La ley del semicírculo. J. Armando Domínguez Molina [email protected] Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas Universidad Autónoma de Sinaloa Escuela de Matrices Aleatorias CIMAT, Guanajuato, Gto. 19-23 de noviembre de 2012 19 de noviembre de 2012 J. Armando Domínguez Molina [email protected] Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas Universidad Autónoma de Sinaloa () Semicírculo 19 de noviembre de 2012 1/2 Matriz aleatoria Una matriz aleatoria 2 6 6 A=6 4 a11 a21 .. . a12 a22 .. . an1 an2 .. . a1n a2n .. . ann 3 7 7 7, 5 es una variable aleatoria que toma valores en algún espacio de matrices, por ejemplo el espacio de matrices simétricas reales de n n. Hay entonces, una medida de probabilidad en estos espacios, que usualmente están equipados con σ-álgebras de Borel. J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo 19 de noviembre de 2012 2 / 28 Matriz aleatoria Podríamos pensar que la Teoría de matrices aleatorias es el estudio de estadísticas de estas matrices aleatorias... No necesariamente es así. Su meta, desde sus orígenes con Wishart y Wigner ha sido entender una colección particular de estadísticas de estas matrices: los eigenvalores como estadísticas, el espectro aleatorio, y casi siempre conforme el tamaño de la matriz va a in…nito. Una manera natural de de…nir una matriz aleatoria es por medio de la especi…cació de la distribución de todos sus elementos. Los ensambles de Wigner son el prototipo clásico: Una matriz simétrica de n n, A = An tal que los elementos aij son v.a.i.i.d. 1 i j n. J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo 19 de noviembre de 2012 3 / 28 Matriz de Wigner Sean x1 , ..., xn vectores a.i.i.d xi Np µ, I p . Entonces la matriz de varianza y covarianzas de…nida por Sn = 1 n ( xi n i∑ =1 x̄) (xi x̄)T , donde x̄ = n1 ∑in=1 xi . Se cumple que p n Sn p I p ! pW p , p donde las elemetos de la diagonal principal de pW p son i.i.d. N (0, 1) y los elementos arriba de la diagonal principal son i.i.d N (0, 2) . Esta matriz se conoce como la matriz gaussiana o matriz de Wigner J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo 19 de noviembre de 2012 4 / 28 Matriz de Wigner T n es hermitiana si W = W, donde W = W . Una matriz W de n Una generalización de la matriz de wigner es aquella a la que solo se le pide que la matriz sea matriz aleatoria hermitiana cuyos elementos aleatorios dentro y sobre la diagonal sean independientes. 2 donde āij = xij 6 6 W=6 4 a11 ā12 .. . a12 a22 .. . ā1n ā2n iyij . J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo .. . a1n a2n .. . ann 3 7 7 7, 5 19 de noviembre de 2012 5 / 28 Distribución espectral empírica Sea An una matriz de n n λ1 , ..., λn sus eigenvalores. Para z 2 C de…namos F An ( z ) = donde λi z si Re (λi ) # f λi z, 1 n Re (z) e Im (λi ) i ng , Im (z) . Ejercicio.Probar que los eigenvalores de un matriz hermitiana son reales. λn , 8 x 2 R Si A es una matriz hermitiana con eigenvalores λ1 F An ( x ) = # f λi x, 1 n i ng , si λi tiene multiplicidad m, F An tiene un salto de tamaño m/n. J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo 19 de noviembre de 2012 6 / 28 Propiedades de la DEE Para cada x 2 R, F An ( x ) es una v.a. Para σ > 0 y c 2 R F σAn ( x ) = F An ( x/σ ) , F An +cIn ( x ) = F An ( x x ) F σ( An +cIn ) ( x ) = F An c σ c) . . Sea f una función creciente h F f ( An ) ( x ) = F An f J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo 1 i (x) . 