Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática

Universidad de Costa Rica
Escuela de Matemática
Departamento de Actuariado
CA-406 Procesos Estocásticos y Series Temporales
I Ciclo del 2014
Tarea#2
En todos los ejercicios, W se utilizará para representar a un proceso de Wiener estándar.
Primera Parte: Movimiento Browniano y Martingalas
1. Sea Yn =
Var W1 .
P2n n/2
E W1 y varianza
i=1 Wi2−n − W(i−1)2−n . Muestre que Yn tiene media 2
2. Calcule la distribución condicional de Ws dado que Wt1 = A y Wt2 = B, con 0 < t1 < s < t2 .
3. Calcule E[Wt1 Wt2 Wt3 ], con 0 < t1 < t2 < t3 .
4. Considere el proceso Xt = µt + σWt , t ≥ 0. Tome s < u < t, y una constante c ∈ R.
a) Calcule la distribución conjunta de Xs y Xt .
b) Calcule la distribución condicional de Xu dado Xs = c.
c) Calcule la distribución condicional de Xu dado Xt = c.
5. Muestre lo siguiente:
a) Si Yt , es una martingala, entonces E[Yt ] = E[Y0 ].
b) Sea X una variable aleatoria, y Ft t≥0 una filtración. Si Yt = E[X | Ft ], entonces Y es
una martingala respecto a Ft .
c) Si Yt = Wt2 − t, entonces Y es una martingala respecto a FtW . Cuál es el valor de E[Yt ].
2
2
d ) Si Yt = ecWt −c t/2 , con c constante, entonces Y es una martingala respecto a FtW . Cuál
es el valor de E[Yt ].
6. Chequee cuáles de los siguientes procesos son martingalas y cuáles no:
a) Xt = Wt + 4t.
b) Xt = Wt2 .
c) Xt = t2 Wt − 2
d ) Xt =
Rt
sWs ds.
0
(1)
(2)
Wt Wt , donde W
= W (1) , W (2) es un movimiento Browniano estándar en R2 .
7. Sea Mt una martingala respecto a Ft , tal que E[Mt2 ] < ∞. Demuestre que si s ≤ t,
E (Mt − Ms )2 | Fs = E Mt2 − Ms2 | Fs .
Segunda Parte: Integral de Itô y Fórmula de Itô
1. Sea α una constante. Calcule el diferencial estocástico dXt cuando
a) Xt = eαt .
b) Xt = Wt2 .
Rt
c) Xt = 0 Ys dWs , donde Y ∈ L 2 [0, T ].
1
d ) Xt = eαWt .
e) Xt = 2 + t + eWt .
f ) Xt = ect+αWt , con c constante.
g) Xt = eαYt , donde Y tiene diferencial estocástico
dYt = µdt + σdWt ,
con µ y σ constantes.
2. Calcule la media y la varianza de
R1
tdWt .
0
R1 2
t dWt .
0
3. Pruebe que si σt es determinı́stico (no aleatorio), entonces
Z t
Z t
σs2 ds .
σs dWs ∼ N 0,
Xt =
0
0
Sugerencia:
Utilice la técnica de la esperanza para calcular la función generadora de momentos
E euXt .
4. Sea W = W (1) , W (2) un movimiento Browniano estándar en R2 . Sea
Qn =
n X
(1)
(1)
W i t − W i−1 t
n
i=1
n
(2)
(2)
W i t − W i−1 t .
n
n
Demuestre que:
a) E[Qn ] = 0,
b) Var[Qn ] −−−−→ 0.
n→∞
5. Pruebe directto de la definición (sumas tipo Riemann) que
Z
t
Z
sdWs = tWt −
0
t
Ws ds.
0
6. Utilice la fórmula de Itô para probar que
Z t
Z t
1 3
2
Ws ds.
Ws dWs = Wt −
3
0
0
7. Utilice la fórmula de Itô para probar que los siguientes procesos estocásticos son Ft −martingalas:
1
a) Xt = e 2 t cos Wt .
1
b) Xt = Wt + t e−Wt − 2 t .
2