1 Zvp = −8582,4 kg Zuq = −346,7756 kg Kuv = 1357,4 kg Kp|p| = −538,65 kgm2 Kv|v| = 534,34 kg Kr|r| = −10773 kgm2 Kv|r| = 560,19 kgm K v2 r = −1863,7 kgm u Kr|v| = 2213,9 kgm Kr|v| = 2213,9 kgm Kup = −161,59 kgm Mq̇ = −53668 kgm2 Mpr = 53668 kgm2 Mṙ = −612,8218 kgm2 Nṙ = 53974,41 kgm2 Npq = 53668 kgm2 Nuv = −5389 kgm Nvnc = 1,1956 kgm Nund δr = −5,4427 kgm Nnd nd δr = 0,7465 kgm2 Nv2 r/u = −1002900 kgm Nu2 r = −20,1461 kgs Nr|r| = −322650 kgm2 Nnc nc δr = 0,7465 kgm2 Nund δr = −5,4427 kgm Nrnc = −9,4130 kgm2 Nvr2 /u = 588210 kgm Nr3 = −5,9337 kgm2 s Nr = −0,4241 kgm2 s−1 Nunc δr = −5,4427 kgm Nund δr = −5,4427 kgm Nur = −23718 kgm Es válido aclarar que los términos cuyo valor numérico no aparece es porque son cero. En el caso de la matriz de masas de fluido de Froude-Krylov, se calcula según la ecuación 2.19, a partir del valor de la masa del vehı́culo m y de los componentes del vector rB , el cual para este vehı́culo queda definida como rB = [0, 0, 0,35]T .      MF =      3.3.2. 4266 0 0 0 0 0 0 4266 0 0 0 0 0 0 4266 0 0 0 0 −1493,1 0 0 0 0 1493,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0           (3.5) Fuerzas y momentos gravitacionales Las fuerzas y momentos gravitacionales influyen principalmente en los movimientos de cabeceo y balanceo. La fuerza de flotabilidad Bf depende de parámetros fı́sicos del 49 MODELO DINÁMICO PARA EL CATAMARÁN DE SIMPRO vehı́culo y se calcula utilizando la expresión 2.46. Para el catamarán de SIMPRO esta fuerza es Bf = 73087 N. Las alturas metacéntricas transversal GM T y longitudinal GM L , que definen el metacentro del vehı́culo, se obtienen utilizando la ecuación 2.47. Considerando que IT = 80 y IL = 4,6, se arriba a que GM T = 10,63 y que GM L = 0,28. Por lo que el vector de fuerzas y momentos gravitacionales e hidrostáticos para el catamarán de SIMPRO, calculado utilizando la ecuación 2.50, queda de la siguiente manera:   03x1  777236,4φ    g(η) =  (3.6)   20661,7θ  0 3.4. Comportamiento del modelo no lineal de 6 GDL sin perturbaciones El modelo no lineal de 6 GDL del catamarán, definido mediante la ecuación 2.10, constituye la representación dinámica más exacta del vehı́culo. Este modelo debe demostrar que es capaz de simular los movimientos del catamarán en el dominio del tiempo. Las entradas del modelo son las revoluciones de los dos motores y las deflexiones angulares que se producen en los mismos. Por su parte, las salidas son los vectores de aceleración, velocidad y posición del vehı́culo. Un conjunto de maniobras han sido establecidas para evaluar la robustez, el comportamiento y las limitaciones que puede tener el modelo de una embarcación marina (Fossen, 2002). A continuación se presentan los resultados obtenidos durante la simulación de algunas de estas maniobras utilizando el modelo no lineal de 6 GDL del catamarán de SIMPRO. Las simulaciones se realizan en el software MATLAB, donde se implementa la estructura del modelo presentada en la Figura 2–2. Cuando el vehı́culo opera a un valor constante de revoluciones en ambos motores, sin deflexión alguna, debe seguir una trayectoria recta en el plano x − y. Durante la simulación de este tipo de maniobra, la velocidad de giro de los motores se fijó en 60 rps. En la Figura 3–3 se presenta la trayectoria obtenida con el modelo, sin considerar el efecto de las perturbaciones, durante un simulación de 400 s con un perı́odo de muestreo T = 0,1 s. Este valor de perı́odo de muestreo se mantuvo para todas las simulaciones realizadas.. Ante una deflexión constante en los motores, el vehı́culo debe seguir una trayectoria circular. Cuando la embarcación no se encuentra sometida a los efectos de las perturbaciones marinas, la trayectoria no sufre desplazamientos. En la Figura 3–4, se evidencia MODELO DINÁMICO PARA EL CATAMARÁN DE SIMPRO 50 1 y(m) 0,5 0 −0,5 −1 0 100 200 300 400 500 x(m) Figura 3–3: Simulación de una maniobra en lı́nea recta con el modelo no lineal de 6 GDL sin perturbaciones. el comportamiento del catamarán ante una variación constante del ángulo de deflexión de los motores de 30o sin considerar perturbaciones. 