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Cálculo numérico I. Grado en en Matemáticas.
Hoja 2 de Problemas
1. Consideremos la función f (x) = sin(x). Si aproximamos la función en el intevalo [0, 1.58]
mediante la linea quebrada que une los puntos (xi , f (xi )) con xi+1 − xi = 0.01 (x0 = 0,
x158 = 1.58), ¿cuál es el máximo error cometido?. ¿Y si aproximamos la función por parabolas
que unen los puntos x2i , x2i+1 y x2i+2 , i = 0, ..., 78?
2. Si interpolamos f (x) = ex utilizando cuatro nodos igualmente espaciados en el intervalo [0, 1],
¿cuál es el máximo error que se comente?
3. Dados los siguientes datos:
x
0 0.1 0.3 0.6
f (x) −8 −6 0
3
construir el polinomio de grado tres que interpola estos datos.
Si a la anterior tabla añadimos el punto (x4 , f (x4 )) = (0.7, 3.1), se pide obtener el polinomio
interpolador que pasa por los 5 puntos.
4. Sea Pn (x) el polinomio de grado a lo sumo n tal que Pn (xi ) = f (xi ), xi ∈ [a, b], i = 0, ..., .n
(xi 6= xj ⇐⇒ i 6= j) siendo f una función definida en [a, b]. Demostrar que
f (x) − Pn (x) = f [x0 ...xn x]
n
Y
(x − xj )
j=0
5. Dado un conjunto de puntos {(xi , yi )} denotamos por Pn,m (x) el polinomio de grado a lo sumo
m que interpola los puntos {(xi , yi )}, i = n, ..., n + m (con xi 6= xj ⇐⇒ i 6= j). Demostrar
que
x − xl
xl+k − x
Pl,k (x) =
Pl+1,k−1 (x) +
Pl,k−1 (x)
xl+k − xl
xl+k − xl
6. Se tienen los siguientes datos para un polinomio P (x)
x
0 1 2
P (x) 2 −1 4
Determinar el polinomio sabiendo que todas las diferencias progresivas de tercer orden son
igual a 1.
7. Sea pn (x) un polinomio de grado n, pn (x) = an xn + ... + a0 , an 6= 0. Demostrar que
∆n pn (x0 ) = an n!hn
para cualquier x0 . h es el espaciado entre datos.
8. Demostrar que si f [x0 ...xn x] es derivable respecto a x entonces
d
f [x0 ...xn x] = f [x0 ...xn xx]
dx
9. Dada f (x) = ln(1 + x), encontrar el polinomio de grado tres P3 (x) tal que:
f (0) = P3 (0) , f 0 (0) = P30 (0) ,
f (1) = P3 (1) , f 0 (1) = P30 (1)
Repetir el cálculo para que, además de las condiciones anteriores, se cumpla que:
(a) f 00 (0) = P400 (0), en cuyo caso el polinomio de interpolación es de grado 4.
(b) Todas las condiciones anteriores y además f 00 (1) = P500 (1) (en este caso el polinomio
interpolador es de grado 5)
Acotar en cada uno de los casos el máximo error cometido al aproximar la función por
el polinomio interpolador en [0, 1].
10. Determinar las relaciones que han de satisfacer los parámetros a, b, c, d y e para que la función

 a(x − 3)2 + b(x + 1)3 , x ∈ [−2, −1]
c(x − 3)2 ,
x ∈ [−1, 0]
f (x) =

2
3
d(x − 3) + ex ,
x ∈ [0, 2]
sea una función spline.
Añadiendo a las condiciones del apartado anterior las de interpolación de los datos:
x
−2 0 1
f (x) 52 18 9
determinar a, b, c, d y e.
¿Es el spline antes construido un spline natural?.
11. Construir un spline cúbico libre para aproximar f (x) = e−x utilizando
R 1 los valores de f (x) en
x = 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.0. Integrar el spline en [0, 1] para aproximar 0 e−x dx; comparar con el
valor real.
12. Encontrar la aproximación cuasi-minimax a f (x) = sinh(4x) por un polinomio de tercer orden
en [−1, 1].