19 de noviembre de 2012 7 / 28 Distribución espectral límite (DEL) Distribución espectral límite (DEL) Deseamos estudiar hacia dónde converge la sucesión F An . La convergencia será en sentido probabilista (e.g., casi seguramente, en probabilidad) Probaremos que bajo ciertas condiciones existirá una función de distribución F, llamada distribución espectral límite, tal que lim F An ( x ) = F ( x ) , c.s. 8 x 2 C ( F ) . n!∞ J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo 19 de noviembre de 2012 8 / 28 El método de momentos Supongamos que fYn g es una sucesión de v.a.’s con función de distribución f Fn g t.q. EY k ! βk 8k 2 N y f βk g cumple la condición de Riesz: 1 2k1 lim inf β2k < ∞. k!∞ k Entonces existeRuna función de distribución F tal que 8k βk = βk ( F ) = x k dF ( x ) y fYn g (o f Fn g) converge en distribución a F. J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo 19 de noviembre de 2012 9 / 28 El método de momentos Supongamos que f An g es una sucesión de matrices con DEE F An , abusando de la notación escribiremos βk ( An ) = el k-ésimo momento de F An . Z x k dF An ( x ) , Ahora supongamos que 9 f βk g que cumpla la condición de Riesz y: C1) Condición de primer momento: 8k 2 N, E[ βk ( An )] ! βk , n ! ∞. C2) Condición para convergencia en probabilidad: Var [ βk ( An )] !0, n ! ∞. C3) Condición para convergencia casi segura: ∑ Var [ βk ( An )] < ∞. Después de veri…car [C1 y C2] o [C1 y C3] la DEL se identi…ca por f βk g J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo 19 de noviembre de 2012 10 / 28 Convergencia casi segura y en probabilidad Sea f Xn g una sucesión de v.a.’s y X una v.a., se dice que: P Xn ! X si 8ε > 0 lim P (j Xn n!∞ X j < ε) = 1. c.s. Xn ! X si P lim Xn = X = 1. n!∞ J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo 19 de noviembre de 2012 11 / 28 Desigualdad de Chebyshev Sea X es una v.a. con varianza …nita, entonces, 8ε > 0, P (j X J. Armando Domínguez Molina () θj ε) Semicírculo E ( X θ )2 . ε2 19 de noviembre de 2012 12 / 28 Lema Sea f Xn g una sucesión de v.a.’s tales que EXn !θ y VarXn !0. Entonces p Xn !θ. Demostración. lim P (j Xn n!∞ θj ε) 1 E ( Xn θ )2 n ! ∞ ε2 = lim [E ( Xn θ )]2 + lim VarXn lim n!∞ = 0. J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo n!∞ 19 de noviembre de 2012 13 / 28 Lema Sea f Xn g una sucesión de v.a.’s tales que EXn !θ Entonces y ∑ VarXn < ∞. c.s. Xn !θ. J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo 19 de noviembre de 2012 14 / 28 Lema de Borel-Cantelli Sea f Xn g una sucesión de eventos. Si ∑ P ( An ) < ∞, entonces ∞ ∞ [ \ P Ak n =1 k = n ! = 0. Demostración. ∞ ∞ [ \ Ak n =1 k = n )P ∞ [ ∞ \ Ak n =1 k = n )P ∞ [ ∞ \ n =1 k = n J. Armando Domínguez Molina () ! Ak k=n P ! ∞ [ ∞ [ Ak 8n Ak k=n ! ∞ ∑ P ( An ) k=n 8n ∞ lim n!∞ Semicírculo ∑ P ( An ) = 0. k=n 19 de noviembre de 2012 15 / 28 Demostración. De…nimos para ε > 0, Dn,ε = fω 2 Ω : j Xn (ω ) E ( Xn )j εg . Por la desigualdad de Chebyshev, Proposición, ∞ ∞ ∑ Var ( Xn ) <∞ ε2 N =1 ∑ P ( Dn,ε ) N =1 y por el Lema de Borel-Cantelli P ∞ ∞ [ \ Dn,ε N =1 n = N ! = 0. Esto implica que existe un evento Ω0 con P (Ω0 ) = 1 tal que para cada ω 2 Ω0 existe N (ω ) 1 tal que j Xn E ( Xn )j < ε para n N ( ω ). Por lo tanto cuando n!∞ c.s. EXn j !0. j Xn y dado que EXn !