50 y(m) 0 −50 −100 −150 −200 −150 −100 −50 0 50 100 x(m) Figura 3–4: Simulación de una maniobra circular con el modelo no lineal de 6 GDL sin perturbaciones. Si se somete al modelo a entradas de tipo variable, este debe responder ante cada una de las variaciones a lo largo del tiempo. Cuando al ángulo de deflexión de los motores se le aplica un onda cuadrada, cuya amplitud varı́a en el rango de -35o a 35o , el vehı́culo ejecuta una trayectoria en forma de zig-zag. En la Figura 3–5, se puede observar la respuesta obtenida del modelo del catamarán sin perturbaciones ante este tipo de entrada. 51 MODELO DINÁMICO PARA EL CATAMARÁN DE SIMPRO y(m) 0 −50 −100 −150 0 100 200 300 400 500 x(m) Figura 3–5: Simulación de una maniobra zig-zag con el modelo no lineal de 6 GDL sin perturbaciones. De esta manera se demuestra que el comportamiento del modelo no lineal de 6 GDL obtenido para el catamarán de SIMPRO, es similar al que caracteriza a este tipo de vehı́culo. 3.5. Fuerzas del viento Las fuerzas del viento actúan solamente en el plano horizontal. Para obtener los coeficientes aerodinámicos, se recurre a las expresiones 2.54, sustituyendo en las mismas los valores que se presentan en la Tabla 3–2 y los términos Ai y Bi (i = 0 . . . 6) y Cj (j = 0 . . . 5) que aparecen en las tablas del Anexo A. Los valores numéricos de los términos que no aparecen en la Tabla 3–2, y que forman parte de las expresiones 2.54, son cero para el caso de catamarán de SIMPRO. Tabla 3–2: Caracterı́sticas del catamarán de SIMPRO utilizadas para el cálculo de las fuerzas generadas por el viento. Parámetros AT AL S C Valor 9 m2 2,43 m2 20,4 m 2,7 m En la Figura 3–6, se muestran las fuerzas generadas por el viento durante una maniobra circular donde los motores operaban con un δr = 30o . Durante la simulación, se considera la velocidad del viento VW = 0,1 m/s y que el ángulo de incidencia del viento sobre el vehı́culo es ψw = 0o . Como se puede apreciar, el momento en la guiñada y la fuerza en el desplazamiento lateral son los de mayor magnitud. 52 MODELO DINÁMICO PARA EL CATAMARÁN DE SIMPRO Xw (N) 40 20 0 −20 −40 0 50 100 150 200 250 Tiempo(s) 300 350 400 350 400 350 400 (a) Componente de fuerza del viento en el eje x. Yw (N) 200 100 0 0 50 100 150 200 250 Tiempo(s) 300 (b) Componente de fuerza del viento en el eje y. Nw (N) 400 200 0 −200 0 50 100 150 200 250 Tiempo(s) 300 (c) Componente de fuerza del viento en el eje z. Figura 3–6: Fuerzas y momentos generados por el viento durante una maniobra circular. 3.6. Parámetros del generador de olas y corrientes Las olas y las corrientes generan fuerzas perturbadoras que son importantes considerar. Para simular las componentes de velocidad de fluido que afectan el comportamiento del modelo del vehı́culo, resulta necesario definir un conjunto de parámetros de los cuáles depende las expresiones presentadas en el sub-epı́grafe 2.4.4. 