Práctica 1 - Primer Trimestre

Práctica 1 - Primer Trimestre
Probelmas de Optimización Estática
Ejercicio 1.- Teorı́a del Consumidor: el problema de maximización
de la utilidad.
Suponga un mercado de dos bienes (x, y), donde las decisiones de consumo de un individuo pueden representarse a través de una función de utilidad del tipo Cobb-Douglas:
U (x, y) = xα y 1−α , con 0 < α < 1. Dicho consumidor posee un cierto nivel de ingresos (B)
y debe elegir aquella canasta de bienes que, gastando dichos ingresos a los precios px , py
dados, maximice su nivel de utilidad. De esta forma, el problema del consumidor puede
representarse como:
M ax U (x, y) = xα y 1−α
s.a : g(x, y) = px x + py y = B
Se pide:
1. Plantee el Lagrangeano del problema y formule sus condiciones de primer orden.
2. Interprete económicamente el resultado anterior.
3. Encuentre los valores óptimos x∗ e y ∗ (llamdas funciones de demanda Marshallianas), y la correspondiente utilidad óptima U ∗ (denominada función de utilidad indirecta).
4. Verifique la condición suficiente de segundo orden.
5. Qué significado económico tiene el multiplicador de lagrange en el óptimo (λ∗ ) en
este caso?
6. Represente gráficamente el resultado.
Ejercicio 2.- Propiedades de las funciones de demanda y de utilidad indirecta
A partir de los resultados obtenidos en el ejercicio anterior, si se denomina a x∗ =
xM (px , py , B) y y ∗ = y M (px , py , B), probar que:
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1. Las funciones de demanda Marshallianas (xM e y M ) son homogéneas de grado 0 en
(px , py , B).
2. La función de utilidad indirecta, U ∗ (px , py , B), es homogénea de grado 0 en (px , py , B).
Ejercicio 3.- Teorı́a del Consumidor: el problema de minimización
del gasto
El modelo del ejercicio 1 puede abordarse desde una óptica diferente, donde el consumidor
se enfrenta al problema de encontrar el mı́nimo gasto que le permitan alcanzar cierto nivel
de utilidad dado (digamos Ū ). El problema ahora es:
M in px x + py y
s.a : U (x, y) = Ū
Con Ux =
∂U
∂x
> 0 y Uy =
∂U
∂y
> 0.
Se pide:
1. Plantee el Lagrangeano del problema y formule sus condiciones de primer orden.
2. Interprete económicamente el resultado anterior. Qué relación encuentra con las
condiciones necesarias del ejercicio 1?
3. Para el caso de la función de utilidad del tipo Cobb-Douglas, encuentre los valores
óptimos x∗ e y ∗ (funciones de demanda Hicksianas), y la función de gasto óptima
(e).
4. Verifique la condición suficiente de segundo orden.
5. Cómo podria interpretar desde el punto de vista económico el multiplicador de
lagrange en el óptimo?
6. Represente gráficamente el resultado.
Ejercicio 4.- Propiedades de las funciones de demanda y de gasto
A partir de los resultados obtenidos en el ejercicio anterior. Si se denomina a x∗ =
xH (px , py , Ū ) y y ∗ = y H (px , py , Ū ), verificar que:
1. Las funciones de demanda Hicksianas (xH e y H ) son homogéneas de grado 0 en (px ,
py ).
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2. La función de gasto, e(px , py , Ū ), es homogénea de grado 1 en (px , py ).
Ejercicio 5.- Relaciones de dualidad
Los problemas de maximización de la utilidad y minimización del gasto presentan un
conjunto de propiedades que los relacionan. Uno puede ser visto como el problema dual
del otro; de aquı́ que los vı́nculos entre ambos se denominen relaciones de dualidad. Les
proponemos en este ejercicio encontrar dichas relaciones para el caso puntual de la función
de utilidad del tipo Cobb-Douglas utilizada en los ejercicios 1 y 3.
