Resolución Examen Estadística Inferencial 2014-2014

Examen parcial
Probabilidad y Estadística II
Nombres:
Firma:
Calificación
PARALELO:6560
DOCENTE: Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC
FECHA:
/07/14
Para cada una de las siguientes preguntas, seleccione la alternativa correcta (1 pt c/u).
1. Del texto siguiente: Un estudio señala que 15 de 100 vehículos producidos en una línea de
ensamble requirieron grandes ajustes antes de ser probado s(p1), mientras que lo mismo fue
cierto para 40 de 400 vehículos producidos en otra línea de ensamble(p2). Se puede afirmar al
1% de significancia que la segunda línea de producción efectúa un mejor trabajo que la línea 1?
¿Cuál es la mejor manera de plantear la hipótesis?
a. H0: p1≠p2
H1: p1<p2
b. H0: p1=p2
H1: p1>p2
c. H0: p1=p2
H1: p1<p2
d. H0: p1≠p2
H1: p1>p2
e. H0: p1<p2
H1: p1<p2
2. Si se conoce la varianza de la población, entonces para determinar el tamaño de la muestra de
una población infinita se utiliza
a.
b.
c.
3. Cuando se rechaza la hipótesis nula, siendo verdadera, se comete un:
a. Error tipo I
b. Error Tipo II
c. Error de muestreo
d. Error de poblacional
e. Error de confianza
4. Si se desea comprobar una hipótesis comparativo de la media de una población, por lo que se
conoce: la media y la varianza poblacional, la media muestral y n menor que 30. Entonces el
estadístico comparativo para comprobar la hipótesis es:
c. 𝒛 =
d. 𝒕 =
e. 𝒛 =
̅ −𝝁
𝑿
𝝈
√𝒏
̅ −𝝁
𝑿
𝑺
√𝒏
̅ −𝝁
𝑿
𝑺
√𝒏
a.
𝒛=
b. 𝒕 =
𝒑𝟏 −𝒑𝟐
𝒑𝟏 𝒒𝟏
𝒑 𝒒𝟐
√ 𝒏 +√ 𝟐
𝒏𝟐
𝟏
̅ −𝝁
𝑿
𝑺
√𝒏−𝟐
Calificación
Examen parcial
Probabilidad y Estadística II
Nombres:
Firma:
PARALELO:6560
5. Seleccione la alternativa correcta. Los discos duros de computadoras deben girar de manera
equilibrada, mientras que un alejamiento del nivel se conoce como rodamiento. El rodamiento
para cualquier disco puede modelarse como una variable aleatoria con media 0.225 mm y una
desviación estándar de 0.0042 mm. El rodamiento medio de una muestra se obtendrá a partir
de una muestra aleatoria de 40 discos. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio de la muestra
e este entre 0.2245 y 0.2260? (Redondear todos los cálculos al segundo decimal en la tabla z).
(4pts.)
a. 0.151
b. 0.2
c. 0.141
d. 0.708
e. Ninguno de los anteriores
6. Se conoce que el 92% de los hombres casados pesan más que sus esposas. Para afirmar esa
proposición, se debe tomar una muestra con el 95% de confianza y un error del 3%. Entonces, la
cantidad de familias a investigar es: (4pts.)
a. 15
b. 315
c. 415
d. 215
e. 515
7. Seleccione la alternativa correcta. Un fabricante de fusibles afirma que, con una sobrecarga de
20%, los fusibles estallarán en 12.40 minutos en promedio. Para probar tal afirmación, una
muestra de 20 de los fusibles se sometió a una sobrecarga de 20%; los tiempos que tardaron en
estallar tuvieron una media de 10.63 minutos y una desviación estándar de 3.48 minutos. Si se
puede suponer que los datos constituyen una muestra aleatoria de una población normal.