53 MODELO DINÁMICO PARA EL CATAMARÁN DE SIMPRO - El número de ondas planas monocromáticas se establece en N = 100. A partir de este valor se definen la cantidad de ondas i que se van a generar. - ωi y λi son escogidos aleatoriamente alrededor de una onda i, con una desviación máxima de dω/2 = 0,25 y dλ/2 = 0,5, respectivamente. El rango de frecuencias aleatorias ωi se selecciona entre 0 y 1.9 rad/s, atendiendo a las consideraciones realizadas en el epı́grafe 2.4. - La fase ǫ0i es escogida aleatoriamente dentro del intervalo [0, 2π]. Para la representación del oleaje mediante el espectro de JONSWAP, se utilizan las ecuaciones 2.60, 2.61, 2.62, 2.63 con los datos siguientes: VW = 10 m/s y la distancia geográfica a la costa de 1 km. Las componentes de la velocidad del fluido obtenidos durante una simulación de 200 s y T = 0,1 ms, son mostradas en la Figura 3–7, considerando una velocidad de las corrientes de 0,5 m/s y un ángulo de dirección de 0o . νF (m/s) 0,5 vxF vyF 0 −0,5 0 3.7. 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Tiempo(s) Figura 3–7: Componentes de la velocidad del fluido. 200 Comportamiento del modelo no lineal de 6 GDL con perturbaciones. Las olas y las corrientes influyen en las fuerzas y momentos hidrodinámicos, mientras que el viento afecta los movimientos de avance, desplazamiento lateral y guiñada. En la Figura 3–8 se presenta en color negro la trayectoria en lı́nea recta obtenida con el modelo sin considerar el efecto de las perturbaciones, mientras que en color gris se observa la salida del modelo teniendo en cuenta la acción de las olas y de las corrientes marinas. Tal como se puede apreciar, las corrientes provocan una desviación en la trayectoria que debe seguir el vehı́culo. Durante los 400 s de simulación, la velocidad de giros de los motores se fijó en 60 rps, manteniendo a δr = 0o . Las corrientes se simularon con valor de velocidad VF = 0,1 m/s y un ángulo de ψc = 30o . Por su parte, las afectaciones provocadas por el viento se simulan considerando una velocidad VW = 0,5 m/s y un ángulo de ψw = 0o . En una maniobra circular, la forma de la trayectoria depende del ángulo de incidencia y de la velocidad con que las perturbaciones afecten al vehı́culo. En la Figura 3–9, en 54 MODELO DINÁMICO PARA EL CATAMARÁN DE SIMPRO 80 Sin perturbaciones Con perturbaciones y(m) 60 40 20 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 x(m) Figura 3–8: Simulación de una maniobra en lı́nea recta con el modelo no lineal de 6 GDL con y sin perturbaciones. color negro se muestra la simulación del modelo sin perturbaciones y en color gris la simulación del modelo considerando el efecto de las perturbaciones marinas. 50 Sin perturbaciones Con perturbaciones y(m) 0 −50 −100 −150 −200 −200 −100 0 100 200 x(m) Figura 3–9: Simulación de una maniobra circular con el modelo no lineal de 6 GDL con y sin perturbaciones. Durante los 400 s de simulación de las mismas, los motores giraron a 60 rps y tenı́an un ángulo de deflexión de δr = 30o . La velocidad de las corrientes utilizada en la simulación es de VF = 0,2 m/s, mientras que el ángulo de incidencia es de ψc = 0o . El viento se simuló utilizando valores de VW = 0,5 m/s y ψw = 0o . Las maniobras circulares también se producen cuando se utilizan velocidades de giro diferentes en cada motor, de esta manera se produce una descompensación de fuerzas 55 MODELO DINÁMICO PARA EL CATAMARÁN DE SIMPRO 200 0 100 −100 y(m) x(m) y momentos que provoca el cambio en la dirección del vehı́culo. En las Figuras 3–10 y 3–11, se pueden observar las componentes de posición y velocidad durante la simulación de una maniobra circular provocada por las velocidades con que rotan los motores. −200 0 −100 0 100 200 Tiempo(s) 300 (a) Posición durante el avance. −300 0 ·10−4 2 0 −0,5 0 100 200 Tiempo(s) −2 300 (c) Posición durante la arfada. 