Se pide:
1. Probar que xM (px , py , e(px , py , Ū )) = xH (px , py , Ū ) (si ası́ lo desea puede resolverlo
para y también).
2. Probar que xH (px , py , U ∗ ) = xM (px , py , B) (lo mismo se cumple para y).
3. Probar que U (px , py , e(px , py , Ū )) = Ū .
4. Probar que B = e(px , py , U ∗ ).
5. Interprete económicamente los resultados anteriores.
Ejercicio 6.- Teorı́a del Productor: el problema de minimización
de costos
Consideremos una vez más el caso de un mercado con dos bienes, en el cual cada empresa
produce un solo bien homogéneo y es tomadora de precios (tanto de bienes como de
factores de producción). En este caso, el objetivo de cada empresa será encontrar la
combinación de insumos óptima que les permita minimizar los costos para un nivel fijo
de producción. De esta manera, el problema de optimización puede escribirse como:
M in C = rK + wL
s.a : Q(K, L) = Q0
Donde K, L, r y w representan los insumos capital, trabajo y sus precios respectivos. Se
supone adicionalmente que QK > 0 y QL > 0.
Se pide:
1. Encuentre las condiciones de primer orden e interprete económicamente su resultado.
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2. Para el caso de una función de producción del tipo Q(K, L) = K α L1−α , encuentre
los valores óptimos K ∗ y L∗ (funciones de demanda de factores condicionadas), y
la correspondiente función de costo mı́nimo C ∗ .
3. Verifique la condición suficiente de segundo orden.
4. Qué significado económico tiene el multiplicador de lagrange en el óptimo?
5. Represente gráficamente el resultado.
Ejercicio 7.- Propiedades de las funciones de demanda de factores
y de costo
A partir de las demandas condicionadas obtenidas en el ejercicio anterior, K ∗ = K c (r, w, Q0 )
y L∗ = Lc (r, w, Q0 ), demuestre que:
1. Las funciones de demanda condicionadas (K c y Lc ) son homogéneas de grado 0 en
(r, w).
2. La función de costos, C(r, w, Q0 ), es homogénea de grado 1 en (r, w).
Ejercicio 8.- Óptimo en producción: el caso de dos bienes y dos
factores
Conside una economı́a formada por dos empresas, donde cada una produce un único
bien. Ambas empresas utilizan capital y trabajo en su producción, de forma tal que las
cantidades producidas pueden escribirse como q1 = f 1 (K1 , L1 ) y q2 = f 2 (K2 , L2 ). La
dotación de factores está dada y se encuentra totalmente empleada en la producción de
ambos bienes. De esta forma K = K1 +K2 y L = L1 +L2 . El óptimo global de producción se
alcanzará en aquella combinación de insumos óptima que maximice la producción conjunta
de ambas empresas, dado el stock de capital y trabajo. Ambas empresas son tomadoras
de precios, por lo que los mismos son exógenos. Bajo estas condiciones, el problema de
optimización puede escribirse como:
M ax p1 f 1 (K1 , L1 ) + p2 f 2 (K2 , L2 )
s.a : K = K1 + K2
L = L1 + L2
En ambos casos, la productividad marginal del trabajo y el capital son positivas.
Se pide:
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1. Formule el Lagrangeano de este problema.
2. Desarrolle las condiciones de primer orden.
3. A la luz de los resultados anteriores, interprete la racionalidad económica de los
mismos en un marco de competencia perfecta. En particular discuta cómo opera la
movilidad de factores entre las empresas y el rol de los multiplicadores de Lagrange.
4. Plantee el Hessiano orlado y la condición suficiente, dado el número de variables y
restricciones de este caso puntual.
Ejercicio 9.- Óptimo en consumo: una economı́a de intercambio
puro
Una economı́a de intercambio puro es aquella en la cual no existen oportunidades de
producción. Los agentes económicos son consumidores que poseen cierto stock o dotación
inicial de bienes, por lo que la actividad económica se reduce únicamente al intercambio
y consumo de dichos bienes. En estas condiciones, el objetivo consistirá en encontrar las
asignaciones óptimas de bienes entre los distintos individuos de forma tal que cada uno
obtenga el máximo provecho derivado de su consumo.
