89 œ Ñ Ñ Ñ Ñ

89
œ
-B 3
x3 x
‡ lim
8Ä _
8‡(8-1)‡Ð8-2)........‡(8x3 1)
‡lim Ð"  8- Ñ8 ‡lim Ð"  8- ÑB3 .
8x3
8Ä _
8 Ä_
Se determinará cada uno de los tres límites por separado.
u = lim
8Ä _
8‡(8-1)‡Ð8-2)........‡(8x3 1)
8x3
8x3 1
1 8 2
œ lim Ð 88 ‡ 8
Ñ œ ", pues el límite de cada
8 ‡ 8 ‡ÞÞÞÞÞÞÞÞ‡ 8
8Ä _
uno de los x3 factores es 1.
v = lim Ð"  -8 Ñ8 = e- , que corresponde a un límite matemático notable
8Ä_
w = lim Ð"  -8 ÑB3 = ( lim Ð"  -8 Ñ)B3 = "B3 œ ".
8Ä _
En consecuencia
Así,
pÐB3 Ñ œ
8Ä _
pÐB3 Ñ œ
-B 3
x3 x
‡ u‡v ‡w œ
-B 3
x3 x
‡ e- .
una
variable
aleatoria
discreta
X
con
función
de
probabilidad
, x3 œ !ß "ß #ß $ÞÞÞÞÞÞ, se denomina distribución de Poisson de parámetro -  !,
x3 x ‡e
-B 3
con función de distribución acumulativa J Ðx; -Ñ œ !
x
B3 œ!
- B3
x3 x
‡e - .
Notación: X œ c (-).
Existen tablas de la distribución acumulativa de Poisson para diferentes valores de -.
Ejemplo 7.1
Un ejemplo típico asociado a la aproximación binomial tiene relación con el cálculo actuarial,
que corresponde al que usan compañías de seguros cuando tienen que calcular las primas a
cobrar por seguros con un alto número de asegurados y con una baja probabilidad de
ocurrencia del siniestro. La siguiente situación ilustra uno de estos casos.
Una compañía tiene 50.000 afiliados al Seguro Obligatorio por Accidentes Personales. La
compañía sabe que la probabilidad anual de muerte por accidente automovilístico es de
0,0001.
La variable aleatoria X número de muertes accidentales anuales entre sus asegurados, es
una variable binomial de parámetros n = 50000 y p = 0,0001, cuya función de distribución es
B3
&!!!!B3
, pero estas probabilidades son molestas de
pÐB3 Ñ œ Š &!!!!
B3 ‹‡Ð!ß !!!"Ñ ‡Ð!ß ****Ñ
calcular. Como este es un caso con n grande y p pequeño, es válida la aproximación de
Poisson. En este ejemplo - œ n‡p œ 50000‡0,0001 œ 5 , luego Bin Ð&!!!!ß !ß !!!"Ñ es
aproximadamente una Poisson de parámetro 5, denotada c(&). Usando la distribución
acumulativa, del anexo 3 (tabla A3), la compañía puede calcular la probabilidad de los
siguientes sucesos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de no pagar ningún siniestro durante el año ?
T Ð\ œ !Ñ ¸ J Ð!;&Ñ œ !ß !!'( œ !ß (%
b) ¿ Cuál es la probabilidad de pagar a lo más 3 siniestros durante ese periodo ?
T Ð\ Ÿ $Ñ ¸ J Ð$;&Ñ œ !ß #'&!
c) ¿ Cuál es la probabilidad de tener que pagar exactamente 5 siniestros en el año ?
T Ð\ œ &Ñ ¸ J Ð&;&Ñ  J Ð%;&Ñ œ !ß '"'!  !ß %%!& œ !ß "(&&