0 100 200 Tiempo(s) 300 (d) Posición angular durante el balanceo. ·10−4 0 1 ψ(m) θ(m) 300 4 φ(m) z(m) 0,5 0 −1 100 200 Tiempo(s) (b) Posición durante el desplazamiento lateral. 6 2 0 −2 −4 −6 0 100 200 Tiempo(s) 300 (e) Posición angular durante el cabeceo. 0 100 200 Tiempo(s) 300 (f) Posición angular durante la guiñada. Figura 3–10: Componentes de la posición del catamarán durante la simulación de una maniobra circular. Para provocar los giros en la trayectoria, se coloca un motor a trabajar a 60 rps y el otro a 30 rps, mientras que δr = 0o . La velocidad de las corrientes, durante los 500 s 56 MODELO DINÁMICO PARA EL CATAMARÁN DE SIMPRO de simulación, se mantuvo en 0,2 m/s y la dirección de las mismas respecto al vehı́culo se estableció en 135o . Para simular los efectos provocados por el viento, se asigna un valor de VW = 0,1 m/s y de ψc = 10o . En algunas gráficas no se presenta la respuesta para todo el tiempo de simulación porque no existen variaciones significativas en el comportamiento de la señal. 0,3 2 0 0,2 v(m/s) u(m/s) 4 0 100 200 Tiempo(s) 300 (a) Velocidad en el avance. 0,1 0 −0,1 p(m/s) w(m/s) 0 −1 −2 100 200 Tiempo(s) 300 (c) Velocidad en la arfada. 300 4 2 0 −2 −4 −6 ·10−4 0 10 20 30 40 Tiempo(s) 50 (d) Velocidad angular en el balanceo . ·10−5 0 −1 · 10−2 r(m/s) q(m/s) 5 100 200 Tiempo(s) (b) Velocidad en el desplazamiento lateral. ·10−2 0 0 0 −2 · 10−2 −5 0 20 40 60 80 100 Tiempo(s) (e) Velocidad angular en el cabeceo. −3 · 10−2 0 50 100 150 Tiempo(s) 200 (f) Velocidad angular en la guiñada. Figura 3–11: Componentes de velocidad del catamarán durante la simulación de una maniobra circular. 57 MODELO DINÁMICO PARA EL CATAMARÁN DE SIMPRO Por último, se repite la simulación de la maniobra en zig-zag, para visualizar las diferencia que provocan las perturbaciones marinas. La Figura 3–12 muestra el modelo sin efectos perturbadores de color negro, y la trayectoria del modelo contaminada con la acción de los elementos medioambientales de color gris. Los resultados fueron obtenidos para una simulación de 400 s, donde al ángulo de deflexión de los motores se le aplica un onda cuadrada cuya amplitud varı́a en el rango de -35o a 35o . Los datos medioambientales se mantienen en VF = 0,2 m/s, ψc = 135o, VW = 0,1 m/s y ψw = 10o . Con perturbaciones Sin perturbaciones 0 y(m) −100 −200 −300 0 200 400 600 800 x(m) Figura 3–12: Maniobra en zig-zag afectados por perturbaciones. La inclusión en el modelo no lineal del catamarán de SIMPRO, de los efectos que provocan el oleaje, el viento y las corrientes marinas, permite recrear de manera más exacta las condiciones de operación del vehı́culo. En los resultados de las simulaciones se observa que para condiciones medioambientales no hostiles, el comportamiento del modelo no lienal de 6 GDL sigue siendo coherente con el desempeño que presentan vehı́culos de este tipo durante el desarrollo de maniobras en el mar. 3.8. Análisis económico Los simuladores de vehı́culos marinos están valorados a un alto costo en el mercado mundial. El precio de estas aplicaciones depende de la exactitud y las potencialidades que ofrezcan, ası́ como de la capacidad de procesamiento de que dispongan. No son muchas las empresas que se dedican a comercializar simuladores marinos, ya que resulta muy difı́cil insertarse entre los que dominan este negocio a nivel mundial. Normalmente se comercializa el simulador como un sistema que cuenta con el mundo virtual, el hardware