¿tienden apoyar o rechazar la afirmación del fabricante?
a. Si al 1% de significancia
b. Si al 5% de significancia
c. Si, al 10% de significancia
8. Seleccione la alternativa correcta. Se realiza un estudio acerca del impacto que tiene la
efectividad de dos ciertos tipos de medicamento para el trato de la diarrea. Las evacuaciones son
las siguientes para cada tipo de medicamento y grupo de niños:
A
B
3
1
4
2
3
3
4
1
4
3
4
2
5
3
4
¿Proporcionan los datos evidencias suficientes que indiquen que la efectividad de ambos
medicamentos es la misma? Utilizar el nivel de significancia del 5%. (4pts.)
a. Los mismos medicamentos tienen la misma efectividad
b. Los medicamentos poseen diferente efectividad
Solución
1. Del texto siguiente: Un estudio señala que 15 de 100 vehículos producidos en una línea de
ensamble requirieron grandes ajustes antes de ser probados, mientras que lo mismo fue
cierto para 40 de 400 vehículos producidos en otra línea de ensamble. Se puede afirmar al
1% de significancia que la segunda línea de producción efectúa un mejor trabajo que la línea
1?
¿Cuál es la mejor manera de plantear la hipótesis?
f. H0: p1≠p2
H1: p1<p2
g. H0: p1=p2
H1: p1>p2
h. H0: p1=p2
H1: p1<p2
i. H0: p1≠p2
H1: p1>p2
j. H0: p1<p2
H1: p1<p2
2. Si se conoce la varianza de la población, entonces para determinar el tamaño de la muestra
de una población infinita se utiliza
a.
b.
c.
3. Cuando se rechaza la hipótesis nula, siendo verdadera, se comete un:
k. Error tipo I
l. Error Tipo II
m. Error de muestreo
n. Error de poblacional
o. Error de confianza
4. Si se desea comprobar una hipótesis comparativo de la media de una población, por lo que
se conoce: la media y la varianza poblacional, la media muestral y n menor que 30. Entonces
el estadístico comparativo para comprobar la hipótesis es:
a. 𝒛 =
b. 𝒕 =
c. 𝒛 =
̅ −𝝁
𝑿
𝝈
√𝒏
̅ −𝝁
𝑿
𝑺
√𝒏
̅ −𝝁
𝑿
𝑺
√𝒏
𝒅. 𝒛 =
𝒑𝟏 − 𝒑𝟐
𝒑𝟏 𝒒𝟏
𝒑 𝒒
+√ 𝟐 𝟐
√ 𝒏
𝒏𝟐
𝟏
̅
𝑿−𝝁
𝒆. 𝒕 =
𝑺
√𝒏 − 𝟐
5. Los discos duros de computadoras deben girar de manera equilibrada, mientras que un
alejamiento del nivel se conoce como rodamiento. El rodamiento para cualquier disco
puede modelarse como una variable aleatoria con media 0.225 mm y una desviación
estándar de 0.0042 mm. El rodamiento medio de una muestra se obtendrá a partir de una
muestra aleatoria de 40 discos. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio de la muestra
e este entre 0.2245 y 0.2260? (Redondear todos los cálculos al segundo decimal en la tabla
z).
p. 0.151
q. 0.2
r. 0.141
s. 0.708
t. Ninguno de los anteriores
Sea X=rodamiento de discos duros
𝑃(520 ≥ 𝑋̅ ≥ 0.2245)
𝑃(
𝑃(
0.2260 − 𝜇
𝑋̅ − 𝜇
0.2245 − 𝜇
≥ 𝜎 ≥
)
𝜎
𝜎
√𝑛
√𝑛
√𝑛
0.2260 − 0.225
0.2245 − 0.225
≥𝑧≥
)
0.0042
0.0042
√40
√40
𝑃(1.51 ≥ 𝑧 ≥ −0.75) = 0.7085
6. Se conoce que el 92% de los hombres casados pesan más que sus esposas. Para afirmar esa
proposición, se debe tomar una muestra con el 95% de confianza y un error del 3%.
Entonces, la cantidad de familias a investigar es:
a. 15
b. 315
c. 415
d. 215
e. 515
Como no se específica el tamaño de la población, entonces se utiliza:
𝑛=
𝑛=
𝑍𝛼2 𝑃𝑄
𝑒2
(1.96)(0.92)(0.08)
= 314.15 ≅ 315
(0.03)2
7. Un fabricante de fusibles afirma que, con una sobrecarga de 20%, los fusibles estallarán en
12.40 minutos en promedio. Para probar tal afirmación, una muestra de 20 de los fusibles
se sometió a una sobrecarga de 20%; los tiempos que tardaron en estallar tuvieron una
media de 10.63 minutos y una desviación estándar de 3.48 minutos. Si se puede suponer
que los datos constituyen una muestra aleatoria de una población normal. ¿tienden apoyar
o rechazar la afirmación del fabricante?