El caso más simple consiste en una economı́a formada por dos individuos que consumen
dos bienes (x e y). Las preferencias de consumo de cada individuo pueden representarse a
través de sus respectivas funciones de utilidad U 1 (x1 , y1 ) y U 2 (x2 , y2 ). Suponga adicionalmente que las cantidades existentes de ambos bienes están fijas, de forma que x = x1 + x2
y y = y1 + y2 .
Bajo estas condiciones, una posible forma de escribir el problema de optimización es:
M ax U 2 (x2 , y2 )
s.a : U 1 (x1 , y1 ) = Ū 1
x = x1 + x2
y = y1 + y2
En ambos casos, las utilidades derivadas del consumo de cada bien son positivas y crecientes con la cantidad consumida.
Se pide:
1. Formule el Lagrangeano de este problema y las condiciones de primer orden.
2. Encuentre las relaciones entre las utilidades marginales e interprete el significado de
los multiplicadores.
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3. Plantee el Hessiano orlado y la condición suficiente, dado el número de variables y
restricciones de este ejercicio.
Ejercicio 10.- Un problema de maximización de la utilidad.
Suponga un mercado de dos bienes (x, y) como el visto en la práctica 1, donde las decisiones
de consumo de un individuo se representan a través de la siguiente función de utilidad:
U (x, y) = xy. Dicho consumidor posee un nivel de ingresos de 100, el cual puede destinar
al consumo de ambos bienes, cuyos precios son px = py = 1. Adicionalmente, suponga que
existe un racionamiento del bien x, de foram tal que x ≤ 40. De esta forma, el problema
del consumidor puede representarse como:
M ax U (x, y) = xy
s.a : x + y ≤ 100
x ≤ 40
x, y ≥ 0
Se pide:
1. Plantee el Lagrangeano del problema y formule las condiciones de Kuhn-Tucker.
2. Son las condiciones de Kuhn-Tucker condiciones necesarias en este problema? Justifique.
3. Encuentre los valores x∗ , y ∗ solución del problema y el valor de los multiplicadores.
4. Interprete económicamente el resultado anterior, incluyendo el significado de los
multiplicadores.
5. Verifique la condición suficiente de segundo orden a través de alguna de las formas
vistas en el curso.
6. Represente gráficamente el resultado obtenido.
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Ejercicio 11.- Un segundo problema de maximización de la utilidad.
Suponga ahora que la economı́a del ejercicio anterior se enfrenta a ciertas circunstancias
que provocan la escacez de bienes, por lo que el planificador central (digamos el gobierno)
debe establecer una polı́tica de racionamiento, controlando la cantidad suministrada a los
individuos de cada bien. La forma en que esta medida se lleva a cabo implica otorgar
cupones a los individuos, los cuales a la hora de adquirir los bienes son canjeados junto al
precio que se debe pagar por los mismos. Esto implica, en los hechos, que el consumidor
pague dos precios simultáneos por la adquisición de los bienes. Suponga que el presupuesto
y los precios de ambos bienes son iguales a los del ejercicio anterior, y que además el
consumidor posee una dotación de cupones, C = 120, que puede usarse para comprar
tanto x como y a un precio de cupón cx = 2 y cy = 1. La función de utilidad es de la
forma U (x, y) = xy 2 . El problema de maximización es:
M ax U (x, y) = xy 2
s.a : x + y ≤ 100
2x + y ≤ 120
x, y ≥ 0
Se pide:
1. Plantee el Lagrangeano del problema y las condiciones de Kuhn-Tucker.
2. Son éstas condiciones necesarias? Justifique.
3. Encuentre los valores x∗ , y ∗ solución del problema y el valor de los multiplicadores.
4. Interprete económicamente el resultado anterior, incluyendo el significado de los
multiplicadores. Qué implicancia tiene el valor obtenido para el multiplicador asociado a la primer restricción?