donde se ejecutan las simulaciones y un modelo dinámico del vehı́culo que incluye el efecto de las perturbaciones medioambientales. MODELO DINÁMICO PARA EL CATAMARÁN DE SIMPRO 58 Una vez adquirido un producto de este tipo, si es necesario realizar alguna modificación debido a cambios estructurales en el vehı́culo, se tendrı́a que recurrir obligatoriamente al fabricante quien cobrarı́a por este servicio, aumentando el valor agregado del producto. Por su parte, si se contara con una aplicación de procedencia nacional, el ahorro en recursos monetarios serı́a significativo. Una propuesta de este tipo resulta viable, debido a que en el paı́s se cuenta con los recursos humanos necesarios para llevarla a cabo. De esta manera se contribuirı́a a reducir importaciones y a propiciar la independencia tecnológica del paı́s. El modelo dinámico no lineal obtenido para el catamarán de SIMPRO demuestra que es posible realizar en Cuba aplicaciones de este tipo, que solo son reportadas en paı́ses del primer mundo. 3.9. Consideraciones finales del capı́tulo Los parámetros correspondientes al modelo no lineal del catamarán de SIMPRO, se calculan a partir de los datos geométricos e inerciales y de aproximaciones que se realizan con otros vehı́culos. Las estructuras matemáticas con las que se representa el oleaje, el viento y las corrientes marinas se simularon utilizando datos sencillos de obtener. Un conjunto de maniobras se simularon utilizando el modelo no lineal de 6 GDL. Con estas simulaciones se demuestra que el modelo presenta un comportamiento adecuado y similar al que caracteriza a este tipo de vehı́culo. CONCLUSIONES Como resultado final arrojado por esta investigación, se determina un modelo no lineal de 6 GDL para el vehı́culo de superficie tipo catamarán de SIMPRO, que representa adecuadamente las caracterı́sticas dinámicas del vehı́culo, lo cual queda demostrado mediante simulación. A partir de estos resultados, se plantean las conclusiones generales siguientes: A partir del análisis de la literatura especializada efectuado sobre la evolución de los vehı́culos de superficie y los simuladores, se determina que el modelo dinámico no lineal del catamarán de SIMPRO debe expresarse mediante una estructura vectorial y sus parámetros deben determinarse utilizando un método analı́tico y semi empı́rico. La obtención del modelo no lineal de 6 GDL del catamarán se realiza analizando por separado cada uno de los componentes del cuerpo rı́gido, valorando su aporte en las fuerzas y momentos aplicados al vehı́culo. El modelo no lineal de 6 GDL obtenido para el catamarán de SIMPRO, representa adecuadamente el comportamiento dinámico del vehı́culo. La validez del modelo queda demostrada mediante simulación utilizando el criterio de experto. La incorporación del oleaje, las corrientes marinas y el viento en el modelo del catamarán de SIMPRO, aporta mayor exactitud en la representación de las condiciones de operación del vehı́culo. Con las conclusiones presentadas se satisfacen los objetivos del trabajo y se justifica plenamente la necesidad de la investigación, quedando corroborada la hipótesis inicial establecida. 59 RECOMENDACIONES Para establecer la necesaria continuidad que debe tener este trabajo se recomienda lo siguiente: ⋆ Evaluar otras técnicas para el cálculo de los coeficientes hidrodinámicos, de resistencia de cascos y de las hélices que aseguren mayor exactitud en el modelo. ⋆ Estudiar otras variantes para la generación de olas en un mayor rango de frecuencia, con el propósito de lograr mayor exactitud en la representación de las condiciones de operación del vehı́culo. ⋆ Programar el modelo no lineal de 6 GDL calculado en esta investigación en el lenguaje de programación C, de manera que pueda integrarse con el mundo virtual que en estos momentos desarrolla SIMPRO para la implementación del simulador de entrenamiento del catamarán. 