a. Si, al 1% de significancia
b. Si, al 5% de significancia
c. Si, al 10% de significancia
El problema se puede resolver por medio de prueba de hipótesis
Datos:
𝜇 = 12.40
𝑛 = 20
𝑥̅ = 10.63
𝑠 = 3.48
Paso 1: Determinamos las pruebas de hipótesis
𝐻0 : 𝜇 = 12.40
𝐻0 : 𝜇 ≠ 12.40
Paso 2: Establecer los límites de confianza al 1% y 5% de nivel de significancia con dos colas
𝑧0.025 = −2.0939
𝑧0.005 = −2.8609
𝑧0.025 = 2.0930
𝑧0.005 = 2.8609
Paso 3: Valorar – Comprobar
𝑡=
𝑧=
𝑥̅ − 𝜇
𝑠
√𝑛
10.63 − 12.40
3,48
√20
𝑧 = 2,2746
𝑧0.025 = −2.0939
𝑧 = −2,2746
𝑧0.025 = 2.0930
𝑧0.005 = −2.8609
𝑧0.005 = 2.8609
Z=2
𝑧 = −2,2746
Paso 4: tomar una decisión
Al 5% de nivel de significancia
Se rechaza 𝐻0 .
Al 1% de nivel de significancia
Se acepta 𝐻0 .
8. Se realiza un estudio acerca del impacto que tiene la efectividad de dos ciertos tipos de
medicamento para el trato de la diarrea. Las evacuaciones son las siguientes para cada tipo
de medicamento y grupo de niños:
A
B
3
1
4
2
3
3
4
1
4
3
4
2
5
3
4
¿Proporcionan los datos evidencias suficientes que indiquen que la efectividad de ambos
medicamentos es la misma? Utilizar el nivel de significancia del 5%. (4pts.)
a. Los mismos medicamentos tienen la misma efectividad
b. Los medicamentos poseen diferente efectividad
Como no se específica que tengan la misma varianza, y las musestras son pequeñas, entonces se
utiliza:
̅−𝒚
̅
𝒙
𝒕=
𝝂 = 𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 − 𝟐
(𝒏 − 𝟏)𝒔𝟐𝒙 + (𝒏𝟐 − 𝟏)𝒔𝟐𝒚 𝟏
𝟏
√ 𝟏
√ +
𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 − 𝟐
𝒏 𝟏 𝒏𝟐
Donde:
𝑋̅ = 3.875
𝑦̅ = 2.143
𝜇𝑥 = 𝜇𝑦
𝑛1 = 8
𝑛3 = 7
𝑆1 = 0.641
𝑆2 = 0.9
Paso 1: Se establecen las hipótesis
𝐻0 : 𝜇𝑥 = 𝜇𝑦
𝐻0 : 𝜇𝑥 ≠ 𝜇𝑦
Paso 2: Establecer los límites de confianza al 5% de nivel de significancia con dos colas
𝝂 = 𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 − 𝟐 = 𝟖 + 𝟕 − 𝟐 = 𝟏𝟑
𝑡0.025,13 = −2.1604
𝑡0.025,13 = 2.1604
𝑡0.025,13 = 2.1604
Paso 3: Valorar – Comprobar
𝒕=
̅−𝒚
̅
𝒙
(𝒏 − 𝟏)𝒔𝟐𝒙 + (𝒏𝟐 − 𝟏)𝒔𝟐𝒚 𝟏
𝟏
√ 𝟏
√ +
𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 − 𝟐
𝒏𝟏 𝒏𝟐
𝒕=
𝟑. 𝟖𝟕𝟓 − 𝟐. 𝟏𝟒𝟑
𝟐
𝟐
√(𝟖 − 𝟏)𝟎. 𝟔𝟒𝟏 + (𝟕 − 𝟏)𝟎. 𝟗 √𝟏 + 𝟏
𝟖+𝟕−𝟐
𝟖 𝟕
Paso 4: tomar una decisión
= 𝟒. 𝟑𝟑𝟕
𝑡0.025,13 = −2.1604
Se rechaza Ho
𝑡0.025,13 = 2.1604
𝒕 = 𝟒. 𝟑𝟑𝟕