5. Verifique la condición suficiente de segundo orden.
6. Represente gráficamente el resultado obtenido.
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Ejercicio 12.- Precios fuera del mercado planeado
En muchos casos, los agentes llevan adelante inversiones que son planificadas para desarrollar actividades en un mercado o momento especı́fico. Ejemplos de esto son una empresa
que adquiere cierto capital para satisfacer un mercado, y luego dicho capital queda disponible para ser arrendado; o la construcción de una escuela o universidad, que originalmente
establa planeado utilzarla en el dı́a pero que pueden ofrecerse clases nocturnas.
Esto implica considerar la existencia de un mercado (expresión poco feliz en el ejemplo de
la educación) secundario o no planeado. Dado que esta situación no formaba parte del problema original, las condiciones sobre el precio y cantidad óptimas de este ”nuevo”mercado
pueden diferir respecto del mercado primario. Sin embargo, operan aquı́ restricciones de
capacidad que deben ser consideradas a la hora de fijar los precios y cantidades óptimas
para ambos mercados: si el precio en el mercado secundario es excesivamente bajo, podrı́a
ocurrir un exceso de demanda y superar la capacidad instalada. Una forma de incorporar
esta situación (la limitante en la capacidad) en el problema de optimización, es considerar cierto costo de utilización de la capacidad instalada. Veamos un aplicación de este
problema.
Suponga que UTE instalará una nueva planta de energı́a y tiene que planear su capacidad
total (digamos K). Sean P1 , Q1 , P2 y Q2 , los precios y cantidades en el mercado planeado
y no planeado respectivamente. El mercado planeado podrı́a ser, por ejemplo, ciertos
tipos de hogares o cietas horas del dı́a. La demanda de energı́a en el perı́odo planeado es
P1 = 400 − Q1 , mientras que la no planeada es P2 = 380 − Q2 . El costo variable es de 20
por unidad producida (a pagar por la producción en ambos mercados). Además se debe
pagar un costo por única vez asociado a la capacidad instalada, que en este caso es de
10. Por su parte, dado que no se puede producir más que lo establecido por la capacidad
total, Q1 ≤ K y Q2 ≤ K.
En estas condiciones, el objetivo de UTE será encontrar los precios, cantidades y capacidad
óptimas de forma tal que maximice su beneficio. El problema entonces es:
M ax p1 Q1 + p2 Q2 − 20(Q1 + Q2 ) − 10K
s.a : Q1 ≤ K
Q2 ≤ K
P1 = 400 − Q1
P2 = 380 − Q2
Q1 , Q2 , K ≥ 0
Este problema puede simplificarse al sustituir las funciones de demanda en la función
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objetivo:
M ax (400 − Q1 )Q1 + (380 − Q2 )Q2 − 20(Q1 + Q2 ) − 10K
s.a : Q1 ≤ K
Q2 ≤ K
Q1 , Q2 , K ≥ 0
Se pide:
1. Plantee el Lagrangeano del problema y las condiciones de Kuhn-Tucker.
2. Son éstas condiciones necesarias y suficientes? Justifique.
3. Encuentre la capacidad y producción óptima para este problema.
4. Encuentre los precios óptimos a partir de las demandas en cada mercado.
5. Cuánto paga cada mercado por la capacidad (es decir, cuáles son los valores de los
multiplicadores)?
6. Ahora suponga que el costo de la capacidad asciende a 30 por unidad. Resuelva los
tres items anteriores para este caso.
Ejercicio 13.- Aplicación del Teorema de la Envolvente: la Identidad de Roy
Aplicando el teorema de la envolvente para el caso restringido, demuestre que la función
de demanda marshalliana es igual al negativo del cociente de las derivadas parciales de la
función de utilidad indirecta respecto del precio del bien y del nivel de ingresos. Es decir:
xM (px , py , B) = −
∂U ∗ (px , py , B)/∂px
∂U ∗ (px , py , B)/∂B
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