θ ) j Xn J. Armando Domínguez Molina () c.s. θ j !0. Semicírculo 19 de noviembre de 2012 16 / 28 Ley del Semicírculo Ley del Semicírculo Teorema de Wigner. Sea An una matriz de Wigner, donde aij ’s son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con Var aij = 1, 1 i < j n, y aii ’s son variables aleatorias independientes. Entonces F An / p n D ( x ) ! F ( x ) , c.s., donde F ( x ) es la ley del semicírculo. Ley del Semicírculo 1 p 4 x2 1[ 2,2] ( x ) , 2π 1 E ( x ) = 1 si x 2 E y 1 E ( x ) = 0 en otro caso. F0 (x) = J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo 19 de noviembre de 2012 17 / 28 Ley del Semicírculo Función de distribución (ley) del semicírculo: 8 0 > > > > < p 1 1 F (x) = + π1 arcsen 2x + 4π x 4 2 > > > > : 1 Función de densidad del semicírculo: 8 p 1 < 2π 4 f (x) = : 0, J. Armando Domínguez Molina () si x < x2 , si j x j x2 , si j x j Semicírculo 2, si x 2, 2. 2, si j x j > 2. 19 de noviembre de 2012 18 / 28 0.30 1.0 0.20 0.8 y1 0.6 y2 0.10 0.4 0.00 0.2 0.0 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 x J. Armando Domínguez Molina () -2 -1 0 1 2 3 x Semicírculo 19 de noviembre de 2012 19 / 28 ¿Es un semicírculo? y= 1 p 4 2π x2 y 0.3 -2.0 -1.5 J. Armando Domínguez Molina () -1.0 -0.5 0.0 Semicírculo 0.5 1.0 1.5 2.0 x 19 de noviembre de 2012 20 / 28 Es una semielipse En realidad es una semielipse x2 y2 + =1 4 π 2 cuya excentricidad es ε= Nota: r 1 1 . 4π 2 x2 y2 + =1)ε= a2 b2 J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo q 1 (b/a)2 . 19 de noviembre de 2012 21 / 28 Semicírculo Si X F la v.a. Y = σX tiene fución de densidad dada por r 1 x2 x 4 2 , fY (x) = 2πσ σ2 σ La cual es la ecuación de la semielipse x2 1 + y2 = 2 2 , y 2 4 π σ 4π σ Lo que implica que si σ = q semicírculo de radio π2 . J. Armando Domínguez Molina () p1 2π 0 la densidad de Y = σX es un Semicírculo 19 de noviembre de 2012 22 / 28 Momentos de la ley del semicírculo Lema (Ejercicio) Los momentos pares de la distribución del semicírculo están dados por los números de Catalan Ck = k+1 1 (2k k ), esto es Z 2 x2k 2 1 p 4 2π x2 dx = Ck . Los momentos impares son cero por la simetría de la distribución. y -2 y 0.2 -1 -0.2 1 p Grá…ca de x 4 J. Armando Domínguez Molina () 2 x -2 0.5 -1 -0.5 p x2 y de x3 4 Semicírculo 1 2 x x2 19 de noviembre de 2012 23 / 28 Lemma (Ejercicio) Si f βk g representa la sucesión de momentos de la ley del semicírculo, pruebe que ésta cumple la condición de Riesz: 1 2k1 < ∞. lim inf β2k k J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo 19 de noviembre de 2012 24 / 28 Sin pérdida de generalidad (SPG) SPG probaremos el teorema de Wigner suponiendo que la matriz de Wigner cumple lo siguiente: aii = 0, 1 i n. 9C > 0 tal que aij C, Eaij = 0 y Var aij = 1, aij i.i.d, 1 i < j 2 6 6 A=6 4 J. Armando Domínguez Molina () 0 ā12 .. . a12 0 .. . ā1n ā2n Semicírculo .. . a1n a2n .. . 0 n. 3 7 7 7, 5 19 de noviembre de 2012 25 / 28 Robusticidad de la DEE Sean F y G dos funciones de distribución, la distancia de Lévy se de…ne como L ( F, G ) = inf fε : F ( x ε) ε F ( x + ε) + εg G (x) Convergencia en la métrica L implica convergencia en distribución. y 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 -5 -4 -3 J. Armando Domínguez Molina () -2 -1 1 Semicírculo 2 3 4 19 de noviembre de 2012 5 x 26 / 28 Distancias entre DEE Una matriz es normal si AA = A A. Lema Sean A y B dos matrices normales de n 1 tr ( A n L3 F A , F B n entonces B) ( A B) . Lema Sean A y B dos matrices hermitianas de n FA FB n. Entonces 1 rango ( A n B) , donde k f k = supx j f ( x )j . J. Armando Domínguez Molina () Semicírculo 19 de noviembre de 2012 27 / 28 Desigualdad de Bernstein Desigualdad de Bernstein Si X1 , ..., Xn son v.a.i. con media cero y acotadas uniformemente por b, entonces 8ε > 0 P (jSn j donde Sn = X1 + J. Armando Domínguez Molina () ε) 2 exp ε2 / 2 Bn2 + bε , + Xn y Bn2 = ESn2 . Semicírculo 19 de noviembre de 2012 28 / 28