60 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Aage, C.; Smitt, L. W. 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Tabla A–1: Parámetros de las fuerzas del viento inducidos en el avance. γ R (o ) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 A0 2.152 1.714 1.818 1.965 2.333 1.726 0.913 0.457 0.341 0.355 0.601 0.651 0.564 -0.142 -0.677 -0.723 -2.148 -2.707 -2.529 A1 A2 -5 0.243 -3.33 0.145 -3.97 0.211 -4.81 0.243 -5.99 0.247 -6.54 0.189 -4.68 0 -2.88 0 -0.91 0 0 0 0 0 1.29 0 2.54 0 3.58 0 3.64 0 3.14 0 2.56 0 3.97 -0.175 3.76 -0.174 67 A3 -0.164 -0.121 -0.143 -0.154 -0.190 -0.173 -0.104 -0.068 -0.031 0 0 0 0 0.047 0.069 0.064 0.081 0.126 0.128 A4 A5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.348 0 0.482 0 0.346 0 0 0 -0.247 0 -0.372 0 -0.582 0 -0.748 0 -0.7 0 -0.529 0 -0.475 0 0 1.27 0 1.81 0 1.55 A6 0 0 0.033 0.041 0.042 0.048 0.052 0.043 0.032 0.018 -0.020 -0.031 -0.024 -0.028 -0.032 -0.032 -0.027 0 0 68 TABLA DE COEFICIENTES AERODINÁMICOS PARA BARCOS MERCANTES. Tabla A–2: Parámetros de las fuerzas del viento inducidos en el desplazamiento lateral. γ R (o ) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 B0 0.096 0.176 0.225 0.329 1.164 1.163 0.916 0.844 0.889 0.799 0.797 0.996 1.014 0.784 0.536 0.251 0.125 B1 0.22 0.71 1.38 1.82 1.26 0.96 0.53 0.55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B2 B3 0 0 0 0 0 0.023 0 0.043 0.121 0 0.101 0 0.069 0 0.082 0 0.138 0 0.155 0 0.151 0 0.184 0 0.191 0 0.166 0 0.176 -0.029 0.106 -0.022 0.046 -0.012 B4 0 0 0 0 -0.242 -0.177 0 0 0 0 0 -0.212 -0.28 -0.209 -0.163 0 0 B5 0 0 -0.29 -0.59 -0.95 -0.88 0.65 -0.54 -0.66 -0.55 -0.55 -0.66 -0.69 -0.53 0 0 0 B6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.34 0.44 0.38 0.27 0 0 Tabla A–3: Parámetros de las fuerzas del viento inducidos en la guiñada. γ R (o ) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 C0 0.0596 0.1106 0.2258 0.2017 0.1759 0.1925 0.2133 0.1827 0.2627 0.2102 0.1567 0.0801 -0.0189 0.0256 0.0552 0.0881 0.0851 C1 0.061 0.204 0.245 0.457 0.573 0.48 0.315 0.254 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0195 -0.0258 -0.0311 -0.0488 -0.0422 -0.0381 -0.0306 -0.0122 C3 0 0 0 0.0067 0.0118 0.0115 0.0081 0.0053 0 0 0 0 0.0101 0.01 0.0109 0.0091 0.0025 C4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0335 0.0497 0.074 0.1128 0.0559 0.0689 0.0366 0 C5 -0.074 -0.17 -0.38 -0.472 -0.523 -0.546 -0.526 -0.443 -0.508 -0.492 -0.457 -0.396 -0.42 -0.463 -0.476 -0.415 -0.22 . ANEXO B PROCEDIMIENTO PARA EL CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES ADIMENSIONALES EN EL DESPLAZAMIENTO LATERAL Y LA GUIÑADA La fuerza lateral no dimensional Y ′ y el momento en la guiñada N ′ que se aplican cerca de la parte central de la estructura del barco, se asumen como: Y ′ (v, r ′ ) = Yv′ v + Yr′ r ′ + fY (v, r ′ ) (B.1) N ′ (v, r ′ ) = Nv′ v − Nr′ r ′ + fN (v, r ′ ) (B.2) donde fY (v, r ′) y fN (v, r ′) representan los términos no lineales de las fuerzas y momentos. Para el cálculo de los términos lineales, se realizaron algunos experimentos para medir las fuerzas hidrodinámicas en 10 vehı́culos marinos, entre los que se encontraban 3 tanqueros y 3 barcos contenedores. Las gráficas obtenidas a partir de los datos recopilados en los experimentos se presentan en las Figuras B–1 y B–2. 