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MATEMÁTICAS BÁSICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN
FUNCIONES CUADRÁTICAS, POR PARTES, VALOR ABSOLUTO Y DE LA FORMA
1
xn ; x n
(Tomado de: Stewart, James. "Precálculo". Quinta Edición. Secciones 2.1 y 2.2)
Función Cuadrática
La función cuadrática asigna a cada número real x su cuadrado x2 . Se de…ne por f (x) = x2
Ejemplo
Para evaluar f en f (3) se deben sustituir x en f (x) = x2 es decir
f (3) = 32 = 9
Así, por ejemplo
f ( 2) = ( 2)2 = 4
p
p
f ( 5) = ( 5)2 = 5
El Dominio de f es el conjunto de R de todos los números reales. El rango de f consiste en los valores de
f (x), es decir, los números de la forma x2 . Puesto que x2 0 para todos los números reales x, se puede ver
que el rango de f es fyjy 0g = [0; 1).
Para la grá…ca de f (x) se construye primero una tabla de valores. Luego se gra…can los puntos expresados
en la tabla y se unen mediante una curva lisa para obtener la grá…ca:
x
0
f (x) = x2
0
1
2
1
4
1
2
3
1
4
9
1
Funciones De…nidas por Tramos
Se dice que una función está de…nida por tramos, si está de…nida mediante expresiones distintas en diferentes
subconjuntos de su dominio.
Ejemplo
Consideremos la función
8
>
>
<
x 3 si
3
si
f (x) =
2
si
>
>
: 1
1
x
+
si
2
2
x
2
2<x<1
x=1
x>1
En el intervalo ( 1; 2]; la grá…ca de f es la línea recta y = x 3, con pendiente m = 1; además, para
x = 2, y = 1.
En el intervalo ( 2; 1); la grá…ca de f es la recta horizontal y = 3, que corta el eje y en el punto (0; 3).
1
1
1
En el intervalo (1; 1); la grá…ca de f es la línea recta y = x + , con pendiente m = ; además, para
2
2
2
x = 1; y = 1, pero el punto (1; 1) no está en la grá…ca, ya que por de…nición de la función, f (1) = 2, por lo
tanto, el punto (1; 2) está en la grá…ca de f .
Entonces la grá…ca de f es:
Como la función f está de…nida para cualquier número real, el dominio de f es R.
Además, de la grá…ca es claro que el conjunto de los posibles valores para y = f (x) es fy 2 R= y >
Por lo tanto, el rango de f es el intervalo [ 1; 1) :
Función Valor Absoluto
Recordemos que jxj =
x si x < 0
.
x si x 0
Por lo tanto, la función f (x) = jxj es una función de…nida por tramos.
Si x < 0, la grá…ca de f es la línea recta y = x.
Si x > 0, la grá…ca de f es la línea recta y = x.
Por lo tanto la grá…ca de f (x) = jxj es
2
1g :
De la grá…ca, es claro que el dominio de f es R y el rango de f es [0; 1).
Funciones de la Forma f (x) = xn para n 2 N
Si n = 1; la grá…ca corresponde a una línea recta que pasa por el origen y que tiene pendiente m = 1.
Veamos cómo es la grá…ca cuando n = 2:
Una primera aproximación a la grá…ca de la función, al igual que a la de una relación, se obtiene ubicando
en el plano cartesiano los puntos (x; f (x)), correspondientes a distintos valores de la función f en valores x
del dominio, que luego se unen por medio de una curva "suave".
Construimos una tabla de valores, ubicamos los correspondientes puntos en el plano cartesiano y los unimos
mediante una curva suave.
x
3
2
1
0
1
2
3
y = x2
9
4
1
0
1
4
9
La grá…ca obtenida es la grá…ca de una parábola.
Siguiendo el mismo procedimiento podemos trazar las grá…cas de f (x) = xn cuando n = 3; 4 y 5.
f (x) = x3
g (x) = x4
h (x) = x5
En general, cuando n es par, las grá…cas son similares a la de y = x2 , todas pasan por los puntos ( 1; 1) ;
(0; 0) y (1; 1). Si n es impar, las grá…cas son similares, a la de y = x3 ; todas pasan por los puntos ( 1; 1) ;
(0; 0) y (1; 1). En ambos casos, a medida que n crece, la grá…ca se vuelve más horizontal para 1 < x < 1 y
más vertical o "empinada" cuando jxj 1.
3
Funciones de la forma f (x) = x1=n para n 2 N, n
2
Si n es un número par, el dominio de la función es [0; 1), mientras que, si n es un número impar, el dominio
de la función es R.
p
Tracemos la grá…ca para n = 2, es decir, f (x) = x; y para ello construyamos una tabla de valores.
p
x
y= x
0
0
1
1
p
2
p2 t 1:41
3
3 t 1:73
4
2
:
:
:
:
9
3
En forma similar podemos trazar las grá…cas para n = 3; 4 y 5.
p
En general, cuando n es par, las grá…cas son similares a lapde y = x, todas contienen los puntos (0; 0) y
(1; 1). Si n es impar, las grá…cas son similares a la de y = 3 x, todas pasan por los puntos ( 1; 1) ; (0; 0)
y (1; 1).
4