0,4 0,8 0,3 Yr′ Yv′ 0,6 0,4 0,1 0,2 0 0,2 0 0,2 0 0,4 k 0 0,2 0,4 k Figura B–1: Fuerzas 69 70 TABLA DE COEFICIENTES AERODINÁMICOS PARA BARCOS MERCANTES. 0,06 0,15 0,04 Nr′ Nv′ 0,1 0,02 5 · 10−2 0 0 5 · 10−2 0,1 k 0,00 0,15 0 5 · 10−2 0,1 k 0,15 Figura B–2: Momentos. Inoue (Inoue, 1981), a partir de las gráficas obtenidas, plantea las siguientes ecuaciones para calcular los términos lineales: 1,4CB B 1 πk + 2 L 1 πk = 4 = k Yv′ = Yr′ Nv′ (B.3) Nr′ = 0,54k − k 2 donde: - k es el radio de aspecto, definido por: k= 2T L - B define el ancho de la estructura y L la longitud. - CB representa el coeficiente de bloque, determinado como: CB = ∇ LBT Para expresar correctamente los términos adimensionales no lineales, atendiendo a resultados de las investigaciones de (Inoue, 1981), fY y fN pueden ser descritas como: fY = Yvv′ v|v| + Yvr′ v|r ′| + Yrr′ r|r ′ ′ ′ ′ ′ ′ fN = Nrr r |r | + (Nrrv r ′ + Nvvr vr ′ )vr ′ (B.4) Cada uno de los términos adimensionales no lineales, han sido obtenidos según la Figura B–3. 71 0,8 0,5 0,6 0,4 Yvr′ Yvv′ TABLA DE COEFICIENTES AERODINÁMICOS PARA BARCOS MERCANTES. 0,4 0,3 0,2 0,2 0 0 5 · 10−2 0,1 T (1 − CB ) B 0,15 0 0,00 0,15 0,15 −0,02 Yrr′ ′ −Nrr 0,10 −0,04 0,05 −0,06 −0,08 5 · 10−2 0,1 T (1 − CB ) B 0,00 0 5 · 10−2 0,1 0,15 0,2 T (1 − CB ) B 0 5 · 10−2 0,1 0,15 0,2 CB B L 1,00 0,05 0,80 ′ Nvrr ′ −Nvvr 0,60 0,40 −0,05 0,20 0,00 0,00 −0,10 0 5 · 10−2 0,1 0,15 0,2 Tiempo(s) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 CB T B Figura B–3: Términos adimensionales no lineales. Aplicando técnicas de interpolación matemática, se obtienen las expresiones para los términos no lineales: TABLA DE COEFICIENTES AERODINÁMICOS PARA BARCOS MERCANTES. Yvv′ = 5f1 + 0,05 16 4 Yvr′ = − f1 + 9 9 ′ Yrr = −0,5f1 72 (B.5) ′ −Nrr = −5,15f23 − 3,77f22 + 1,53f2 − 0,14 ′ −Nvvr = 31,8f26 − 161,4f25 + 304,4f24 − 267,8f23 + 107,3f22 − 15,1f2 + 0,7 1 5 ′ Nvrr = − f1 + 12 16 donde: (1 − CB T ) B (CB B) f2 = L f1 = . ANEXO C RESISTENCIA DE CASCOS C.1. Análisis teórico La resistencia R que ofrece un casco de determinada geometrı́a en la superficie de un fluido depende de las caracterı́sticas del propio casco, de las caracterı́sticas del fluido y de la aceleración de la gravedad. Esta resistencia se define por: 1 R = ρSc V 2 CT (FN , RN ) 2 (C.1) donde: - Sc es la superficie del casco que se encuentra en contacto con el fluido. - FN = √VgL representa el número de Froude. - RN = ρVµL define el número de Reynolds. - CT es un coeficiente adimensional designado por el coeficiente de resistencia total que depende de FN y RN y de la forma geométrica del casco. Existen dos mecanismos básicos de resistencia, uno debido a las fuerzas tangenciales de viscosidad y otro debido al desequilibrio de presiones. De este modo, la resistencia total R de un cuerpo se puede dividir en una resistencia de fricción RF y en una resistencia de presión RP de la siguiente manera: R = RF + RP (C.2) RP = RP V + RW (C.3) donde: siendo RP V la resistencia de presión, debido al desequilibrio de presiones resultante de la viscosidad del fluido, y RW es la resistencia de onda. La resistencia de fricción RF depende fundamentalmente de la viscosidad del fluido, y la resistencia debida a la presión RP depende de la gravedad. Teniendo en cuenta esto: RF ≈ 21 ρSc V 2 CF (RN ) RP ≈ 12 ρSc V 2 CP (FN ) 73 (C.4) 74 RESISTENCIA DE CASCOS. lo que permite descomponer el coeficiente de resistencia total CT de la forma: CT (FN , RN ) ≈ CF (RN ) + CP (FN ) (C.5) que es conocida como la hipótesis de Froude. La importancia de esta hipótesis es que, a partir de la misma, puede obtener una función bidimensional CT (FN , RN ), que constituye la suma de dos funciones unidimensionales CF (RN ) y CP (FN ). Generalmente, se acostumbra a aproximar la curva CF (RN ) de un casco por la curva CF (RN ) de una placa fina de igual longitud. Con base a esta aproximación, CP (FN ) se calcula por la curva aproximada resultante como: CP (FN ) ≈ CR (FN , RN ) = CT − CF (RN ) (C.6) donde: - CT es obtenido experimentalmente a partir de un modelo de casco real. - CR es el coeficiente de resistencia residual, que representa la diferencia entre el coeficiente de resistencia total del casco y el coeficiente de resistencia de fricción de una placa. La curva CF (RN ), utilizada en C.6, es un elemento muy importante a partir del cual se puede obtener CP (FN ). Comúnmente, la curva IT T C 57 usada en la ingenierı́a naval para este tipo de propósitos viene dada por: CF = 0,075 (log10 RN − 2)2 (C.7) Para la obtención de la resistencia de onda RW , se emplea la curva tı́pica de coeficiente adimensional de resistencia de onda CW en función del número de Froude,que se muestra en la Figura C–1. Este coeficiente está definido por: CW = C.2. RW 1 ρSc V 2 2 (C.8) Métodos de estimación de resistencia de cascos Existen varios métodos de estimación de resistencia de cascos, desde métodos directos en modelos de dimensiones reducidas a partir de diagramas de resistencia hasta fórmulas estadı́sticas obtenidas por regresión de datos experimentales. Los principales son los diagramas o Series Standard y los métodos estadı́sticos. 75 RESISTENCIA DE CASCOS. k=1 CW k=3 k=2 k=4 k=5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Fn Figura C–1: Dependencia del coeficiente de resistencia de onda CW del número de Froude. Los diagramas o Series Standard permiten obtener las estimaciones de resistencia en base a las caracterı́sticas geométricas del casco. Los diagramas de Taylor, Lap, Ayre, Auf ’m keller y Harvald son algunos ejemplos de este tipo de diagramas. De acuerdo al método de Harvald, la resistencia de un casco se encuentra dada por: 1 R = ρSc V 2 CT (Fn , Rn ) 2 (C.9) en el cual el coeficiente de resistencia total CT depende de la geometrı́a del casco expresado por: CT = CF (Rn ) + CR (Fn ) + CA (C.10) en donde: - CF es el coeficiente de resistencia viscosa que se encuentra establecido por la curva IT T C 1957, expresado en la ecuación C.7. - CR es el coeficiente de resistencia de onda. Es posible encontrar en diagramas las curvas de CR para 0,15 < Fn < 0,45. Estas curvas están parametrizadas en función ∇ en los intervalos: de L1 y el coeficiente prismático CP = LA T ∇3 4< L 1 ∇3 <8 0,5 < CP < 0,8 (C.11) RESISTENCIA DE CASCOS. 76 - CA es el coeficiente de resistencia incremental que es posible obtener en función de la longitud de la embarcación L:   0,004 L ≤ 100m       0,002 L = 150m (C.12) CA = 0 L = 200m    −0,002 L = 250m     −0,003 L ≥ 300m . ANEXO D TABLA DE COEFICIENTES ADIMENSIONALES. Tabla D–1: Coeficientes adimensionales del cuerpo rı́gido. X x10−4 ′ Xvvc = −89,8 Y x10−5 Z x10−5 ′ ′ Yv c = −24600 Zqm = 796 ′c Yr = 7850 ′c Yv|v| = −96000 ′c Yv|r| = −14010 ′c Yr|r| = −8560 77 K x10−5 ′ Kvco = 252 ′ co Kvv = 0 ′ co Kv|v| = 99,2 ′ co Kv|r| = 10,4 ′ co Kvrr =0 ′ co Kr|r| = −20 ′ co =0 Krrr ′ co Krvv = −34,6 ′ co Kr|v| = 41,1 ′ Kpco = −3 ′ co Kp|p| = −1 ′ co Kppp = 0 ′ co Kpu|pu| =0 N x10−5 ′ Nvc = −10000 ′c Nr = −4400 ′c Nvvr = −186180 Nvrr = 10920 Nr|r| = −5990

Homero Javier Oria Aguilera - DSpace@UCLV

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